慶應商 式の証明 高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam Keio University
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「家族で行こう！自転車の旅」
備忘録3周目70G" 【 ☆同次形→ 1変数化 ( Magic Bullet ) 】 a/b＝ x ( ∈正の有理数 ) ･･･①
一旦 xを 正の実数として、 a/b＝x ＝ f(x), ( a＋3b )／( a＋b )＝ ( x＋3 )／( x＋1 ) ＝ g(x)
とおいて、 ☆二つのグラフを 書くと x＝√3 で交わる。 ①に注意して、
0< x
√2の問題を見たことがあるとのことでしたので、√nはa/bと(a+nb)/(a+b)の間にあると言えるか調べたところ(√n-a/b){√n-(a+nb)/(a+b)}=(1-√n)(a-√n×b)^2/(a+b)bとなったので、nが平方数でない自然数であれば成立すると思いました。
貫太郎チャンネルの動画に編集されてるものが上がっていることに感動してる人は僕だけかな
「aをゴミクズと扱って……」
a「解せぬ」
『任意の負でない2実数x, yに対し「x < y ⇔ x^2 < y^2」』…①
をさらに用いれば、動画の方針の下でも、計算がやや楽になります。
以下、「a,bは正の整数である」という前提の下で議論する。
このとき、①に注意して、下記の同値関係が成り立つ。
「√3がa/bと(a+3b)/(a+b)の間にある」…②
⇔「3が(a/b)^2と{(a+3b)/(a+b)}^2の間にある」
⇔ {(a/b)^2 - 3} [{(a+3b)/(a+b)}^2 - 3] < 0
⇔ (a^2 - 3b^2) {(a+3b)^2 - 3(a+b)^2} < 0
⇔ (a^2 - 3b^2) {(a^2+6ab+9b^2) - (3a^2+6ab+3b^2)} < 0
⇔ (a^2 - 3b^2) (-2a^2 + 6b^2) < 0
⇔ (a^2 - 3b^2)(-2)(a^2 - 3b^2) < 0
⇔ (a^2 - 3b^2)^2 > 0
⇔ {(a + √3b)(a - √3b)}^2 > 0
⇔ (a + √3b)^2 (a - √3b)^2 > 0
⇔ (a - √3b)^2 > 0
...③
今、不等式③が偽であるものと仮定すると、a - √3b=0が従い、さらに、b≠0とから
√3=a/b
が従う。これは、√3が無理数であることに矛盾する。
ゆえに、不等式③は真であり、これと同値の命題②も真となる。
以上により、題意が成り立つことが示された。//QED
a/b>√3とa/b
For English speakers:
Let a and b be natural numbers. Prove that √3 is between a/b and (a + 3b)/(a + b).
We comment the proof if we can prove either of the following inequalities holds:
a/b < √3 < (a + 3b)/(a + b),
(a + 3b)/(a + b) < √3 < a/b.
The condition is same as that
(√3 - a/b)*{√3 - (a + 3b)/(a + b)} < 0.
We can easily find that
(√3 - a/b)*{√3 - (a + 3b)/(a + b)}
= {(1 - √3)a^2 + (6 - 2√3)ab + (3 - 3√3)b^2}/b(a + b)
= (1 - √3)*(a - √3*b)^2/b(a + b)
< 0.
Note that a - √3*b is not equal to 0 for any natural numbers a and b as √3 is an irrational number. Therefore we compare the question.
We see another solution. We can easily find that
√3 - (a + 3b)/(a + b)
= (√3 - 1)*(a - √3*b)/(a + b) ...... (*)
Then the sign of the formula (*) is determined by the one of a - √3*b as (√3 - 1)/(a + b) is a negative number for any natural numbers a and b. If √3 < a/b, hence a - √3*b > 0 at that time. Thus the inequalities
(a + 3b)/(a + b) < √3 < a/b
holds at that time. Otherwise
a/b < √3 < (a + 3b)/(a + b)
holds at that time.
(1+√3)^n=a(n)+b(n)√3とすると(1+√3)^(n+1)を考えてa(n+1)=a(n)+3b(n), b(n+1)=a(n)+b(n)という連立の漸化式を作ります。このときのa(n)/b(n)とa(n+1)/b(n+1)が本問の分数であり、これらは√3を跨ぐように相互にホッピングしながら次第に√3に近づいていきます。具体的にはn=1,2,3…としてa(n),b(n)の組を書くと(1,1),(4,2),(10,6),(28,16)…です。この事実はペル型方程式、とも関連させて解説していただければ更によかったのではないでしょうか。双曲線上の格子点についてでもいいでしょう。ペル方程式は入試で頻出であるにもかかわらず、高校ではほとんど扱われないのでできない受験生が多いです。いつも拝見させていただいてます。応援してます。申し遅れました。私、唄って踊れる数学講師（おやじ）です。よろぴく。
意外と簡単
場合分けでやりました
動画のやり方は思い付かなかったので参考になりました
yu_5 k 俺も場合分けでやった。動画のやり方みたいな問題文の式を必要十分性を欠かないように変形するの苦手。
どうやったら見つけられるんだろ。
同次式の問題だね。
同次式を見たら迷わずt=a/bとして、2変数を1変数関数に落とし込むのがミソ。(この解答はコメント欄に腐るほどあった。)
本問は文系用ってのもあってか若干誘導としてa/bが書かれてたんじゃないかと思う。
昔(10何年か前かな？)の東工大の問題でも類題あった気がする。
昔は流行ってた印象だけど、今あんまり見ないイメージ。
サムネ見てまずa
6とbが似ててややこしや〜笑
僕は筆記体のb使ってます
朝わすれた…スタ演の問題だあああ！きたー！今日のセンター演習でこの前貫太郎さんが言ってた素数の判定法（ルートとる）やつやったらスパッと出来ました！感激
a/b=x とおくと、(a+3b)/(a+b)=1+2/(x+1) （=f(x)とする）
y=f(x)はy=2/x（反比例）を(-1,1)平行移動させただけ。
y=xとのx>0における交点は(√3,√3)。
その前後で√3はさんでxとf(x)の大小が入れ替わる。
a/bは√3でなければ有理数でなくてもよい。ミニマムな条件としては-1より大きい実数であればよいことになる。
自己レスですが、a/b
x = a/b と考えて、y = (x + 3) / (x + 1) と y = x の概形を描くと、sqrt(3) が 2つの関数の間にあることが視覚的にわかりますね。
xy平面上の点P(b,a)とQ(a+b, a+3b)および直線 l : y=√3・xを考える。
PがX軸上にあり直線ｌの下側の点(b,0)からy軸に平行に正の方向に動くとき、Qは直線ｌの上側の点(b,3b)を始点として、ベクトル(1,1)に平行に動く。Pがｌ上を通るとき、P=(b,√3 b)より、Q=((√3+1) b, √3(√3+1)b)となり、Qも直線 l 上を通る。
a,bは正の整数であることからP,Qがl上に乗ることはない。
以上により、P,Qは常に、直線ｌを挟んで反対側にあることがわかる。
a/b, (a+3b)/(a+b)はそれぞれP,Qを極座標で考えたときの偏角のtanであるので、P,Qの一方が直線 lの下側にあり√3未満の時、他方はｌの上側にあるため√3より大きくなる。
つまり、√３はa/b, (a+3b)/(a+b)の間にある。
(a+3b)/(a+b) > √3 と仮定すると
簡単な式変形だけで、a/b < √3 が導けます。
同様に
(a+3b)/(a+b) < √3 と仮定すると
a/b < √3 が導けます。
このほうが計算が複雑にならないので、計算ミスが少ないかなと思います。
これ2つ仮定すると示すことになるんですか？
初めて見た
迷い白熊
もし、式変形の逆を辿れるということを主張に含める前提に立っていないとすれば、
簡単に除去できる問題ですが、
(a+3b)/(a+b)=√3ならばa/b=√3の確認、
あるいは(a+3b)/(a+b)は有理数であり√3は無理数だから等号にはならないことの確認もしなければ不十分です。
その過程がわからないですが、同値な変形のみで構成されていることが予想されますから問題はない可能性が高いですが、
有限個の排反な条件に分割したもの同士の「ならば」の方向を逆にする手法は、全ての逆方向を示す必要があることに要注意です。
もう少しいうと、
数学的な主張A1,A2,A3およびB1,B2,B3があって、
A1,A2,A3はすべてを尽くしており、かつ互いにどの２つも同時に起きず、Bについても同様だとすると、
Bi⇒Aiがすべてのiについて成り立つならば、すべてのiに対してAi⇒Biが従います。
これは、べつにA3⇒B3を必要としていなくとも、B3⇒A3を示すことが必要です。
なぜならば、A1⇒B1を示すにあたり、
A1⇒B3と仮定すればA1⇒B3⇒A3⇒A1でない、ゆえに矛盾だからA1⇒B3とはならない、
という背理法を使用することが必要だからです。
したがって、あくまで「(a+3b)/(a+b)>√3を仮定して」という"⇒"という一方向と考えられる言い方をするのであれば、
不等号の自明な背反な場合分け「(a+3b)/(a+b)>√3」「(a+3b)/(a+b)=√3」「(a+3b)/(a+b)√3」「(a+3b)/(a+b)
@@konamonwalotemauer1172
ご助言拝読いたしました。
受験生ではないので、所々雑になっていますが、ご指摘のところは注意が必要であることは理解いたしました。
ありがとうございます。
ab√3で場合分けして、、
(a+3b)/(a+b)=1+2b/(a+b)と変形。
右辺の分数の項の分母のaをb√3として不等式を立てると有理化して√3が出てくる。
あとは結果をまとめるとa、bの値に関わらず題意を満たすことが分かる。
毎回貫太郎さんの問題のチョイスがいいですね！良問ばかり＾＾
とりあえず難問や難関大学の過去問を寄せ集めた問題集より100倍いいです！
もっちゃん そういうただただ難しい問題の意図を読み取るのも面白いけどね。
予断ですが、メソポタミアの数学に関するタブレット約２５００枚に√2の近似値が書かれたものがあります。（もちろん、楔形文字で６０進法ですが）これはある正の数aと2/aを考え、これらが等しいときaは√2に一致し、そうでないときは一方は他方より大きくなります。(aの値によりどちらが大きいかは変わりますが、たとえばa=1とすると2/aは2です。これらの間に√2があるので、これらの平均3/2はより√2に近い値だと考えたようです。この値3/2をbとすろと再びbと2/b(すなわち3/2と4/3)の平均をとると17/12となり更に近似値の精度があがります。aは任意ですが平均をとるので有理数、できれば自然数が早く計算できます。aと3/aを考えてa=1とすれば平均の考えでb=2となり、これと3/bの平均は7/4。これは先にコメントした中の組(28,16)と一致してますね。恐るべし、バビロニア～！あ～、鈴木先生の動画にたくさん書き込んでしまった失礼をお許しください。僕も「サルでも分かる入試数学」とか「秒殺マーク数学」とか動画はじめようかな。うそぴょーん。
この問題は以前みたことあります。間にあることを証明するのは、両端から√3引いたものを掛けたとき負になることを示せばいいのは、この問題で知ったような気がします。
それさえ気づけば後は計算問題です。
ここ二日ほど情けなかったので、ちゃんと解けて嬉しい。
美しい。惚れたこの問題
基本的にベースのアイディアはいと氏のものと同様。
ただ図形的ではなく関数的に解く。
【別解】
q=a/bとすれば、(a+3b)/(a+b)=(a/b+3)/(a/b+1)=(q+3)/(q+1)と書ける。
したがって、関数f(x)をf(x)=(x+3)/(x+1)とおくと、
任意の正の有理数qに対してq√3、およびq>√3⇒f(q)0のとき(狭義)単調減少だから、
f(q)>√3=f(√3),f(q)0の範囲で動かしたときの(x,x)とPを結ぶ直線の傾きの単調性に思いを馳せることで気づいた。
------------------
（余談）
なお、この問題と関連してありがちな問題が、以下の通りとなり、動画の命題から明らか。
「有理数列{a[n]}を次で定義するとき、√3に収束することを示せ。
a[1]=q>0, a[n+1]=(1/2){a[n]+(a[n]+3)/(a[n]+1)}」
逆に、この命題のうち収束部分が別に示せるのであれば、
もしq
2つの式の大小関係を考えると結局√3とa/bとの大小関係に帰着して
あとは2つの場合に関してa+3b/a+bと√3との大小関係が問題の条件に一致していることを√3とa/bとの大小関係を使って示しました。
その方が特に複雑な式も出ず楽な気もします。
本日もありがとうございました😊
a/b>√3 すなわち a^2>3b^2 のとき
(a+3b)/(a+b) 6b^2-6b^2 = 0
a/b
束縛変数2つの全称命題の証明。束縛変数を1つに減らせないかをまず考えるべきです。
題意の命題 ⇔ ∀a, b∈正整数 { √3がa/bと(a/b+3)/(a/b+1)の間 }
⇔ ∀t∈正有理数 { √3がtと(t+3)/(t+1)の間 } …①
ここで、t=√3のとき t=(t+3)/(t+1)=√3となり、
t>√3とすると、tは明らかに√3より大きく、(t+3)/(t+1)はy=x上の点(t, t)と(-1, -3)を結ぶ直線の傾きだから明らかに√3より小さくなる。
同様に、t
いと 掌握っぽい
大学受験の解答として書く時は｢ここで、t=√3の時｣という所は記述して良いのでしょうか？？
展開としてはこの方法が良いと思いますが、一応tは正有理数と断っているので…
Nick Halden 大丈夫ですよ。｢tが有理数の時以下のことを示す。t=√3だったら、、、｣という流れなので何の問題もないです。
不安ならt=√3の時の話はぶっちゃけいらないので、書かなければ良いです。
カンタビーレフェルト ありがとうございます！
@@カンタビーレフェルト おそらくtが正有理数と置いているのに、直後にt=√3と置いたことに違和感を感じたのだと思いますよ。
ご指摘の通り、t=√3は推測の補助として考えた方が良いですね。
また、単純に(t-√3){(1+3t)/(1+t)-√3}の計算(符号の判定)を行った方がスマートかもしれません。せっかく1変数になったので。
6:286-2√3を-2√3(1-√3)に変形するとこ、聞くと「なるほど！」と思うけど試験会場で自分が思いつくのは絶対ムリだなあ・・・
わかりやすい！
a/b
どちらが大きいかわからないa/bと(a+3b)/(a+b) 比較して（差を取ると）√3a/bいずれかになることがわかるので、 a/bと(a+3b)/(a+b)から導いたその二通りで (a+3b)/(a+b)と√3の大小比較してなりたってることを示す。先生の解法よりずっと計算がらくです。。√3>1は自明で使うけど。。
これが文系数学で出ることに驚きだわ理系でも本番で出ると絶対に後回しにしたくなるタイプ
同感。
野沢宗雄 ですよね
「間にある」という言葉は、端を含むかどうか曖昧ではないでしょうか。
端を含んでも良いと解釈すると、今回の不等式は
@@視聴用-h6h いえ、端を含めて良いと解釈するなら、動画と同じように式変形し、(a-√3b)^2>=0を示せば良いことになるので、a,bが実数であれば必ず成立するということです。
端を含んではならないと解釈するなら(a-√3b)^2>0を示す必要があるので、a,bが有理数であるという条件が必要になります。
@@視聴用-h6h いやだから・・・、その正の整数という条件が必要ないという話ですよ。動画見ましたか? 鈴木さんが説明してるじゃないですか。
a+3b/a+b=1+2b/a+b=1+2/(a/b)+1になるからa/b=t(>0)とおいてグラフ的に考えるのもアリですね。
高校を卒業してそろそろ20年になりますが、受験に関係ない立場からすると頭の体操になって面白いですね。
ところで(a+3b)/(a+b)の分子分母をbで割ってa/b=xとしてf(x)=(x+3)/(x+1)と置いて、微分して、x=0、sqrt(3)、∞の時で増減表を描いて・・・とやるのはありなのでしょうか？
aとbが整数だからx=sqrt(3)にならないと言われると減点な気もしますが、aとbが正の自然数なら成り立つので良いような気も・・・？
理系数学から離れて統計ばかりしているおじさんには難しいです。
私もそのアプローチでした。y=xとy=(x+1)/(x+3)のグラフを書けば、xが正の実数ですべて成り立つことが示せます。xは有理数ですので、すべての実数で成り立つことを述べれば問題ないと思います。式変形よりも個人的には楽と思いました。
a/b=tとするとt>0の有理数なのでt≠3^1/2
a+3b/a+b=t+3/t+1 これはt>0で単純減少(双曲線)になります。
t+3/t+1=t を解くとt=3^1/2
ですがtは有理数なので
t3^1/2
t>3^1/2 ならばt+3/t+1
a/b
x=a/b、y=（a＋3b）/(a＋b)とおいてyの分母と分子をbで割るとxがぶち込める形になります。yとx（xは正の実数）のグラフは双曲線になるのでそこからx＜√3＜y、y＜√3＜xになるような場合を考えればグラフから一目瞭然です。
訂正、xは実数じゃなくて有理数です。
間にあるを閉区間と開区間どちらで捉えるかで実数のありなしが別れますね
これは最初a/b ≦ √3 ≦ (a+3b)/(a+b)であることを示せと解釈して、a=2,b=1のときに2 ≦ 1.7320508 ≦ 1.66... だから成り立たないと考えましたが、その解釈は誤っていだようだ。
実は問題文の条件は(a+3b)/(a+b) ≦ √3 ≦ a/bの場合も考慮しなければならないのである。これは国語力も問われている良問である。
a/b=(x>0)とおくと(a+3b)/(a+b)=(x+3)/(x+1)=1+2/(x+2) (単調減少)
x=(x+3)/(x+1)の解は±√3
すなわち
0
√3
自分もそれでやったわ
私も同じ考えです。
y=xとy=x+3/x+1と交点（√3,√3）を図示して証明。
分数関数の方はy=2/xのグラフをx軸方向に-1、y軸方向に+1移動なら、文系範囲内ですかね？
yama yama 自分も同じくt=b/aとおいて
[略解]
v(t) = t = a/b とおくと、v(t)はtの一次関数より、t>0にて単調増加する
u(t)= (a+3b)/(a+b) = (t+3)/(t+1)
∴ u(t)=1+2/(t+1) よりy=1/tのグラフを上に1,右に-1だけ平行移動した直角双曲線のグラフであり、t>0にて単調減少する。
u(t)とv(t)グラフの位置関係(微分係数や増減表を省略)より、
0 < t < √3 のとき、v(t) < √3 < u(t)
t = √3 のとき v(√3) = u(√3) = √3
t > √3 のときu(t) < √3 < v(t)
ここでa,bは自然数よりt=a/bは有理数となるため、t≠√3
以上より、√3はa/bと(a+3b)/(a+b)の間にある q.e.d
(ⅰ)a/b>√3のとき
√3-(a+3b)/(a+b)=√3-1-2b/(a+b)
ここで、
2b/(a+b)の分母分子bで割って、2/{(a/b)+1}
a/b>√3、a>0、b>0より、2/(1+√3)>2/{(a/b)+1}>0
なので、
√3-(a+3b)/(a+b)=√3-1-2b/(a+b)>0
すなわち
√3>(a+3b)/(a+b)
よってa/b>√3>(a+3b)/(a+b)
(ⅱ)a/b
こんばんは。
今日のコメント欄で紹介されてました！
理解できました☺️。👍️いたしました。
a=kb(kは正の実数とする)
a/b=kb/b=k
(a+3b)/(a+b)=(k+3)b/(k+1)b=(k+3)/(k+1)
(i)0
新スタで解きましたー
この問題、続きがあったような気がします記憶違いでなければ
なかなか面白そうな問題だ
数直線で考えるのが大事ですね
t=a/bとしてy=tとy=(t+3)/(t+1)のグラフをt＞０の範囲で書けば、明らかでした。このくらいの式だと関数に置き換え、グラフを書くのが楽かもしれません。
初めて見るタイプの問題でした！(^.^)
面白い！
今日のネクタイいいやん！かんちゃん！
この動画に関する質問ではないですが、0で割り算ができない理由ってどんなのですか？
±∞に発散するよ
らくらさんのちゃんねる
定義の話をするのならば0の逆数がないというのが一応正しい言い回しなのではないでしょうか？
らくらさんの説明の仕方でも十分理解はできます！
初歩的なことですが0は
自然数や整数に入りますか？
標準問題精巧に載ってますね
こんなん出たら気絶するって笑
私に解ける問題がなかなかでない😂
Good, I have never seen this type of question before.
おはようございます
インフルエンザにかかってずっと寝てたので朝早くから起きてますw
a/b
a=√3b のときa/b=√3=(a+3b)/(a+b )だけど、間っていうのかなと疑問思ったけどそのままにしてしまった。確かに整数のときはイコールじゃないな。。。
a/b√3の場合に分ける
a/b1+2/(√3+1)=√3
a/b>√3の場合
(a+3b)/(a+b)=1+2b/(a+b)=1+2/(a/b+1)
very good!
@@coscos3060 さん
こんな前のコメントに返信ありがとうございます🙏
@@KT-tb7xm さん 最後の1+2/(√3+1)=√3 がどうしても……
良かったらヒントください。 お邪魔します😆
@@coscos3060 さん
普通に有理化します。
1 + 2/(√3 + 1)
= 1 + {2 * (√3 - 1)} / {(√3 + 1) * (√3 - 1)}
= 1 + {2 * (√3 - 1)} / 2
= 1+ √3 - 1
= √3
@@KT-tb7xm さん ありがとうございました。普通に有理化してやっても
できなかったのです 最近 目が悪くなったきた原因かな😢
良く分からなかった
a/b＜ルート３⇔ルート３＜a+3b/a+b
a+3b/a+b＜ルート３⇔ルート３＜a/b
が計算して分かる
ルート3は無理数でルート３≠a/bより、ルート3＜a/bかa/b＜ルート３が
成立するから、ルート3はa/bとa+3b/a+bの間にある。終わり？
記述で出たらキツそう
センターで出そうな問題かな
高3の塾生に出してみようかな...
＞正の整数
「これ自然数で良くね？」と思ったので自然数をググってみたら0も自然数になるようですね。
ちなみに問題自体はセンターレベルなのですが慶応の商学部って数学は必須なのか選択なのかが気になるところです（もし選択なら他の日本史や世界史と比べると難易度の差があり過ぎ）
数学受験者と社会受験者は分かれていますよ。
集合論とかを専門にする人は０も自然数に含めますね
ゴリラゴリラ様 ググってみると商学部は数学必須なんですね。
ypp oka様 高校生の時「自然数には0も含まれる」と言って笑われたことがあります。今考えると良かったんですね。
これの√5で有理数のやつ解いたことあるわ
プラスｘマイナス＜０を示してくだけのことですが分子の文字計算整理が煩雑 我慢が必要 でもいい問題です
この問題は普通に同値変形で示せました。
僕も最後に整数である必要に気づきました笑
同次式つかえそう
これ数二の標問に載ってましたね
有理数ではb=0またはa=-1/2かつb=1/2が反例になりまっせ
「正の」は外さないんじゃないですか？
はいおはようございます
コメントしたいけど、このコメント欄に数式書くのだるくてほぼいつも書かない人
おはようございます。
少しでもミスすると怖いですね
おはようございます（激遅）
おはようございますm(__)m ゆっくりゆったり🛀 拝見します🍇🍍
商学部って文系やん
極限やらないんじゃ
b(a+b)を掛けて分母を払ってから展開すれば√3b-aで括り出せるのがまる見えになります。ほぼ瞬殺。間にあるならば積が負という命題が真だからといって、積が負だということを証明しただけで間にあるという事を証明したことにはなりません。同じ側にあるならば積が正(これは自明)の対偶を考えることにより、積が負ならば反対側にある(間にある)という事が初めて保証されるわけです、と思います。
(x-α)(x-β)
うーん、帰納法だな！
ぬくひと