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書籍について一見すると子供向けのように見えますが、細かいところまで誤魔化さずにしっかり書きました。ぜひ！動画について描画サイト用意しましたが、スマホだと見辛いかも...とりあえず三次元でグラフ描画する環境を作ったので、他にもいろいろ検証してみようと思います。
書籍の御値段はいか程❓️
税込1450円になります！ちょっと高いかも(´･ω･`)
@@nazotokilab 安い買います！
@@nazotokilab こんな神単行本が1450円なんて安すぎますよ！！！絶対買います！！！ちなみに、今までの動画にあったものだけが解説されてるんですか？
@@User-Rowlet 新規項目もありますが、これまで動画で扱ってきたコンテンツが中心ですね。ただ、テーマは同じでも内容は一から見直してより詳細に解説してますので、読み応えはあるかなと思います！
数IIで虚数を習った時の疑問をここまで鮮やかに解決してくれるの最高過ぎる...実際にグラフで表すと虚数が更にイメージしやすくなりますね
虚数を視覚的に理解した状態で学べるのはすごくありがたいです
毎回どうしたらそんなわかりやすい説明が出来るんだ
すごいですよね、、実はこうなってたんだ！って納得しました！でも完全には理解できないところがまた虚数、複素数の面白いところですよね😂
数学科出身説
全然分からないよ一般化されてないってことは特殊解ってことかな
@@queirrelel まあ虚数は数3の範囲みたいですからね。数2で終わった自分は虚数解というものすら知りませんでした。虚数を知らなかった自分でもグラフってそうなってたんだとかは実感することはできました。
@@-ichi-1154 虚数は数IIです複素数平面は旧過程では数Ⅲ新課程では数Cです
何故、宇宙論とかで虚数部分が大切なのかやっと少し理解できました。虚数があることにより平面的空間でなく多次元を表せるということなのですね。違うかもしれないけどなんか理解の足がかり的なものを得られることができました。感動。
ガロアやアーベルが深く魅了された方程式の解の理論。複素数のグラフまで考えると5次以上の方程式の解がどうふるまうか可視化できて魅了されそうです。わかりやすい複素平面のグラフの解説ありがとう。
このグラフの表し方高校の時からずっと考えてたんだけど同じこと考えてる人が初めて見つかった
例え複素数を理解していても図解するのはだいぶ頭が柔軟だな…すごい
まじでおめでとう！主の説明は本当にまとまってでわかりやすいからかうかも！！！
虚数解はあくまで数学的テクニックなだけだと思っていたけど、こんな風にグラフ化するっていう発想があったなんて驚き。凄い！
今まで一部の人しか理解できてなかった領域をこれだけ分かりやすく説明されてる動画をUA-camで多数の人が視聴できるってことは実は人類全体の知的ステージが一気にかさ上げされるくらい革命的なことなのかも知れませんね。
直感的理解を大事にしたくて高校数学に挫折した自分に見せてあげたい動画！！どうしても凡人にはイメージが困難な単元はあると思うけど、こう言うふうに解説してくれるのはありがたいよねえ
どんどん数学が面白く、好きになってく…
書籍発売おめでとうございます!!これからの日本の教育に必要なのは解説の小林さんの様な面白さと興奮を伝えられる人だと思います。
ただでさえ知識豊富でその膨大な知識を分かりやすくまとめあげられるのに、更に分からない人の目線に立って説明してくれるナゾトキラボさんは一体何者なんだ…？！
天才としか言いようが無い
チームで作成してたりして
さらにそれを面白くさせるのが神
授業が面白いと評判の大学教授か、もしくは生徒に滅茶苦茶人気ある予備校講師みたいに見える
隠れて副業してる教授とかじゃね？
方程式の解、という概念を初めて理解できた気がします何故ここまで賢いのに無知な人間にもわかりやすい説明ができるのか…
賢いから無知な人間に言葉を選べるのさありがたいよねほんとに
何にでも言えることだが、相手に理解させる事が出来て初めて教えたと言える説明を垂れ流しても教えたことにはならない
数学者はコンピューターが出現する前は本に印刷された文章や動かないグラフとかを読んで、この概念を頭の中に構築して４次元でぐりぐり動かしたりパラメーターpを変化させてその動きを想像してるんだろうからやっぱ天才／Kiちがいやなー
数学も物理もCGで教わると落ちこぼれが少なくなると思います。素晴らしい。
複素数の軸を加えるとX・Yともに２次元になって４次元になってしまい、３次元までしか視覚的に表せない私たちにとっては視覚化は難しいのだろうなと思っていましたが、Yの実軸のみを取り上げたり、Yの絶対値を取って３次元に表す試みはとても興味深く、長年の謎が解けたみたいなすごくうれしい動画でした。ありがとうございます。そしてどうしても見てみたいと思ったのは、Yの虚軸のみを取り上げたグラフがどんなふうになるのか、ということです。自分でやってみようかな・・・
こ、、こんな視覚的にわかりやすく説明できるなんて、、凄すぎてビックリした。
今まで頭の中で考えてたことが映像化されてる、感動...
こんばんは！こちらのチャンネルは、元々小5のうちの娘が気に入って見ていたので知りました。（ラピュタの飛行石エネルギーの話など、ウケてました。）この虚数解を可視化の動画は私にとってとても画期的でした。高校の時に、私に数学苦手意識を抱かせた虚数が3次元的に表すとこういう意味をなすのかと本当に感動しました！！是非世の中の、数学つまずきかけてる高校生にこの動画を見るようアナウンスしたいです。夫にも、この動画感動したわ、と見せましたが、、特に反応せず、、「可視化はいいや。虚数の考えがシュレディンガー方程式にどう応用されてるのか、そういうのが知りたいかなぁ」とほざいてました。そんな動画もよければ作ってください！！！
重解の意味を深く捉えられるなこの動画は
初めて見たけどマジで面白いと思った書籍も買ってみたいと思います！
ありがとうございます！
過去一わかりやすい
数学を挫折した私にとっては、何のことか良くわかりませんが、凄いことを説明していることは何となくわかります。老後の楽しみが増えました!
講義を、ありがとうございます。
いや流石に分かりやすすぎる笑笑
素晴らしい動画ですね。私も中高生時にこの動画を視聴できていたならどれほど理解を進められていただろうと悔やんでしまいます。
高校のときこのチャンネルに出会っていたら、数学が好きになってただろうな…まだUA-camもない時代だったが
数学を分かりやすく解説してるゆっくり動画ってなかなかないから、このチャンネルは本当に凄い
もしよろしければ複素関数論のお話もお聞きしたいです…！正則の範囲とか特異点の種類の違いがどうなるのかとても気になります！
すごくわかりやすい解説でした。ありがとうございました。
いつも二人の絶妙なやり取りを楽しく拝見させていただいています！数学、物理大好きな私にとってこのチャンネルは興味わくわくなチャンネルです。書籍ですがさっそく予約購入させてもらいました！届くのが楽しみです♪
毎回すごいわかりやすい人間は虚数を理解することができないことが理解できた。
高校の時に全く同じ疑問を持ってました。虚軸を追加するのだろうとは思っていましたが、まさか曲線が出てくるとは…分かりやすかったです！
複素関数の可視化とはとても良い着眼点です。
書籍発行おめでとうございます！ナゾトキさんは説明力もさることながら、動画作成のスキル＆センスも凄まじいですね👏
すげぇ…こんな説明をされたことなかったから驚き
化学において、遷移状態の鞍点では虚数の振動数が1つだけというのが視覚的に理解できました。
書籍出版おめでとうございます。購入しようと思います。本を出せるってすごいですね。
本買います！！書籍化ありがとうございます！
こちらこそありがとうございます！
動画興味深かったです。4次元視点で3次元のことを考える例としてクラインの壺を説明して欲しいっす！
書籍が3月10日に発売!?そんなの待ちきれないよーーーーーーー!おめでとう!!!😆❤️❤️
高校生の頃、同じ様に3次元立体で複素数のグラフを描くとどうなるのかと考えてました。ようやくその答えが分かりました。ありがとうございます。
学校で関数習った時には「解なし」に対して、交わってないから当然だろって思うだけで虚数解のグラフがどうなってるかなんか考えもしなかったな。きっとこういうこと(正2.5角形のやつとか)を自分で疑問に出せる数学者は閃きが凄いんだろうな！自分では全く気づかなかったのに言われてみたら凄い興味深い疑問だった！😮
本当に今当たり前に使っている公式とかを見つけ出した数学者には感服する
(+X)^(+2)+1=0は実数解を持たないという洗脳工作は数学史を停滞させているんだよねぇ…マイナス反復性の導入で即座に実数解を持つことが理解できるんだよねぇ…(−)=(−)(−)=(+)(+)&(+)(−)=(−)(+)=(+)という不変量設定が(−1)の規則を導入することで呆気なく説明できるんだよねぇ…さらにゼロ反復性を導入することでゼロ除算まで可能になるんだよねぇ…ふふふ…ゼロで割ると…プラス反復性に準拠する図形とマイナス反復性に準拠する図形に分離するんだよねぇ…
他のチャンネルがほとんど取上げない内容が多いから見る価値がある
高校卒業して2次関数は全て理解したと思ってだけど、こんな世界もあったとは！！
11:05 二次関数を複素数に拡張したグラフを完全に描けている訳じゃないんだけど、それでも美しい曲面になるのは、複素数の実部をとる操作も連続だからなんだろうなぁ、不思議だなぁ
めっちゃ気になってたからほんとに助かる
うわーナゾトキラボさんの書籍とか買いじゃん！文系選んだけどこれからも数学続けていきたい
いやー分かりやすい。よく分かりやすい説明ができるよな〜
「四元数と四元数の積は、四次元空間の回転を表す」に通じるような面白いお話でした。
こういうのを想像しようとしてきたけど頭のなかで考えるとどうしてもうまく想像できなくて難しかったから助かる
文系でも理解できるし、今までよりも理解が深まった気がする
ナゾトキラボの動画を他のチャンネルでも同じ内容で紹介してたりする(内容が追加されてたりして完全一致じゃない)けど先駆的なこのチャンネルの着眼点がなんかすごくって感じる
絶対値の定義はその数をグラフに表したときの原点からの距離だから、複素数の絶対値も三平方の定理を使えば求めることができるってことなのかな…？
数学の面白さに少しだけ目覚めたおっさんです。やはり視覚的なものは影響大きいですね、このグラフィックのおかげで大変理解の助けになりました、ありがとうございます。他の動画も順次見せてもらっています。それにしても、複素数というのは我々三次元存在の下層にある真の世界を表現するのに必要な概念で、本当におもしろいです。それは複素数に限らないかな・・
四元数を画像で見ると本当に面白いです数式とかは全く理解出来ていませんがｗ
この範囲を習う時に見たかったくらいすごくわかりやすいし見入ってしまう
「実数計数の方程式が虚数解を持つときその共役も解として持つ」が視覚的にわかる気がしますね
２つの虚数解が共役複素数となる理由が直感的に分かる感じがすごくいい
一応解からの逆算でも分かりますね。(x−(a+bi))(x−(c+di))＝0は２つの複素数解a+bi, c+diを持ちます。左辺を展開するとx²−((a+c)+(b+d)i)x+(ac−bd)+(bc+da)iとなり、これが実数係数の二次式となる必要十分条件はb+d＝bc+da＝0です。これを解くとa＝cかつb＝−dまたはb＝d＝0となり、実数係数の二次方程式の解は共役な複素数か２つの実数しかありえないことが分かります。
そういうことをせずとも視覚的に分かるねってことを言ってるんだと思いますよ
@@tan-hp1qw そうですね。そもそも私のやり方は直感的じゃないですし。ただ、個人的に『本当か？』と思ってしまう部分があったので補足として証明を書いたつもりです。
その直感に合わせた説明にするならこうかな。解の公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)において、q=-b/(2a)r=√(b²-4ac)/(2a)とすると、x=q±rと表せるので、動画での空間では解の2点は直線x=qにおいて対称な位置にあると言える。
本たのしみです！！！😚
何と分かりやすい解説。動画作ってる人は相当 頭いいのだなあ。ものの見方が広がりました。こうなってくると4次元のグラフも見たくなります。😄
ずっと気になってたことなので助かりました‼︎‼︎
内容はとくに知ってるけど他の人の解説を改めて見るも新鮮な気持ち
高校でこれを分かりやすく教えてくれた先生と、更に分かりやすくしてくれたうp主に感謝
宇宙って11次元って言われてるけど、そのうちの3次元は空間的要素x，y，zで、それぞれ虚数空間があると仮定すると6次元分埋められるんじゃないか？
文系大学ですが、いつも興味深く拝聴しています。書籍も購入して勉強させていただきます♪
ちなみに-1^x=yのグラフは面白いですよ！(z=i軸とするときバネのような形になります）
天才的わかりやすさ！本絶対買う！
高校のさいしょのほうにやる2次関数がこんなにも奥深いものとは…
書籍即買いしました！！
波の運動に関わる形ですね。波が重なり合い、渦巻き運動に替わる時は極点が上下に２つある気がします。
複素数の絶対値（≧0）を高さ方向にとって曲面グラフで表現するなら、さらに、偏角を色相（紫→赤→オレンジ→黄色→黄緑→緑→青→藍色→紫）で表して曲面に色付けしてはどうでしょうか？ 色相環は紫で１周して元の色に戻るから、偏角を表現するのにちょうどいいと思います。
やっぱり数学は面白いって思わせてくれる
この動画もよいですね！複素数で思い出しましたが、複素球面の概念を覚えたときに、無限大が「北極」にマッピングできて、北極より北がないように、無限大より大きいものがないんだってことを、なんだかイメージできた気がしましたよ
偏角を色相で表した曲面も見てみたくなりますよね
これは素晴らしい動画。
虚数の説明で一番わかりすかった
楽しすぎる
書籍はできるだけ書店で買う主義なので、本屋で見つけたら即買います。
絶対値をとって三次元にするという発想は、言われるまで気付きませんでした。絶対値取ったグラフは面白い形ですね。
複素数の話はとても興味深いです。高校生になって虚数というものを学ぶと、「実数じゃ収まらないから仕方なく無理やり作ったもの」みたいな印象を受けます。しかし、量子力学は本質的に複素数で記述されます。「実数だけの量子力学」というのはありえなくて、現実の現象を説明できなくなってしまいます。この世界は「実数と虚数」の両方が実際にあることによって成り立っています。
なかなかいぃ。 可視化して３次元認識しかできない人でも４次元存在の一端を垣間見る試みは秀逸。
2次関数の形も興味深いですが、3次関数・4次関数と上げて行った時に虚部がどう動くのか気になります！
本、予約しました！楽しみです！😊いつも面白い観点での数学解説ありがとうございます！数学苦手だけど楽しく見ています！応援してます！
勉強になりました。ありがとう。凄いですね。まさか虚数が可視化出来るとは思わなかった
書籍発売おめでとうございます！視覚的にみるとこんなに分かりやすくなるんですねー
ありがとう！！！
おもしろい！ところでこういうグラフ描画ってどうやってしているんだろう？何かのツールがあるのか、何かのプログラミング言語でグラフが描画・出力できるのか？完全に無知なので分からないけど興味ある。
書籍予約させて頂きました楽しみに待ってます🎶
わー！！！すごーーい！！！！納得しました！すごく分かりやすくて面白い動画でもっと数学勉強したくなりました！！ありがとうございます😭😭😭これからも動画作り応援してます！
根本的に理解するとこんなにも気持ちいいのか
いや面白い、高校の時に習った数学の虚数にこんな真実が隠れていたとは。動画で見ると非常にイメージしやすいですね。本来我々が知覚できないはずの高次元の一端を虚数という想像上の数字を使用することで現すことができるということが興味深い。
めちゃ面白い！3次元空間に、「色の濃さ」も変数としてグラフを描画したら4次元的なグラフかけたりしないかな？
ものすごく面白かったです！ありがとうございました！
これみたらめっちゃ4次元を扱えるようになりたいと夢見てしまうな、やっぱり3次元を生きてる時点で4次元ははっきりと分かるのは難しいんだろうなぁ
学生時代にこんな教材があれば楽しく数学を学べたかもな今から数学も学ぼうかな
いつも楽しい動画ありがとうございます。御出版おめでとうございます！本屋に並ぶ日が来たら速攻で買います！！
複雑になりそうだけど左右対称じゃない二次関数とか三次関数とかも見てみたいですね〜
複素数は実数を包含しているのだから、実数のグラフを複素平面に書けないのはおかしい、何故ですか？って数学の先生に聞いても誰一人答えてくれなかったけど、この動画を見て感動した。虚軸上ではあるけれど、しっかりYがXに交差してるし、ほかの動画だったか、マイナスを掛けるとは180°反転させること、iはそれを90°だけにすること、という説明と相まってずっと敵視していた虚数とやっとわかりあえて気がする。感謝！
書籍について
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ぜひ！
動画について
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とりあえず三次元でグラフ描画する環境を作ったので、他にもいろいろ検証してみようと思います。
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税込1450円になります！
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@@nazotokilab 安い買います！
@@nazotokilab こんな神単行本が1450円なんて安すぎますよ！！！
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ちなみに、今までの動画にあったものだけが解説されてるんですか？
@@User-Rowlet
新規項目もありますが、これまで動画で扱ってきたコンテンツが中心ですね。
ただ、テーマは同じでも内容は一から見直してより詳細に解説してますので、読み応えはあるかなと思います！
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実際にグラフで表すと虚数が更にイメージしやすくなりますね
虚数を視覚的に理解した状態で学べるのはすごくありがたいです
毎回どうしたらそんなわかりやすい説明が出来るんだ
すごいですよね、、実はこうなってたんだ！って納得しました！
でも完全には理解できないところがまた虚数、複素数の面白いところですよね😂
数学科出身説
全然分からないよ
一般化されてないってことは特殊解ってことかな
@@queirrelel
まあ虚数は数3の範囲みたいですからね。数2で終わった自分は虚数解というものすら知りませんでした。虚数を知らなかった自分でもグラフってそうなってたんだとかは実感することはできました。
@@-ichi-1154
虚数は数IIです
複素数平面は旧過程では数Ⅲ
新課程では数Cです
何故、宇宙論とかで虚数部分が大切なのかやっと少し理解できました。虚数があることにより平面的空間でなく多次元を表せるということなのですね。違うかもしれないけどなんか理解の足がかり的なものを得られることができました。感動。
ガロアやアーベルが深く魅了された方程式の解の理論。複素数のグラフまで考えると5次以上の方程式の解がどうふるまうか可視化できて魅了されそうです。わかりやすい複素平面のグラフの解説ありがとう。
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例え複素数を理解していても図解するのはだいぶ頭が柔軟だな…すごい
まじでおめでとう！
主の説明は本当にまとまってでわかりやすいからかうかも！！！
虚数解はあくまで数学的テクニックなだけだと思っていたけど、こんな風にグラフ化するっていう発想があったなんて驚き。凄い！
今まで一部の人しか理解できてなかった領域を
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実は人類全体の知的ステージが一気にかさ上げされるくらい
革命的なことなのかも知れませんね。
直感的理解を大事にしたくて高校数学に挫折した自分に見せてあげたい動画！！どうしても凡人にはイメージが困難な単元はあると思うけど、こう言うふうに解説してくれるのはありがたいよねえ
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書籍発売おめでとうございます!!これからの日本の教育に必要なのは解説の小林さんの様な面白さと興奮を伝えられる人だと思います。
ただでさえ知識豊富でその膨大な知識を分かりやすくまとめあげられるのに、更に分からない人の目線に立って説明してくれるナゾトキラボさんは一体何者なんだ…？！
天才としか言いようが無い
チームで作成してたりして
さらにそれを面白くさせるのが神
授業が面白いと評判の大学教授か、もしくは
生徒に滅茶苦茶人気ある予備校講師みたいに見える
隠れて副業してる教授とかじゃね？
方程式の解、という概念を初めて理解できた気がします
何故ここまで賢いのに無知な人間にもわかりやすい説明ができるのか…
賢いから無知な人間に言葉を選べるのさ
ありがたいよねほんとに
何にでも言えることだが、相手に理解させる事が出来て初めて教えたと言える
説明を垂れ流しても教えたことにはならない
数学者はコンピューターが出現する前は本に印刷された文章や動かないグラフとかを読んで、この概念を頭の中に構築して４次元でぐりぐり動かしたりパラメーターpを変化させてその動きを想像してるんだろうからやっぱ天才／Kiちがいやなー
数学も物理もCGで教わると落ちこぼれが少なくなると思います。素晴らしい。
複素数の軸を加えるとX・Yともに２次元になって４次元になってしまい、３次元までしか視覚的に表せない私たちにとっては視覚化は難しいのだろうなと思っていましたが、Yの実軸のみを取り上げたり、Yの絶対値を取って３次元に表す試みはとても興味深く、長年の謎が解けたみたいなすごくうれしい動画でした。ありがとうございます。そしてどうしても見てみたいと思ったのは、Yの虚軸のみを取り上げたグラフがどんなふうになるのか、ということです。自分でやってみようかな・・・
こ、、こんな視覚的にわかりやすく説明できるなんて、、凄すぎてビックリした。
今まで頭の中で考えてたことが映像化されてる、感動...
こんばんは！
こちらのチャンネルは、元々小5のうちの娘が気に入って見ていたので知りました。（ラピュタの飛行石エネルギーの話など、ウケてました。）
この虚数解を可視化の動画は私にとってとても画期的でした。
高校の時に、私に数学苦手意識を抱かせた虚数が3次元的に表すとこういう意味をなすのかと本当に感動しました！！
是非世の中の、数学つまずきかけてる高校生にこの動画を見るようアナウンスしたいです。
夫にも、この動画感動したわ、と見せましたが、、特に反応せず、、
「可視化はいいや。虚数の考えがシュレディンガー方程式にどう応用されてるのか、そういうのが知りたいかなぁ」とほざいてました。
そんな動画もよければ作ってください！！！
重解の意味を深く捉えられるなこの動画は
初めて見たけどマジで面白いと思った
書籍も買ってみたいと思います！
ありがとうございます！
過去一わかりやすい
数学を挫折した私にとっては、何のことか良くわかりませんが、凄いことを説明していることは何となくわかります。老後の楽しみが増えました!
講義を、ありがとうございます。
いや流石に分かりやすすぎる笑笑
素晴らしい動画ですね。私も中高生時にこの動画を視聴できていたならどれほど理解を進められていただろうと悔やんでしまいます。
高校のときこのチャンネルに出会っていたら、数学が好きになってただろうな…
まだUA-camもない時代だったが
数学を分かりやすく解説してるゆっくり動画ってなかなかないから、このチャンネルは本当に凄い
もしよろしければ複素関数論のお話もお聞きしたいです…！
正則の範囲とか特異点の種類の違いがどうなるのかとても気になります！
すごくわかりやすい解説でした。ありがとうございました。
いつも二人の絶妙なやり取りを楽しく拝見させていただいています！
数学、物理大好きな私にとってこのチャンネルは興味わくわくなチャンネルです。
書籍ですがさっそく予約購入させてもらいました！届くのが楽しみです♪
ありがとうございます！
毎回すごいわかりやすい
人間は虚数を理解することができないことが理解できた。
高校の時に全く同じ疑問を持ってました。虚軸を追加するのだろうとは思っていましたが、まさか曲線が出てくるとは…
分かりやすかったです！
複素関数の可視化とはとても良い着眼点です。
書籍発行おめでとうございます！
ナゾトキさんは説明力もさることながら、動画作成のスキル＆センスも凄まじいですね👏
すげぇ…こんな説明をされたことなかったから驚き
化学において、遷移状態の鞍点では虚数の振動数が1つだけというのが視覚的に理解できました。
書籍出版おめでとうございます。購入しようと思います。
本を出せるってすごいですね。
ありがとうございます！
本買います！！書籍化ありがとうございます！
こちらこそありがとうございます！
動画興味深かったです。
4次元視点で3次元のことを考える例として
クラインの壺を説明して欲しいっす！
書籍が3月10日に発売!?そんなの待ちきれないよーーーーーーー!おめでとう!!!😆❤️❤️
高校生の頃、同じ様に3次元立体で複素数のグラフを描くとどうなるのかと考えてました。
ようやくその答えが分かりました。ありがとうございます。
学校で関数習った時には「解なし」に対して、交わってないから当然だろって思うだけで虚数解のグラフがどうなってるかなんか考えもしなかったな。きっとこういうこと(正2.5角形のやつとか)を自分で疑問に出せる数学者は閃きが凄いんだろうな！
自分では全く気づかなかったのに言われてみたら凄い興味深い疑問だった！😮
本当に今当たり前に使っている公式とかを見つけ出した数学者には感服する
(+X)^(+2)+1=0は実数解を持たないという洗脳工作は数学史を停滞させているんだよねぇ…マイナス反復性の導入で即座に実数解を持つことが理解できるんだよねぇ…(−)=(−)(−)=(+)(+)&(+)(−)=(−)(+)=(+)という不変量設定が(−1)の規則を導入することで呆気なく説明できるんだよねぇ…さらにゼロ反復性を導入することでゼロ除算まで可能になるんだよねぇ…ふふふ…ゼロで割ると…プラス反復性に準拠する図形とマイナス反復性に準拠する図形に分離するんだよねぇ…
他のチャンネルがほとんど取上げない内容が多いから見る価値がある
高校卒業して2次関数は全て理解したと思ってだけど、こんな世界もあったとは！！
11:05 二次関数を複素数に拡張したグラフを完全に描けている訳じゃないんだけど、それでも美しい曲面になるのは、複素数の実部をとる操作も連続だからなんだろうなぁ、不思議だなぁ
めっちゃ気になってたからほんとに助かる
うわーナゾトキラボさんの書籍とか買いじゃん！
文系選んだけどこれからも数学続けていきたい
いやー分かりやすい。よく分かりやすい説明ができるよな〜
「四元数と四元数の積は、四次元空間の回転を表す」に通じるような面白いお話でした。
こういうのを想像しようとしてきたけど頭のなかで考えるとどうしてもうまく想像できなくて難しかったから助かる
文系でも理解できるし、今までよりも理解が深まった気がする
ナゾトキラボの動画を他のチャンネルでも同じ内容で紹介してたりする(内容が追加されてたりして完全一致じゃない)けど先駆的なこのチャンネルの着眼点がなんかすごくって感じる
絶対値の定義はその数をグラフに表したときの原点からの距離だから、複素数の絶対値も三平方の定理を使えば求めることができるってことなのかな…？
数学の面白さに少しだけ目覚めたおっさんです。
やはり視覚的なものは影響大きいですね、このグラフィックのおかげで大変理解の助けになりました、ありがとうございます。他の動画も順次見せてもらっています。
それにしても、複素数というのは我々三次元存在の下層にある真の世界を表現するのに必要な概念で、本当におもしろいです。それは複素数に限らないかな・・
四元数を画像で見ると本当に面白いです
数式とかは全く理解出来ていませんがｗ
この範囲を習う時に見たかったくらいすごくわかりやすいし見入ってしまう
「実数計数の方程式が虚数解を持つときその共役も解として持つ」が視覚的にわかる気がしますね
２つの虚数解が共役複素数となる理由が直感的に分かる感じがすごくいい
一応解からの逆算でも分かりますね。
(x−(a+bi))(x−(c+di))＝0
は２つの複素数解a+bi, c+diを持ちます。
左辺を展開すると
x²−((a+c)+(b+d)i)x+(ac−bd)+(bc+da)i
となり、これが実数係数の二次式となる必要十分条件はb+d＝bc+da＝0です。
これを解くと
a＝cかつb＝−d
または
b＝d＝0
となり、
実数係数の二次方程式の解は共役な複素数か２つの実数しかありえないことが分かります。
そういうことをせずとも視覚的に分かるねってことを言ってるんだと思いますよ
@@tan-hp1qw
そうですね。そもそも私のやり方は直感的じゃないですし。
ただ、個人的に『本当か？』と思ってしまう部分があったので補足として証明を書いたつもりです。
その直感に合わせた説明にするならこうかな。
解の公式
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)
において、
q=-b/(2a)
r=√(b²-4ac)/(2a)
とすると、
x=q±r
と表せるので、動画での空間では解の2点は直線x=qにおいて対称な位置にあると言える。
本たのしみです！！！😚
何と分かりやすい解説。
動画作ってる人は相当 頭いいのだなあ。
ものの見方が広がりました。
こうなってくると4次元のグラフも見たくなります。😄
ずっと気になってたことなので助かりました‼︎‼︎
内容はとくに知ってるけど他の人の解説を改めて見るも新鮮な気持ち
高校でこれを分かりやすく教えてくれた先生と、更に分かりやすくしてくれたうp主に感謝
宇宙って11次元って言われてるけど、そのうちの3次元は空間的要素x，y，zで、それぞれ虚数空間があると仮定すると6次元分埋められるんじゃないか？
文系大学ですが、いつも興味深く拝聴しています。書籍も購入して勉強させていただきます♪
ちなみに-1^x=yのグラフは面白いですよ！(z=i軸とするときバネのような形になります）
天才的わかりやすさ！本絶対買う！
ありがとうございます！
高校のさいしょのほうにやる2次関数がこんなにも奥深いものとは…
書籍即買いしました！！
波の運動に関わる形ですね。波が重なり合い、渦巻き運動に替わる時は極点が上下に２つある気がします。
複素数の絶対値（≧0）を高さ方向にとって曲面グラフで表現するなら、さらに、偏角を色相（紫→赤→オレンジ→黄色→黄緑→緑→青→藍色→紫）で表して曲面に色付けしてはどうでしょうか？ 色相環は紫で１周して元の色に戻るから、偏角を表現するのにちょうどいいと思います。
やっぱり数学は面白いって思わせてくれる
この動画もよいですね！
複素数で思い出しましたが、複素球面の概念を覚えたときに、
無限大が「北極」にマッピングできて、北極より北がないように、
無限大より大きいものがないんだってことを、なんだかイメージできた気がしましたよ
偏角を色相で表した曲面も見てみたくなりますよね
これは素晴らしい動画。
虚数の説明で一番わかりすかった
楽しすぎる
書籍はできるだけ書店で買う主義なので、本屋で見つけたら即買います。
絶対値をとって三次元にするという発想は、言われるまで気付きませんでした。絶対値取ったグラフは面白い形ですね。
複素数の話はとても興味深いです。
高校生になって虚数というものを学ぶと、「実数じゃ収まらないから仕方なく無理やり作ったもの」みたいな印象を受けます。
しかし、量子力学は本質的に複素数で記述されます。
「実数だけの量子力学」というのはありえなくて、現実の現象を説明できなくなってしまいます。
この世界は「実数と虚数」の両方が実際にあることによって成り立っています。
なかなかいぃ。 可視化して３次元認識しかできない人でも４次元存在の一端を垣間見る試みは秀逸。
2次関数の形も興味深いですが、3次関数・4次関数と上げて行った時に虚部がどう動くのか気になります！
本、予約しました！楽しみです！😊
いつも面白い観点での数学解説ありがとうございます！数学苦手だけど楽しく見ています！応援してます！
ありがとうございます！
勉強になりました。ありがとう。凄いですね。まさか虚数が可視化出来るとは思わなかった
書籍発売おめでとうございます！
視覚的にみるとこんなに分かりやすくなるんですねー
ありがとう！！！
おもしろい！ところでこういうグラフ描画ってどうやってしているんだろう？何かのツールがあるのか、何かのプログラミング言語でグラフが描画・出力できるのか？完全に無知なので分からないけど興味ある。
書籍予約させて頂きました楽しみに待ってます🎶
わー！！！すごーーい！！！！
納得しました！すごく分かりやすくて面白い動画でもっと数学勉強したくなりました！！
ありがとうございます😭😭😭
これからも動画作り応援してます！
根本的に理解するとこんなにも気持ちいいのか
いや面白い、高校の時に習った数学の虚数にこんな真実が隠れていたとは。動画で見ると非常にイメージしやすいですね。本来我々が知覚できないはずの高次元の一端を虚数という想像上の数字を使用することで現すことができるということが興味深い。
めちゃ面白い！
3次元空間に、「色の濃さ」も変数としてグラフを描画したら4次元的なグラフかけたりしないかな？
ものすごく面白かったです！ありがとうございました！
これみたらめっちゃ4次元を扱えるようになりたいと夢見てしまうな、やっぱり3次元を生きてる時点で4次元ははっきりと分かるのは難しいんだろうなぁ
学生時代にこんな教材があれば楽しく数学を学べたかもな
今から数学も学ぼうかな
いつも楽しい動画ありがとうございます。御出版おめでとうございます！
本屋に並ぶ日が来たら速攻で買います！！
複雑になりそうだけど左右対称じゃない二次関数とか三次関数とかも見てみたいですね〜
複素数は実数を包含しているのだから、実数のグラフを複素平面に書けないのはおかしい、何故ですか？って数学の先生に聞いても誰一人答えてくれなかったけど、この動画を見て感動した。虚軸上ではあるけれど、しっかりYがXに交差してるし、ほかの動画だったか、マイナスを掛けるとは180°反転させること、iはそれを90°だけにすること、という説明と相まってずっと敵視していた虚数とやっとわかりあえて気がする。感謝！