AFINAL, POR QUE a Raiz Quadrada de 2 é IRRACIONAL?
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- Опубліковано 4 жов 2024
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A matemática é a arte de provas coisas. Neste vídeo, vamos falar como funcionam as provas matemáticas em geral, incluindo as provas por absurdo / contradição, e mostrar de uma vez por todos por que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Essa é primeira prova que todo matemático aprende a fazer.
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Roteiro, apresentação e edição: Daniel Nunes
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Essa maneira de provar me lembrou de eu fazendo a minha prova de matemática, pq se o resultado na questão der errado, mas os cálculos juntamente com a lógica estiverem certos ( os alelos), então é a questão que está errada( algo improvável, 99% das vezes é erro meu 😂)
Diferente da noção popular, a ciência busca se afastar da falsidade, e não se aproximar da verdade.
E isso não é a mesma coisa?
@@mkillzxpara a ciência a verdade é algo quase inatingível, porque o único jeito de provar q algo é verdadeiro é verificando todos os casos e se certificando de que nenhum deles contradiz essa verdade. O problema disso tudo é q a ciência costuma trabalhar com coisas em que verificar todos os casos é humanamente impossível
@@mkillzx Metodologicamente não é, porque você tenta desprovar as coisas não provar, ou seja, a verdade é definida pelo que ela não é:
Ao invés de buscar a veracidade da hipótese H, busca saber se ela tem falhas, ao contrário se veria o que ela tem de correto, e para o segundo seria necessário uma verificação em todos os casos, o que geralmente é impossível, ou construir alguma forma de generalização, mas essa generalização também pode ser imprecisa.
@@oswaldoalcino9205 sim, a verdade absoluta é inatingível pra ciência (melhor dizendo, é impossível verificar se nossas teorias são a verdade absoluta, "A própria" interpretação da realidade), é uma coisa comum ao método científico. A ciência trabalha com aproximações da verdade, ou como falado no vídeo, com plausibilidade/razoabilidade baseada em empirismo, teorias e extrapolações. Nesse sentido, se aproximar da verdade e se afastar da falsidade são praticamente equivalentes.
@@iantino entendo, mas insisto, considerando que a realidade não muda de tempos em tempos, se "eliminadas as falsidades, o que sobra, ainda que improvável, é a verdade". Nunca conseguiremos fazer isso (eliminar todas opções até sobrar uma única), porém, é razoável dizer que, no campo das definições, são coisas equivalentes. Dizer o que algo não é, é a mesma coisa que se aproximar do que ele é. Claro, pressupondo que o objeto seja imutável e absoluto.
Muito bom! Sou engenheiro civil e fiz a graduação em uma universidade pública federal, no final dos anos 1990. Lá, os alunos de qualquer curso que compartilhavam uma mesma disciplina tinham aula na mesma turma, não importando o curso. Por exemplo, Cálculo 1 é comum para muitos cursos: todas as engenharias, física, matemática, farmácia, computação, etc. Então na minha turma de Cálculo 1 eu tinha colegas de muitos outros cursos, além da Engenharia Civil. Eram turmas grandes, de 60 alunos. Isso fazia com que o professor tivesse que ensinar o conteúdo de forma bastante generalista a fim de contemplar as necessidades de todos os alunos. E como havia alunos do curso de Matemática, era inevitável que o professor ensinasse demonstrações e inclusive as cobrasse em provas. Eu, como aluno de Engenharia, ODIAVA aquilo com todas as forças, mas, com o decorrer da graduação, fui aprendendo a gostar. E as questões de prova eram do tipo: prove que a série harmônica é divergente. Ou na disciplina de equações diferenciais: deduza a equação diferencial para o movimento de um pêndulo simples.
a verdadeira raiz de 2 são os amigos que fizemos ao longo do caminho
A questão é que, como foi dito no vídeo, a matemática é um conhecimento abstrato e não é fácil ensinar algo abstrato para crianças por isso a gente é exposto ao uso prático de algo abstrato na infância.
O maior problema é que a maioria das pessoas não passa do conhecimento infantil, levam para a vida adulta aquela gambiarra da infância e se alguém não avisar o que é a matemática de verdade elas podem chegar no absurdo de achar que existe algo místico com a matemática.
A matemática é uma ferramenta, uma linguagem, um auxiliar.
Mestre. Algo que sempre tive dificuldade pra entender é o expoente fracionário. Tentei visualizar de forma geométrica, mas não faz sentido no mundo real. Pode trazer esse tema? Obrigado!
Mestre, faz um vídeo sobre polinômios simétricos e como eles são úteis.
Você explica tão bem. Queria que todo professor fosse igual você, que falasse cada ponto e se aprofundasse nos assuntos devidamente. Melhor canal de matemática do UA-cam
Muito obrigado! ✌️😎
Bom relembrar, fiz ciência da computação e tinha muito cálculo. Uma interessante era a tautologia ou lógica proposicional, usa bem esse conceito do absurdo. Me dei muito bem nessa matéria porque vim da área de eletrônica digital e precisa realmente de lógica para entender eletrônica digital.
Bom vídeo. Você poderia fazer um vídeo sobre lógica matemática mostrando as ferramentas mais comuns no arsenal de um matemático, prova direta, indireta, por contraposição por absurdo e etc.
Ótima sugestão!!!
Mt boa ideia
A primeira vez que obtive contato e aprendizado com raízes, a primeira coisa que veio em minha mente foi justamente isso; qual é a raiz quadrada de 2? Qual é a raiz quadrada de 1? E por ai fui fazendo perguntas.. kkk tinha raízes que demorava muito tempo para descobrir e olhe lá, as vezes eu precisava de uma ajudinha..
C = 5(A+B)/7
C = 5.raizde(AB/12)
São duas equações de Kanglopstuger para calcular os lados de um triângulo retângulo pitagórico perfeito, isto é, múltiplos de 3, 4 e 5.
Pode-se deduzir equações para calcular isso usando as 4 operações e ainda mais.
Eu tive a intuição que números irracionais não exitiam porque não dava pra representar direito, aí eu pensei, a gente não vê o número 1 andando por aí, a gente não vê um meio café, aí eu percebi, só é esquisito usar uma expansão infinita de dígitos porque a gente nunca vai conseguir representar, seja em qualquer base, a não ser uma base π, ai eu percebi que eu tô tendo uns pensamentos meio torto
Gostei da demonstração utilizando a ideia de número primo. Eu costumo fazer a mesma demonstração de outra maneira, mas o final é exatamente igual ao final d que foi demonstrado: uma contradição!
Cara, eu tenho 34 anos. Vivi uma vida odiando matemática com todas as minhas forças. Cheguei em cálculo 1 nos tempos de faculdade sem nunca nem ter entendido de fato uma fração. E agora tenho assistido aos seus vídeos por puro interesse e fascínio. Me amarro nos shorts tamém. Parabéns pela didática, domínio e paixão pelo assunto!
Mestre, traz um vídeo sobre indução finita, ou sobre as formas de demonstração matemática. Seu canal é brabo!
Mestre não, doutor. Kkk
lógica proposicional é umas das primeiras na graduação em matemática é fundamental nas demonstrações
Cheguei cedo kkk acabei de ver outro vídeo e me deparo com este.
Excelente conteúdo desde já! Aprecio muito o seu trabalho, de verdade. Seu canal é único
Amei vídeo assim. Traga mais!
Abraços.
A demonstração que mas me atrai é essa
Raiz(2)=p/q e p,q E Z, sem a restrição de mdc.
p^2=2q^2, mas todo quadrado perfeito tem o expoente da fatoração par. logo ou o expoente de q^2 é impar ou o expoente de p^2 é ímpar. Absurdo. Fico triste de não ter sido eu que a fiz.
Só um adendo:Sei que ñ se trata de uma demonstração rigorosa,mas tem q partir da hipótese de q se ele ñ é racional e ñ pertence a outro conjunto,então ele é irracional.
Tese:raíz de 2 é irracional.Vídeo top,explica com uma facilidade❤
Minha mente explodiu. Fantástico.
Só que o cálculo foi utilizado largamente antes de ser demonstrado. Depois Godel., demonstrar virou assunto só para matemáticos. Leiam Contra o Método. Sem falar que demonstração por absurdo não é aceita por intuicionistas
Não pare de fazer videos❤❤
Professor você poderia fazer um vídeo explicando ou dizer aqui msm no meu comentário como se cria uma formula matemática queria saber como desenvolver uma ou até criar
Eu estava estudando matemática pra um CP. Tive que parar! Tava tendo crise de ansiedade!!
Acho que essas demonstrações são exemplos de sintéticos a priori kantianos. Abs.
O que vou escrever aqui seria dito em um e-mail pessoal, mas achei o tema do vídeo extremamente pertinente então aproveito pra fortalecer o marketing orgânico do curso rsrs.
Sou profissional na área de computação há 3 anos, formado em ciências da computação. Na graduação fiz várias matérias de matemática, e fiz minha carreira na área de criptografia (que é na verdade uma área da matemática, e não da computação como costumamos pensar no início). Praticamente não frequentei a escola no ensino fundamental por problemas de bullying envolvendo agressões físicas. Essa falta da escola resultou em um aluno de cálculo que acertava a questão inteira na prova, mas a perdia por uma simples multiplicação de frações. Sempre me encantei com matemática, mas sempre sofri com a falta da base. Tentei suprir esse déficit várias vezes, mas até então nada foi uma solução matadora. Eis que me torno aluno do dominando o cálculo. Desde o início do curso já fiquei espantado com a didática, principalmente nas demonstrações. Na graduação você vai ter que sofrer um pouquinho se quiser entender uma prova/demonstração ao invés de só aceitar o que está no livro. Conforme estou avançando no curso minha cabeça está abrindo para as demonstrações, me sinto cada vez mais capaz de provar e entender outras provas. Vale ressaltar que estamos falando de um aluno que passou bons anos na graduação e mais alguns no mercado de trabalho, sempre em contato com alguma matemática, e normalmente algo mais avançado. Mesmo com quase 1 década nisso tudo, esse curso parece estar colocando alguns tijolinhos em minha fundação, um atrás do outro. E olha que ainda estou no pré-cálculo!
Senhores, para quem está na dúvida de comprar ou não o curso, se faz ou não o investimento, eu recomendo sem pensar duas vezes. É leve, extremamente didático, e vai tirar déficits de conhecimento que vocês carregam há anos! Esse foi provavelmente meu melhor investimento no ano.
Daniel, parabéns por seu trabalho, e obrigado. Gratidão pela existência de pessoas como você, entregando um trabalho lindo. Desejo todo o sucesso!
Que depoimento bacana! É muito legal saber que estou ajudando na sua evolução. Bons estudos!! ✌️😎
isso me lembra do começo do semestre de álgebra.. prove que raíz de 2 é irracional... eu era bom em provas e desmonstrações.. eu gostava dessa parada, mas no fundo é prática
Teria como provar a conjectura de goldback por esse método mestre?
Engraçado vc dizer que está é a promeira prova que nos aprendemos! Na minha esperiencia, a primeira prova efetiva que tenho ideia, foram as que são conseguencia semelhança de triangulos, lenbro do professor falar sobre a prova do teorema de tales tambem, mas a prova do teorema de pitagoras, foi de fato a primeira prova que me marcou. Mas acho que essa foi a primeira prova por absurdo que eu vi, de fato. Mais uma vez parabens pelo trabalho
se eu puder sugerir um video. Faça um sobre a prova que Platão chega para a medida dobrada da lateral de um quadrado de lado 2. Ele chega ao número irracional sem ter as definições que temos hoje. Essa prova da medida do quadrado com o dobro da área está no diálogo Menon de Platão.
Um mestre de explicação técnico de matemática os conceitos técnicos,
Além os impossível provar os modo direto os números irracionais não pode obter qualquer forma números transcendental como pi
Faça um vídeo sobre quais inconsistências o Gobel descobriu na constituição americana, ao ter que estudar para se tornar um cidadão americano e fazer parte do Projeto Manhattan.
Uma coisa que eu conjecturo: raiz enésima de um número inteiro positivo só pode ser ou número inteiro ou número irracional. Jamais um número no formato de fração irredutível com numerador maior ou igual a um e denominador maior que 1. Se alguém tem prova que esta minha hipótese está errada, mostre- me a prova, ou prove que estou certo.
Vai dormir
Oi, você está certo. A demonstração exige conhecimento de Teoria dos Números. nVa=raiz n-ésima de a. suponhamos
nVk=a/b e a e b não tem fatores em comum. Elevando a n
k=a^n/b^n =>
k.b^n=a^n se b=1 está provado que nVk é inteira, se b>1 tem pelo menos um fator p primo.
Se p é um fator de b então também é um fator de (a^n) e se p é um fator (a^n) também é um fator de "a"
Isso é absurdo pois a e b não têm fatores em comum logo nVk ou é inteira ou irracional. Abraço.
@@fucandonamatematica6207 Grato!
@@fucandonamatematica6207 Grato!
Sou professor de matemática e esse vídeo fez eu me inscrever no seu canal.
parei de assistir em p' (Plinha). poderia ter feito o video completo ou ter feito alguma referencial que possibilite a continuidade dos estudos
12:15 é mais fácil provar que não existe um quadrado perfeito que é o dobro de outro
Ótimo vídeo. Excelente didática!
Matemática é muito bela ❤
Show de bola
SÉRGIO MORO PRECISAVA VER ESTE VÍDEO PARA APRENDER UM POUCO A RESPEITO DE PROVAS.
Grita mais alto, quem sabe papai Lule te dê um pedalinho pro lago também
Que maravilha de canal!
Uma dúvida, o mesmo raciocínio serve para a raiz de qualquer primo? Toda raiz quadrada de um número primo é irracional? Alias só vale para raizes quadradas ou para qualquer raiz?
calma aí, dei pausa.
como não da para ir num caminho direto?
e um n° tem que ser multiplicado por ele mesmo para dar o resultado da raiz quadrada, obviamente nenhum n° maior que o n° analizada poderá ser a sua raiz. ou ha algum número maior que o número analizado que seja a raiz deste em questão?
Oi, veja: 0,5>0,25 e 0,5 x 0,5=0,25, então a raiz quadrada de 0,25 é maior que 0,25 pois é 0,5. Isso engana a gente! Abraço.
Pra que a prova indireta é a mais simples.
@@fucandonamatematica6207 🤔 como assim? O.O eu vi, eu refiz na calculadora, mas não consigo compreender!!! que maluquice, eu estou muito longe de entender matemática... 🥲 Entendi seu ponto. obrigado por bagunçar muito mais a minha cabeça. huahuahuahuahua 🥰
@@fucandonamatematica6207legal
entrei achando que era sobre matemática, saí sabendo sobre direito e matemática
Excelente vídeo, parabéns! Posso fazer uma pergunta que me surgiu quando estava cursando cálculo na faculdade de matemática e que ainda não consegui responder? Se o domínio da função X^X (X elevado a X) é o conjunto dos Reais maiores do que zero, por que a conta (-2)^(-2) está bem definida?
(-2)^(1/2) não existe nos |R
Ficaria bizarro, a função ser contínua de um lado e do outro ser descontínua e tendo de se fazer restrição só vale para racionais que em sua forma reduzida tenha o denominador ímpar e não vale para irracionais. Como você faria um gráfico. Você consegue tirar as restrições da reta dos reais?
A funçao não está definida para x=-2, mas operação de exponenciação sim.
Sendo |R C |C, por que raiz(4)=2 nós Reais e nos complexos -2 ou 2?
Não há funçao que defina raiz(x) nos |C e ela está bem definida?
Raizes estão proporcionalmente nos números. Embora uma sequência de raíz não pertença a um só número, mas a infinitos vários.
Por isso afirmo que a Ciência da Computação é bem mais próxima à Matemática que a Física.
Melhor canal do youtube.
Parabéns pela lógica irrefutável
Bela arte ❤
Ótimo vídeo
Só lembro que tanto matemática quanto a física são edificadas em premissas supostas. A matemática constrói idéias; a física tenta explicar o mundo. As premissas supostas podem estar enganadas em ambos a ciências. A diferença é que na matemática esse engano é teórico, mas na física é arrasador.
Guisoli fez em umas 7 linhas
Sugestão: falar de Lógica Paraconsistente.
Essa é demonstração básica no Elon.
Uma prova que acho mais simples e elegante eu vi no livro de análise 1 do Elon.
(a/b)² = 2
⇒
a² / b² = 2
⇒
a² = 2b²
Aqui temos um absurdo. Do lado esquerdo da última igualdade o fator 2 aparece um número par de vezes. Do lado direito o fator 2 aparece um número ímpar de vezes. Simples assim. Assim, a igualdade inicial não é possível e portanto √2 não pode ser racional.
Pra quem não entendeu a conclusão final:
O número natural "a" tem uma decomposição em fatores primos. Cada fator primo tem um expoente. O expoente seria a quantidade de vezes que cada fator primo aparece. Então suponha que n seja o expoente do 2. Assim a = k2ⁿ em que k é formado pelos outros fatores primos que não são 2. Assim a² = (k2ⁿ)² = k²(2ⁿ)² e portanto o fator 2 tem expoente 2n que é par.
Ou seja, todo número natural elevado ao quadrado tem expoente par em todos seus fatores primos. Isso é óbvio já que todos os fatores vão aparece duas vezes.
show!!!!❤
Esse vídeo tem 14min, eu acho que o professor poderia reduzir o tempo desse vídeo pela metade!
Eu ainda não entendi o que é algo ser consistente. Vou revisitar o vídeo de incompletude de Godel.
Ué, matemática não é ciência? Não sabia kajshsuhsusha
Por que sempre que vão provar que um número é irracional ou racional, usam como fração hipotética a fração "p/q"? Por que não "b/c"?Ou "d/e"?
Acredito ser só costume mesmo, mas talves exista algum motivo histórico para isso, de qualquer forma, essas duas letras poderiam srr substuídas por outras e não mudaria nada.
@@briansantos9803 isso é discriminação com as outras letras kkkk
As notações e os símbolos são ultilizados de modo arbitrario, e se disseminam através do cadeia educacional: alguem usa, passa aos seus alunos, que passam para frente e assim por diante.
Ok... raiz de 4 é 2, mas, se substituirmos raiz de 2 por raiz de 4 nesse exemplo, não chegaríamos à mesma conclusão?
Boa pergunta, mas isso é simples, volte o vídeo na parte que ele conclui que p²=2q², ele depende do fato de 2 ser primo, logo não é válido para raiz de 4
Não tenho certeza, mas creio que por isso, essa demonstração prova que toda raiz de um número primo é irracional
@@klause.schweizer8861 12:05, né? saquei... não tinha me atentado pra esse detalhe (pra ser sincero, nem entendi a palavra "primo" no vídeo). E sua conclusão parece q faz sentido, de q isso demonstra que a raiz de qquer número primo é irracional. Show!
Usar √4 no lugar de √2 muda o raciocínio, veja:
Assuma dois números p e q inteiros, primos entre si e q≠0. Se √4 for racional ele deve ser escrito na forma:
√4 = p/q
Isso significa que:
√4² = (p/q)²→ 4 = p²/q² → 4q² = p²
Com isso descobrimos que p² é par, e portanto, p também é par. (p = 2k , k inteiro), logo:
4q² = (2k)² → 4q² = 4k² → q² = k² → q = k
Assim, se p = 2k e q = k, então p = 2q
Voltando pra equação inicial:
√4 = p/q →√4 = 2q/q
Como q≠0, então:
√4 = 2
O que é verdadeiro e, como esperado de um sistema consistente, não há contradições nesse raciocínio. Mas vou provar de maneira geral que a raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito é irracional, no próximo comentário.
Edit: de maneira geral = dentro dos inteiros kkk
A próxima demonstração também se trata de uma redução ao absurdo. Assuma que n (pertencente aos inteiros) não é um quadrado perfeito, ou seja, não existe um inteiro k, tal que k² = n.
Se √n for racional, significa que pode ser escrita na forma:
√n = p/q
O que implica que:
√n² = p²/q² → nq² = p²
O que significa que nq² é um quadrado perfeito, afinal, ele é igual a p², que é um quadrado perfeito. Porém, isso seria absurdo, pois pra que nq² seja quadrado perfeito, o n necessariamente precisa ser quadrado perfeito, o que contradiz a nossa premissa.
Assim, a nossa premissa estava errada, e a raiz quadrada de um número inteiro que não é quadrado perfeito (exemplos: 2, 3, 6, 7, 23, ...) não pode ser escrita na forma p/q, o que implica que esse números são irracionais.
Edit: Sim, isso implica que todos os números primos não possuem raiz quadrada racional. Afinal, acabamos de mostrar que só números quadrados perfeitos possuem raiz QUADRADA racional.
Pra entender por que n precisa ser quadrado perfeito é só pensar na decomposição em fatores primos desses números.
Todo quadrado perfeito é um número que possui, na sua forma fatorada, a soma dos expoentes de seus fatores primos igual a 2k com k≠0, ou seja, a soma dos expoentes de um quadrado perfeito sempre será par. O que implica dizer que todo fator de um quadrado perfeito possui um expoente par. Exemplos:
4 = 2²
9 = 3²
25 = 5²
36 = 3².2²
81 = 3⁴
324 = 3⁴.2²
.
.
.
Percebe-se visivelmente que os expoentes dos fatores de um quadrado perfeito sempre será um número par ou a soma de números pares, que resultará em um número par. (Considere os quadrados que possuem um único expoente como sendo 2k + 0)
Se n não é quadrado perfeito, significa que a soma dos seus expoentes é ímpar.
E, como já vimos, pra que um número seja quadrado perfeito, a soma dos expoentes de seus fatores primos tem que ser par. Então temos n (soma dos expoentes dando ímpar, pois n não é quadrado perfeito) e q² (soma dos expoentes dando par), essa multiplicação (nq²) jamais resultará em um quadrado perfeito, pois haverá ao menos um fator em n que terá expoente ímpar. Mostrando assim que todo número inteiro positivo que não é quadrado perfeito possui raiz quadrada irracional.
Obs: Esse raciocínio da quantidade de expoentes dos fatores primos de um número, também é utilizado pra provar que √2 é irracional, visto que 2q² = p², já seria um absurdo por conta do teorema fundamental da aritmética, que afirma que todo número inteiro p>1 é primo ou pode ser escrito como um produto de primos (i,e, composto), logo, também é possível fatora-lo em números primos, sendo esta fatoração, única.
2:25
Será que o infinito é um número?
Na matemática, depende. Geralmente trabalhamos com os reais ou complexos, onde o infinito não é um número, mas ele existe, como um certo conceito.
Porem, existem sistemas onde admitem a existência de infinitos e infinitesimais, que chamamos de hiper-reais. É um assunto interessante, mas muito complicado.
metodo da contrapositiva
Na verdade ele provou por absurdo, contraposição e absurdo são ambos provas indiretas mas não são a mesma coisa.
Talvez seja pq a raiz quadrada de 2 n tem vida
Mas quase não demostrou nada .o mistério foi mal explicado não foi direito gastou tempo de graças.
👏👏👏👏👏👏
Que absurdo!!! Kkkk
Up❤
A
1:38 FALA ISSO PRA ELA DEUS
2:12 !
2:50
4:47 -> 4:55
8:44 :)
🥰😎👏👏👏👏