O QUE É UM PAR ORDENADO? | Carlos Nehab
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- Опубліковано 21 жов 2024
- PAPMEM - Janeiro de 2024 - Problemas de contagem de A a Z
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• PAPMEM - Janeiro de 20...
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Muito bem ter o Einstein ensinando matemática
Outro fato, achei legal que o professor começou a aula, vilipendiando os conjuntos para auxiliar na explicação do par ordenado. Ele deixa claro que o conjunto, se você necessitar de uma ordem furou. Mas curiosamente a melhor definição de par ordenado atual o trata como um conjunto, derrubando a primeira afirmativa do mestre.
Então, um par ordenado é o conjunto das partes de A onde B é subconjunto de A?
De acordo com o vídeo, para Kuratowski, dados A e B conjuntos quaisquer, um par ordenado (a,b) em que a e b pertencem a A e B, respectivamente, é um subconjunto do conjunto das partes de AUB (A união B)
Esse subconjunto está definido no vídeo
Ainda, o produto cartesiano A×B é também um subconjunto do conjunto das partes de AUB...
@containativa2736 P({a, b}) = {∅} ∪ (a, b) ∪ (b, a)
@@beremizsamir esse teu comentário foi perfeito.
@@beremizsamir esta errado ao definir AUB pois uma união possibilita interpretar que exista A que não é B e B que não é A. o certo é definir que um contem todo o outro.
a definição desse tal de Kuratowski é que A esta contido em B. e vou alem, pq A também pode ser B
@@RickandMorty-dt1mdDe onde você está tirando essa informação? Em nenhum momento do vídeo ele fala que os conjuntos tem que ter elementos em comum, aliás, eles podem muito bem não terem elementos em comum, por exemplo, você pega A o conjunto de camisas do seu guarda roupa, e B o conjunto de calças, você pode representar os pares que você pode formar com pares ordenados, de forma que o conjunto AxB fosse o conjunto dos pares que você pode formar, e veja bem, AinterB=Ø
A generalização seguiria o mesmo conceito? Por exemplo, a tripla (a,b,c)={a,{a,b},{a,b,c}}?
Ou ainda,
(a_1,a_2,...,a_n)={{a_1},{a_1,a_2},...,{a_1,a_2,...,a_n}}?
Tambem teria o caso em que o número de elementos é enumerável
(a, b, c) = ((a, b), c) = {{(a, b)}, {(a, b), c}} = {{{{a}, {a, b}}}, {{{a}, {a, b}}, c}}
Melhor generalizar usando funções. E acabei de me dar conta que a tua idéia de generalização NÃO dá certo. Porque não diferencia entre n-uplas que tenham um termo igual ao último. Veja, ambos ternos/ternas/triplas/3-uplas ordenados(as)
(1,2,1) e (1,2,2)
seriam representados(as), segundo a tua idéia, por
{{1}, {1,2}, {1,2}}
@@samueldeandrade8535justíssimo
@@samueldeandrade8535 isso não quer dizer que não deu certo. você só demostrou uma soma +0 no ultimo. ou seja, pode-se considerar que dois conjuntos igual, um esteja contido no outro. para a ação de ordenar é preciso que não sejam iguais mas para estar em ordem basta o primeiro ser menor ou igual ao segundo.
definição: par ordenado é quando o primeiro é menor ou igual ao segundo na quantidade de elementos. o professor usou conjunto para unir a ideia de menor ou igual, ficando A esta contido em B ou A é igual B. pode se ir alem usando logica proposicional com: Todo A é B logo algum A é B ; algum B é A; algum não A pode ser B se B não é igual a A; Todo não B não é A; nenhum A é não B. e por ai vai
@@RickandMorty-dt1md meu caro, não parece que tu sabe o que tá dizendo. A proposta do sujeito ali foi definir
(a,b,c) := {{a},{a,b},{a,b,c}}
Isso NÃO fica bem definido. Uma razão do porquê a definição não funciona é que não diferencia entre ternas que gostaríamos que fossem diferente. O exemplo que eu dei foi
(1,1,2), (1,2,2)
Usando a proposta de definição, as duas ternas são representadas pelo mesmo conjunto de conjuntos. Vamos verificar explicitamente:
(1,1,2) = {{1},{1,2},{1,1,2}}
= {{1},{1,2},{1,2}}
= {{1},{1,2}}
(1,2,2) = {{1},{1,2},{1,2,2}}
= {{1},{1,2},{1,2}}
= {{1},{1,2}}
Se a definição associa uma mesma representação a dois objetos que gostaríamos que fossem diferentes, ela NÃO funciona.
Acho que eu vou responder só isso. Pq tu falou umas coisas incoerentes que se eu for responder só vai aumentar a confusão.
´Gostei muito dessa definição. Eu tive um problema sério no meu primeiro científico.
A professora apresentou o plano cartesiano e o chamou de |R^2, até aí tudo bem para mim. Mas aí ela apresentou o |R^3. quando acabou a aula eu fui até ela e pedi para falar em particular, pois não quis bagunçar a aula.
-- Professora a senhora não pode falar em |R^3 e a representação (x,y,z) está errada.
-- Como assim?
__ O produto cartesiano não é comutativo. Se tivermos |R^2 xR teremos elementos ((x,y),z) com x,y,z reais se tivermos 1R*R^2 teremos elementos (x,(y,z)) com x,yz, reais. A representação está errada pois são pares ordenados, o produto cartesiano e não tripla.
Aí ela me falou que existia um isomorfismo entre os conjuntos e se usava essa notação por ser mais prática.
Aí não dominava esse conceito de isomorfismo. Meu google da época era a Barsa. Não tinha nada na Barsa sobre o assunto. Fui ao Caldas Aulete e não tinha a definiçãp relativa a matemática.
Gostaria de saber como se faz para ensinar um aluno, após definir que:
AxB={(a,b) | a E A e b E b}
Tem-se que |R^2={(,x,y)| x,y E R}
Aí tem-se que |R^2x|R {(x,y,z} | (x, y, z E |R}Mas o conjunto cartesiano é um conjunto de pares ordenados,e (x,y,z) está longe de ser um par.
Eu vou improvisar uma resposta aqui:
depois de definir par ordenado, como quer que seja feito, tu pode definir rigorosamente função. Ao definir função, tu pode usar funções pra definir qualquer produto cartesiano. Ainda mais fácil se os conjuntos envolvidos são os mesmos. Por exemplo, só define
R³ := {f : f é uma função de {1,2,3} em R}
Pronto.
@@samueldeandrade8535 , eu me expressei mal. Eu quero saber como você define |R^3 como produto cartesiano e depois foge de um par para trilpa. Outro ponto, creio que seja até pacífico definir-se uma relação como um subconjunto do produto cartesiano. E define-se função como uma relação que tem certas propriedades, que não cabe aqui mencionar. Se eu defino função fulcrado no produto cartesiano, eu não posso definir o produto cartesiano com base na função.
Esse russo esperto tem de mudar o conceito de função e defini-la como uma entidade, algo que transforma elementos de um conjunto em outro. O produto cartesiano serviria para representar, mas não para definir função. Eu tive um professor russo no mestrado de automação (hoje, robótica), que não admitia que se falasse seja a função f(x)=x^2-3
Ele se referia dessa maneira seja:
F(.) : X--> Y, cuja a transformação é dada por f(x)=x^2-3.
Ele frisava, tem-se de compreender que a função é uma coisa mais ampla que f(x), que é um valor da função para um dado ponto x.
Ademais se F é uma função de {1,2,3} em |R f´só pode ter no máximo três imagens, se f for injetora. Não cobriria o |R3.
@@pedrojose392 CAPÍTULO 1: EPIFANIA INSATISFATÓRIA?
"eu me expressei mal"
Não. Tu NÃO se expressou mal. Tampouco eu me expressei mal.
"Eu quero saber como você define |R^3 como produto cartesiano e depois foge de um par para trilpa"
Eu entendi isso. O que eu respondi dá uma resposta pra isso. Uma outra resposta seria:
defina terno/tripla ordenado(a) como
(x,y,z) := {{x},{x,y},{...}}
NÃO TEM COMO. Pelo menos, não usando partes do conjunto {x,y,z}. Eu posso te provar isso, se tu quiser. O que as pessoas fazem é definir recursivamente, escolhendo um lado:
tendo definido A×B, definimos
A×B×C := (A×B)×C
Por essa definição, como
(x,y) := {{x},{x,y}}
então
(x,y,z)
:= ((x,y),z)
:= {{(x,y)},{(x,y),z}}
:= {{{{x},{x,y}}},{{{x},{x,y}},z}}
ou, colocando uns espaços pra ficar mais fácil de ler,
:= { { {{x},{x,y}} }, { {{x},{x,y}}, z } }
Espero que eu não tenha errado nada. Poderíamos analogamente ter definido pela direita
A×B×C := A×(B×C)
Nesse caso, iríamos definir
(x,y,z) := (x,(y,z))
e teríamos
(x,y,z)
:= {{x},{x,(y,z)}}
:= {{x},{x,{{y},{y,z}}}}
Até onde eu sei, só dá de provar que as definições são equivalentes depois que definir funções, bijeção.
Ou seja, na verdade, o terno ordenado
SÃO AS DUAS OPÇÕES
Da mesma forma que
-1 é 1-2 e também é 2-3 e ... etc
Não sei se tu sabe, mas os números inteiros são classes de equivalência da relação definida sobre os naturais |N dada por
(n,s) ≈ (r,m) se, e somente se, n+m=r+s
Então, da mesma forma que -1 é duas coisas ao mesmo tempo (na verdade, infinitas coisas), o terno ordenado (x,y,z) é ((x,y),z) e (x,(y,z)), ao mesmo tempo.
Ou seja ... até nos fundamentos da Matemática somos forçados a lidar com "multiplicidade", "multivaluação". E eu fico feliz demais que tu me fez perceber isso com a tua pergunta.
Enfim, tu falou coisa demais, vou responder o restante em outro comentário.
Só vou terminar citando a tua fala
"... e (x,y,z) está longe de ser um par"
e com a conclusão
(x,y,z) não está tão longe de ser um par. (x,y,z) está somente um par de distância de ser um par. Pq (x,y,z) é dois pares.
@@pedrojose392 CAPÍTULO 2: O ACERTO DE CONTAS ... COM INTRIGA EXTRA!
"Se eu defino função fulcrado no produto cartesiano, eu não posso definir o produto cartesiano com base na função"
Pode. Pode sim. Não é (e eu não fui) circular. Pq eu não defini o produto cartesiano. Eu defini R³. Só isso.
Eu estou achando que tu tá esperando uma definição NÃO recursiva de produtos cartesianos partindo de princípios básicos. Eu ouso dizer que isso é impossível. Até mesmo em Teoria das Categorias, em que definimos produto cartesiano entre dois conjuntos X e Y como uma ... terna hahaha (X×Y,p,q), com
p,q: X×Y → X,Y funções
satisfazendo certas propriedades, mesmo nesse caso tem que provar
(X×Y)×Z ≈ X×(Y×Z)
Então, se mesmo com mais ferramentas a associatividade do produto cartesiano SÓ vale através de um isomorfismo, imagina sem essas ferramentas!
No nosso caso, as etapas são como tu falou, define pares ordenados (x,y), define produto cartesiano
X×Y := {(x,y): x em X, y em Y},
define relações, define funções (ou só define funções direto), então definimos
uma função F de X em Y, denotada F: X → Y, é um subconjunto do produto cartesiano X×Y tal que
para todo x em X, existe y em Y tal que (x,y) pertence a F
para todos x em X e y,y' em Y, se (x,y),(x,y') pertencem a F, então y=y'
que é uma maneira longa, porém clássica, de dizer
para todo x em X, existe um único y em Y tal que (x,y) pertence a F
e, finalmente, definimos produto cartesiano pra 3 conjuntos ou mais, por
para n≥3,
X_1×...×X_n
:= {f: f é função de {1,...,n} na união X_1U...UX_n tal que f(k) pertence a X_k, para todo k}
Então, a gente pode ver o que acontece com o produto cartesiano DE DOIS OBJETOS que definimos no começo tentando usar essa definição considerando o caso n=2, apesar de não ter sido definido pra n=2. Em outras palavras, sendo rigoroso com a notação, essa última definição deveria ter sido escrita como
X_1*...*X_n := ...
pra não usar o mesmo símbolo do produto cartesiano lá do começo. Daí, a pergunta é
qual a relação entre X×Y e X*Y?
Resposta: são isomorfos/equivalentes/existe uma bijeção entre eles.
A bijeção é, claro, dada pelas funções
X×Y → X*Y
(x,y) → {(1,x),(2,y)}
X*Y → X×Y
f → (f(1),f(2))
Compreende? Esse raciocínio NÃO é circular. Quem acha que é tem que achar um motivo pra validar a acusação.
@@pedrojose392 CAPÍTULO 3: O RUSSO ESPERTO E O RUSSO PEDANTE
"Esse russo esperto tem de mudar o conceito de função e defini-la como uma entidade, algo que transforma elementos de um conjunto em outro"
Fica muito difícil pra ele fazer isso agora. Pq ele morreu em 1980. Engraçado que o que tu fala soa contraditório pra mim, pq "definir função como uma entidade" soa como o que a Teoroa de Categprias faz, onde as funções são "termos primitivos" como os conjuntos, mas daí tu fala "algo que transforma elementos de um conjunto em outro", que é o contrário da perspectiva da Teoria de Categorias e que parece que não faz diferença na questão que está sendo discutida. Até mesmo pq tal idéia foi a primeira formulação de função, é a que é ensinada na escolas (certo? Pessoal NÃO tá doido ensinando função como relação, né?), e só foi substituída anos depois, pq perceberam que não dava de formalizar.
"Eu tive um professor russo ... que não admitia que se falasse seja a função f(x)=x^2-3"
Olha, sinceramente, pedantismo. A rigor, sim, ele tá certo. Mas nem sempre vale a pena estar certo rigorosamente. Ainda mais em Pedagogia, onde mil crimes contra o rigor são cometidos. Eu poderia, até devia, escrever um livro sobre isso. Teu professor falava isso, mas tenho certeza que se eu assistisse as aulas dele, eu poderia tornar a vida dele um inferno apontando equívocos contra o rigor todo santo dia.
"Ele se referia dessa maneira seja: ..."
Essa maneira é da Teoria de Categorias. Eu ouso dizer que veio antes, bem antes, mas é a que a Teoria das Categorias não só usa, como se fundamenta nela. Uma Categoria é constituída de uma classe de objetos O e uma classe de morfismos M tais que
para cada f em M existem dom(f),cod(f) em O, o que pode ser denotado por
f: dom(f) → cod(f),
e uma lei de composição de morfismos satisfazendo certas propriedades. Isso soa familiar? É justamente a interpretação do teu professor.
"Ele frisava, tem-se de compreender que a função é uma coisa mais ampla que f(x)..."
De novo, pedantismo. "Tem-se"? Não. Dá pra desenvolver bastante matemática beeem tranquilo tratando função como "regra que transforma elementos de um conjunto em elementos de outro conjunto". Quem acha que não, de novo, tem que invocar um argumento. O que acontece, afinal de contas, se NÃO seguir a fala do teu professor? Até onde eu sei, NADA de relevante.
"Ademais ..."
Haha. Ademais? Ok.
"Ademais se F é uma função de {1,2,3} em |R f‘ só pode ter no máximo três imagens, se f for injetora. Não cobriria o |R3"
??????? Que? Hahahahaha. Se F é uma função
F: {1,2,3} → |R
n → f(n)
sim, f tem, no máximo, 3 imagens. Sim, não cobriria o |R3. Mas o que eu escrevi foi
R³ := {f: f é uma função de {1,2,3} em R}
Isso não tá dizendo que R³ é coberto por uma f. Isso está dizendo que R³ é o conjunto das funções. Ou seja, eu vejo cada terna (x,y,z) como a função
f: {1,2,3} → R, f(1)=x, f(2)=y, f(3)=z
É isso. Essa associação cobre o R³ inteiro. Ou seja, cada terna, define uma única função {1,2,3} →R associada. E cada função {1,2,3} → R define uma única terna.
2:38 "Par" de parênteses?
É isso mesmo, produção???
2:47 Mas você não definiu coisa nenhuma ... ?
Mano, esse cara ... caramba. Não tem nenhum professor bom de Matemática no Brasil???
A esta contido em B, logo A e B estão em ordem [crescente]. isso é mais sobre logica.
@@RickandMorty-dt1md maaano ... tu viaja, né?
Mais um professor debatendo uma coisa pedagógica irrelevante. Caramba, par ordenado? Tanta coisa pra discutir, tanta coisa que precisa ser arrumada na Pedagogia, o cara tá vendo problema em par ordenado.
ATÉ NO TÍTULO DO VÍDEO TEM ERRO DE PORTUGUÊS; ISSO PORQUE SÃO PROFESSORES.
Não são os professores que postam os vídeos ué
Hum, qual o erro de português no título? Tinha um erro e editaram?