Rechnen mit Wurzeln - Was kommt raus?
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- Опубліковано 17 тра 2024
- Rechnen mit Wurzeln
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man einen Nenner rational machen kann. Wir entfernen die Wurzeln im Nenner des Bruchs und berechnen den Wurzelterm. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Wurzeln
0:27 Lösung 1
5:21 Lösung 2
8:11 Bis zum nächsten Video :)
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Ich hab von der Schule her noch ein Mathetrauma und bin irgendwann bei dir gelandet, um meinem Sohn in dem Fach zu helfen. Jetzt zieh ich mir jeden Tag Deine Videos rein und diese Denksportaufgaben machen mir richtig Spaß. Verrückte Welt! 🍀🙂
Liebe Susanne, wenn mir früher jemand gesagt hätte, dass ich einmal freiwillig (!) zum Spaß (!!!) Mathe-Videos anschauen würde, hätte ich das doch seeehr bezweifelt. Aber da gabs ja auch Deinen super Kanal noch nicht...! Tausend Dank dafür, dass Du mich als Mathephobikerin von meinem Schultrauma geheilt hast 😉...
Herzliche Grüße aus Niederbayern!
Geht mir ganz genau so. 🙂🍀
Gut gemacht Susanne, fast alle deine Mathe-Lern-Videos sind Meisterwerke der Mathematik. 🤗💝👍💐
Bester Kanal auf UA-cam. Damals in der 6. Klasse habe ich oft wegen Mathe geweint. Die heutige Generation hat so ein Glück!
Klasse! Immer so fröhlich sein bei schweren Matheaufgaben..? Susanne, Sie sind eine schöne, schlaue Fee! ❤
Im Ihrer Bereich Sie sind genial !
Die erste Methode ist ein schöner Beweis dafür, dass Kanonen auf Spatzen schießen und dabei treffen können.
Den Erweiterungs-Trick mit dem Nenner mit geändertem Vorzeichen sollten natürlich alle kennen; es ist also immer wieder gut, ihn in Erinnerung zu rufen.
Jetzt braucht's dafür mal noch ein Beispiel, wo das "teilweise Wurzelziehen" und (vor allem) das Ausklammern nicht geht.
Ich hab früher nie viel für Mathe übrig gehabt.
Susannes Wurzelbehandlung ist mir mittlerweile aber wesentlich lieber,
als die meines Zahnarztes.
Lach! Finde ich auch!.😀
Und zur Aufgabe: Man kann den Bruch mit SQRT(3) - SQRT(12) erweitern (3. Binomische Formel): Dann steht im Nenner 3-12 = -9.😊
Hallo Susanne,
der 2. Lösungsweg passt sehr gut in die Rubrik „Löse im Kopf ohne Taschenrechner und Papier“, also „Freihändig“ unter 10 Sekunden.
Hallo Susanne, Version 2 ist sehr smart. Vielen Dank für deine tollen Videos. LG aus Zweibrücken 👍
Ich finde es prima, dass Du verschiedene Rechenwege zeigst. Oftmals (wie hier) gibt es eine elegante Lösung. Wäre schön, wenn Du auch künftig verschiedene Lösungswege aufzeigen würdest.
1. Methode, ganz klar. Hurra ich bin verrückt 🙂
Den ersten Weg fand ich schon mal spitze! Ich oute mich als verrückt!
Liebe Susanne! Mir hat die zweite Wariante besser gefallen. Peter Habelsberger Graz Austria
In diesem Fall habe ich gleich die einfache Vorgehensweise erkannt und dann auch genutzt.
Bei manchen Aufgaben ist es mir aber auch schon passiert, dass ich einen umständlicheren Weg gegangen bin.
Letzten Endes bin ich aber immer froh, wenn ich eine Aufgabe lösen kann und das richtige Ergebnis finde.
Ich habe spontan den zweiten Lösungsweg gewählt und war erstaunt, wieviel ich schon bei #Mathematrick gelernt habe :)
Der erste Lösungsweg wäre mit niemals eingefallen, darum muss ich dranbleiben.
Methode 2 modifiziert: Ich habe im Kopf oben und unten Wurzel 3 ausgeklammert, weggekürzt und die verbleibenden Wurzeln gleich noch gezogen. Damit blieb (1-2) / (1+2) stehen. Die Klammern noch ausgerechnet und - tara - in etwa 4 Sekunden -1/3 rausgekriegt.
Ich habe die dritte Methode genommen.
Dazu die Ausgangsgleichung mit (sqr(3) +sqr(12)) erweitert. Kommt, oh Wunder das gleiche Ergebnis heraus.
Aber die 2. Methode war natürlich eleganter, da gebe ich dir recht.😃
Mir gefallen beide Lösungen. Auf den ersten Blick habe ich natürlich die 3. Binomische Formel gesehen.
Ich fand beide Wege interessant und lehrreich. Der Zweite Weg ist schneller, weil ich die Binomischen Formeln nicht immer auswendig im Kopf hab.
Die binomischen Formeln kann man sich einfach herleiten, wenn man sie nicht weiß: einfach jedes Element des ersten Ausdrucks mit jedem Element des zweiten Ausdrucks multiplizieren und die Einzelergebnisse summieren.
Herzlichen Dank für diese Aufgabe 🙂🙏
Lösung ▶
Ich würde den Nenner dann mit dem Minuswert multiplizieren, wenn sich die Werte nicht abkürzen lassen. Allerdings ist das hier nicht der Fall, demnach:
(√3- √12)/(√3+√12)
= (√3- √2²*3)/(√3+√2²*3)
= (√3-2√3)/(√3+2√3)
= √3(1-2)/√3(1+2)
= (1-2)/(1+2)
= -1/3
Dankeschön ❤❤❤❤😊
Ich hatte im Kopf direkt faktorisieren mit Wurzel (3) :D
Also [Wurzel(3)*(1-Wurzel(12/3)] / [Wurzel(3)*(1+Wurzel(12/3)]
Wurzel (12/3) sind ja gleich wurzel 4 = 2
Dadurch haben wir dann:
[Wurzel 3*(1-2) / Wurzel 3 * (1+2)]
Dann kann man wurzel 3 kürzen und man bekommt -1/3 raus :)
Genial. Dankeschön. ❤
💯
Habe diese Aufgabe noch anders ausgerechnet mit richtigem Ergebnis: 1. Wurzel 12 in Faktoren 3 und 4 aufgeteilt, 2. Wurzel 3 ausgeklammert und gekürzt, 3. Wurzel aus 4 gezogen und ausgerechnet. LG
Hey Susi, mach doch mal was über die Lambertsche W-Funktion oder Integrallogarithmus! 😁
Ich bin zu der zweiten Variante schnell gekommen. Freut mich, das es auch richtig war😂
Gute Idee, beide Rechenwege zu zeigen!
Was durch die 3 und die 12 hier auch super auf geht ist die sqrt(3) auszuklammern und weg zu kürzen. Dann bleibt nur noch 1 - 2 im Zähler und 1 + 2 im Nenner.
Bei großen und/oder weniger "schönen" Zahlen sind die "Verrückten" mit Methode 1 klar im Vorteil 😉! Aber das hat Susanne ja am Anfang selbst schon sehr gut erklärt.
🙂👻
Ich habe mich für die zweite Variante entschieden, allerdings ausgeklammert und die Wurzel "rasch weggekürzt":
(√3(1-2))/(√3(1+2))
Dann kann man durch √3 kürzen und erhält ebenfalls -1/3.
So hab ichs auch gemacht
Das ist doch das Gleiche, nur eine andere Reihenfolge.
@@edhoc2 Hatte er/sie doch geschrieben? "ich habe mich für die zweite Variante entschieden". Das sagt doch schon aus, dass es das Gleiche ist.
@@edhoc2 Ich habe auch nichts anderes behauptet, sondern eigens noch unter Anführungszeichen hervorgehoben, dass ich die Wurzel rasch weggekürzt habe anstatt sie vorher auszumultiplizieren, um Dir keine Angriffsfläche zu bieten.
Wieder top
moin Susanna,
tolle Aufgabe!
bei Wurzel aus 4, hätte als da nicht 2 Ergebnisse ergeben müssen?
sowohl 2, als auch -2 ?
mir persönlich hat der erste Weg besser gefallen, liegt vielleicht auch daran, das ich keine Probleme mit den Bionomische Formel habe. bin zwar über 30 Jahre schon aus der Schule raus, kann mich aber immer noch gut daran erinnern.
PS Ich glaube du würdes eine sehr gute Matheleherin abgeben.
Bin sofort nach der zweiten Variante vorgegangen.
Sobald die sqrt(3) in jedem Term separiert ist, kann man sie auch rauskuerzen. Ist ja nur das Auslassen des Ausklammerns als Zwischenschritt.
Genau hier fängts snd zu klemmen 🙏🙏🙏🤦♂️🤦♂️🤦♂️
Gibt es da nicht noch zwei weitere Lösungen. Wurzel aus 4 kann doch auch - 2 sein. Also geht auch noch 1 und -3 Lösung. Oder habe ich da einen Denkfehler.?
Denkfehler, Doris 😉.
Die Wurzel aus 4 ist nur plus 2, nicht minus 2 und auch nicht ±2.
Was Sie meinen, sind die zwei Lösungen der Gleichung
x² = 4
Diese sind in der Tat
+sqrt(4) und -sqrt(4)
also +2 und -2.
Aber auch hier ist - wie man oben sieht - die Quadratwurzel aus 4 selbst wieder nur (+)2 und sonst nix 🤔.
🙂👻
@@roland3et Anmerkung: Wurzeln sind immer positiv, egal ob zweite, dritte oder sonstwievielte.
Lösung:
√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2 * √3
Daher kann man √3 sowohl im Zähler, als auch im Nenner ausklammern:
(√3 - 2√3) / (√3 + 2√3)
= (√3 * (1 - 2)) / (√3 * (1 + 2))
Jetzt kann man √3 kürzen und den Rest ausrechnen.
Das Ergebnis ist -1/3
Ich sag mal so: erste methode ist universell und führt immer zum ziel, zweite variante ist schöner für die geistige flexibilität wenn man sowas kennt/erkennt
Die erste Variante ist besser, weil sie immer anwendbar ist.😊
es müssten schon lauter Primzahlen sein, damit es nicht funzt
Die zweite Variante ist besser, weil sie viel schneller und weniger anfaellig fuer Fehler ist. Also zu bevorzugen, wenn man sie erkennt. ;)
🙂👍
Ich liebe dich
Für Die Eisdiele😊🍦🍧🥳
Ich frag mich jetzt nur ob beide Methoden immer anwendbar sind oder es Fälle gibt wo man besser den einen oder den anderen Weg geht.
Das zweite klappt nur, wenn der vordere Radikant ein Teiler des hinteren Radikanten ist. Die erste Variante sollte immer klappen.
* Radikand
@@bjornfeuerbacher5514 Ah Mist. Danke.
Hallo Susanne,
die zweite Lösung ist schön, aber die erste Lösung ist besser, da sie immer funktioniert, die zweite nicht!
Grüsse aus Ungarn
Die erste Loesung ist mehr Rechnerei, deswegen bevorzuge ich die zweite. Ich bin ir aber der erstten Loesung bewusst,und wuerde sie dann (und nur dann) verwenden, wenn die Zahen nicht so gut zusamen passen und man nicht partiell die Wurzel ziehen kkann.
Lösung:
(√3-√12)/(√3+√12) = (√3-√12)²/[(√3+√12)(√3-√12)] = (3-2*√3*√12+12)/(3-12)
= (15-2*√36)/(-9) = (15-2*6)/(-9) = 3/(-9) = -1/3
wenn man das alles (hier und andere videos) anschaut, ist das ja alles einleuchtend, aber wer kann sich bissl alles so perfekt merken und erkennen wie man vorgehen muss.. daran würde es bei mir scheitern... naja ich bin halt auch eher linguist als mathematiker ^^.
Als Linguist musst du dir auch eine Menge merken. Ist einfach nur Erfahrung und UEbungssache. Fuer viele Formeln kann man sich auch ein Tafelwerk zur Hand nehmen, dass hilft schon sehr viel. Ein paar grundlegende Methoden wird man aber immer beherrschen muessen.
Weg 1 hatte ich auch im Kopf
Ich hab spontan die 2. Version genommen.
Bin ich noch verrückter, wenn ich den dritten Weg genommen habe?
Anstatt mit sqrt(3) - sqrt(12) zu erweitern habe ich (sqrt(3) + sqrt(12)) benutzt.
Im Nenner hast du dann die erste Bin. Formel ; im Zähler die dritte. Ich hatte gesehen, das 3*12 = 36 eine Quadratzahl ergibt und damit der Mittel-Term der 1 Binomische Formel 2*sqrt(36) = 2 * 6 ergibt.
Da äußeren Terme ja reine Wurzeln sind, die man quadriert, verschwinden die auch und es bleiben nur noch Zahlen zum addieren bzw subtrahieren übrig.
Zum Schluss muss man dann nur noch den Bruch (-9/27) kürzen um auf das gleiche Ergebnis wie in den anderen beiden Fällen zu kommen.
Aber ich muss zugeben, dass ich die zweite Lösung nicht selbst gesehen habe. Die ist natürlcih am einfachsten, wenn man die Bin. Formeln gerade nicht parat hat.
Hier für den Algorithmus 💪😁
Ich denke es kann noch einfacher:
V3(1-V4)/V3(1+V4)=
V3(1-2)/V3(1+2)=
(1-2)/(1+2) = -1/3
Hallo Susanne, guten Morgen,
hier kann ich wieder 'mitspielen' 🙂
Mein Lösungsvorschlag:
zunächst lässt sich sqrt(12) vereinfachen zu
sqrt(12) = sqrt(4) * sqrt(3) = 2 * sqrt(3)
Im Zähler steht dann:
sqrt(3) - 2 * sqrt(3) = - sqrt(3)
Im Nenner steht dann:
sqrt(3) + 2 * sqrt(3) = 3 * sqrt(3)
der gesamte Bruch sieht dann so aus:
- sqrt(3) / 3 * sqrt(3)
jetzt kürzt sich sqrt(3) in Zähler und Nenner weg. Das ist zulässig, da sqrt(3)0 ist.
Zu guter Letzt steht dann noch da:
-1/3
komplett hingeschrieben:
(sqrt(3) - sqrt(12)) / (sqrt(3) + sqrt(12)) = -1/3
Dir und allen anderen hier ein super Wochenende.
Lass es Dir gut gehen.
LG aus dem Schwabenland
Man koennte den Bruch nun mit (sqrtt(3)-sqrt(12)) erweitern, um den Nenner ratonal (sogar zu einer ganzen Zahl) zu bekommmen, aber ich habe mmich zu einemm anderen Weg entschlossen. sqrt(12)=sqrt(4*3)=sqrt(4)*sqrt(3)=2*sqrt(3)
Damit ergibt sich fuer den Nenner 3*sqrt(3) und fuer den Zaehller -sqrt(3)..Dann kann mman mitt sqrttt(3) kkuerzen und erhaelt als Wer 1/3.
Meine erste Idee war: (√3-√12)/(√3+√12) = (1-(√12/√3))/(1+(√12/√3)) = (1-√(12/3))/ (1+√(12/3)) = (1-2)/(1+2) = -1/3
Juhu - freu mich auf jedes neue Video meiner Mathe-Auffrischungs-Nachhilfe! Knutscher! : -)))
Ich dachte, man könnte es ja auch mal mit Partialdivision versuchen. Ging aber nicht auf, sondern ist gewaltig eskaliert. Führte am Ende auf eine unendliche Reihe.
Dann geb ich's mal zu. Ich bin so ein Verrückter. 😳
Methoden, die sich generell anwenden lassen, sind mir am liebsten. Und es ging doch ganz fix.
Ich wollte das schon beinahe abschätzen wegen Epsilon delta Kriterium 😢( anscheinend hab ich wirklich nen schaden)
Hallo liebe Mama Susanne... ...eine kurze Aufgabe für zwischendurch und zwar kommt 0,33 heraus... ...und ich habe eigentlich nur die Wurzel aus 12 vereinfacht zu 2 mal Wurzel aus 3, weil man so nur einmal die Wurzel berechnen muss, was Zeit spart, wobei die Wurzel aus 3 auf zwei Nachkommastellen eine unschwierige Sache ist ähnlich der Tetration von heute morgen, sodass der finale Quotient, um den es geht, schnell ermittelt war... ...eine ähnliche stille Angelegenheit, weil recht einfach und übersichtlich...
Le p'tit Daniel
0,33 ist falsch, denn die Lösung ist 1/3, was 0,3333... (Periode 3 bis unendlich) ist.
0,33 ist sogar doppelt falsch, weil die Lösung ja noch nicht mal 1/3 ist, sondern -1/3.
Und man muss hier sogar überhaupt keine Wurzel "berechnen", weil die Wurzel von 3 sich hier komplett weg kürzt.
@@bjornfeuerbacher5514 Stimmt...
was du Schwachkopf wieder willst, weiß ich nicht... ...Neid, dass einer so viel klüger ist als du es jemals sein könntest... ...du Hosenschiss von einem Fake-Rechner und Nullmathematiker?
Die Lösung ist nicht doppelt falsch, sondern ich habe lediglich das minus vergessen... ...soll das ein Fehler sein, dessen du mich benachrichtigen müsstest, oder was?
Und was man muss und kann, ne... ..ich kann Wurzeln im Kopf berechnen, deshalb ist das immer mein erster Ansatz, wer das nicht kann, der geht natürlich die Loser-Variante, die jeder kann über die einfachen Algebraica...
...und du Idiot bist mir schon beim ersten Besuch auf die Nerven gegangen, wobei du Eimer da noch weniger Trefferfläche botest, hinsichtlich der psychologischen Eindeutigkeit deiner Intention, denn du Eimer kannst sicher nicht mal im Ansatz die Zweipotenzen im Kopfrechnen... ...wieso glaubst du mir da eine Nachricht schicken zu müssen, die mich auf einen offensichtlichen Flüchtigkeitsfehler hinweist?
Und du willst mich verarschen, du Hobby-Mathematiker, oder was?
Willst du mir auch sagen, du weißt nicht, wer ich bin...
...bist du der Ehepartner von Astro-Peter?
Le p'tit Daniel, ich merke mir deinen scheiß verfickten Namen... ...und wenn du Idiot es noch einmal wagst mich mit deiner wahrscheinlich nicht mal mittelmäßigen Leistung im Bereich Mathe zu belästigen... ...dann wird es heikel... ...recherchiere mal den Fall Litwinienko, um zu verstehen, was ich meine...
jo, man... ...die Lösung soll falsch sein???
Schon mal was vom arithmetischen Synkretismus gehört, indem ja Dezimalbrüche und Brüche unterschiedliche Darstellungen des Gleichen sind, mit nur so geringfügigen Abweichungen, dass das nicht mal im Ansatz für das Abstreiten der Bikondition - also der Äquivalenz reicht?
Verstehe nicht, was da dein Ansatz für < falsch > sein soll, indem 0,33 = 1 / 3, abgerundet ist, wobei man genau sein kann und mir vorwerfen kann, ich hätte das Periodenzeichen vergessen... ...aber deshalb die Nachricht...
Le p'tit Daniel
Ich glaube 42 kommt raus.
@haarausfall_75: Fast 😜!
Es fehlt nur ein kleiner Korrekturfaktor:
42 × (-1/126)
😉👻
=>-9/15=-3/50,6
Ich kann Gleichungen nicht
Und? In der Aufgabe hier ging es nicht um Gleichungen.
Hat Wurzel-aus-36 nicht zwei Lösungen?
Die Wurzel aus einer Zahl ist immer als positiv definiert. In Gleichungen hingegen gibt es die positive und die negative Wurzel. Im vorliegenden Fall handelt es sich jedoch "nur" um einen Term und deswegen gibt es hier nur eine, die positive Lösung.
x² = 36 hat zwei Lösungen: x = 6 oder x = -6
Aber SQRT(36) kann nur 6 also positiv sein. Wenn du schreibst "SQRT(36) = +-6" dann ist das falsch.
Man kann diese Aufgabe viel einfacher und schneller lösen. Wurzel 12 = 2 x Wurzel 3. Dann steht im Zähler: - Wurzel 3 und im Nenner 3 x Wurzel 3. Gekürzt gibt das : - 1/3.
Das hat sie doch genau so gezeigt.
@@edhoc2 Ich hatte mir nur die erste Lösung angesehen. Das war mein Fehler
Ist es nicht faszinierend, wie Susanne aus den zwei irrationalen Zahlen sqrt(3) = 1.732050807...
und
sqrt(12) = 3.464101615...
mit ein bißchen +, -, : Verknüpfung eine so simple rationale Zahl wie minus ein Drittel "zaubert"?
🙂👻
Was ich grad nicht verstehe: Beim Wurzelziehen gibt es doch immer zwei Lösungen + und -. Warum nehmen wir hier immer die positiven Lösungen?
Die Sache mit dem +/- gilt bei Gleichungen mit Variablen - Hier sind nur Zahlen - da gibt es einfach nur die positive Lösung
Zwei Lösungen gibt es nur dann, wenn vor dem Wurzelzeichen auch wirklich explizit plusminus steht (wie eben in der Mitternachtsformel und in der p-q-Formel). Wenn da nur ein Wurzelzeichen steht, ohne plusminus davor, dann ist immer nur das positive (bzw. nicht-negative) Ergebnis gemeint.
@@bjornfeuerbacher5514 Danke für den Tipp! Jetzt hab ich es verstanden.
Mit sqr(3) erweitern... =( 3-6) /(3+6) = -1/3😂😂😂😂 ... ohne video
Sehr erfrischendes Video ... bzw. auffrischendes ...
Wurzel von 36 ist 6 aber auch -6.....
Nein. Die Wurzel aus einer Zahl ist immer nur positiv. Bei einer Gleichung hingegen gibt es sowohl die positive als auch die negative Lösung. Im vorliegenden Fall handelt es sich aber um einen Term und da gibt es nur die eine, die positive Lösung.