Man quadriert das Integral, und nimmt beim zweiten Faktor y als Variable. Und plötzlich wird aus dem y, das y aus der Einleitung zum Thema Polarkoordinaten. Das selbe gilt für x. Und das ohne jede Begründung. Das alles passiert auf magische Weise.
@@siehhut9401 Er hat das quadratische Problem sowohl aus x- als auch aus y-Perspektive gelöst und beides zusammengeführt. x = r • cos(phi) y = r • sin(phi) Das Ergebnis beider Integrale ist einzeln betrachtet dasselbe, nur ist das einzelne Integral nicht analytisch bestimmbar. Das Produkt beider (I^2) ist hingegen bestimmbar und ist gleich π. Deswegen ist das Ergebnis des "gewurzelten" Integrals, also das Ergebnis des Ursprungsintegrals, gleich √π. Ein Wahnsinnskniff!
Ich will hier nicht wiederholen, was bereits andere kritisiert haben, aber daß Du die totalen Ableitungen hinschreibst, aber die partiellen Ableitungen berechnest, ist schon ein Hammer, der mich an Deinen mathematischen Fähigkeiten zweifeln läßt. Daß Du einfach abgeschrieben hast, hat Dir bereits jemand anderer unterstellt.
Insgesamt ein gutes Video, aber wie schon von anderen Bemängelt gehen Deine Erklärungen unterschiedlich tief. Die Jacobi-Determinate voraussetzen, aber Zwischenschritte einführen, weil (-)*(-) plus ergibt.
Sehr schön! Ich hätte das gerne meinem Vater gezeigt, dessen letzter Vortrag vor 20 Jahren über Gauss war. Wir beide hatten das Mathe-Gen in der Familie und konnten damit etwas anfangen. Manches war versickert, danke für's Auffrischen.
Wir hatten das Glück des alten Boomer-Abiturs (13 Jahre) im naturwissenschaftlichen Zweig in HH mit einem jungen Mathe-/Physik-Lehrer. 12 Schüler, davon 2 Mädchen, alle MNT-begeistert. Gibt es heute leider nicht mehr. Die ersten 3 Mathe-Semester für Dipl.-Ings an der TU Braunschweig konnten wir alle schon, die Bayern nicht, Heute ist es umgekehrt.
Na ja: einem Quadrat mit der Fläche 4 ist es ja auch egal, ob es vorher a² oder b²=4 hieß. Aber die Variable y wurde ja gewählt, um natürlich erscheinen zu lassen, das Doppelintegral in ein Flächenintegral über die x-y-Ebene umzudeuten und dann schließlich in Polarkoordinaten auszurechnen. Das hätte man schon deutlicher heraustellen sollen.
@@bjornfeuerbacher5514 Der Kanal von Dr. Peyam ist auch zu empfehlen. Dr. Peyam wirkt mir persönlich manchmal zu aufgekratzt. Dennoch, er hat mathematisch was mitzuteilen.
@hans7831 Naja einfach gesagt, weil es immernoch das gleiche ist. Nur der "Name" der Variable ist anders, was das Ergebnis nicht ändert. Stell dir 2 sehr einfache Funktionen vor: f(a) = a f(b) = b Solange für a, b die exakt gleichen Zahlen eingesetzt werden kommt auch das gleiche Ergebnis raus. Da die Integralgrenzen salopp gesagt eben genau die Zahlen sind, welche man einsetzen möchte und diese genau gleich sind. Also kommen bei beiden die gleichen Funktionswerte raus. Eine andere Erklärung: wir sagen x = y, unsere Funktion: f(x) = 2x das kann umgeschrieben werden: 2x = x + x, da x = y kann man ein x ersetzen: x + x = x + y. das mag anfangs unintuitiv klingen, aber ist exakt das gleiche. Jetzt konkret zum Video: I = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) | ^2 I^2 = (integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)))^2 = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) * integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) | da x = y I^2 = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) * integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-y^2)).
Solange man nur die Namen der Variablen ändert ist's tatsächlich Powidl. Hier wird aber mit x = r cos Phi und y = r sin Phi weiter gerechnet. Und das ist tatsächlich nur bei 45° das selbe.
Wir mussten im Chemiestudium mit Fortran dieses Integral numerisch berechnen lassen. 😉 Aber wir Chemiker haben sogar auch Möglichkeiten entwickelt, analytisch nicht lösbare Integrale zu bestimmen: Wir zeichnen sie auf Papier, schneiden sie aus und wiegen sie auf der Analysenwaage ab. 😂
man nennt das einen 'Analogrechner'. Im Gegensatz zum Digitalrechner (mit Fortran). Es gibt übrigens mathematische Probleme die sich mit einem 'Analogrechner' in nullkommanix lösen lassen und ein Digitalrechner kläglich scheitert.
Die Funktionalmatrix bzw. Jacobi Determinante bzw. den Verzerrungsfaktor (hier der Radius r) solltest Du aber herleiten. Ohne die Herleitung ist diese Lösung unvollständig. Und ich bezweifle sehr sehr stark, daß Gauss die Jacobi Determinante kannte ... der dürfte das Integral also mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit ganz anderes berechnet haben. Ausserdem erinnert mich die hier vorgestellte Lösung doch sehr an das Beispiel in der deutschen Wikipedia zum Stichwort "Transformationssatz". Du hast doch nicht etwa abgeschrieben ?
Man will über die gesamte Fläche integrieren. Und wenn man die ganze Ebene in Polarkoordinaten darstellt, dann ist das eben jede Kombination von phi zwischen 0 und 2 pi und r von 0 bis unendlich. Das ist die anschauliche Erklärung. Dadurch, dass wir hier rein reell rechnen müssen wir uns nicht mit so wichtigen Details wie Riemannschen Blättern und analytischen Fortsetzungen auseinandersetzen. Die Koordinatentransformation ist mit einer kleinen Skizze viel besser erklärt als mit irgendwelchen Determinanten, dann sind die Integrationsgrenzen auch unmittelbar klar.
@@stefanhennig Vielen Dank. Das klingt erstmal einleuchtend für die Grenzen! Wobei, on second thought, eine grafische Darstellung der Funktion in Polarkoordinaten schon hilfreich wäre um zu verstehen warum da die Fläche mir r=>oo nicht auch unendlich wird.
Die trivialen Polarkoordinaten sind recht langatmig erklärt, aber die Jacobi- Matrix, die mir ganz und gar nicht logisch erscheint, wird einfach so hingeworfen. Wenn ich die direkt ausrechne, steht da doch dxdy = dxdy/drdphi - dxdy/drdphi, also Null. Gut, dxdy ist auch sehr, sehr klein... aber das ist mir zuwenig, um einleuchtend zu sein. Aber zumindest habe ich jetzt eine ungefähre Vorstellung, woher das kommt.
"dxdy/drdphi - dxdy/drdphi = Null": Da muss man SEHR vorsichtig sein, die Behandlung von Differential-Quotienten nach Regeln der Bruchrechnung geht nur (als Eselsbrücke) in ganz speziellen Fällen. Außerdem geht es hier um partielle Ableitungen, und bei der üblichen Schreibweise wäre man wohl gar nicht erst auf diese Idee gekommen.
Sieht aus wie schwarze Kunst. Wie kommt man darauf, mal eben in die Polarkoordinaten zu hüpfen, um eine Lösung herbeizuführen? Warum nutzt man nicht Komplexe Zahlen?
Schwarze Kunst 😄👍. Jedoch das gibt ja öfters in der Mathematik. Da wird das Zahlensystem gewechselt um anschließend Erkenntnisse zu gewinnen die mit dem Dezimalsystem nicht so offensichtlich waren, da werden Transformationen vorgenommen um in einem anderen "Raum" Lösungen zu bestimmen die wieder zurücktransformiert werden müssen (Laplace-Transformation, ....). Wahrscheinlich gibt es sogar weitere Methoden um das besprochene Integral zu berechnen, nur sind wir bisher noch nicht darauf gekommen. Das ist ja doch das Schöne an der Mathematik, die Forschung geht eine Ende für die "Entdeckungen" scheint sich bisher nicht abzuzeichnen. Vielleicht entwickelst du irgendwann auf eine neue Methode, findest einen neuen Weg, wie das Integral zu berechnen ist, wer weiß?
Hallo Herr "Entwurzler". Vielen Dank für das Video und deine vorgestellte Herangehensweise. Dein vorgestellter Ansatz wäre fast für einen Oberstufenkurs in Mathe anwendbar gewesen. Die Nutzung der Jakobi-Matrix erleichtert eine Verwendung deines Videos für den Oberstufenunterricht jedoch leider nicht, da dort partielle Ableitungen nur im Rahmen von Ausarbeitungen der Schüler/innen besprochen werden könnten. Eventuell wäre eine Hinweis zu einer Quelle hilfreich, aus welcher interessierte Zuschauer/innen deines Videos sich selbständig informieren könnten, wie man auf den Ansatz der Jakobi-Matrix kommt und wie diese verwendet wird. Viele Grüße und vielen Dank für dein Video.
5:15 Polarkoordinaten braucht man da nicht unbedingt. Man kann sich auch klar machen, dass das hier gesuchte Integral über x und y genau das Volumen des Rotationskörpers beschreibt, der entsteht, wenn man den Graphen von e^-x² um die y-Achse rotiert. Und die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers ist (zumindest in manchen Bundesländern) immer noch Abi-Stoff.
@@bratwurstkonigsxbbakschrei5434 Bei Rotation um die y-Achse nimmt man im Prinzip dieselbe Formel, nur mit der Umkehrfunktion statt mit der Funktion selbst. Ist, wie gesagt, zumindest in manchen Bundesländern Abi-Stoff - bei dir anscheinend nicht?
Da stehe ich auf dem Schlauch: wie komme ich denn ohne den Weg über die Polarkoordinaten darauf, dass das Volumen des Rotationskörpers gerade das Quadrat des gesuchten Gauß-Integrals ist (oder geometrisch das Vierfache der des Quadrats der Fläche, die da rotiert)?
@@bjornfeuerbacher5514 Hat sich tatsächlich im Unterrichten von Mathematik "ausgebreitet". Ist aber eher ein sprachliches Hilfsmittel um ein "mechanisches" Verständnis der Vorgehensweise beim Integrieren und Differenzieren zu erleichtern. Aus rein mathematischer Sicht, also für den akademischen Diskurs innerhalb der Mathematik, ist der Begriff jedoch nicht wirklich "brauchbar".
@@omot4372 Wieso ist der Begriff aus mathematischer Sicht nicht brauchbar? Eine Funktion integrieren ist die umgedrehte Operation zum Differenzieren. Und "auf" ist das Gegenteil von "ab". Passt doch sprachlich gut.
@@bjornfeuerbacher5514 Didaktisch kann einiges Sinn ergeben was bezüglich der mathematischen Präzision nicht korrekt ist. Wie ich oben bereits ausgeführt habe, innerhalb des akademischen Diskurses wirst du (zumindest bisher) im deutschsprachigen Raum den Begriff "Aufleiten" zurecht nicht finden. Ich verwende den Begriff bisweilen auch in meinem Unterricht, aber ausschließlich um den Zugang für all jene Schüler/innen zu erleichtern die eher einen sprachlichen und weniger einen konzeptionellen Zugang zur Mathematik haben. Der Begriff ist damit für den Unterricht der Mathematik "brauchbar" (jedoch habe ich zuvor davon geschrieben, dass er mathematisch nicht "haltbar" ist, was qualitativ zweierlei ist). Von dem was das Konzept der Integration und den damit einhergehenden Ideen und Methoden ausmacht, die dann erst in einer gewissen Handhabungsmechanik münden, lässt sich der Begriff des "Aufleitens" nicht ableiten (schönes Wortspiel). Weder im englischsprachigen noch im französischsprachigen Raum wird man einen solchen Begriff finden. Die Verwendung des Begriffs "Aufleiten" lässt sich nur innerhalb des deutschsprachigen Raums und das auch nur didaktisch "rechtfertigen" nicht aber mathematisch. Tut letztlich für den Unterrichtsalltag keinen Abbruch, aber mathematisch ist der Begriff nicht zu halten, da sich das Wort "Auf-leiten" ausschließlich auf die Vorgehensweise bzw. Handhabungsmechanik (besonders bei Polynomen) fokussiert und damit das ganze Entstehungs- und Bedeutungskonzept quasi vernachlässigt. Vielleicht fordere ich deshalb eine solche Unterscheidung zwischen mathematischer Präzision und didaktischer Eignung, weil ich vor meinem Eintritt ins Lehramt zunächst ein volles Studium der Mathematik abgeschlossen habe und mich noch heute im akademischen Diskurs befinde (aktuelle Papers zu neueren Entwicklungen innerhalb der Mathematik lese).
Um Gotteswillen! Lern schreiben. Isoliert betrachtet gibt es viele Buchstaben und Kombinationen, die man falsch deuten kann. Ansonsten kurzweilig und interessant.
Bitte lernen, wie man den griechischen Buchstaben Pi schreibt. So jedenfalls nicht, Pi ist kein "U" mit eine "Dach". Alles einfach plump abgeschrieben, ohne gedanklichen Mehrwert für das Verständnis, man lernt nichts aus der "Präsentation", man beschränkt sich bloß auf das Technische... Schwach sowohl methodisch wie auch didaktisch und sprachlich! Die benutzte Sprache ist einfach holperig.
In der theoretischen Quantenmechanik mussten wir dieses Integral auch andauernd berechnen 😊
Coole Wiederholung ❤
Dankeschön! Das war wirklich super erklärt! Jede der 17 Minuten wert👍👋
Man quadriert das Integral, und nimmt beim zweiten Faktor y als Variable. Und plötzlich wird aus dem y, das y aus der Einleitung zum Thema Polarkoordinaten. Das selbe gilt für x. Und das ohne jede Begründung. Das alles passiert auf magische Weise.
Fand auch das dies sehr hokus pokus mäßig aussah. Hätte gerne da nh begründung zu gehabt oder Erklärung warum das geht
@@siehhut9401 Es geht, weil die Mathematik diese Erweiterung zulässt.
@@knutritter461 ich will eine richtige Begründung. Nichts tautologisches. Es geht weil es nunmal geht kann jeder sagen.
@@siehhut9401 Er hat das quadratische Problem sowohl aus x- als auch aus y-Perspektive gelöst und beides zusammengeführt.
x = r • cos(phi)
y = r • sin(phi)
Das Ergebnis beider Integrale ist einzeln betrachtet dasselbe, nur ist das einzelne Integral nicht analytisch bestimmbar. Das Produkt beider (I^2) ist hingegen bestimmbar und ist gleich π. Deswegen ist das Ergebnis des "gewurzelten" Integrals, also das Ergebnis des Ursprungsintegrals, gleich √π.
Ein Wahnsinnskniff!
@knutritter461 ja ich habs nun verstanden. Vielen Dank!
Ich will hier nicht wiederholen, was bereits andere kritisiert haben, aber daß Du die totalen Ableitungen hinschreibst, aber die partiellen Ableitungen berechnest, ist schon ein Hammer, der mich an Deinen mathematischen Fähigkeiten zweifeln läßt. Daß Du einfach abgeschrieben hast, hat Dir bereits jemand anderer unterstellt.
Insgesamt ein gutes Video, aber wie schon von anderen Bemängelt gehen Deine Erklärungen unterschiedlich tief. Die Jacobi-Determinate voraussetzen, aber Zwischenschritte einführen, weil (-)*(-) plus ergibt.
Sehr schön! Ich hätte das gerne meinem Vater gezeigt, dessen letzter Vortrag vor 20 Jahren über Gauss war. Wir beide hatten das Mathe-Gen in der Familie und konnten damit etwas anfangen. Manches war versickert, danke für's Auffrischen.
Ich bin mitm Maschbaustudium zwar schon fertig, aber schau mir trotzdem gerne solche Videos an. Danke dir!
cool wie sich eine Sache nach der anderen auflöst !
Bin sehr mathe interessiert. Ist aber zu hoch für mich, da fehlt mir einfach die basis für mitzurechnen. Aber trozdem sehr interessant
Wir hatten das Glück des alten Boomer-Abiturs (13 Jahre) im naturwissenschaftlichen Zweig in HH mit einem jungen Mathe-/Physik-Lehrer. 12 Schüler, davon 2 Mädchen, alle MNT-begeistert. Gibt es heute leider nicht mehr. Die ersten 3 Mathe-Semester für Dipl.-Ings an der TU Braunschweig konnten wir alle schon, die Bayern nicht, Heute ist es umgekehrt.
Es fehlt die Begründung, warum beim Quadrieren x durch y ersetzt werden kann. Die Begründung, es sind halt Variablen reicht keinesfalls aus.
Na ja: einem Quadrat mit der Fläche 4 ist es ja auch egal, ob es vorher a² oder b²=4 hieß. Aber die Variable y wurde ja gewählt, um natürlich erscheinen zu lassen, das Doppelintegral in ein Flächenintegral über die x-y-Ebene umzudeuten und dann schließlich in Polarkoordinaten auszurechnen. Das hätte man schon deutlicher heraustellen sollen.
Vielen Dank für das Video. Ich habe nie verstanden, wie man da drauf gekommen ist
Der Kanal von Dr Peyam hat eine ganze Videoreihe mit vielen verschiedenen Methoden dazu.
@@bjornfeuerbacher5514 Der Kanal von Dr. Peyam ist auch zu empfehlen. Dr. Peyam wirkt mir persönlich manchmal zu aufgekratzt. Dennoch, er hat mathematisch was mitzuteilen.
Das ist nicht mehr Oberstufen-Stoff, sondern schon Uni-Stoff. Jacobi-Matrix lernt man erst auf der Uni oder FH.
👍👍👍👍👍👍👍👍👍
Warum bei I² rechts nicht einfach auch quadriert wird, sondern plötzlich x und y auftaucht , will mir nicht in den Sinn.
Dafür hast du erfahren dass -1 * -1 gleich +1 ist!
@hans7831
Naja einfach gesagt, weil es immernoch das gleiche ist. Nur der "Name" der Variable ist anders, was das Ergebnis nicht ändert.
Stell dir 2 sehr einfache Funktionen vor:
f(a) = a
f(b) = b
Solange für a, b die exakt gleichen Zahlen eingesetzt werden kommt auch das gleiche Ergebnis raus. Da die Integralgrenzen salopp gesagt eben genau die Zahlen sind, welche man einsetzen möchte und diese genau gleich sind. Also kommen bei beiden die gleichen Funktionswerte raus.
Eine andere Erklärung:
wir sagen x = y,
unsere Funktion: f(x) = 2x
das kann umgeschrieben werden: 2x = x + x,
da x = y kann man ein x ersetzen: x + x = x + y.
das mag anfangs unintuitiv klingen, aber ist exakt das gleiche.
Jetzt konkret zum Video:
I = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) | ^2
I^2 = (integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)))^2 = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) * integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) | da x = y
I^2 = integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-x^2)) * integral(-infinitiy, infinitiy, e^(-y^2)).
Solange man nur die Namen der Variablen ändert ist's tatsächlich Powidl. Hier wird aber mit x = r cos Phi und
y = r sin Phi weiter gerechnet. Und das ist tatsächlich nur bei 45° das selbe.
Wir mussten im Chemiestudium mit Fortran dieses Integral numerisch berechnen lassen. 😉
Aber wir Chemiker haben sogar auch Möglichkeiten entwickelt, analytisch nicht lösbare Integrale zu bestimmen: Wir zeichnen sie auf Papier, schneiden sie aus und wiegen sie auf der Analysenwaage ab. 😂
😂😂😂
@@entwurzler Das funktioniert.... aber wie! Kein Scherz!
man nennt das einen 'Analogrechner'. Im Gegensatz zum Digitalrechner (mit Fortran). Es gibt übrigens mathematische Probleme die sich mit einem 'Analogrechner' in nullkommanix lösen lassen und ein Digitalrechner kläglich scheitert.
Die Funktionalmatrix bzw. Jacobi Determinante bzw. den Verzerrungsfaktor (hier der Radius r) solltest Du aber herleiten. Ohne die Herleitung ist diese Lösung unvollständig. Und ich bezweifle sehr sehr stark, daß Gauss die Jacobi Determinante kannte ... der dürfte das Integral also mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit ganz anderes berechnet haben. Ausserdem erinnert mich die hier vorgestellte Lösung doch sehr an das Beispiel in der deutschen Wikipedia zum Stichwort "Transformationssatz". Du hast doch nicht etwa abgeschrieben ?
Wieso es legitim ist 0 bis 2*Pi statt 0 bis oo zu setzen, kommt ein bisschen zu kurz. Dafür könnte man die -1 * -1 = +1 Erklärungen weglassen ;-)
Man will über die gesamte Fläche integrieren. Und wenn man die ganze Ebene in Polarkoordinaten darstellt, dann ist das eben jede Kombination von phi zwischen 0 und 2 pi und r von 0 bis unendlich.
Das ist die anschauliche Erklärung. Dadurch, dass wir hier rein reell rechnen müssen wir uns nicht mit so wichtigen Details wie Riemannschen Blättern und analytischen Fortsetzungen auseinandersetzen. Die Koordinatentransformation ist mit einer kleinen Skizze viel besser erklärt als mit irgendwelchen Determinanten, dann sind die Integrationsgrenzen auch unmittelbar klar.
@@stefanhennig Vielen Dank. Das klingt erstmal einleuchtend für die Grenzen! Wobei, on second thought, eine grafische Darstellung der Funktion in Polarkoordinaten schon hilfreich wäre um zu verstehen warum da die Fläche mir r=>oo nicht auch unendlich wird.
TO TO TO. HOĆEMO JOŠ !!!!!!!!!!!!!!!!! BLAAAAGO MOJOJ ŽENI !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Die trivialen Polarkoordinaten sind recht langatmig erklärt, aber die Jacobi- Matrix, die mir ganz und gar nicht logisch erscheint, wird einfach so hingeworfen. Wenn ich die direkt ausrechne, steht da doch dxdy = dxdy/drdphi - dxdy/drdphi, also Null. Gut, dxdy ist auch sehr, sehr klein... aber das ist mir zuwenig, um einleuchtend zu sein.
Aber zumindest habe ich jetzt eine ungefähre Vorstellung, woher das kommt.
"dxdy/drdphi - dxdy/drdphi = Null": Da muss man SEHR vorsichtig sein, die Behandlung von Differential-Quotienten nach Regeln der Bruchrechnung geht nur (als Eselsbrücke) in ganz speziellen Fällen. Außerdem geht es hier um partielle Ableitungen, und bei der üblichen Schreibweise wäre man wohl gar nicht erst auf diese Idee gekommen.
Sieht aus wie schwarze Kunst. Wie kommt man darauf, mal eben in die Polarkoordinaten zu hüpfen, um eine Lösung herbeizuführen?
Warum nutzt man nicht Komplexe Zahlen?
Schwarze Kunst 😄👍. Jedoch das gibt ja öfters in der Mathematik. Da wird das Zahlensystem gewechselt
um anschließend Erkenntnisse zu gewinnen die mit dem Dezimalsystem nicht so offensichtlich waren,
da werden Transformationen vorgenommen um in einem anderen "Raum" Lösungen zu bestimmen die wieder zurücktransformiert werden müssen (Laplace-Transformation, ....). Wahrscheinlich gibt es sogar weitere Methoden um das besprochene Integral zu berechnen, nur sind wir bisher noch nicht darauf gekommen.
Das ist ja doch das Schöne an der Mathematik, die Forschung geht eine Ende für die "Entdeckungen" scheint sich bisher nicht abzuzeichnen. Vielleicht entwickelst du irgendwann auf eine neue Methode, findest einen neuen Weg, wie das Integral zu berechnen ist, wer weiß?
komplexe Zahlen sind im Grunde nichts anderes, siehe e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)
Hallo Herr "Entwurzler". Vielen Dank für das Video und deine vorgestellte Herangehensweise.
Dein vorgestellter Ansatz wäre fast für einen Oberstufenkurs in Mathe anwendbar gewesen.
Die Nutzung der Jakobi-Matrix erleichtert eine Verwendung deines Videos für den Oberstufenunterricht jedoch leider nicht,
da dort partielle Ableitungen nur im Rahmen von Ausarbeitungen der Schüler/innen besprochen werden könnten.
Eventuell wäre eine Hinweis zu einer Quelle hilfreich, aus welcher interessierte Zuschauer/innen deines Videos
sich selbständig informieren könnten, wie man auf den Ansatz der Jakobi-Matrix kommt und wie diese verwendet wird.
Viele Grüße und vielen Dank für dein Video.
5:15 Polarkoordinaten braucht man da nicht unbedingt. Man kann sich auch klar machen, dass das hier gesuchte Integral über x und y genau das Volumen des Rotationskörpers beschreibt, der entsteht, wenn man den Graphen von e^-x² um die y-Achse rotiert. Und die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers ist (zumindest in manchen Bundesländern) immer noch Abi-Stoff.
ja, aber das wäre zu einfach ;-)
Für mich nicht bitte ein Video dazu 😂
Was ergibt das Rotationsvolumen dann eingesetzt im Abi lernt man nur das Volumen bei Rotation um die x Achse
@@bratwurstkonigsxbbakschrei5434 Bei Rotation um die y-Achse nimmt man im Prinzip dieselbe Formel, nur mit der Umkehrfunktion statt mit der Funktion selbst. Ist, wie gesagt, zumindest in manchen Bundesländern Abi-Stoff - bei dir anscheinend nicht?
Da stehe ich auf dem Schlauch: wie komme ich denn ohne den Weg über die Polarkoordinaten darauf, dass das Volumen des Rotationskörpers gerade das Quadrat des gesuchten Gauß-Integrals ist (oder geometrisch das Vierfache der des Quadrats der Fläche, die da rotiert)?
✔️
Ich habe dann pi mal eins, was ja pi ergibt. So dehnt man videos
"aufleiten" als inverse Operation zum Ableiten, hab ich noch nie gehört. Sagt man das heute?
Ich verwende das in meinem Unterricht häufig.
@@bjornfeuerbacher5514 Hat sich tatsächlich im Unterrichten von Mathematik "ausgebreitet".
Ist aber eher ein sprachliches Hilfsmittel um ein "mechanisches" Verständnis der Vorgehensweise beim Integrieren und Differenzieren zu erleichtern. Aus rein mathematischer Sicht, also für den akademischen Diskurs innerhalb der Mathematik, ist der Begriff jedoch nicht wirklich "brauchbar".
@@omot4372 Wieso ist der Begriff aus mathematischer Sicht nicht brauchbar? Eine Funktion integrieren ist die umgedrehte Operation zum Differenzieren. Und "auf" ist das Gegenteil von "ab". Passt doch sprachlich gut.
@@bjornfeuerbacher5514 Didaktisch kann einiges Sinn ergeben was bezüglich der mathematischen Präzision nicht korrekt ist. Wie ich oben bereits ausgeführt habe, innerhalb des akademischen Diskurses wirst du (zumindest bisher) im deutschsprachigen Raum den Begriff "Aufleiten" zurecht nicht finden.
Ich verwende den Begriff bisweilen auch in meinem Unterricht, aber ausschließlich um den Zugang für all jene Schüler/innen zu erleichtern die eher einen sprachlichen und weniger einen konzeptionellen Zugang zur Mathematik haben.
Der Begriff ist damit für den Unterricht der Mathematik "brauchbar" (jedoch habe ich zuvor davon geschrieben, dass er mathematisch nicht "haltbar" ist, was qualitativ zweierlei ist).
Von dem was das Konzept der Integration und den damit einhergehenden Ideen und Methoden ausmacht, die dann erst in einer gewissen Handhabungsmechanik münden, lässt sich der Begriff des "Aufleitens" nicht ableiten (schönes Wortspiel). Weder im englischsprachigen noch im französischsprachigen Raum wird man einen solchen Begriff finden. Die Verwendung des Begriffs "Aufleiten" lässt sich nur innerhalb des deutschsprachigen Raums und das auch nur didaktisch "rechtfertigen" nicht aber mathematisch. Tut letztlich für den Unterrichtsalltag keinen Abbruch, aber mathematisch ist der Begriff nicht zu halten, da sich das Wort "Auf-leiten" ausschließlich auf die Vorgehensweise bzw. Handhabungsmechanik (besonders bei Polynomen) fokussiert und damit das ganze Entstehungs- und Bedeutungskonzept quasi vernachlässigt.
Vielleicht fordere ich deshalb eine solche Unterscheidung zwischen mathematischer Präzision und didaktischer Eignung, weil ich vor meinem Eintritt ins Lehramt zunächst ein volles Studium der Mathematik abgeschlossen habe und mich noch heute im akademischen Diskurs befinde (aktuelle Papers zu neueren Entwicklungen innerhalb der Mathematik lese).
Nur in der Schule, in der Uni nicht
lieber entwurzler, dein pi sieht aus wie ein u mit strich/balken drüber.
Danke fürs Feedback! Ich weiß, dass meine griechischen Buchstaben noch verbesserungsfähig sind 🙈
Um Gotteswillen! Lern schreiben. Isoliert betrachtet gibt es viele Buchstaben und Kombinationen, die man falsch deuten kann. Ansonsten kurzweilig und interessant.
Bin dafuehr dass man versuchen sollte das sumerische Basissystem (60) inklusive der indianischen (0) nutzen sollte, anstatt das Zehner System !...
Bitte lernen, wie man den griechischen Buchstaben Pi schreibt. So jedenfalls nicht, Pi ist kein "U" mit eine "Dach".
Alles einfach plump abgeschrieben, ohne gedanklichen Mehrwert für das Verständnis, man lernt nichts aus der "Präsentation", man beschränkt sich bloß auf das Technische...
Schwach sowohl methodisch wie auch didaktisch und sprachlich! Die benutzte Sprache ist einfach holperig.
Hier ist ein Verständnisvideo und kein Kalligraphie- oder Sprecher-Kurs! Vollkommen danebene Kritik!!