Малые Ординалы и Кардиналы 1. ℵ₀ (Алеф-ноль) Определение: Первый счётный кардинал, представляющий мощность множества натуральных чисел. ℵ₀ - наименьший бесконечный кардинал. Свойства: Регулярный: ℵ₀ не может быть выражен как объединение меньшего числа меньших кардиналов. Это означает, что его мощность нельзя исчерпать через объединение конечных множеств. Лимитный: ℵ₀ является первым бесконечным кардиналом, который не имеет конечного предшественника. 2. ω (Омега) Определение: Первый трансфинитный ординал, представляющий порядок натуральных чисел. Свойства: Регулярный: Ординал ω не может быть разложен на конечное число меньших ординалов. Трансфинитный: Является базой для всех ординалов больше конечных чисел, вводя понятие порядка для бесконечных множеств. 3. ε₀ (Эпсилон-ноль) Определение: Первый ординал, который является фиксированной точкой функции экспоненты ω, то есть ε₀ = ω^ε₀. Свойства: Фиксированная точка: Он не изменяется при экспоненциальной операции. Использование в теории доказательств: Важен для описания границы доказуемости арифметики Пеано. 4. Γ₀ (Гамма-ноль) Определение: Первый ординал, недостижимый через стандартные операции сложения, умножения и экспоненциальных операций над ординалами. Свойства: Недостижимость: Его невозможно получить через стандартные ординальные операции. Использование в доказательствах консистентности: Определяет границы сложных формальных систем. 5. Чёрч-Клини ординал (ω₁^{CK}) Определение: Наименьший ординал, который не может быть представлен с помощью рекурсивных функций. Свойства: Недостижимость рекурсивными функциями: Является границей того, что может быть вычислено рекурсивно. Лимитный: Это лимитный ординал среди рекурсивных ординалов. 6. ℵ₁ (Алеф-один) Определение: Наименьший несчётный кардинал, представляющий мощность множества всех счётных ординалов. Свойства: Несчётный: ℵ₁ - первый кардинал больше ℵ₀, его мощность несчётна. Регулярный: Нельзя выразить как объединение меньшего числа меньших кардиналов. 7. ℵ₂, ℵ₃, ... (Последующие алефы) Определение: Последующие кардиналы ℵ₂ и далее представляют следующие степени мощности. Свойства: Лимитные кардиналы: Например, ℵ₂ представляет мощность всех ординалов с мощностью ℵ₁. 8. Beth-кардиналы (ℶ₀, ℶ₁, ...) Определение: Кардиналы, которые описывают степени экспоненциального роста множеств. Свойства: ℶ₀ = ℵ₀. ℶ₁ = 2^ℵ₀ (мощность континуума). 9. Лимитный кардинал Определение: Кардинал, который не имеет непосредственного предшественника в иерархии. Свойства: Лимитный: Его нельзя получить через прибавление 1 к предыдущему кардиналу. 10. Регулярный кардинал Определение: Кардинал, который не может быть представлен как объединение меньшего числа кардиналов. Свойства: Регулярный: Невозможно разбить на меньшее число кардиналов, чем его мощность. 11. Слабо недостижимый кардинал Определение: Лимитный и регулярный кардинал, который не может быть представлен в ZFC. Свойства: Недостижимость: Слабо недостижимый кардинал не может быть достигнут стандартными операциями. Компактные и Особые Кардиналы 12. Mahlo-кардинал Определение: Лимитный кардинал, который лимитен по отношению к регулярным кардиналам. Свойства: Лимитный: Имеет множество регулярных кардиналов ниже себя. Регулярный: Обладает свойством регулярности. Принцип отражения: Множество регулярных кардиналов меньше Mahlo-кардинала стационарно. 13. Слабо компактный кардинал Определение: Регулярный кардинал с компактными свойствами. Свойства: Регулярный: Сохраняет свою регулярность. Компактный: Важен в логике второго порядка, обладая свойством деревьев. Измеримые и Мощные Кардиналы 14. Измеримый кардинал Определение: Кардинал, для которого существует ненулевой ультрафильтр. Свойства: Измеримость: Имеет ультрафильтр, который измеряет множества. 15. Сильно измеримый кардинал Определение: Более мощный кардинал, чем измеримый. Свойства: Элементарные вложения: Обладает свойствами элементарных вложений, что делает его ещё сильнее. 16. Суперизмеримый кардинал Определение: Кардинал с ещё большей степенью измеримости. Свойства: Углублённая измеримость: Его возможности по измерению расширены по сравнению с измеримыми кардиналами. 17. Сверхкомпактный кардинал Определение: Кардинал с мощными свойствами сжатия до меньших кардиналов. Свойства: Элементарные вложения: Позволяет создавать вложения для всех меньших кардиналов. 18. Вудинов кардинал Определение: Кардинал, важный для дескриптивной теории множеств. Свойства: Важность для гипотез континуума: Играет ключевую роль в исследовании гипотезы континуума. 19. Расширяемый кардинал Определение: Кардинал, который можно расширять для любых ординалов. Свойства: Расширяемость: Может расширяться через элементарные вложения. 20. Почти-Хьюдж кардинал Определение: Кардинал, близкий по мощности к Хьюдж-кардиналу. Свойства: Граница между хьюдж-кардиналами и более слабыми кардиналами. 21. Хьюдж-кардинал Определение: Один из самых мощных кардиналов. Свойства: Элементарные вложения: Имеет множество вложений с большими параметрами. 22. Ранг в Ранг кардинал Определение: Наивысший класс кардиналов с уникальной мощностью. Свойства: Наивысшая сложность: Используется в самых продвинутых теориях множеств.
Малые Ординалы и Кардиналы
1. ℵ₀ (Алеф-ноль)
Определение: Первый счётный кардинал, представляющий мощность множества натуральных чисел. ℵ₀ - наименьший бесконечный кардинал.
Свойства:
Регулярный: ℵ₀ не может быть выражен как объединение меньшего числа меньших кардиналов. Это означает, что его мощность нельзя исчерпать через объединение конечных множеств.
Лимитный: ℵ₀ является первым бесконечным кардиналом, который не имеет конечного предшественника.
2. ω (Омега)
Определение: Первый трансфинитный ординал, представляющий порядок натуральных чисел.
Свойства:
Регулярный: Ординал ω не может быть разложен на конечное число меньших ординалов.
Трансфинитный: Является базой для всех ординалов больше конечных чисел, вводя понятие порядка для бесконечных множеств.
3. ε₀ (Эпсилон-ноль)
Определение: Первый ординал, который является фиксированной точкой функции экспоненты ω, то есть ε₀ = ω^ε₀.
Свойства:
Фиксированная точка: Он не изменяется при экспоненциальной операции.
Использование в теории доказательств: Важен для описания границы доказуемости арифметики Пеано.
4. Γ₀ (Гамма-ноль)
Определение: Первый ординал, недостижимый через стандартные операции сложения, умножения и экспоненциальных операций над ординалами.
Свойства:
Недостижимость: Его невозможно получить через стандартные ординальные операции.
Использование в доказательствах консистентности: Определяет границы сложных формальных систем.
5. Чёрч-Клини ординал (ω₁^{CK})
Определение: Наименьший ординал, который не может быть представлен с помощью рекурсивных функций.
Свойства:
Недостижимость рекурсивными функциями: Является границей того, что может быть вычислено рекурсивно.
Лимитный: Это лимитный ординал среди рекурсивных ординалов.
6. ℵ₁ (Алеф-один)
Определение: Наименьший несчётный кардинал, представляющий мощность множества всех счётных ординалов.
Свойства:
Несчётный: ℵ₁ - первый кардинал больше ℵ₀, его мощность несчётна.
Регулярный: Нельзя выразить как объединение меньшего числа меньших кардиналов.
7. ℵ₂, ℵ₃, ... (Последующие алефы)
Определение: Последующие кардиналы ℵ₂ и далее представляют следующие степени мощности.
Свойства:
Лимитные кардиналы: Например, ℵ₂ представляет мощность всех ординалов с мощностью ℵ₁.
8. Beth-кардиналы (ℶ₀, ℶ₁, ...)
Определение: Кардиналы, которые описывают степени экспоненциального роста множеств.
Свойства:
ℶ₀ = ℵ₀.
ℶ₁ = 2^ℵ₀ (мощность континуума).
9. Лимитный кардинал
Определение: Кардинал, который не имеет непосредственного предшественника в иерархии.
Свойства:
Лимитный: Его нельзя получить через прибавление 1 к предыдущему кардиналу.
10. Регулярный кардинал
Определение: Кардинал, который не может быть представлен как объединение меньшего числа кардиналов.
Свойства:
Регулярный: Невозможно разбить на меньшее число кардиналов, чем его мощность.
11. Слабо недостижимый кардинал
Определение: Лимитный и регулярный кардинал, который не может быть представлен в ZFC.
Свойства:
Недостижимость: Слабо недостижимый кардинал не может быть достигнут стандартными операциями.
Компактные и Особые Кардиналы
12. Mahlo-кардинал
Определение: Лимитный кардинал, который лимитен по отношению к регулярным кардиналам.
Свойства:
Лимитный: Имеет множество регулярных кардиналов ниже себя.
Регулярный: Обладает свойством регулярности.
Принцип отражения: Множество регулярных кардиналов меньше Mahlo-кардинала стационарно.
13. Слабо компактный кардинал
Определение: Регулярный кардинал с компактными свойствами.
Свойства:
Регулярный: Сохраняет свою регулярность.
Компактный: Важен в логике второго порядка, обладая свойством деревьев.
Измеримые и Мощные Кардиналы
14. Измеримый кардинал
Определение: Кардинал, для которого существует ненулевой ультрафильтр.
Свойства:
Измеримость: Имеет ультрафильтр, который измеряет множества.
15. Сильно измеримый кардинал
Определение: Более мощный кардинал, чем измеримый.
Свойства:
Элементарные вложения: Обладает свойствами элементарных вложений, что делает его ещё сильнее.
16. Суперизмеримый кардинал
Определение: Кардинал с ещё большей степенью измеримости.
Свойства:
Углублённая измеримость: Его возможности по измерению расширены по сравнению с измеримыми кардиналами.
17. Сверхкомпактный кардинал
Определение: Кардинал с мощными свойствами сжатия до меньших кардиналов.
Свойства:
Элементарные вложения: Позволяет создавать вложения для всех меньших кардиналов.
18. Вудинов кардинал
Определение: Кардинал, важный для дескриптивной теории множеств.
Свойства:
Важность для гипотез континуума: Играет ключевую роль в исследовании гипотезы континуума.
19. Расширяемый кардинал
Определение: Кардинал, который можно расширять для любых ординалов.
Свойства:
Расширяемость: Может расширяться через элементарные вложения.
20. Почти-Хьюдж кардинал
Определение: Кардинал, близкий по мощности к Хьюдж-кардиналу.
Свойства:
Граница между хьюдж-кардиналами и более слабыми кардиналами.
21. Хьюдж-кардинал
Определение: Один из самых мощных кардиналов.
Свойства:
Элементарные вложения: Имеет множество вложений с большими параметрами.
22. Ранг в Ранг кардинал
Определение: Наивысший класс кардиналов с уникальной мощностью.
Свойства:
Наивысшая сложность: Используется в самых продвинутых теориях множеств.
?
@@MrMaksGoogology39 более полная иерархия больших кардиналов.
@@Inaccessible_Numbers понял
Я не прийду поскольку у меня школа в это время
Ну тогда поставлю на 18:30
@@MrMaksGoogology39 Ну тогда наверное прийду
@@sciencekemalidrisov7415 ура
Пошли в чат