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- Опубліковано 8 лют 2025
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Une technique hallucinante pour calculer la somme des premiers nombres impairs consécutifs.
Pour ceux qui sont curieux, on démontre cette propriété par récurrence. (On montre que ça marche pour un cas simple, par exemple n = 0, puis on montre qu'au cas suivant n+1, c'est toujours vrai).
Donc pour traduire l'énoncé de la propriété.
La somme des n impairs vaut n^2.
Donc pour tout n,
Somme de k = 0 à n - 1 (il y a n termes de 0 à n-1) des 2k+1 = n^2
On fait l'initialisation c'est à dire qu'on dit que c'est vrai à un cas simple, n=1
On obtient alors 1 = 1^2
Donc la proposition est vrai pour le premier rang n = 1.
Maintenant on suppose que la propriété marche pour un rang n quelconque, et on veut montrer qu'elle marche pour le rang suivant (quand vous serez plus grand, vous comprendrez que l'on cherche une implication de P(n) à P(n+1)).
Donc somme des k=0 à n-1 de 2k+1 = n^2
=> 2n + 1 + Somme des k=0 à n-1 de 2k+1 = n^2 +2n + 1 (on ajoute 2n+1 des deux côtés)
=> Somme des k=0 à n de 2k+1 = (n+1)^2 (on remarque que 2n+1 est le n+1-ième k de la somme des impairs. De plus on remarque l'identité remarquable (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1)
Bingo, on montre que si notre proposition était vrai au rang n elle l'est toujours au rang suivant n+1. On dit alors que la proposition est héréditaire.
Comme la proposition est vraie pour le rang 1, elle est vraie pour le rang suivant, puis pour le rang suivant suivant, puis pour le rang suivant suivant suivant, etc.
Pour les plus curieux, je vous invite à calculer la somme 1+2+3+...+n, puis d'en déduire ce que vaut la somme des impairs c'est-à-dire 2x0+1 + 2x1+1 + 2x2+1 +...+ 2xn+1
Et dire que je vais bientôt pouvoir comprendre toute sa démonstration sans aucun problème 😭😭
Je suis tout de suite parti sur l'identité remarquable... parce que j'avais déjà pensé (en fait j'en ai rêvé une nuit, on a les rêves qu'on peut, hein...) au calcul d'un carré à partir du carré précédent via l'identité remarquable en question.
« Quand vous serez plus grand » alors qu’on peut voir ça en première x)
@@KKA_neox le raisonnement par récurrence se voit en début de terminale, mais oui si on s'intéresse un peu en maths on voit le principe plus tôt. En voyant que la plupart sortait instinctivement une "démonstration" géométrique, je me disais que ceux dans les commentaires n'avait probablement pas encore vu la récurrence.
Pourquoi t'as quel âge ?car ca c'est pas dur des que tu a 13 en Algérie
C'est des profs comme toi qu'on aurait du avoir dans les années 90's
Et même (et surtout) dans les ~ 3 ~ 4 décennies précédentes !..
Absolument
t'as raison je te jure .. 😂
Oui - Une anecdote de maths par cours ! Quitte à les répéter ou demander à un élève celle du cours précédent.
J'aime bien ta passion. Tes élèves ont de la chance de t'avoir.
Grave j aurait eu que des 20 sur certains sa donne envie de se passionnee au maths
Je confirme
S'il leur apprend des âneries, ça ne leur servira à rien d'avoir cette "chance".
@@lapapessedugrandnord Le gars qui peut pas s'empêcher de mettre un message négatif. Trop drôle.
@@guillaumebeauzac8128 tu peux en profiter pour te passionner au français. 😂
T'es incroyable !!!!
ما شاءالله تبارك الله عليك👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻
J'avais oublié ce résultat, mais ta vidéo m'a rappelé le "pourquoi ça marche" avec une démonstration géométrique :
• 1 : Peut être représenté par un carré de 1 sur 1, donc 1 x 1 = 1
• 1 + 3 : On rajoute à la figure précédente 3 carrés, (un en haut, un à droite, un en haut à droite) de façon à former un petit carré de 2 sur 2, et donc 2 x 2 = 4.
• 1 + 3 + 5 : On rajoute à la figure précédente 5 carrés (deux en haut, deux à droite et un en haut à droite), de façon à former un carré de 3 sur 3, et donc 3 x 3 = 9
Etc....
(Je sais pas si c'était clair.. ^^ )
Brillant d'utiliser la géométrie !
Ou alors on utilise la règle de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison égale à 2. C'est moins beau mais plus accessible
Oui et merci 🙏
9 n’est pas premier
et cette forme géométrique qu'on ajoute au carré précédent s'appelle un gnomon, de la forme (2n+1), en commençant avec n=0. Difficile à explique dans un commmentaire écrit évidemment :/
Impressionnant, vraiment, mais, simple! C'est très efficace en calcul rapide. Bravo!
graphiquement ça se démontre avec un carré de 1x1 au début. Pour avoir le carré suivant (de 2x2) il faut ajouter 3 cases. pour le suivant 5 cases puis 7 etc.
Merci monsieur
Ça marche aussi pour tous les autres nombres qui se suivent (paire et impaire) mais le nombre des ces "serie"doit être impaire 😅
Exemple : 1+2+3
3 Nombres donc impaire donc ok
On multiplie le nombre au milieu de la série qui est 2 par le nombre de la série qui est 3
2 x 3 = 6
Autres Exemple:
1+2+3+4+5=
Nombre au milieu 3
Série de 5 nombre
Donc 3 x 5 = 15
Encore 1 Exemple
6 +7+8+9+10+11+12+13+14
Nombre au milieu 10
Série de 9 Nombres
Donc 10 x 9 = 90
Et si le nombre de la série est paire il suffit juste de retirer un nombre de la série pour le rendre paire, faire le même procédé et rajouter au résultat le nombre retiré
Exemple :
1 + 2 + 3 + 4
Je fais comme si le 1 ou le 4 n’était pas là (je choisis ici le 1)
-> 2+3+4
=3 × 3
=9 + le nombre enlevé
=9 + 1
= 10
Je suis tombé par hasard sur ceci en jouant au Rami (jeux de carte)
Donc si c’est pas encore connu, je me permets d’appeler ce procédé le théorème d’ABOUBAKAR
😂😅
J'adore! Merci!
J'ai remarqué un autre truc. Son exemple marche que si on commence avec le 1 au départ. Mais si on veut trouver un truc du genre sans forcément commencer par 1, on peut avec une autre technique.
Par exemple, 3 + 5 + 7. On prend le terme fu milleu ( 5 ) et on le multiplie par 3 , donc 3 fois 5 sera égal à 3 + 5 + 7.
Également pour d'autres, par exemple : 7 + 9 + 11
Du coup pour les nombres pairs il suffit de prendre le nombre de termes n, et de le multiplier par n+1 (qui correspond au chiffre au milieu de l'addition). n+1 car l'addition commence par 2 et pas par 1.
Exemples : 2+4+6+8+10 = 5x6 = 30
2+4+6+8 = 4x5 = 20 (ici le chiffre du milieu est entre 4 et 6 : c'est 5).
C est le principe de la moyenne d une suite =(2+10)/2=6 donc 6×5=30
Hye
pour les curieux qui savent manipuler les grands symboles de somme :
- soit n un entier naturel strictement positif
- la somme des nombres impairs dont il est question dans ce shorts est la somme de k=1 jusqu’à n de tous les 2k-1 (vous pouvez vous en convaincre en essayant avec les premiers termes)
- en utilisant les propriétés de la somme, on en déduit que ceci est égal à 2 fois la somme de k=1 jusqu’à n de tous les k, à laquelle on soustrait la somme de k=1 jusqu’à n de tous les 1
- la première somme est connue, elle est égale à n(n+1)/2
- la deuxième somme est très simple, il s’agit du nombre de termes dans la somme, à savoir n
- finalement, la différence entre 2 fois n(n+1)/2 et n est égale à n(n+1) - n
- en factorisant par n, n(n+1) - n = n(n+1-1), et on trouve bien n au carré. CQFD
J adore cette énergie que vous transmettez
des solutions magnifiques . bravo prof
Je ne connais pas cette somme magique, les prof de maths n'en ont jamais parlé 😅😅. Astuce fort intelligente.
Merci beaucoup.
Trop bien vos astuces pour les maths. Merci
Pas mal !!! C’est démontrable, ou est-ce une conjecture ? Si c’est démontrable, il faudrait en dédier une vidéo 😅👍
En géométrie oui
Somme pour k variant de 1 à n de (2k-1) = somme pour k variant de 1 à n de (2k) - somme pour k variant de 1 à n de (1) = 2 x (somme pour k variant de 1 à n de (k)) - n = 2 x n(n+1)/2 - n = n(n+1)-n = n^2 + n - n = n^2.
En effet, somme pour k variant de 1 à n de (1) vaut 1+1+1+…+1, tu as n fois 1 dans cette somme donc elle vaut nx1=n 😉 Pour l’autre somme j’ai utilisé le fait que la somme pour k variant de 1 à n de (k) vaut simplement n(n+1)/2, j’ai aussi utilisé le fait que la somme pour k variant de 1 à n de (2k) = 2 x somme pour k variant de 1 à n de (k) par linéarité de la somme
On sait que pour une suite arithmétique U_n , la somme Sn = U0 + U1 + ... + Un = (n+1)(U0 + Un)/2. NB : n+1 étant le nombre de termes.
En particulier pour Un = 2n + 1. On a :
Sn = (n+1)(1 + 2n +1)/2 = (n+1)².
Ce qui donne le nombre de termes au carré
C'est démontrable, c'est même quelque chose que tu peux tracer jusqu'à un certain point pour t'en assurer sans même aller très loin.
C'est même une suite arithmétique.
Non avant je ne connaissais pas maintenant oui😂😅😊
J'avais oublié le résultat, mais je l'avais eu en exo en prepa
C'est vraiment mathématiquement magique et magnifique.En voilà un bon professeur qui fait des recherches.Felicitation !!!
C'est la relation entre les termes consécutif d'une suites géométrique
Pas la relation mais la somme, pas d'une suite géométrique mais arithmétique.
Excellent ! Je vous remercie infiniment pour cette belle leçon Mr le génie mathémagicien .
Tu es génial de partager non seulement ton savoir mais ton honnête. Chapeau bas.
Entre nous évidemment que je connaissais pas cette ruse de matheux😅😂
Et si on cherche le nombre du milieu (entre les deux du milieu si la suite est paire) on obtiens le nombre de thermes
C'est logique, comme la croissance est linéaire la médiane est égale à la moyenne.
Ah oui, et ça marche aussi avec les suite de nombres paires en faisant : nxn-n.
Par exemple : 2+4+6+8+10 = 6X6 - 6 = 30.
Ou encore : 2+4+6+8+10+12 = 7X7 -7 = 42.
(7 étant le terme intermédiaire entre 6 et 8).
Tu sais aussi que le carré d'un nombre N est tout simplement la Somme du carré de son précédent et du (N-1)ième nombre impaire👍
Alors, aussi bizarre que ça peut le paraître, je l'ai appris en additionnant les chiffres sur les plaques d'immatriculation des voitures dans la rue, quand j'étais au primaire. C'était amusant, et tu découvre plein de petites astuces de calcul mental. Comme quoi, les maths c'est que de la pratique!
Encore une fois, tes vidéos sont géniales!
En règle générale la somme des nombres impairs de 1 à n est
S=(n+1)²/4. Le Nbre de termes étant
K=(n+1)/2 d'où S=K².
Merci. Je me posais la question pour la suite des nombres premiers.
@@zahidataleb7577 Merci à vous, mais il s'agit plutòt de nombres impairs et non pas de nbres premiers.
@@naceurelouni2268 oh oui , vous avez raison! Et voilà une erreur de compréhension qui peut m'ôter plusieurs points à un examen ! Dommage.
Somme des n premiers nombres impairs
On calcule le double de la somme
Sn = 1 + 3 +……………+ (2n -3) + (2n -1)
Sn = (2n-1) + (2n-3) +……………+ 3 + 1
2 Sn = 2n + 2n +……………+ 2n + 2n
2 Sn = (2n) x n donc Sn =(2nx n)/2 = n2 (n au carré)
C'est vrai qu'il y a un problème de syntaxe dans ta phrase. Sinon c'est plutôt facile à trouver, en calculant la somme de k allant de 0 à partie entière de (n-1)/2 de k, on obtient le résultat.
C'EST TROP TARD
TROP VIEILLE POUR COMPRENDRE...
MON VIEUX CERVEAU NE REAGIT PLUS 😮😢❤❤❤
je suis content d'apprendre encore tous les jours ! Merci
En fait, la somme de la série arithmétique
( 1+3+5+7+...+n) peut être calculée en utilisant la formule de la somme d'une série arithmétique.
La formule générale pour la somme d'une série arithmétique est:
S=(n/2)*(a_1+a_n), où S est la somme totale, n est le nombre total de termes, a_1 est le premier terme et a_n est le dernier terme.
Dans cette série particulière, le premier terme a_1 est 1, le dernier terme a_n est n, et il y a (n/2) termes (car les termes sont espacés de 2). Donc, en utilisant la formule:
S = (n/2)*(1 + n)
Cela vous permet de calculer la somme totale de la série arithmétique.
Franchement chapeau et merci pour vos explications
Merci professeur, vous meritez tout le succès !👍
Hello et encore merci pour ta vidéo !! J'adore ton style😊
Je rentre de Bavière (Munich) et on a visité le musée des sciences avec mes filles.
Il y a une belle démonstration géométrique.
1 -> carré de côté 1 contenant 1 seul carré
1+3 -> carré de côté 2, composé de 4 carrés, surface=2^2=4
1+3+5, on a 9 carrés on forme un grand de côté 3, surface 3^2=9
1+3+5+7 on a 16 carrés, on forme un carré de côté 4, etc.... Pas évident à comprendre sans dessiner, mais c'est sympa😊
Cool, merci you tube de me proposer cette vidéo. Tous les jours j’ai 1 3 5 7 et 9 à additionner, ça va me faire gagner un temps de ouf.
C'est tout simplement magnifique !😅😅😅
Merci bcp, c'est magique vraiment 😊
Je connaissais pas franchement ! Merci et bravos
Je découvre cela. Les Maths m’ont toujours émerveillée. Il est vrai que mes profs de math étaient excellents.
LÀ, C’EST un PROF Unique qui parfait de façon si agréable et passionnante cette série de PROF.
GRATITUDE 💛💛💛💛
MAGIQUE 👏👏🏻👏
Quel prof !!! 👍
[(1+N)/2]² => 1+3+5+7 = [(1+7)/2]² = [8/2]² = 4² = 16. Il ne faut donc pas prendre le carré de l'entier impair du milieu. Mais celui de la moyenne du 1er et du dernier.
Difficile de ne pas être bon en math avec un tel prof
Merci pour vos vidéos à la fois ludiques et instructives.
Non je ne l'a connaissais pas, merci monsieur. 👍🏻👏🏻👏🏻
Je viens de remarqué aussi je pense ça marche avec tout les membres impaire consécutive a partir de 1:
Par exemples: 1+3+5= [(5+1)/2]^2= 3^2=9
1+3+5+7=[(7+1)/2]^2= 4^2=16
1+3+5+7+9=[(9+1)/2]^2=5^2=25
1+3+5+7+9+11=[(11+1)/2]^2=6^2=36
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=[(21+1)/2]^2=11^2=121
Donc 1+3+5....+99= [(99+1)/2]^2]=50^2=2500
Merci Heda !!! La petite video de maths qui fait plaiz dans le RER
T'es incroyable en fait 💪💪💪
Toujours le même plaisir de vous entendre. Très communicatif. On en redemande. 😊😊😊
Tres bon tips !
Je ne connaissais pas cette astuce, merci de la partager.
😮 très intéressant 😊
C'est génial! Merci
Merci
Génial, merci professeur
😂
Ça peut devenir compliqué quand on monte haut de compter le nombre de chiffre additionnés. Du coup pour faire encore plus simple, plutot que de compter les nombre tu prends la partie entière de la division par 2 du plus grand, et tu lui additionnes 1.
Par exemple si on veut la somme de tous les impairs jusqu'à 171, plutot que de les compter tu fais entier(171/2)+1 = 86, tu le mets au carré et tu trouves 7 396.
Pour reprendre le dernier exemple de la vidéo, la somme jusqu'à 9 : carré(entier(9/2)+1)
carré(entier(4,5)+1)
carré(4+1)
carré(5)
25
L'entier au milieu de la série, fois le nombre d'éléments présents dans la série c'est plus simple non ?
Comme ça ça fonctionne avec les suites de pairs et d'impairs, sans avoir à débuter par 1 ?
5+7+9 = 7x3 = 21
7+9+11 = 9x3 = 27
18+20+22 = 20x3 = 60
3+5+7+9+11 = 7x5 = 35
bravo!!! top prof!
merci prof tu es formidable
Magnifique 😮😊
Oui c'est vrai
Mais si on a par exemple :
2+3+5+6=?
Répondez au commentaire😅
Mais il faut répondre de la même façon de notre prof
A = 1 + 2 + 3 + ... + n
B = 0 + 1 + 2 + ... + (n - 1)
1 + 3 + 5 + ... + 2n-1 = A+B
On sait que A = n(n+1)/2 et B = n(n-1)/2
Donc A + B = n(n+1+n-1)/2 = 2n²/2 = n²
Donc la somme des n premiers nombres pairs vaut n²
Merci beaucoup pour l astuce c est beaucoup plus rapide de calculer comme ça
Sympa !
Je ne la connaissait pas mais c'est sympa de le nous montre ❤😊😊
Génial 😊👍 et toujours ton enthousiasme communicatif 👍😊🙏🙏
LOL 😁😅 j avoue je la connaissais pas par curiosité j ai continué pour voir . Fallait y penser bien vu chef 👌😄👏👏
Je vous félicite pour votre astuce. J'aimerais savoir s'il est obligatoire de commencer par 1 pour une de calcul simple ?
T'es trop fort 👏👏👏👏
Ah merci enfin une vidéo intéressante
Et en plus qui peu aider des gens
Gg mec continu
vous êtes un génie vos vidéos sont supers merci pour le partage 👏👏👍👍👍👍
Le meilleur professeur du monde ❤❤❤❤
Grâce à lui, j'ai eu 17 aux vecteurs alors que mes contrôles précédents c'était sous la moyenne !
Tu peux faire la même chose avec les premiers nombres paires mais avec une opération supplémentaire.
Somme de 2 4 6 8 10 12 14
Égal (8 au carré) - 8.
2 + 4 + 6 + ... + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)
On sait par le théorème des nombres triangulaires que 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
Donc 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n+1) = n² + n
Donc 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 7² + 7 = 56
À noter que n² + n = n² + 2n + 1 - n - 1 = (n+1)² - n - 1 = (n+1)² - (n+1)
Ok peut démonter cela avec la thechnique dès domino , ou par récurrence (technique apprise pour les olympiades)
Oooh je connaissais pas du tout !
Mais c’est vrai que c’est assez logique en soit.
1 + 3 + 5 par exemple, bah 3 c’est bien 3 et l’écart entre entre 1 et 3 et entre 3 et 5 c’est le même : 2.
Donc on peut faire 5-2 et donc 1+2
Et ça revient à faire 3 + 3 + 3
Même chose pour :
1 + 3 + 5 + 7 + 9
Au milieu on a 5
L’écart entre 3 et 5 et entre 5 et 7 c’est le même : c’est 2
7 - 2 = 5
3 + 2 = 5
Et l’écart entre 1 et 5 et entre 5 et 9 c’est le même aussi : c’est 4
9 - 4 = 5
1 + 4 = 5
On se retrouve avec :
5 + 5 + 5 + 5 + 5
Donc 5 au carré
J'avais jamais fais gaffe ! Ce qui fait qu'on peut calculer facilement une grande addition de nombre impairs tant qu'ils sont consécutifs. :O
Qu'Allah vous bénisse professeur?
Pour la première fois que je rencontre cette règle dans vos cours que j'ignorais totalement, c'est vraiment magnifique, je suis étonné.
Merci pour vos efforts.
Excellent !
Je la connaissais pas. T'es le meilleur 🎉
Très très bien ❤❤❤❤
Oh j adore j en apprend toujours avec ce prof. Il est incroyable.
Bonjour j'ai une question est ce qu'on peut utiliser cette propriété en controle ou est ce qu'il faudrait d'abord la démontrer par récurrence ?
Excellent, non je ne savais pas cela 😮
C'est magique merci 😮
👍 génial merci
C'est le genre de chose facile à montrer mais faut être un génie pour y penser
Incroyable talent
Trop cool jamais remarqué 😊 Merci
La moyenne étant le chiffre milieu , il suffit de le multiplier par le nombre de chiffres , par exemple,5 etant le chiffre moyen , il y a 5 chiffres donc 5 x 5 d'ou le carré.....
Merci 😊
Oua vous m’avez impressionné
En plus de ça vous m’aider beaucoup à vous apprendre pour les évaluations et vous m’avez aussi aider à être en avance sur mes camarades de classe
Merci beaucoup
Bonjour Merci beaucoup pour cette vidéo très intéressante
Je suis nul en maths mais j’aime beaucoup suivre tes vidéos ! 😂
Bravo d'être enthousiaste. C'est par contre très connu.
Je connaissais cette méthode mais d'une autre manière. Par exemple entre 100 et 121 il y a 21, donc ce que je faisais c'est juste ajouter les nombres premiers présents entre chaque carré pour trouver le prochain. Du coup le carré suivant c'est 144 , puis 169 etc
génial ! merci !!!!!
La démonstration est super cute. Par récurrence, on veut prouver que n² + (2n+1) = (n+1)². L'astuce consiste à séparer le 2n en 2 parties. n*n + n + n+ 1 = (n+1)n + (n+1) = (n+1)(n+1).
Par l'exemple c'est joli aussi : 1 + 3 + 5 = 3². Je rajoute 7 et je veux en faire sortir un 4. J'ai du 3 j'ai du 4 j'ai du 7 : on devine que ce 7 c'est un 4+3 caché en fait. donc 1 + 3 + 5 + 7 = 3² + (3 + 4) ce qui donne du 3*4 + 4 = 4*4
Si vous voulez une autre voie, vous pouvez utiliser la somme des entiers successif : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
S(1 à n)k = n*(n+1) /2
on bouge le 2 et on developpe à droite
2S(1 à n)k = n² + n
on rentre le 2 dans la somme, on passe le n de l'autre côté
[S(1 à n)2k] - n = n²
on voit que n c'est la somme de 1 n fois, donc on peut le faire rentre dans la somme
S(1 à n) (2k - 1) = n²
On retrouve bien notre somme impaire :)
les mathématiciens. j'aime votre monde et je le respecte. seulement je n'y entre pas
Pas besoin de récurrence :
2×0+1 + 2×1+1 + ... + 2n+1
= 2×(n(n+1))/2 + (n+1)
= (n+1)^2
Non je ne connaissais pas ! Merci 😄
Admirable simple, excellent,,,
J'ai exposé ce problème à ma prof de maths en 6e parce que j'y avais pensé sous la douche mais que je ne comprenais pas pourquoi ça marchait "aussi simplement". J'avais aussi trouvé que les différences entre les carrés des nombres (1,4,9,16...) augmentaient de 2 en 2 : 4-1=3, puis 9-4=5, 16-9=7...
J'avais aussi trouvé que la somme des chiffres de 1 à x (c'est le principe du factoriel je crois, je ne l'ai jamais vu en cours je sais pas) est égal à x fois 0.5x+0.5 (pour 10, 10x5.5 = 55), j'ai appris plus tard que la formule propre était x fois (x+1)/2
Ta prof de maths a du te dire que c'était faux.