1.「すべての正の整数 n に対し、～」と「どのような正の整数 n に対しても、～」は同義だと思いますが、違うのでしょうか。 2.「解」とは何でしょうか？動画で述べたのは、「すべての（= どのような）正の整数 n に対して（も）x > P_n であるような実数 x の最小値は 1」ということです。最終的な結論はこの一点のみです。
言葉を選ばずに申し上げると、その論文の内容は支離滅裂です。 （1ページ目右カラム真ん中付近の "Which is possible only if the number 9 is divisible by the number 1 but numbers 1 and 10 are not divisible by the number 1." のあたりから物凄いことになっています。） 見なかったことにしましょう。 おそらく「任意の実数の十進小数としての表記はただ一つである」と思っていらっしゃる気がしていますが、実際には「一つまたは二つ」です。 例えば 0.5 は 0.4999… とも表記できます。この点は高木貞治『増訂解析概論』にも表記があります。 linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_appendix1_6.html を見てください。 （ linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_appendix1_9.html でも 0.5000… = 0.4999… であることに触れられています。）
上の論文が査読付きのカンファレンスで通っているというのは本当でしょうか？ > III. RESULT > The number 0.999... is only a virtual number, not a real number and does not exist on the real number line. Hence the number 0.999... is called a pseudo number. この記述が正しいとすると、この論文以外にも 0.999… を pseudo number と呼ぶ文献があってしかるべきだと思いますが、そのような文献を提示していただけませんか。
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![100÷9899=? (Introduction to Generating Functions & Formal Power Series) [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/I02Obi-yXJU/mqdefault.jpg)
![Is π^π^π^π an Integer? [English Subtitles]](http://i.ytimg.com/vi/TooFbrU-Wb4/mqdefault.jpg)
![Does the Sum of the Reciprocals of Prime Numbers Converge? [English Subtitles]](/img/n.gif)
このチャンネルの動画をもっと見たい自分vsこの短さが美しいと思う自分
定期的にSNSで話題になってるやつだ（あとはdy/dxは分数か、とかも）
大人でも納得しない人がそこそこいる問題だけれど、小学生に塾で教えたときに感じたのは、そもそも「n進法の表示は一通りに定まらないことがある」というのを先に明言してあげないと、何を説明しても1=0の証明のような誤魔化しに見えてしまうらしいということ。
1の表記方法のひとつに0.999…があるって考えるのが良いかな
フランクなこと喋る部屋とガッツリ数学について喋る部屋がふたりのあいだでちゃんと区別されてるの夫婦みたいでゾクゾクする
えっろ
ゾクゾクポイント謎でおもろい
なんかキモいけど好き
この議論の最大の問題点は、0.999...の解釈が一通りでないことだと思う。
理想的には一般的な解釈をすべて列挙してそれらがすべてこの動画の定義と同等であることを証明するべきかもしれませんが、そもそもそれは可能かどうかすらよくわからないので割り切りました。
@@evimalab
リプライありがとうございます。
確かにそうですね。解釈の同値性や、そもそもの正当性の吟味をするだけでもかなり大変そうです。
初項0.9,公比0.1の無限等比級数が1に収束するのは使えない？
「『無限小』が存在する数の世界」といえばいいのかな、つまり1/NのNをどんなに大きくしても0
まだあんまり数学のことを知らんからあれだけどそんなεがあったら極限が仕事しなくなっちゃうのかな
εと1/Nの逆数を取れば、ε/1>Nとなる。つまり、その当たり前だけど大切ってコメ主が言ってることは実はどんな数よりも大きい数ε/1が存在しないということと同値。これを公理(定義)としたのがアルキメデスの原理で実数の構成には必須の公理の一つ
ありうるというか、ちゃんと存在してる。超準解析という世界が。極限を超準解析で観測すると数として無限大や無限小が出現する。
この話題で納得したのは実数では0.999…=1だけど辞書式順序である10進数表記では0.999…
無限小数から実数を構成する論文"Real numbers as infinite decimals"では、そもそも0.999…やある位置から無限に9が続く小数を実数の集合から排除している
（記事のURLを貼りたかったが非表示にされるので各自調べること）
論文URL: scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1511&context=tme
私が貼れば非表示にならないと思うので貼ってみます。scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1511&context=tme
@@evimalabありがとうございます！
「実数の範囲には存在しない」が正確な表現だよね
「同じじゃない」と主張するときは無限小を思い浮かべてる
？？？実数ですね
@@user-mu4st4wq5o超実数の話では？
xが1じゃないとした瞬間に1-xで割れるようになるの面白い
まあ確かに0じゃなければ何でも割っていいからね()
俺も真っ白で数学自由にできる空間欲しい
オイラーみたいに目潰せば心のホワイトボードができるね😊
かのノイマンは頭の中にそんな空間があったらしい
数学科在学生です。この動画の0.999...を「どのPnよりも大きい最小の数」と定義するのは、数学的には0.999...=sup{Pn | n:自然数}と定義していること同等です。
Aを実数の部分集合としたとき、上限supAはAの任意の要素より大きい数(上界という)の集合の最小元で定義されます(上界が存在しないときsupA=∞とする)。
しかしこの定義は実数という体系に、「実数の部分集合の上界全体の集合には最小元が存在する」という仮定を要請しています。これを上限公理といいます。
この公理は、他の実数の公理(連続性公理やデデキントの公理など)と同値であることが証明できるので、この動画では上限公理を出発点として0.999...=1という"実数"の性質を導いたことになります。
ラフに言うと、上限supが存在することを実数の定義にしたわけです。
supの定義に「実数」という言葉を用いていますが、厳密にはこの時点では実数ではなく、この時点では「体という代数構造(和と積の演算)と、全順序構造(大小関係)をもち、それらが整合性をもっている(同じ数を足しても大小関係が変わらないなど)集合」でしかありません。これに対してsupを定義し、存在することを要請することで実数を定義できるわけです。
実は有理数全体からこの「実数全体」に準同型かつ順序同型(演算が保たれ大小関係が保たれる)な単射を構成できて、有理数全体が実質的に実数全体に包含される(これを埋め込むという)という形で実数の体系が生まれるわけです。
ε-N論法ですね
0.999...=xを満たす実数は1以外にないよね？って発想が面白いですね
この話自体は結構有名だし数学をある程度やってれば理解するのは苦じゃないと思うんだけど、
さらに数学をやると、これ見た時に「小数展開が一意的じゃないとか実数ってやっぱキモイわw」ってなる。
完備化はP進数に限りますな。
数学界で偶に喧嘩になる奴だ…
一般人からすればP進数の方がキモいから帯に短し襷に長しというやつだ
小生は初項0.9、公比0.1、項数nの等比数列の総和を考え、nを無限大に飛ばしました
この動画の「0.999…」の定義の仕方は初めて見た
よく見る「0.999…」の定義は部分和の極限としてみるから具体的にnが存在すること
n=max{0,ceil(-Logε)}の構成する話だと思った
より厳密にするなら、1-d (d∈R>0)に対し、
1-d
任意の x < 1 に対して n = ceil(log10(1/(1-x))) をとれば 10^n ≧ 1/(1-x) ですが、log という関数の存在への依存を避けてみました。
やっぱりこのチャンネルは面白い。
どうでも良いことなのに、ハーフHDで動画を作ってるところに目がいってしまった
いずれ 1920×1080 が主流になるかもしれませんが、スマホで見ることを考えるとまだまだ 1280×720 が最も無難だと思います。
1÷3を筆算でやって0.333…を導き出す感じで
1÷1も無理に筆算したら
0 .9 9 9……
ーーーー
1 ) 1
0
ーー
1 0
9
ーーー
1 0
9
ーーー
1 0
9
こんな感じでずっと9が無限に続くから
1÷1=0.999…になるって理解してたよ
やっぱり 0.999… という表記が主張する値はあまり合意が取れてないのかなあ (この動画の定義もいい感じと思うけれど)
厳密で嬉しいぜ
長く詳しい話も好きですが、このくらい程よい長さもまた乙なもの…
チャンネル登録させていただきました。
この話は私に数学の面白さの一面を見せてくれた問題なので取り上げてくださってありがたいです。
納得のいかない人の悩むであろう「0.9999…」自体を真っ先に定義して話してあげるのが、一番理解した感触を出せる方法なのかもな…ご馳走様でした。
数学が苦手で、昔はコレが直感的には全く理解できなかった
0.999...をどこかの桁で最後に9で終わる数字だと思ってしまっていたんだよね
"..."を含む数字が「無限」と言う概念を使ったもっと抽象的なモノだとして今なら納得できる
よく無限和の例で挙げられてるものだ
『全てのP_nより大きい P_n
「すべての P_n より大きい最小の x」の存在を仮定したつもりはありませんでした。
（存在しなければ「そのような値は存在しない」という結論になるつもりでした。わかりづらくすみません。）
「すべての P_n より大きい最小の x」ではなく「すべての P_n より大きい x」の存在に関しては、少なくとも x = 1 は条件を満たすと考えています。
（任意の正の整数 n に対して 1 - P_n = 1/10^n > 0 です。）
@@evimalab 『9が無限に続いたとき……』の証明に、『全てのP_n＝無限個のP_n』を用いると循環論法になっています。回避するには、ε-N論法風に『全ての……』を避けて『どのような……』を用いるべきです。また、式中に1/(1-x)が出てくるため、ｘ＝1は、発散してしまうので解になり得ません。
1.「すべての正の整数 n に対し、～」と「どのような正の整数 n に対しても、～」は同義だと思いますが、違うのでしょうか。
2.「解」とは何でしょうか？動画で述べたのは、「すべての（= どのような）正の整数 n に対して（も）x > P_n であるような実数 x の最小値は 1」ということです。最終的な結論はこの一点のみです。
@@evimalab
① 2:43 x=1の場合は、
0
アルキメデスの公理つかうのかなるほど
うぅ、面白いけど難しい・・・。
「どの青い点よりも右の点のうち最小のものを0.999…と定義した、これは定義なので証明するものではない」というところで、そもそもその最小というものは本当に存在するのか？と思ってしまいました。
証明する必要があるものとそうでないものを見分ける力ってどうやったら鍛えられるのでしょうか。
すごく頓珍漢なことを言っているという自覚はあるのですが、アドバイスをいただけると嬉しいです。
確かに最小値が存在しない可能性がありますが（この可能性は特に否定していません。本当に存在しなければ「0.999…と表記される数は存在しない」という結論になります）、調べてみたら存在したので結果オーライとしています。
> 証明する必要があるものとそうでないものを見分ける力
「どの青い点よりも右の点のうち最小のものを0.999…と定義した、これは定義なので証明するものではない」というのは、
「最小値は存在する」という主張を含んでいたつもりではありませんでしたが（単に「その定義好きじゃない」と言われても知らんというだけ）、
誤解を招く表現だったかもしれません。ご指摘ありがとうございます。
@@evimalab 返信どうもありがとうございます！
> 確かに最小値が存在しない可能性がありますが、調べてみたら存在したので結果オーライとしています。
最小値が存在しない可能性、一つだけ存在する可能性、二つ以上存在する可能性のすべてを考えながら改めて動画を拝見したら、確かに「一つだけ」以外の可能性はないことが理解できました！
この問題が興味深いのは青い点に最大値がないからだ、と考えながら動画を拝見していたので、最小値という言葉が出てきた瞬間に思考がストップしてしまっていました。
青い点に最大値がないことを思考に組み込みたければ、
青い点の最大値を0.999…とする→そんなものはない→どの青い点よりも右の点の最小値を0.999…とする→あった！
と考えればよかったのですね。
とても面白い動画と丁寧なご返信どうもありがとうございました！
現在使われている数学の体系では0.999…=1となるような0.999…の解釈を定義としているって感じなんですかね？
他のコメント見てて思ったけど今までの自分は無限小の解釈が違ってたっぽい？(高校生並感)
1/3を0.333…とみなしたのは筆算というアルゴリズムが循環することを表したものだろうから, 0.999…も筆算で定義するべきでは
まあ、循環小数の定義方法なんていくらでもあるから、その定義が同値かどうかの議論はいいと思う。
結局この話が出てくるのってlimの=を勘違いしてる人が多いからかな。limでの=は実際には到達しないけど(到達する場合も含むが)、限りなく近づくという意味だから、a[n]→𝛼(n→∞)と書くように矢印のイメージを持つ方が良いのかもしれない。
というか、そもそもの定義でlimは=ではなく→で表記すれば良かったのでは？とも思うけど、それでは何か弊害があるのかな。
a[n] → α (n → ∞) のとき α のことを lim_{n → ∞} a[n] と書く、と言うのが定義なので、「=」は厳密に=なんですよ。
a[n] = 1/10^n のとき、a[n] → 0 (n → ∞) であって a[n] たちはいずれも0ではなく、nが大きくなったところでa[n] はただ0に近づくだけで0にはならない、ここまでは完全に正しいです。
ただ、lim_{n → ∞ } a[n] = 0, という等式において、
「lim_{n → ∞ } a[n]」という部分は「n → ∞ としたときにa[n] → α となる唯一の数 α 」というのと正確に同じ意味なので、この等式は
「n → ∞ としたときにa[n] → α となる唯一の数 α 」 = 0ということです。
そして、「n → ∞ としたときにa[n] → α となる唯一の数 α 」はもはやnに依存していないので、nの増大につれて0に近づくというよりは、最初から既に0です。
どちらかというと、”0.999…”の表記が極限のニュアンスを含むのにlim記号を略記してしまっていることが、多くの人が誤解する原因である気がする
@@EEquals2718281828 もちろん定義のことは理解してるつもりです。私の中ではlimも関数のようなもので、関数,変数,変数の収束先をinputしたら関数の収束先をoutputするような関数という認識なので、limでの=は両辺同じ値という意味で厳密にイコールです。ただ私が言いたいのは、初学者の人はグラフなどでイメージすることが多いですが、そこでlimの=の意味を実際に到達する値だと誤解している人が多いから、混乱が生じやすいのでは？と思っただけです。結局表記方法の問題でしかないですが、0.999…が9を1つずつ増やしていくという意味でなら厳密に1に到達しないし、限りなく近づく値というlimでの意味なら1と厳密に等しいことになります。
@@user-hz6jk6gf6o まさにそうだと思います。limの意味をちゃんと考えるきっかけになるという意味では、ある意味いい問題かもしれません笑
「Pnが収束するとしたら1」を示しているのであって、Pnが収束すること自体は示してないのが味わい深い。
この手の議論って突き詰めると実数の連続性に依存してて、じゃあその実数の連続性はどう証明するのかと問われると「公理だから受け入れろ」と誤魔化すしかない。
いい意味で誤魔化し方が上手い。
10進数の少数表示は二通りで描けるからね仕方ない
アリストテレスをプラトンの弟子というかアレキサンダー大王の家庭教師というかみたいなもんよ
この証明は初めて見ました
xがnに寄らないのに10^nと1/(1-x)の大小関係を定めてもいいものなんですかね？
xとnのスケールが同じ(桁数が同じ？厳密には何か適切な言葉がありそう)とするならっていう考え方でいいのでしょうか
さておき、これは極限の=と実数の=を同じと見なすかという問題だと思ってます
0.99..が1ではないと考えるのは、1より小さい最大の実数の表記が=としてしまったらできないじゃないかっていう考えじゃないですかね
待ってました。いつも面白い動画ありがとうございます。
0.999…が１と同じってより、1という数字は0.999…とも表記できるって考えた方が理解しやすいかもしれない
「2.999..と永遠に続く職業はなんだ？」と数学科の友人になぞなぞを出されて、それはちゃんと3だからなぞなぞとして成立していないって言っても納得されなかった。
出題者が数学科なのに。
俺が間違ってるの？
答え何...
@@ℯðℊℒℙℱℌℋℛℳℴþℬ 保母さん（ほぼ3）
@@matsuokenshirou なるほどぉ!...てあれ?
任意の1でない実数より0.999…は1に近いからね、まあ厳密にやるならε-N
自然数を構成して、整数を構成して、有理数を構成して、有理数列の極限を用いて実数を構成するときに、一緒に位取り記数法についても定義してやれば0.999…の定義から1=0.999…は証明できそうだな〜って前から思ってるんですけど、数学基礎論が難しすぎて良くわからんです
@@user-river_mountain あってる確信あるからコメントしてそう
@@chrome1838 そらそうよ
でもやってみたことがあるわけじゃないのでね
有理コーシー列であって差の極限が0に収束するものをグループ化していくと実数ができる。有理数qに対して数列{q}[n=0→∞]を含むグループが対応して、対応する有理数がないグループは無理数を表す。
あとは{a₋ₖ₊ₙ/N⁻ᵏ⁺ⁿ}[n=0→∞]っていう列がk,Nは自然数でa₋ₖ₊ₙ＝0,1,2,3, ⋯ ,N−1って制約のもと有理コーシー列になってることを確認したらN進位取り記数法完成じゃない？
3:07の議論を試験で記述するとどうなるんだろう？そのようなxがあると仮定して、1/(1-x)の整数部分が10進数のm桁だとすると、n>=mとなるnで不等式が満たせなくなって矛盾するとか？
当然成り立つと思っていることなので、証明するのが歯痒いねん……といつも思う。
sqrt(2)が無理数であるのと同じ気分。
1-0.9999…が0が永遠に続く数つまり0になることからわかる
無限小εに対して1-εは0.99999…？
10のn乗より1/εのほうがでかいしなあ
超准実数だとそうだけど、実数に無限小は定義出来ないよ
小学生ワイ「くり上がらないから1じゃない！」
意地悪かもしれませんが
0.999....が1を超える可能性はありませんかね？最後の式は1を超えた瞬間に負になって満たさなくなります。つまり1以降の数はまた別の証明が必要になります
(まあ常識で証明される気がするけど)
「任意の正の整数 n に対して x > P_n である」（これを条件 A とします）ような「最小の」実数 x を 0.999… として定義しており、1 が条件 A を満たすため 1 より大きい値に関してはどうでもよいことになります。
@@evimalabそうじゃん、、、、
0.99...が定義の具体的な数字だったわ、、、
Can you minimize the japanese subtitle in the video, it makes harder to read the english subtitle.
メインの層は日本人だからね、しょうがない
You can move subtitles by dragging them.
これデデキント切断みたいなやつ？（高校生の純粋な質問）
デデキント切断みたいなとはなんぞやか、というのは置いておくとして、深く知りたいならε-N論法あたりを調べるとよいのではないかな。（一般通過浪人生より）
色んな解析学の教科書の最初の方にでできんともεNの解説も載ってました(数学科)
2:25 テレパシー魔理沙
0.99999と9を無限に並べたものは1には届かないが、ただ、限りなく1に近づくと。
その限りなく近づく先のことを 「・・・」で表しているから
０．９９９・・・＝１ ということ
ですかね？
9を「無限に」並べるという行為を考えるなら、それには1が割り当てられるかもしれません。有限個であれば何個並べても届きません。
そのほかは問題ないと思います。
a＝0.999...
10a＝9.999...
10a－a＝9a
9.999...－0.999...＝9
9a＝9
a＝1＝0.999...
……というのを中1くらいの時に見て感心した記憶があるけど、これは厳密さに欠けるんだろうか？
中学で習った時は10aにすることで9が1つ減るやん！ふざけんな！って思ってた。無限を受け入れるのは難しい
10a-a=(9-0.9)+(0.9-0.09)+…=8.99…
@@okiami_4774
結局9.999…-0999…=9
のところで10^-∞=0を認めちゃってるからな
それ認めて良いなら、
0.999…=1-10^-∞=1だよねって感じ
厳密な極限を語るならε-δ論法使うしかない
高校数学レベルでは十分に厳密
0.999... と 1 は全く同じ数ですか？
つまり、
1/(1 - 0.999...) は 1/(1-1)と同様に「定義なし」 ということなのでしょうか。（無限大に発散ではないの？）
全く同じ数です。（1/2 と 2/4 が全く同じ数であるのと同様です。）
確かに lim[x→1-0] 1/(1-x) = +∞ ですが、この「1-0」は数とはいえないでしょう。少なくとも実数ではありません。
この手の本質的な問題は「全く同じ」や「厳密に同じ」をどう捉えるかによるものだと思います。
私は実数を主とする数学において、２つの等号が存在すると考えています。
１つめは 実数と実数を結ぶ等号(ex. 1+2=3)で、これは100人中100人が唸る、厳格な法則です
２つめは 超実数と実数を結ぶ等号(ex. lim における等号)で、超実数を実数として受け入れたときに「限りなく近づく」ことが認められるという意味の等号です
（ここでは両者を区別するために同じ体系どうしの等号を＝①、２つめを＝②と表記します）
0.999... は超実数の体系で 1 - ε (無限小) と表されるので 0.999... ＝① 1-ε ＝② 1 になります
ここで、実数の体系で評価する人は＝②を認め、「0.999...と1は全く同じだ」というでしょうし、
超実数の体系で評価する人は＝②を区別し、「0.999...と1は異なる」と答えるでしょう。
これはいわば、円柱と球を上から光源で照射した際に、できた円形の影だけを評価して「同じだ」と評価するものもいれば、
立体形状も視野にいれたうえで「異なる」と評価する人もいる、というようなものに近いでしょう
@@evimalab
ありがとうございます。
つまり、
1/(1-0.999...)は「定義なし」ということでしょうか。
私の主張は
1と0.999...が同じ数なのであれば、
a=1, b=0.999...としたとき
1/(1-a)
1/(1-b)
が同じ答えになる
というものです。これに論理的な破綻はないと考えているのですが。
@@chikatetsu147はい、そういうことです。
独歩ちゃんか～😳？
高校数学（理系）数学終わった民だけどなんで厳密な証明になるのかわかんない。
0.99...=xと置く←わかる
x=1で成立、x
無限和の公式を0.9 0.09 0.009 …数列に適用すると1になるから0.999…=1だよ。的な説明を高校生向けにしてる教育系勢力があるけど半端なく筋悪いよな。なんなんだろあれ。
0.999…=1の本質の実数の構成っていう深い話からすればn進法と分数の表記相互も0.999…数列の極限が1に収束することもどちらも浅い話よな。
0.999…数列が1に収束するっていう浅い話なら1-1/10^nの方がずっと直感的でわかりやすいしε-δも説明に入れようと思えば入れやすい。
無限和でわかった気になる高校生も問題よな。1/3=0.333…の両辺3倍の説明で納得できないのに、公式らしい公式を使った証明を見たら「腑に落ちました！」だってさ。彼らにとって大事なのは公式を使っている事であって、数学的正しさとか豊かさじゃないんやなって。
おぉん？
公式丸暗記の下でただ初項0.9公比0.1を代入してるだけならまだ浅いという言説が出るのも分かるけれど、大抵は等比級数の和の公式の証明もセットですよね？そしてその公式はえびまラボさんの過去動画でも登場しています（1/n^2の無限級数の和）。
何を持って議論が浅い/深いとなるのか教えてもらえますか？
数学的正しさや、深淵にある真理から積み重ねて事実を作ることに、価値を見いだす者ばかりではない事は確かだ。
どこかの誰かが既に正しいとした物に頼れば、先生や皆の言った通りになることも教室における価値である。
また、以前より高度な概念で、別方向から同じことを見つめることが出来れば、より分かったと思うだろう、これをそういう高校生は腑に落ちたと呼んでいる。
恐らく、真に数学に通じれば、どんどんと腑が深くなり、そう納得しなくなるのだろうが、それはつまりあらゆる教科の納得を得るために時間が足りなくなるor納得を諦める選択を毎回する ことになるわけで、数学特化の高校でも無い限りはそこで腑に落ちるのをとめて、まだ納得するなと言うのは酷な話かとも思う。
日常的な感覚、慣れ親しんだ形式、現実で観測する程度の厳密さ、これらでもって分かったと思わせ、人生の次に必要なもの準備に向かわせる。これが数学的教育かというと否定したいが、教育ではあるだろう。多分。
（あかん、2人が何を言ってるのか全然分からん。誰か解説してくれ）
@@user-so9by7pb6m 現文要約で修正されなかったこと無いし、小論文では「何言ってるか分からない」「どういうことなのか」と先生を不機嫌にさせた様な者が書いた文だし、どうやらそもそも私が文というものから読み取る認識も偏っているようし、恐らく私の文の方に非がある。きっとまた的外れなことを間違っていないとしか思えていないことに恐怖、未だ諸々整わんまま書いてすまない、理解を求めてくれたことに感謝を。
@@user-so9by7pb6m まあ浅い/深いに関しては「実数の構成からすると〜」って書いてる通り相対的な意味で、数列の極限の話(証明とかも含む)が実数の構成の話に含まれるってだけ。
0.999…=1を証明するだけなら極限の話だけでいいけどそもそもなんで数の表し方が2通りあってもいいの？とか、0.999…ってこれはそもそも数なの？とかの疑問があるから1/3=0.333…の3倍の説明で納得いかなかったんじゃないかと思うんですよね。そしてこの疑問に答えられるのが実数の構成の話で、「実数は有理数数列の極限」なのでまさしく左辺の0.999…は実数として定義されてる。したがって右辺も実数で構成された1であって、それらが等しい事を言って初めて等式が説明される
まあいろいろごちゃごちゃ言ったけど
[lim x (x→0.999…) となるような極限]=1と
0.999…=1は別物ってこと
極限を用いた証明は上しか説明してないから浅いという風に言った
そもそも１って何？って話だよなあ
【↓ネタバレ注意】
ということは、逆に0.000…∞…1も0ってことなのかな？
最後1で終わってる時点で桁数が有限
@@user-hf6yf5tz3i
｢1を3つに分けた時の余り｣とかがこれに当たるのかな(いわゆる無限小？)
個人的に存在してくれた方が嬉しいんだけどね…
@@タンガンちゃん 0.000…1が余るように感じるのは十進数の欠陥であって本来はぴったり割り切れる
1/3は3進数では0.1になって綺麗に足せる
@@user-hf6yf5tz3i
🤔🤔🤔🤔🤔？？？？？
ぜんぜんわかんないや…
無知無知で申し訳ない
@@user-hf6yf5tz3i
🤔🤔🤔🤔🤔？？？？？
ぜんぜんわかんないや…
無知無知で申し訳ない
高3です。自分の数学Ⅲの教科書に以下のような記述がありました。
我々は今まで1/3＝0.3333……などと書いてきたが、右辺の無限小数の意味を深く考えてこなかった。漠然と0.3, 0.33, 0.333, ……のように無限に変化していくものととらえていた人も多かっただろう。しかし、常に変化して、一定の実数を表さないのでは、等号で結ばれるはずもない。数学Ⅲの言葉では、0.3333……は無限数列0.3, 0.33, 0.333, ……の極限値と定義される。するとこれは、初項0.3, 公比0.1の無限等比級数の和になるから、和の公式により1/3に等しくなる。
同様に、0.9999……は初項0.9, 公比0.1の無限等比級数の和となり、和の公式からこれは1に等しくなる。
0.9999…の取り扱い方として、
0.9, 0.99, 0.999…という数列自体を0.9999…として取り扱うのが納得かな。内田位相持ってる人はコラムページにGO！高校生でも読めるようになってる
オラァ！
10^n+1じゃ！！(カス)
実数の範囲で0.999…の存在を定義するのがそもそもの間違いで、0.999…という概念と1という実体の大小関係を比べること自体がナンセンス
差を限りなく小さくできるという「ガバい」等号は成り立つけどね
0.333… も実数ではないとおっしゃいますか？
（なお ja.wikipedia.org/wiki/0.999.... というページがあります。）
@@evimalab
FYI: www.ijam.latticescipub.com/wp-content/uploads/papers/v3i1/A1148043123.pdf
言葉を選ばずに申し上げると、その論文の内容は支離滅裂です。
（1ページ目右カラム真ん中付近の "Which is possible only if the number 9 is divisible by the number 1 but numbers 1 and 10 are not divisible by the number 1." のあたりから物凄いことになっています。）
見なかったことにしましょう。
おそらく「任意の実数の十進小数としての表記はただ一つである」と思っていらっしゃる気がしていますが、実際には「一つまたは二つ」です。
例えば 0.5 は 0.4999… とも表記できます。この点は高木貞治『増訂解析概論』にも表記があります。
linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_appendix1_6.html を見てください。
（ linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_appendix1_9.html でも 0.5000… = 0.4999… であることに触れられています。）
@@evimalab えぇ…こちら査読付きのカンファレンスで通っているものですが…
そもそも、0.333…x3という、無限桁を含む数の計算や3/3によって0.999…を厳密に導くことはできず、0.999…を1とすると定義づける以外には、0.の後に9を無限に置き続けるという「操作」的解釈でしかなり得ません。
これは他の方の指摘にも合ったように、x
上の論文が査読付きのカンファレンスで通っているというのは本当でしょうか？
> III. RESULT
> The number 0.999... is only a virtual number, not a real number and does not exist on the real number line. Hence the number 0.999... is called a pseudo number.
この記述が正しいとすると、この論文以外にも 0.999… を pseudo number と呼ぶ文献があってしかるべきだと思いますが、そのような文献を提示していただけませんか。
極限とか無限とかいう話は出てこないのかー
むしろこれこそが極限の考え方だったりする
ε-δ論法
@@__yuper__ やっぱ関係あるんだ！
@@glunp789 数学科で習うやつか！
今回は数列の極限なのでε-N論法と言った方がいいかも
最後の方よくわからないけど、0.99…99＝0.99…98って事にはならないの？
0.0000000...1は無限に小さいから、0.99...99からそれを引いたとしても0.99...98にはならない
私は0.999…を、1の隣ではなく、「9を無限個並べるもの」と考えているのですが、
9を何回並べても0.999…は[0.1)内部にあるのに対して、1は[0.1)外部にあるから1＝0.999…は成り立たないんじゃないの？という疑問がずっと解決しません。
誰か教えてください🙏
そもそも0.999...は[0,1)の中に無いってことが動画見てたらわかると思う。
@@paper-igzsb まあ確かに、これは無限って言葉出したのがいけなかった
私が言いたかったのは
任意の自然数nについて1-1/10^n
@@user-kt6fq5il9u
＞任意の自然数nについて1-1/10^n
≒定期
0.999…って表記してる時点で1ではない
みんなそんな簡単なこともわからない
虚数とか訳の分からんもんも作ってんだから、
0.99999999…≠ 1だが、全ての実数で1に最も近い実数でいいだろ😂
すべての実数で1に最も近い実数は存在しません……存在したら実数の性質が崩れちゃいます