服部研究室 - 多様体のもつ『美しい』微分幾何学的構造の解析と手法の探求

服部研究室
慶應義塾大学理工学部数理科学科
多様体のもつ『美しい』微分幾何学的構造の解析と手法の探求
慶應義塾大学理工学部 数理科学科の服部研究室では、幾何学の研究対象である多様体を、微分幾何学的に研究をしています。
「まず、幾何学という分野があるのですけど、それは図形だとか空間を研究する数学の中の一分野なのですが、幾何学の中に特に微分幾何学とトポロジーという二つ分野がありまして、トポロジーというのは割と言葉だけは多くの人が知っている分野で、よくある説明というのがマグカップの形とドーナツの形を区別しない、同じ形とみなす、穴が一個空いているだけなのでドーナツの形とマグカップの形は同じだという風に見るのがトポロジーの考えなのですけども、同じ形でもどっちがより綺麗な形かというのを考えるというのが微分幾何学というそういう分野で、その空間にこう、形をつけて何が綺麗な形を考える分野ですね。」
微分幾何学において「美しい」とは、無駄がなく効率的であることを意味します。例えば、石鹸膜の数理的モデルである極小曲面がその代表例です。極小曲面は、微分幾何学的な観点によって、無駄がなく効率的であると特徴づけられます。
極小曲面の研究には、解析学や物理学などに用いられる様々な方法を応用します。
そして曲面だけでなく、3次元や4次元以上の空間でも、美しい幾何学的な構造が数多く存在します。
「私が興味持っているところだと、特にアインシュタイン方程式というこれも物理学に由来のある、相対性理論に由来を持つ方程式なのですけども、要は空間ですね、世界、宇宙空間がどんな形をしているのかっていうのに関係している方程式で宇宙空間というのは多分綺麗な形をしているだろうというそういう考えがあってどういう綺麗な形かっていうと、そのアインシュタイン方程式を満たすような考えというのがあって、私は、物理学的な背景は置いておいて、そのアインシュタイン方程式というのは数学的にもすごく自然に現れてくる方程式でそれは数学的な興味からそれに興味を持ってアインシュタイン方程式の解の性質、解に対応する空間とか図形の持つ性質そういうものに興味を持って研究しています。」
服部研究室では、未知の宇宙空間を幾何学からのアプローチで、解き明かし
微分幾何学のもつ美しい構造を、解析的な手法や代数的な手法を用いて研究していきます。
「今後の展望としては幾何学以外のもっとなんかこっちが思いがけない対象に結びついていくとかそういうものがあるともっと面白いなという風には思っています。」