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このシリーズ書籍化したら絶対売れる笑
4:04ここの編集遊び心あって面白い
具体例と実験 等差 等比 特殊方程式 初項 考えるとシンプル！
最高です
xが定数にすぎないことに着目すると、a[n]=p(定数)とおいて漸化式に代入し、pについて解くと特殊解が一つ得られます。(この段階でx=1か否かで場合分けをする必要がありますが、以下x≠1とした時の解法を示します)斉次項の身に着目した漸化式の一般解はa[n]=k/x^(n-1) と書けますから、重ね合わせの原理より、元の漸化式の一般解はa[n]=x^2+k/x^(n-1)付帯条件a[1]=xを用いると定数k=-x/(x-1)が決定できるので、a[n]=(x^n-1)/x^(n-2)(x-1)となります。
漸化式は確実に得点源になるから出来るようにしたいな
まず両辺にxⁿ⁺¹を掛けてxⁿ⁺¹a[n+1]=xⁿa[n]+xⁿ⁺²これは等差の形になってるからn≧2でxⁿa[n]=1×a₁+[n-1]Σ[k=1]xⁿ⁺²これをx=1のときと場合分け→n=1のときも解くの流れが一番最初に思いついた
編集が遊び心あって面白い毎度毎度無料とは思えないクオリティで感謝してます
高校にこんな先生がいたら絶対数学楽しいって思える
ウサミさん大好きです！！！こんな最高の企画をやってくれるのはウサミさんだけです。感謝します
a(n)=の形になおせる漸化式はものすごい種類が限られてる（漸化式ってコンピュータ向けの式）ので、解ける型を丸暗記しておくといいかも…
微分方程式と同じく、「解かせていただく」の精神で。基本的な問題は特殊解を見つければ重ね合わせで答えはぱっと出るようなものだし、漸化式で一番大事なのは、漸化式のまま考えることもできること。
宇佐美すばるさんの動画からこれまでで1番学んだと思うことはわからなくてもとりあえず代入して実験してみるこれがとてもありがたいです
句読点つけな
最初にx=1忘れててもanの一般項で分母にx-1があるから気づけそうだよね
同じこと思ってました笑
でも、要注意点は、x－1が分母に来るからと言って、x－1で割る前の式にx＝1を代入してみると、0＝1となって矛盾するから、「x＝1の時、解なし⇒x≠1」とやってしまわないようにする事❗問題文の漸化式に代入すれば、x＝1の時、a[n]＝nに気付くんだけどね。階差型の漸化式になる場合は、特性方程式の変数が相殺されちゃうから、そのやり方では出来ないってのは、やっぱりチェックしといた方がいいのは確かですね。
「漸化式大全【永久保存版】」というタイトルの本として、出版してほしい…
数学で場合分けを最初にしないで計算してた時✍️✍️✍️途中途中で分母を見て確認して気づくことでミスを減らせる
この問題は数学的帰納法で解くことができます。初めの数項を計算すると、xが1でないとき、a_n=(x^n-1)/(x^(n-2)*(x-1))であると予想できます。あとは数学的帰納法で証明するだけです。ちなみに、x=1のときは、x->1の極限をとるとa_n=nとなります。
実際これだよな。言いたいこと言ってくれてありがとうな
2次曲線とか複素数平面とかもやってほしいです
漸化式面白く感じてきたありがとう！！
実験して、An=(1≦k≦n-1)Σx(1/x)^(k-1)と分かった、これならα求める手間省けるかも。
大学で一生数学使わなそうだからマスラボ助かる
共通テストに向けて漸化式強化して必ず90点以上とって医学部に行く！
先に x=1 の時は等差数列だから......と場合分けするのがとても不自然に思えたそれにa_(n+1)=pa_n+q⇔{a_(n+1)-q/(1-p)}=p(a_n-q/(1-p))だからこれなら p=1, 動画の問題では x=1 の時の場合を別に考える必要があるという方が混乱しにくい気がする結局は同じことだけど
動画見る前に問題を解いたとき、a_1~a_4まで出してa_n = Σ(i=1~n)x^(i-n+1)になったから数学的帰納法で証明して答えとしました。感覚的には、前項で足したxが次項以降ではxでどんどん割られてx^0→x^-1→x^-2→…となっていくイメージです。漸化式の基本形で場合分けするのはなるほどと思いました。感覚的に大学側は数学的帰納法で解かせたい問題かなと思いましたが、数学的帰納法は法則を見つけられないと意味がないので安定的に解くなら場合分けですね。（ちなみに動画の最終回答とa_n = Σ(i=1~n)x^(i-n+1)は一致したので大丈夫かと思います。xの場合分けも不要でした。）
備忘録55G"【 漸化式 : An+1＝ p･An＋q 】〖 ⅰ 〗p＝ 1 のとき、公差 q の等差数列, 〖 ⅱ 〗p≠ 1 のとき、公比 p の等比形へ ( ⅰ ) x＝ 1 のとき、(中略) An＝ n ■ ( ⅱ ) x≠ 1 のとき、 An+1 －α＝ 1/x・( An －α ) と変形できて、 An＝ α ＋( A1 －α )・( 1/x )ⁿ⁻¹ ＝ 1/(x－1)・( x² － 1/xⁿ⁻² ) ■
【 p＝ 1 のとき、単なる等差数列 】 に注意する。
A2,A3を求めて実験すればAn = x + 1 + 1/x + 1/x^2 + … + 1/x^(n-2) が見えまず。要するに初項x,公比1/xの等比数列の和ですね。普通に計算して求めてもいいですが、帰納法で証明する方が計算ミスが無くていいと思います。
満点解答を後者のやり方で作れたに
漸化式苦手なので、この企画で得意になってみせます！
複素数平面(特に奇跡)の基礎〜応用までやってほしいです
これって分母にxあるけどx≠0は記述しなくていいのかな?
問題文に書いてあるから大丈夫なはずです
複素数平面やって欲しいです！！
僕そこまで高いレベルの大学希望しているわけではないですがパスラボ見ているといつも感動させられる漸化式はヨビノリさんの見たので少しわかるただこの漸化式フェスティバルはとても嬉しい宇佐美さんがやってるのが頭に残ってるので印象に残りやすいですありがとうございます
x＝1の場合分け忘れないかどうかって感じやな
おはようございます！35日目！
この前の名城大の漸化式の動画でコメントした「階比」使ってくれてる！！(もともと使っていらっしゃったらごめんなさい笑)
特性方程式って解答欄に書いちゃダメってFOCUS GOLDが言ってました書いてもいいの？🧐
書いても減点されへんと思うけど解答欄減るし時間かかるから書かんで良い
名大志望だから嬉しすぎる
工学部かな後期受ける大学とか決めてる？
僕もです！僕は理学部です！
@@現役生-f6m そうです。環境土木。いや…決めてない…ちゃんと考えないと…
@@約分おじさん 仲間です！
@@ここゆず 一緒に頑張りましょう！
😅わかんない
具体例は良いが、最初からa_1,a_2とこっちでやって詰んだ(~_~;)xの方で場合分けするのね。なんか、f(x)=ax^2+(a~1)x+1みたいな問題に似てますね。
お茶大志望の人だったら解けなきゃいけない問題っぽいけど試験会場だと慌てそうな問題だ〜
そのままxつかってええんや…
逆にxの消し方無いやん
慣れてないと文字の対処って分からないよな。演習積めばわかるようになってくから大丈夫
てか、青チャートで東大合格への道どこいったん？
スクショタイムほしいです
青チャの演習問題にあった気がする
a=a/x+xを解いて、a=x^2/(x-1)よりa(n+1)-x^2/(x-1)=(a(n)-x^2/(x-1))/xよって、a(n)=(x-x^2/(x-1))/x^(n-1)+x^2/(x-1) ={x^(n+1)-x}/{x^n-x^(n-1)} ={x^n-1}/{x^(n-1)-x^(n-2)}x=1の時を考えると、a(n+1)=a(n)+1より、a(n)=n
男が女子大の問題ばかり解いていると、変な人だと勘違いされそう。（笑）
ぜんか
前提としてx=0は除くことを述べておくのが良いと思いますが、、、
問題文で与えられているのでは？ホワイトボードにはないけどサムネイルにはあるので
解けた
簡単やんけ
このシリーズ書籍化したら絶対売れる笑
4:04ここの編集遊び心あって面白い
具体例と実験 等差 等比 特殊方程式
初項 考えるとシンプル！
最高です
xが定数にすぎないことに着目すると、a[n]=p(定数)とおいて漸化式に代入し、pについて解くと特殊解が一つ得られます。(この段階でx=1か否かで場合分けをする必要がありますが、以下x≠1とした時の解法を示します)
斉次項の身に着目した漸化式の一般解はa[n]=k/x^(n-1) と書けますから、
重ね合わせの原理より、元の漸化式の一般解はa[n]=x^2+k/x^(n-1)
付帯条件a[1]=xを用いると定数k=-x/(x-1)が決定できるので、
a[n]=(x^n-1)/x^(n-2)(x-1)となります。
漸化式は確実に得点源になるから出来るようにしたいな
まず両辺にxⁿ⁺¹を掛けて
xⁿ⁺¹a[n+1]=xⁿa[n]+xⁿ⁺²
これは等差の形になってるから
n≧2で
xⁿa[n]=1×a₁+[n-1]Σ[k=1]xⁿ⁺²
これをx=1のときと場合分け→n=1のときも解く
の流れが一番最初に思いついた
編集が遊び心あって面白い
毎度毎度無料とは思えないクオリティで感謝してます
高校にこんな先生がいたら絶対数学楽しいって思える
ウサミさん大好きです！！！
こんな最高の企画をやってくれるのはウサミさんだけです。感謝します
a(n)=の形になおせる漸化式はものすごい種類が
限られてる（漸化式ってコンピュータ向けの式）
ので、解ける型を丸暗記しておくといいかも…
微分方程式と同じく、「解かせていただく」の精神で。
基本的な問題は特殊解を見つければ重ね合わせで答えはぱっと出るようなものだし、漸化式で一番大事なのは、漸化式のまま考えることもできること。
宇佐美すばるさんの動画からこれまでで1番学んだと思うことはわからなくてもとりあえず代入して実験してみるこれがとてもありがたいです
句読点つけな
最初にx=1忘れててもanの一般項で分母にx-1があるから気づけそうだよね
同じこと思ってました笑
でも、要注意点は、x－1が分母に来るからと言って、x－1で割る前の式にx＝1を代入してみると、0＝1となって矛盾するから、「x＝1の時、解なし⇒x≠1」とやってしまわないようにする事❗
問題文の漸化式に代入すれば、x＝1の時、a[n]＝nに気付くんだけどね。
階差型の漸化式になる場合は、特性方程式の変数が相殺されちゃうから、そのやり方では出来ないってのは、やっぱりチェックしといた方がいいのは確かですね。
「漸化式大全【永久保存版】」というタイトルの本として、出版してほしい…
数学で場合分けを最初にしないで計算してた時✍️✍️✍️
途中途中で分母を見て確認して気づくことでミスを減らせる
この問題は数学的帰納法で解くことができます。
初めの数項を計算すると、xが1でないとき、
a_n=(x^n-1)/(x^(n-2)*(x-1))
であると予想できます。あとは数学的帰納法で証明するだけです。
ちなみに、x=1のときは、x->1の極限をとるとa_n=nとなります。
実際これだよな。言いたいこと言ってくれてありがとうな
2次曲線とか複素数平面とかもやってほしいです
漸化式面白く感じてきたありがとう！！
実験して、An=(1≦k≦n-1)Σx(1/x)^(k-1)と分かった、これならα求める手間省けるかも。
大学で一生数学使わなそうだからマスラボ助かる
共通テストに向けて漸化式強化して必ず90点以上とって医学部に行く！
先に x=1 の時は等差数列だから......と場合分けするのがとても不自然に思えた
それに
a_(n+1)=pa_n+q
⇔{a_(n+1)-q/(1-p)}=p(a_n-q/(1-p))
だからこれなら p=1, 動画の問題では x=1 の時の場合を別に考える必要があるという方が混乱しにくい気がする
結局は同じことだけど
動画見る前に問題を解いたとき、a_1~a_4まで出してa_n = Σ(i=1~n)x^(i-n+1)になったから数学的帰納法で証明して答えとしました。
感覚的には、前項で足したxが次項以降ではxでどんどん割られてx^0→x^-1→x^-2→…となっていくイメージです。
漸化式の基本形で場合分けするのはなるほどと思いました。
感覚的に大学側は数学的帰納法で解かせたい問題かなと思いましたが、数学的帰納法は法則を見つけられないと意味がないので安定的に解くなら場合分けですね。
（ちなみに動画の最終回答とa_n = Σ(i=1~n)x^(i-n+1)は一致したので大丈夫かと思います。xの場合分けも不要でした。）
備忘録55G"【 漸化式 : An+1＝ p･An＋q 】
〖 ⅰ 〗p＝ 1 のとき、公差 q の等差数列, 〖 ⅱ 〗p≠ 1 のとき、公比 p の等比形へ
( ⅰ ) x＝ 1 のとき、(中略) An＝ n ■
( ⅱ ) x≠ 1 のとき、 An+1 －α＝ 1/x・( An －α ) と変形できて、
An＝ α ＋( A1 －α )・( 1/x )ⁿ⁻¹ ＝ 1/(x－1)・( x² － 1/xⁿ⁻² ) ■
【 p＝ 1 のとき、単なる等差数列 】
に注意する。
A2,A3を求めて実験すればAn = x + 1 + 1/x + 1/x^2 + … + 1/x^(n-2) が見えまず。
要するに初項x,公比1/xの等比数列の和ですね。
普通に計算して求めてもいいですが、帰納法で証明する方が計算ミスが無くていいと思います。
満点解答を後者のやり方で作れたに
漸化式苦手なので、この企画で得意になってみせます！
複素数平面(特に奇跡)の基礎〜応用までやってほしいです
これって分母にxあるけどx≠0は記述しなくていいのかな?
問題文に書いてあるから大丈夫なはずです
複素数平面やって欲しいです！！
僕そこまで高いレベルの大学希望しているわけではないですがパスラボ見ているといつも感動させられる漸化式はヨビノリさんの見たので少しわかるただこの漸化式フェスティバルはとても嬉しい宇佐美さんがやってるのが頭に残ってるので印象に残りやすいですありがとうございます
x＝1の場合分け忘れないかどうかって感じやな
おはようございます！35日目！
この前の名城大の漸化式の動画でコメントした「階比」使ってくれてる！！(もともと使っていらっしゃったらごめんなさい笑)
特性方程式って解答欄に書いちゃダメってFOCUS GOLDが言ってました
書いてもいいの？🧐
書いても減点されへんと思うけど解答欄減るし時間かかるから書かんで良い
名大志望だから嬉しすぎる
工学部かな
後期受ける大学とか決めてる？
僕もです！僕は理学部です！
@@現役生-f6m そうです。環境土木。
いや…決めてない…ちゃんと考えないと…
@@約分おじさん 仲間です！
@@ここゆず 一緒に頑張りましょう！
😅わかんない
具体例は良いが、最初からa_1,a_2とこっちでやって詰んだ(~_~;)
xの方で場合分けするのね。
なんか、f(x)=ax^2+(a~1)x+1みたいな問題に似てますね。
お茶大志望の人だったら解けなきゃいけない問題っぽいけど試験会場だと慌てそうな問題だ〜
そのままxつかってええんや…
逆にxの消し方無いやん
慣れてないと文字の対処って分からないよな。演習積めばわかるようになってくから大丈夫
てか、青チャートで東大合格への道どこいったん？
スクショタイムほしいです
青チャの演習問題にあった気がする
a=a/x+xを解いて、a=x^2/(x-1)より
a(n+1)-x^2/(x-1)=(a(n)-x^2/(x-1))/x
よって、
a(n)=(x-x^2/(x-1))/x^(n-1)+x^2/(x-1)
={x^(n+1)-x}/{x^n-x^(n-1)}
={x^n-1}/{x^(n-1)-x^(n-2)}
x=1の時を考えると、
a(n+1)=a(n)+1
より、a(n)=n
男が女子大の問題ばかり解いていると、変な人だと勘違いされそう。（笑）
ぜんか
前提としてx=0は除くことを述べておくのが良いと思いますが、、、
問題文で与えられているのでは？
ホワイトボードにはないけどサムネイルにはあるので
解けた
簡単やんけ