puedes resolver este problema de olimpiadas sin demasiado cálculo
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- Опубліковано 4 жов 2024
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#AcademiaInternet, #LaPracticaHaceAlMaestro
La solución expuesta me parece impecable; no obstante, la afirmación inicial de que la alineación auxiliar BE es tangente al semicírculo me parece arbitraria si no se demuestra previamente. Llamando "O" al centro del semicírculo y tomando la alineación BO como eje de simetría se puede obtener el triángulo BEO igual al BCO cuyo cateto BE es tangente al semicírculo puesto que BC lo es.
En realidad no importa si es tangente o no. Bravo maestros
@@fernandoquiros cómo que no? Xd
Llamemos P al punto de intersección de la prolongación de BE con el lado inferior del cuadrado. Si no fue tangente EP y PD no podrían valer esa misma longitud asignada "y"
Está bien el trazo auxiliar, es arbitraria pero no es necesario demostrar nada, esa propiedad de rectas tangentes trazadas de un punto a una circunferencia es correcta.
@@fernandoquiros Mi comentario se refiere exclusivamente a la solución que propone "Academia Internet"; en la cadena de razonamientos que sigue es imprescindible verificar la tangencia en cuestión pues en caso contrario no se podrían definir y establecer la igualdad de los segmentos que denomina "y" para seguir los pasos que conducen a la solución pedida. Por otra parte es evidente que se puede encontrar la solución al problema planteado sin cuestionar o considerar la tangencia de la alineación BE. Por ejemplo: la relación 1/2 entre los radios "r" del semicírculo y "R" del cuadrante permite deducir que la distancia CF=4, es decir, el doble de EF; esta distancia sería el valor del cateto vertical de un triángulo rectángulo cuyo cateto horizontal valdría R-2 y la hipotenusa el radio R; por Pitágoras se obtiene R=5 que es el el lado del cuadrado.
@Oscar Eduardo Gómez Rojas La intersección de dos arcos que se cortan determina dos puntos que son simétricos respecto a la recta que une sus centros. En este caso los arcos pertenecen al cuadrante y al semicírculo del problema propuesto y se cortan en C y E, siendo por tanto simétricos respecto a la recta BO.
Las coordenadas de los vértices son:
A (0, 0)
B (0, x)
C (x, x)
D (x, 0)
Las circunferencias a las que pertenecen los dos arcos tienen ecuaciones (ya está ocupada la letra x para indicar el lado del cuadrado, así que voy a utilizar la letra q para referirme a la variable correspondiente al eje horizontal: q²+(y-x)²=x² y (q-x)²+(y-x/2)²=(x/2)². Se intersecan en dos puntos: el punto C y el punto E, este último tiene coordenadas (3/5 x, x/5), mientras que el punto F tiene coordenadas (x, x/5). La distancia entre estos dos puntos es 2/5 x, pero sabemos que es 2, por lo tanto el lado del cuadrado es x=5 y el área es 25.
También:
En el semicírculo, el radio hasta el punto E tiene pendiente 3/4. La recta BE tiene pendiente -4/3. 3/4·(-4/3)=-1. Esto significa que la recta BE es perpendicular al radio hasta el punto E y por lo tanto es tangente al semicírculo.
Muchas gracias por despejar algunas dudas a mis dos hijas profesor bendiciones.
Usando el teorema de la altura y reescribiendo 2 como la raíz de 4, sacas al instante que la parte pequeña del lado es 1 y que la otra es 4. Por lo tanto el lado mide 5 y el área 25
Muy interesante profesor....
Por semejanzas de triángulos que bonito resolverlo
profesor es un capo bendiciones y felicitaciones pro sus esfuerzos por enseñar a los demás , se merece mas seguidores de lo que tiene :D
gracias por sus buenas enseñanzas
no lo dudo, pero .... ¿porque sabemos que BE es tangente a la circunferencia pequeña?
Entonces si lo estas dudando :v
Porque dibujamos justo ala tangente xd
BUENA SOLUCION DEL PROFE, UTIL PARA LOS ESTUDIANTES!!!
Yo tracé un cuadrado simétrico a la izquierda, prolongando el cuadrante hasta formar una semicírcunferencia. Luego desde el vértice superior izquierdo (G) tracé lo que sería la diagonal hasta D. Es fácil demostrar que esa diagonal pasa por E, al ser perpendicular al segmento EC, tanto GE como ED, y que los triángulos GCE y CED son semejantes, siendo el primero el doble que el segundo. Por tanto la distancia desde E al segmento BC es 4.
Ya solo queda resolver por Pitágoras: Formamos un triangulo rectangulo uniendo los puntos B, E, y el punto de corte de la perpendicular al lado superior desde E
Ese tiangulo tiene de lados:L, 4, y L-2
L²=4²+ (L-2)²
0= 16+4-4L
L=20/4=5
S=25 u²
Gracias por tanto, Academia Play
Excelente explicacion
Lo único que no entendí es por qué le puso 3 4 y 5 a ( sé que es por Pitágoras) pero podría haber sido cualquier otro número verdad? Saludos
Necesito un argumento para definir E como punto de tangencial en la recta BE
Gracias
Sorprendente la verdad
CDE es triángulo rectángulo por propiedad y por semejanza DF =1 CF = 4
Felicitaciones y gracias. Sin embargo, me parece que se halla mas facilmente, y mentalmente, completando el cuadrante mayor hasta convertirlo en semicirculo, agregando otro cuadrado a la izquierda. desde el extremo del semicirculo mayor se traza una linea que intercepta el cruce de los arcos Dado que cualquier triangulo que sea tangente en un punto de una circunferencia y tenga extremos en los extremos del diametro, es recto, y lo mismo puede hacerse en el arco menor , se logra que el rectangulo mayor y menor construidos, comparten el lado inclinado, precisamente con sus angulos rectos. Y dado que sus angulos son congruentes, ambos tienen una tangente de 1/2Eso hace que el lado del cuadrado sea de 4 + 1= 5
Con geometría y triángulos congruentes es más sencilla la solución y no hay q resolver ni suponer una ecuación cuadrática; solo hay que notar que la linea que va desde el punto medio del lado de la derecha del cuadrado hacia la arista izquierda superior hace que se formen un ángulo de tangente 1/2, y por congruencia de triángulos rectángulos con ese mismo ángulo se llega a la misma solución.
Como sabes que los dos segmentos de E a D valen lo mismo?
Se puede trazar un triángulo CED, Por ángulo ángulo inscrito en la semicircunferencia sabemos que El triángulo CED es rectangulo, como EF es altura del triángulo CED, sabemos que el triángulo EFC y EFD son semejantes como el cuadrante y la semicircunferencia están a escala por un factor de 2 podemos afirmar que la escala de EFC Y EFD también es 2 entonces 2/FD =2, entonces FD=1, también CF/2=2 entonces CF=4 el lado del cuadrado es CF +FD =4+1=5 como el área del cuadrado es L² entonces el área del cuadrado es 5²=25u²
Really hope one day u have english subtitle.. Love ur post 😊👍
Odio ese odioso "listoo"😭😭😭
Antes de ver el video: Area=25. Pude ver dos triángulos semejantes y con la ayuda de Pitágoras obtuve dos ecuaciones con dos incógnitas muy simple de resolver. Gracias!
Lo hice distinto! Comparé los triangulos cuya hipotenusa es BE en un caso y OE en el segundo caso, siendo O el centro del lado CD, o sea el centro de la semicircunferencia. Como son semejantes obtengo la relación entre sus lados y la otra ecuación sale aplicando pitagoras al triangulo OEF.
Que aplicacion usa para sus explicaciones prof?
Si señor.
A punta de intuiciones y propiedades..
Jajajaja.
Muchas gracias profesor
una solución aún más rápida.
Sea O el punto medio entre C y D, es decir el centro del semi circulo. Por ángulos tangentes tenemos que el ángulo ECF es igual a la mitad del ángulo EBC, que es igual al ángulo OBC. Entonces los triángulo OBC y ECF son semejantes, entonces EF/FC=OC/BC=1/2 entonces FC=4.
Por último como DEF es semejante a ECF tenemos DF/EF=EF/CF=1/2 entonces DF=1, entonces CD = 5.
Literalmente solo necesitas saber multiplicar por 2 para resolverlo. Nada de formula cuadratica.
Yo tracé la otra mitad del semicírculo; apliqué una constante, teorema de cuerdas, pitágoras y sistema de ecuaciones.
25 u² ✔
Si trazas una recta tangente partiendo del punto B tienes que demostrar que pasa por E . O al cotrario si trazas una tangente en E debes demostrar que pasa por B . Decir "trazamos una tangente en E de tal forma que pase por B" es poco ariesgado ...
El triangulo 3,4,5 es tan famoso que muchas veces para hallarlo conviene pedirle ayuda a un paparazzi.
completar la otra cuarta circunferencia y aplicar cuerdas dos veces y listo
trazabas EC y relaciones metricas
25
Nice
25u^2
Buen video.
Hola profe y comunidad por favor ayuda a simplificar: a^3/a^6b^{-1}
1/(a^3*b)
@@danielechegaray288 gracias compa
(2r)²=(2r-x)²+(2r-2)²
4r²=4r²-4rx+x²+4r²-8r+4
0=4r²-4rx+x²-8r+4
r²=2²+(r-x)²
r²=4+r²-2rx+x²
0=4+x²-2rx
2rx=4+x²
r=(x²+4)/2x
0=4((x²+4)/2x)²-4x(x²+4)/2x+x²-8(x²+4)/2x+4
0=4(x⁴+8x²+16)/4x²-2(x²+4)+x²-8x²/2x-32/2x+4
0=x²+8+16/x²-2x²-8+x²-4x-16/x+4
0=16/x²-4x-16/x+4
0=16-4x³-16x+4x²
0=4-x³-4x+x²
0=x³-x²+4x-4
0=x²(x-1)+4(x-1)
0=(x-1)(x²+4)
x-1=0
x=1
x²=-4
x=√-4
Esta solución no es posible porque no forma parte de los números reales.
Puesto que x=1, r=(1²+4)/2•1
r=5/2
Nos piden el área del cuadrado. El lado del mismo es el doble que el radio r. Por lo tanto, el lado es 2•5/2=5. El área del cuadrado es por ello 5•5=25u².
?