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李老師，我是讀精算(一個包含統計,慨率,經濟,隨機過程等等的學科)的。看完你的講解我才知道「效用」的由來，你講得比很多教授都要好。
Henry 这是很基础的eco知识了
Henry 巧了，我也是学精算的😎
精算和高数关系大还是和统计关系大？本人萌新求解
柘佴卅拉蒙特 都要，少了谁都不行，两者都要学好
utility functions和finance的關係比較密切
数学模型是最能揭示事物本质的工具，李老师太棒咯！希望再多一些经济学和统计学的知识，帮助我们碾压生活中奸商的三寸烂舌。
每天中午看李永乐老师的视频，会给人带来非常多的正能量，对这个世界的认知也越来越宏观。真的非常感谢李老师，教书育人，给和我一样的很多人带来进步的希望，让我们对科学更进一步。
這個問題很重要 是人類第一次去思考風險下的投資 此後才慢慢導出財務管理學理論中的風險溢酬 不是不能有風險 而是要有足夠的風險溢酬才值得我們投資 不是純看期望值 而是為凹函數的效用 當初能想出這個問題的伯努力的是奇才 開啟了一個全新的領域
👏👏👏
經過學生到出社會我悟出一個道理什麼投資值得做？就是投胎的時候要選對家庭啊～～～～開玩笑的啦最好的投資就是持續觀看 李老師的科普視頻
安傑洛 第二个硬币游戏的规则按照老师的讲法难道不是正反面都是2元嘛？还是我看错了？那这样正反面的概率一样？收益一样，有什么意义吗？
做人子女要慎選父母
@@张军毅-i2k 投一次結束是反面收益為2，投兩次結束是正面.反面收益是4，如果第一次是正面才會有第二次。
难度太低，下次我要投伊拉克叙利亚。
@@杨神 干啥呢，想要七个处女？
真的，我这种拥有理科抗体的人看了永乐老师的视频都起了很大的学习兴趣。。。真的感谢永乐老师！
李老师已经做到了：让我们以最低的成本获得最优质的教育。谢谢老师！
这小朋友一看就知道是要干大事的人🚀
看錯這小朋友要干大人的事
@@samuelwu9598发车了？
李永乐老师 您让深刻体会到了以前的数学题不是白做的 更重要的是 您让我学到了什么是学以致用 超级感谢
看完李老师的视频，我的满意度很高！
很高 就是 2 哈哈哈哈
@@出厂出厂 你o们ozO
刚好听到薛兆丰教授的经济学课边际的概念，理一下我自己的思路顺便做个笔记：边际就是“新增”带来的“新增”。边际效用是你多消耗一个单位的商品，所能带来的新增的享受。在这里需要理清楚边际成本（每新增一个单位产品，所需要新增的成本）的概念，因为边际效用和边际成本是一个成对的概念，例如我们吃馒头，吃第一块馒头带来的边际效用很高，第二块就会减少一点，第三块再少一点，一步一步减下去就叫边际效用递减。但与此同时，每吃一块馒头都要付出一定的成本，可以是金钱的或者其他，比如你要为所吃的馒头付钱，这时候边际效用递减，见到一定程度，边际效用就会低过你为馒头所付出的成本，这时候你就决定收手lol吃馒头的边际效用 > 为多吃一个馒头所付出的边际成本 = 你会继续吃馒头吃馒头的边际效用 < 为多吃一个馒头所付出的边际成本 = 你停止吃馒头总结：人们总会朝着边际平衡的方向迈进，边际收益要尽量等于边际成本。天下没有免费的午餐，出来混总是要还的！
高效率的老师真的很重要，如果您是我的研究生讲师，我上课全勤，每一分钟都很有趣👍🏻👍🏻
有這樣的師資教授我花幾十萬來程請我都願意
很欣賞李老師用顯明易懂的例子解釋深入的科學。
看了李老师的很多视频。感觉李老师身上有一种知识分子那种文邹邹的带点儿淡淡的坏的幽默, 很让人回味无穷。
李老师的视频伴随我高中高考，现在读大学了概率论还是靠李老师的视频哈哈哈哈真是我的大救星
永乐老师就是神啊！，各行各业都能讲，超级偶像啊！
支持博主！造就卓越品质的巅峰之作，时光传承经典，经典铭记时光。精艺开启优雅生活！
呵~下班後懶在家, 這個"懶"真的是對自身有較高的滿意度耶^^. 謝謝李老師精彩的課程講解.
终于可以和老婆解释为什么下班后总躺着了。
跟老婆說，想多看看你，我的生命才有意義(滿意度更高)
跟老婆說，你躺着看起来更美
@@arthurchen2051 咸鱼。
李老师，玩两次就停止的话，是第一次正面得一元，第二次反面得两元，一共三元。为什么是四元呢？
@@zixingzhu1939 新游戏
深入浅出，举一反三，李永乐老师太厉害了，听懂了，执行了，做投资就成功一大半了！
好喜欢李老师的视频，每次看完感觉对这个课题看的更加透彻和清晰。还有就是想问李老师，圣彼得堡悖论是否可以运用在赌博的原理上？
特别喜欢您的频道，很有趣，对于数学不好的我但是很喜欢金融，贷款，投资等生活问题，越来越喜欢您的视频了。
原来我懒惰只是为了获得我的个人满意度。瞬间“懒惰”不再是罪恶。
听过这个节目后，满意度很高，👍
看了老师的视频才明白 为什么说数学是深刻的
为了获得更高的满意度，钱只是必要因素，而不充分
😀
但這悖論，很怪，使用微積分概念，機率趨近於0，最終收益因該定有一個上限。但從公式概念下推又跟微積分概念牴觸。結果還是有問題....
經濟學是基礎科學的一種，本質都是數學
@@samstock3531 因該說，數學是萬物科學的基礎，因為是工具。量化研究各種事情。
以前吃饭看剧 现在吃饭看李老师的视频 然后我就天天盼着吃饭^_^
伯努利的这个解释有些牵强了！本题反应的不是"边际效用递减"，而是"非理性思维"，既是人类思维和数学是有差异的。比如说，我出8192块钱，那么我必须连续玩到第14次才能赚钱，也就是2^13 = 8192。但是连续14次都能正面的概率是1/16384。正常人当然不会玩了。所以本题讨论的道理就是：数学上概率和收益可以算乘积，乘号前面和后面是不影响结果的的；但是这不符合人思考的方式，人在这种情况下考虑的优先是概率 (亏钱的可能性)，之后才是收益(赚钱的数量)。其实可以用来证明老师讲的另一个原理，就是人的风险偏好在收益和损失的情况下是不同的。另外，第二个半价是为了分享，不是为了一个人吃两个 :)
上了2年的經濟學，不如聽李老師講10分鍾，我真是慚愧啊！
人家是清华加北大的才子
啃两晚ppt不如听这15分钟，希望老师多讲一点关于投资期望的知识！
今天才终于明白李老师坚持提示“视频有字幕”的用意。不方便的地方可以静音开字幕看视频😱
老师说的话非常中肯 “懒也是为了获得更高的满意度” 下次要是有人问我为什么懒 我就能用这些黑板上知识让他们闭嘴了。
李老师真是老师，永远是提出问题， 解释问题，然后就需要你自己去解答问题：/
我是来普及知识的。。。。高中学点这些多好。。。轻松愉快涨见识。。。。非扣那些个破题！什么科举制度是先进的？？你们家高考是科举，考公务员才是科举！！
高考是一个选拔性考试，不仅考知识，更是为了让人和人区分开来，优秀的大学资源就那么多，不可能让所有人去上好学校
所以中国叫死读书
@@xiaohuizhao5068 没有你认为的死读书 你翻身很难哦 哈哈
第二个投币游戏，和第一个投币游戏规则不同。第一个游戏：投正面一元，投反面两元。第二个：不管投正面反面，收益双倍（2翻4翻8翻16。。。2的n次方），并且投到反面游戏结束。注：我也有同样的疑问，所以专门去搜了一下圣彼得堡悖论。
刚才看的时候还想怎么回事？原来规则变了
只用边际效用递减来解释麦当劳第二个半价不全面，因为很多时候是大于等于两个人一起去。个人认为主要原因是边际成本在一定范围内递减的，机器开启后生产一个产品所产生的固定成本和两个乃至10个区别很小，所以才第二杯半价
李老师 感谢您给我们讲了这么多数学故事！这个问题我觉得可以进一步讨论一下高阶无穷小的概念……
總是提出很好玩有有意義的問題，然後再做一個完整的教學，又把一些高中教的設定成國中會的，讓所有人大致上都看的明白，厲害太厲害了
非常有意思.这才叫书中自有黄金屋啊.虽然听不太懂但是听的如痴如醉.
期望值 ? 平均收益 … 聖彼得堡 悖論 1713 年 ，很有趣 ~ 對了 願意 付出 多少 成本 ? 無限大 ?流體力學。滿意度 … 邊際效應遞減 ~ 解釋的 很好。期望效用 ~ux…2 4元 ~風險 與 決策 的 運用?
哲学 经济学 金融学 会计财务 逻辑学 语言学以及2-3种语言 数学 自己的专业， 这些起码是人必须学的， 其他的学科可以扩展-作为选修...
自己上学的时候要是遇到李老师，我也会是个学霸。老师的视频有毒，上瘾啊。😄
效用的产生应该来源于“人类的时间也是有限的资源”。
看李老师一视频，胜过读万卷书。李老师，请问一个人如不满意现状，人该如何鼓励自己，或甚至自我催眠，来改善现状呢？望老师不吝赐教。
悖论中提到的，投一次的收益是2，投两次的收益为啥是4了呢？投两次，第一次是正面收益是1，第二次反面收益是2，总收益是1+2=3啊.
因為這是遊戲規則與第一個期望不要連在一起去看
老师你是否有群让我们加入进去一起进行时时讨论？我也有些东西张询问可是没有会理解数字的老师帮我解答！所以很疑问
李老师你好,我看了你这期视频，就有个地方想不明白，我数学和经济不太好，就彼得悖论那里，你能解释一下为什么投两次和3次硬币的收益是4和8元吗？ 我的想法是：第1次= 2 （1次就中）第2次= 1+2=3 （第1次正面=1 +第2次反面=2 = 3）第3次= 1+1+2=4 （2次正面=（1+1） +第2次反面=2 = 4）我知道这答案跟你的答案不同，但我不知道你是怎么算出4和8。。。求指教（也求其他前辈指教） 感谢
支持李老师，每期都看，大学上课都没这么认真
現在的小朋友連投資都會了
蘇東坡 这小朋友可厉害了
不想貶到黃州去就得投資累積人脈
现在国内好多高中生都有创业风
@@edwardaa8692 学生创业大都为了泡妞，瞎玩
@@ZZWW 你確定🤔
李永乐老师，可不可以讲解一下蒙特卡罗方法，以及它的一些应用。
已经讲了，前两天《输了就加倍下注...》的那个视频！
【不同观点】圣彼得堡悖论里提到的游戏。其实没有悖论，期望回报是无穷大。这个其实没有问题。为了说明这一点，我们换一个简单的问题。假设有一个假想的彩票公司，发行100万张彩票，每张售价1元钱，只有一张彩票有奖金，奖金是1亿元。那么每张彩票的数学期望是100元。显然是应该买入的。如果你的全部财产只有1000元，而且不能融资，你是否愿意买彩票？如果买了，有千分之一的机会获得1亿元，千分之九百九十九变成穷光蛋。结论就是玩圣彼得堡悖论里的游戏时应该投入多少钱这个问题，不仅依赖于期望回报，还依赖于你所能调动的资本总量。如果起始资本也是无限大的话，那么这个游戏的投入只要是一个有限的已知数就可以玩。一直玩下去稳赚不赔。如果起始资本是有限大的已知数M，而每玩一次的投入是已知数N，那么通过M和N 应该可以计算出途中输光的概率。
我有一点不明白，您举的例子买100万必得一亿，似乎世界上没有哪个彩票这样骚操作吧？既然假想不合理，那继续推论有何意义？
@@Nick-mq6fe 研究数学问题而已。世界上也不会真的有人让你玩圣彼得堡悖论的游戏。但是却可以拿它来推理。有个名词叫做“思想实验”。不要太认真。
同意你但观点，不过上述假设，最佳的处理方案是在开奖前以低于100元的价格卖给有钱人
@@gobot3414 不带这么玩的。不然的话，圣彼得堡悖论里的游戏也可以打包成金融衍生产品拿来出售。尼古拉伯努利和牛顿也会从棺材里爬出来买。
OldWooing 一百万张彩票，每张1块钱，也就是发行方总收益100万。赢了给1亿。。。对，所以在发行方脑残的前提下把100万张彩票全部买下来，花100万稳赚1亿。结论是，当发行方智商小于10，本金一周内翻100倍的可能是100%。
视频里两个题目（悖论）引用的数据是相同的，所以当中的概率相同，然而第一个悖论里的数据是错误的，也同样会影响到第二个悖论的证明第一个数值是：一次2元，二次4元，三次8元；实际上第一次是2元，二次3元，三次4元，那么最后的期望值就不会是无限大同样第二题的Xi就变成2元3元和4元对应的Pi是1/2 ，1/4，1/8，那么最终结果也会不同
我一直在找和我同样想法的人，看来现在有了
两个题没有联系，第二个游戏的规则就是一直投硬币直到投到反面，拿的钱是2的n次方倍，n是投的次数。
李老师，很好奇现在的伯努利后人在做什么，感觉很了不起的家族
讲得太好了。深入浅出，充满智慧。
最后的例子太妙了，确实我也知道我再打份工可以多挣钱，但是我的满意度绝对会下降，除非能整的很多，但兼职不太可能
除非能整的很多，是什麼意思？
很喜歡永樂老師的悖論系列，學習了🤗🤗
老师，回去听了一下那一期，有关大数定理有一个问题，大数如何定义。重复多少次可以认为足够大了？有没有有关样本量以及期望偏差的研究？
总算给我懒找了个好借口，谢谢李老师
幫老師澄清一下，3:42的聖彼得堡悖論規則是指，假設當你玩到兩次才出現反面給4塊，三次才出現反給8塊，跟上面的期望值沒有關係·。
Light Chu 原来如此 我从哪里开始全程懵逼 还以为他讲错了呢
第一次看理解了 第二次看才发现这里讲错了 李老师的视频不能娱乐性得看 要认真
李老师, 还有在坐的各位小伙伴, 有个疑问想问问:故事背景: 上班之后已经很累, 所以下班不想再兼职去赚钱, 只想通过懒惰获得满意度.提问:这种情况能否理解为继续兼职获得更多的钱可以给自己带来的赚钱的快感已经抵不过懒惰带来的满意度了? 但是自己本身也并不是很有钱, 并不觉得自己的钱多到让自己觉得多赚一点钱不会快乐的程度, 这种场景怎么解释收益和满意度的那个曲线图啊? 或者说是因为精力的不足是导致瓶颈的原因(贫困陷阱), 如果是这样的话, 怎么解? 如果不是这个原因(贫困陷阱)的话, 那是因为什么呢? 怎么解?
我觉得这是一个性价比的问题，理论上来的说表示获益的函数f（x）是一个增函数，但是斜率变化越来越小，当n非常大的时候，需要增加加下一个2^n才能多1元的期望值，所以从投资的角度来说，应该对斜率变化设一个下限，低于下限则表示期望值的增加幅度太低，性价比太低
时间是投资中最重要的因素之一... Interest rates, duration of the investment, time spend to obtain the money, time decay, along with inflation, risk, and current market conditions and expectation.
李老师，我是一名留学生。最近在和朋友规划圣诞旅行的事，在订机票时发现机票价格不同时期的浮动，想请教您这方面是不是也有数学的逻辑
Xingyi Hou u can track the price at google flight
价格歧视
我也想了解一下
老师，△U应该是纵坐标，横坐标横向是金钱变化量，不知道会不会有人搞混，说明一下可能会比较好
每期的话题都深入生活
老师我始终没搞明白一次为什么是2元呢，也可能是正面1元啊，两次为什么是4元呢也可能是一正一反1+2三元啊？
李老师你实在是太博学了，谢谢你的分享
李永乐老师，你可否来一讲关于有限元方法的历史的课，因为这个方法很有用，而且困惑很多人
圣彼得堡悖论是否可以这样理解，把玩几次作为一个彩票投资，每一个彩票售价一元，可以选择可以玩到第几次。如果想要达到无穷大的期望必须买了所有的彩票，没人这么做。而且，有无限的资本还有必要做无限资本的投资么
想請問4分:36秒 開始的公式E=2元 （第一次是正面）機會是 1/2E=2元(1/2) （第一次都是正面）（第二次都是正面）+ 你寫機會是 1/2 的 2次方 即1/2 x 1/2如此類推.....E=2元(1/2) +4元（1/2)x(1/2)....8元但以前老師不是教過，其實不論連續是多少次正面，機會都是1/2, 不會是（1/2) x (1/2)x (1/2).......?謝謝老師
第二次不仅仅是这一次硬币投正面的概率，而是“第一次和第二次都投正面的概率”
我到這集才發現「小朋友」的族群還蠻廣泛
小朋友是天才，什麼問題都會提出來。
他指的應該是年紀比他小或年紀跟他小孩差不多的範圍吧？
谁还不是个小朋友呢
那个小朋友就是 提问题的我们；）
只要提问，就是小朋友
不知道是不是这样解释比较好，但赌徒心理是这个问题的例外。我觉得边际成本递增会比较好地解释这个问题。
伯努利的游戏还有一个重要的前提：你有很多钱！当然如果可以先玩再付钱，那么理论上可以开出很高的价码
李老师，澳门赌场有一种游戏叫百家乐，帮我们分析一下是否会赢钱。谢谢！
老师您好，表妹现在上高三了，需要写一篇关于旅行商人问题的论文，我之前确实也没听过这个问题，看了几个视频也没看懂，希望老师能帮忙简单的讲解一下，也希望看到这条评论的小伙伴能帮忙顶一下，谢谢
還有一個因素就是人們對於虧損的痛苦逃避花四塊錢有50%機率虧兩塊錢 25%機率回本 25%機率賺錢虧錢的效用負值絕對值比賺錢的效用高也可以解釋人們不想花大錢玩這遊戲
哈哈哈，终于知道连出100次正面的概率怎么算了✌️，我就一直觉得抛硬币里有大学问，果然不出我所料😎
所以应该像你一开始说的那样，因为每一把赌局的期望回报是1.5元，那我只需要投入少于1.5元就可以了，我玩多少把没有所谓
李老师，能不能出一个系列专门讲ap physics 1或者ap calculus ab/bc的教学视频！求！
李老师有接触过运筹学吗~想了解一下这方面的知识~
我也不太懂那个悖论的例子：一次投中反面的收益是2元，那么两次投中反面的收益不应该是3元吗？（第一次没有投中的1元+第二次投中的2元）
lyonyu 我也覺得怪怪的🤨
其实这是两个独立项目，没有关系。第一个项目是你理解的投正面1元，反面2元。第二个项目是，连续投n次正面，收入2^(n+1) 元。
悖论里没中的话，游戏就结束了，没有什么1元
還是不懂
两个独立的题目，这里指收益都是2元
李老师，能否讲讲币圈投资合约的数学知识，投资亏了好多，不知道该不该玩了。。。
哎，币圈的合约也不是自己玩的，必须要找一个能带你一起的人，不然是必亏的
老师您好。我有个问题不理解，一枚硬币置n次，最后一次出现反面的概率和置n次硬币，只出现一次反面的概率是一样的么？如果是，我觉得前者的难度更大。如果不是，那是不是应该再除以n呢？还是有其他算法？
老师 你好，投一次是反面2块钱，投两次是一正一反，应该是3块钱，不是4块钱，头三次就应该是1+1+2=4块钱，尔不是8块钱啊
在伯努利的理论中，投两次不应该是一正一反最后收益1+2=3元吗？还有后面的也是三次是1+1+2=4？还是我理解错了？
我要抬个杠，当解释圣披得堡悖论时计算出了问题，因为你是一直扔直到你抛出反面，反面的概率应该也要算进去，所以每个项要乘多一个1/2，虽然最后也是无穷大。。
...你再好好看看
第二次圣保罗悖论里面的正反面收益还是跟之前一样吗？
关于比尔盖茨会不会捡1万块的问题，我觉得可以这么解。一万人民币大约是1500美金，比尔盖茨的资产大约是500亿美元，我们拿1500除以500亿可以得出这1500美金相对于他的全部资产的比重，这个数字是0.00000003，亿分之3。假设我的资产是100万人民币，拿100万乘以0.00000003等于0.03。也就是说1万块在比尔盖茨的眼里大约相当于我眼里的3分钱，那么你说比尔盖茨会不会捡呢？当然有可能他还是会捡🤪……苍天啊，大地啊，保佑我上面这些没有算错，我已经使出洪荒之力了😅
Hill Hopeman 因为你量化得有问题😂 他的资产跟他捡钱没有线性关系 经济学来讲只要你捡了钱就是赚了 没有任何损失 为什么不捡呢😂 何况他要是比尔盖茨 对钱那么敏感
很多有錢人很節省，那不是花不起，是天性使然，是對生活的態度，跟錢無關。
这个问题我记得比尔盖茨亲自回答过，当然是要捡啊
资产不等于现金
捡别人失落的钱是可耻的，这是我一直以来所受到的教育。
讲得非常好非常清楚！
李老师，能给讲讲凯利公式是怎么推导出来的吗？
我也是小盆友 小盆友。。。如今小盆友在永乐世界里绝对是身份的象征！
李老师，我想请教一下，为什么两次的期望不是1+2，三次的期望不是1+1+2？？？？我想了很久。。。。。。
同问
李老师，可以讲一期美式期权的计算逻辑和数学公式吗
如果小时候用李老师的方法而不是硬式教育 也许我们会多不少有用之才 并且我们知道自己快乐着 哈哈哈
总结一下，这里能够把原来期望成本的无穷大变成效用成本的4元，一下子这个游戏的收益成本（是否值得投资的考虑因素）被压缩了这么多，决定因素是选取了log2N作为效用函数。这一点李老师说得没错，但是说效用函数选一个快速递减的函数是因为有钱多的人不稀罕有更多的钱就不对了。开始玩游戏的时候人设没有说是有钱人在玩啊。其实我觉得使用效用来压缩这游戏收益成本是不对的，这游戏如果很多人玩，而且假设有一台自动投注且速度无线快的机器，任何人马上可以拿到投出反面才停止（不管经过多少轮，直到投出反面）的结局，这样投注是不是有无穷大收益成本，意味着多贵都要玩呢？但实际上也不会有人觉得它的收益是无穷大，这不是要付出时间成本，这仅仅是风险太大，小概率的大成功被正常地忽略了。这就和乐透彩票一样嘛，还是很多人不玩的。这和有很多钱的时候效用递减有关系吗？
請問股市中真的有黃金分割率嗎？準確嗎？是心理學嗎
老师在圣彼得堡悖论时过于简略，条件没有给足：直至反面为止，是如果正面没有收益，反面收益是2的n次幂
數學就是萬物的規律的抽象化
弱弱问一下，投了两次不该是三元收益吗？怎么会是四元？
永乐老师，之后有机会介绍傅立叶吗？
想請教一下李老師!玩彩票有一種聰明包牌法，就是矩陣排列法是怎麼記算與應用的
李老師，我是讀精算(一個包含統計,慨率,經濟,隨機過程等等的學科)的。看完你的講解我才知道「效用」的由來，你講得比很多教授都要好。
Henry 这是很基础的eco知识了
Henry 巧了，我也是学精算的😎
精算和高数关系大还是和统计关系大？本人萌新求解
柘佴卅拉蒙特 都要，少了谁都不行，两者都要学好
utility functions和finance的關係比較密切
数学模型是最能揭示事物本质的工具，李老师太棒咯！希望再多一些经济学和统计学的知识，帮助我们碾压生活中奸商的三寸烂舌。
每天中午看李永乐老师的视频，会给人带来非常多的正能量，对这个世界的认知也越来越宏观。真的非常感谢李老师，教书育人，给和我一样的很多人带来进步的希望，让我们对科学更进一步。
這個問題很重要 是人類第一次去思考風險下的投資 此後才慢慢導出財務管理學理論中的風險溢酬 不是不能有風險 而是要有足夠的風險溢酬才值得我們投資 不是純看期望值 而是為凹函數的效用 當初能想出這個問題的伯努力的是奇才 開啟了一個全新的領域
👏👏👏
經過學生到出社會我悟出一個道理
什麼投資值得做？
就是投胎的時候要選對家庭啊～～～～
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最好的投資就是持續觀看 李老師的科普視頻
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做人子女要慎選父母
@@张军毅-i2k 投一次結束是反面收益為2，投兩次結束是正面.反面收益是4，如果第一次是正面才會有第二次。
难度太低，下次我要投伊拉克叙利亚。
@@杨神 干啥呢，想要七个处女？
真的，我这种拥有理科抗体的人看了永乐老师的视频都起了很大的学习兴趣。。。真的感谢永乐老师！
李老师已经做到了：让我们以最低的成本获得最优质的教育。谢谢老师！
这小朋友一看就知道是要干大事的人🚀
看錯這小朋友要干大人的事
@@samuelwu9598发车了？
李永乐老师 您让深刻体会到了以前的数学题不是白做的 更重要的是 您让我学到了什么是学以致用 超级感谢
看完李老师的视频，我的满意度很高！
很高 就是 2 哈哈哈哈
@@出厂出厂 你o们ozO
刚好听到薛兆丰教授的经济学课边际的概念，理一下我自己的思路顺便做个笔记：
边际就是“新增”带来的“新增”。边际效用是你多消耗一个单位的商品，所能带来的新增的享受。在这里需要理清楚边际成本（每新增一个单位产品，所需要新增的成本）的概念，因为边际效用和边际成本是一个成对的概念，例如我们吃馒头，吃第一块馒头带来的边际效用很高，第二块就会减少一点，第三块再少一点，一步一步减下去就叫边际效用递减。但与此同时，每吃一块馒头都要付出一定的成本，可以是金钱的或者其他，比如你要为所吃的馒头付钱，这时候边际效用递减，见到一定程度，边际效用就会低过你为馒头所付出的成本，这时候你就决定收手lol
吃馒头的边际效用 > 为多吃一个馒头所付出的边际成本 = 你会继续吃馒头
吃馒头的边际效用 < 为多吃一个馒头所付出的边际成本 = 你停止吃馒头
总结：人们总会朝着边际平衡的方向迈进，边际收益要尽量等于边际成本。
天下没有免费的午餐，出来混总是要还的！
高效率的老师真的很重要，如果您是我的研究生讲师，我上课全勤，每一分钟都很有趣👍🏻👍🏻
有這樣的師資教授我花幾十萬來程請我都願意
很欣賞李老師用顯明易懂的例子解釋深入的科學。
看了李老师的很多视频。感觉李老师身上有一种知识分子那种文邹邹的带点儿淡淡的坏的幽默, 很让人回味无穷。
李老师的视频伴随我高中高考，现在读大学了概率论还是靠李老师的视频哈哈哈哈真是我的大救星
永乐老师就是神啊！，各行各业都能讲，超级偶像啊！
支持博主！造就卓越品质的巅峰之作，时光传承经典，经典铭记时光。精艺开启优雅生活！
呵~下班後懶在家, 這個"懶"真的是對自身有較高的滿意度耶^^. 謝謝李老師精彩的課程講解.
终于可以和老婆解释为什么下班后总躺着了。
跟老婆說，想多看看你，我的生命才有意義(滿意度更高)
跟老婆說，你躺着看起来更美
@@arthurchen2051 咸鱼。
李老师，玩两次就停止的话，是第一次正面得一元，第二次反面得两元，一共三元。为什么是四元呢？
@@zixingzhu1939 新游戏
深入浅出，举一反三，李永乐老师太厉害了，听懂了，执行了，做投资就成功一大半了！
好喜欢李老师的视频，每次看完感觉对这个课题看的更加透彻和清晰。还有就是想问李老师，圣彼得堡悖论是否可以运用在赌博的原理上？
特别喜欢您的频道，很有趣，对于数学不好的我但是很喜欢金融，贷款，投资等生活问题，越来越喜欢您的视频了。
原来我懒惰只是为了获得我的个人满意度。
瞬间“懒惰”不再是罪恶。
听过这个节目后，满意度很高，👍
看了老师的视频才明白 为什么说数学是深刻的
为了获得更高的满意度，钱只是必要因素，而不充分
😀
但這悖論，很怪，使用微積分概念，機率趨近於0，最終收益因該定有一個上限。但從公式概念下推又跟微積分概念牴觸。結果還是有問題....
經濟學是基礎科學的一種，本質都是數學
@@samstock3531 因該說，數學是萬物科學的基礎，因為是工具。量化研究各種事情。
以前吃饭看剧 现在吃饭看李老师的视频 然后我就天天盼着吃饭^_^
伯努利的这个解释有些牵强了！本题反应的不是"边际效用递减"，而是"非理性思维"，既是人类思维和数学是有差异的。比如说，我出8192块钱，那么我必须连续玩到第14次才能赚钱，也就是2^13 = 8192。但是连续14次都能正面的概率是1/16384。正常人当然不会玩了。所以本题讨论的道理就是：数学上概率和收益可以算乘积，乘号前面和后面是不影响结果的的；但是这不符合人思考的方式，人在这种情况下考虑的优先是概率 (亏钱的可能性)，之后才是收益(赚钱的数量)。其实可以用来证明老师讲的另一个原理，就是人的风险偏好在收益和损失的情况下是不同的。另外，第二个半价是为了分享，不是为了一个人吃两个 :)
上了2年的經濟學，不如聽李老師講10分鍾，我真是慚愧啊！
人家是清华加北大的才子
啃两晚ppt不如听这15分钟，希望老师多讲一点关于投资期望的知识！
今天才终于明白李老师坚持提示“视频有字幕”的用意。不方便的地方可以静音开字幕看视频😱
老师说的话非常中肯 “懒也是为了获得更高的满意度”
下次要是有人问我为什么懒 我就能用这些黑板上知识让他们闭嘴了。
李老师真是老师，永远是提出问题， 解释问题，然后就需要你自己去解答问题：/
我是来普及知识的。。。。高中学点这些多好。。。轻松愉快涨见识。。。。非扣那些个破题！什么科举制度是先进的？？你们家高考是科举，考公务员才是科举！！
高考是一个选拔性考试，不仅考知识，更是为了让人和人区分开来，优秀的大学资源就那么多，不可能让所有人去上好学校
所以中国叫死读书
@@xiaohuizhao5068 没有你认为的死读书 你翻身很难哦 哈哈
第二个投币游戏，和第一个投币游戏规则不同。第一个游戏：投正面一元，投反面两元。第二个：不管投正面反面，收益双倍（2翻4翻8翻16。。。2的n次方），并且投到反面游戏结束。注：我也有同样的疑问，所以专门去搜了一下圣彼得堡悖论。
刚才看的时候还想怎么回事？原来规则变了
只用边际效用递减来解释麦当劳第二个半价不全面，因为很多时候是大于等于两个人一起去。个人认为主要原因是边际成本在一定范围内递减的，机器开启后生产一个产品所产生的固定成本和两个乃至10个区别很小，所以才第二杯半价
李老师 感谢您给我们讲了这么多数学故事！这个问题我觉得可以进一步讨论一下高阶无穷小的概念……
總是提出很好玩有有意義的問題，然後再做一個完整的教學，又把一些高中教的設定成國中會的，讓所有人大致上都看的明白，厲害太厲害了
非常有意思.这才叫书中自有黄金屋啊.虽然听不太懂但是听的如痴如醉.
期望值 ? 平均收益 … 聖彼得堡 悖論 1713 年 ，很有趣 ~ 對了 願意 付出 多少 成本 ? 無限大 ?
流體力學。
滿意度 … 邊際效應遞減 ~ 解釋的 很好。
期望效用 ~ux…2 4元 ~風險 與 決策 的 運用?
哲学 经济学 金融学 会计财务 逻辑学 语言学以及2-3种语言 数学 自己的专业， 这些起码是人必须学的， 其他的学科可以扩展-作为选修...
自己上学的时候要是遇到李老师，我也会是个学霸。老师的视频有毒，上瘾啊。😄
效用的产生应该来源于“人类的时间也是有限的资源”。
看李老师一视频，胜过读万卷书。
李老师，请问一个人如不满意现状，人该如何鼓励自己，或甚至自我催眠，来改善现状呢？望老师不吝赐教。
悖论中提到的，投一次的收益是2，投两次的收益为啥是4了呢？投两次，第一次是正面收益是1，第二次反面收益是2，总收益是1+2=3啊.
因為這是遊戲規則
與第一個期望不要連在一起去看
老师你是否有群让我们加入进去一起进行时时讨论？我也有些东西张询问可是没有会理解数字的老师帮我解答！所以很疑问
李老师你好,我看了你这期视频，就有个地方想不明白，我数学和经济不太好，就彼得悖论那里，你能解释一下为什么投两次和3次硬币的收益是4和8元吗？ 我的想法是：
第1次= 2 （1次就中）
第2次= 1+2=3 （第1次正面=1 +第2次反面=2 = 3）
第3次= 1+1+2=4 （2次正面=（1+1） +第2次反面=2 = 4）
我知道这答案跟你的答案不同，但我不知道你是怎么算出4和8。。。求指教
（也求其他前辈指教） 感谢
支持李老师，每期都看，大学上课都没这么认真
現在的小朋友連投資都會了
蘇東坡 这小朋友可厉害了
不想貶到黃州去就得投資累積人脈
现在国内好多高中生都有创业风
@@edwardaa8692 学生创业大都为了泡妞，瞎玩
@@ZZWW 你確定🤔
李永乐老师，可不可以讲解一下蒙特卡罗方法，以及它的一些应用。
已经讲了，前两天《输了就加倍下注...》的那个视频！
【不同观点】
圣彼得堡悖论里提到的游戏。其实没有悖论，期望回报是无穷大。这个其实没有问题。
为了说明这一点，我们换一个简单的问题。假设有一个假想的彩票公司，发行100万张彩票，
每张售价1元钱，只有一张彩票有奖金，奖金是1亿元。那么每张彩票的数学期望是100元。显然是应该买入的。
如果你的全部财产只有1000元，而且不能融资，你是否愿意买彩票？如果买了，有千分之一的机会获得1亿元，
千分之九百九十九变成穷光蛋。
结论就是玩圣彼得堡悖论里的游戏时应该投入多少钱这个问题，不仅依赖于期望回报，还依赖于你所能调动的资本总量。
如果起始资本也是无限大的话，那么这个游戏的投入只要是一个有限的已知数就可以玩。一直玩下去稳赚不赔。
如果起始资本是有限大的已知数M，而每玩一次的投入是已知数N，那么通过M和N 应该可以计算出途中输光的概率。
我有一点不明白，您举的例子买100万必得一亿，似乎世界上没有哪个彩票这样骚操作吧？既然假想不合理，那继续推论有何意义？
@@Nick-mq6fe 研究数学问题而已。世界上也不会真的有人让你玩圣彼得堡悖论的游戏。但是却可以拿它来推理。有个名词叫做“思想实验”。不要太认真。
同意你但观点，不过上述假设，最佳的处理方案是在开奖前以低于100元的价格卖给有钱人
@@gobot3414 不带这么玩的。不然的话，圣彼得堡悖论里的游戏也可以打包成金融衍生产品拿来出售。尼古拉伯努利和牛顿也会从棺材里爬出来买。
OldWooing 一百万张彩票，每张1块钱，也就是发行方总收益100万。赢了给1亿。。。对，所以在发行方脑残的前提下把100万张彩票全部买下来，花100万稳赚1亿。结论是，当发行方智商小于10，本金一周内翻100倍的可能是100%。
视频里两个题目（悖论）引用的数据是相同的，所以当中的概率相同，然而第一个悖论里的数据是错误的，也同样会影响到第二个悖论的证明
第一个数值是：一次2元，二次4元，三次8元；实际上第一次是2元，二次3元，三次4元，那么最后的期望值就不会是无限大
同样第二题的Xi就变成2元3元和4元对应的Pi是1/2 ，1/4，1/8，那么最终结果也会不同
我一直在找和我同样想法的人，看来现在有了
两个题没有联系，第二个游戏的规则就是一直投硬币直到投到反面，拿的钱是2的n次方倍，n是投的次数。
李老师，很好奇现在的伯努利后人在做什么，感觉很了不起的家族
讲得太好了。深入浅出，充满智慧。
最后的例子太妙了，确实我也知道我再打份工可以多挣钱，但是我的满意度绝对会下降，除非能整的很多，但兼职不太可能
除非能整的很多，是什麼意思？
很喜歡永樂老師的悖論系列，學習了🤗🤗
老师，回去听了一下那一期，有关大数定理有一个问题，大数如何定义。重复多少次可以认为足够大了？有没有有关样本量以及期望偏差的研究？
总算给我懒找了个好借口，谢谢李老师
幫老師澄清一下，3:42的聖彼得堡悖論規則是指，假設當你玩到兩次才出現反面給4塊，三次才出現反給8塊，跟上面的期望值沒有關係·。
Light Chu 原来如此 我从哪里开始全程懵逼 还以为他讲错了呢
第一次看理解了 第二次看才发现这里讲错了 李老师的视频不能娱乐性得看 要认真
李老师, 还有在坐的各位小伙伴, 有个疑问想问问:
故事背景: 上班之后已经很累, 所以下班不想再兼职去赚钱, 只想通过懒惰获得满意度.
提问:
这种情况能否理解为继续兼职获得更多的钱可以给自己带来的赚钱的快感已经抵不过懒惰带来的满意度了? 但是自己本身也并不是很有钱, 并不觉得自己的钱多到让自己觉得多赚一点钱不会快乐的程度, 这种场景怎么解释收益和满意度的那个曲线图啊? 或者说是因为精力的不足是导致瓶颈的原因(贫困陷阱), 如果是这样的话, 怎么解? 如果不是这个原因(贫困陷阱)的话, 那是因为什么呢? 怎么解?
我觉得这是一个性价比的问题，理论上来的说表示获益的函数f（x）是一个增函数，但是斜率变化越来越小，当n非常大的时候，需要增加加下一个2^n才能多1元的期望值，所以从投资的角度来说，应该对斜率变化设一个下限，低于下限则表示期望值的增加幅度太低，性价比太低
时间是投资中最重要的因素之一... Interest rates, duration of the investment, time spend to obtain the money, time decay, along with inflation, risk, and current market conditions and expectation.
李老师，我是一名留学生。最近在和朋友规划圣诞旅行的事，在订机票时发现机票价格不同时期的浮动，想请教您这方面是不是也有数学的逻辑
Xingyi Hou u can track the price at google flight
价格歧视
我也想了解一下
老师，△U应该是纵坐标，横坐标横向是金钱变化量，不知道会不会有人搞混，说明一下可能会比较好
每期的话题都深入生活
老师我始终没搞明白一次为什么是2元呢，也可能是正面1元啊，两次为什么是4元呢也可能是一正一反1+2三元啊？
李老师你实在是太博学了，谢谢你的分享
李永乐老师，你可否来一讲关于有限元方法的历史的课，因为这个方法很有用，而且困惑很多人
圣彼得堡悖论是否可以这样理解，把玩几次作为一个彩票投资，每一个彩票售价一元，可以选择可以玩到第几次。如果想要达到无穷大的期望必须买了所有的彩票，没人这么做。而且，有无限的资本还有必要做无限资本的投资么
想請問4分:36秒 開始的公式
E=2元 （第一次是正面）機會是 1/2
E=2元(1/2) （第一次都是正面）
（第二次都是正面）+ 你寫機會是 1/2 的 2次方 即1/2 x 1/2
如此類推.....E=2元(1/2) +4元（1/2)x(1/2)....8元
但以前老師不是教過，其實不論連續是多少次正面，
機會都是1/2, 不會是（1/2) x (1/2)x (1/2).......?
謝謝老師
第二次不仅仅是这一次硬币投正面的概率，而是“第一次和第二次都投正面的概率”
我到這集才發現「小朋友」的族群還蠻廣泛
小朋友是天才，什麼問題都會提出來。
他指的應該是年紀比他小或年紀跟他小孩差不多的範圍吧？
谁还不是个小朋友呢
那个小朋友就是 提问题的我们；）
只要提问，就是小朋友
不知道是不是这样解释比较好，但赌徒心理是这个问题的例外。我觉得边际成本递增会比较好地解释这个问题。
伯努利的游戏还有一个重要的前提：你有很多钱！当然如果可以先玩再付钱，那么理论上可以开出很高的价码
李老师，澳门赌场有一种游戏叫百家乐，帮我们分析一下是否会赢钱。谢谢！
老师您好，表妹现在上高三了，需要写一篇关于旅行商人问题的论文，我之前确实也没听过这个问题，看了几个视频也没看懂，希望老师能帮忙简单的讲解一下，也希望看到这条评论的小伙伴能帮忙顶一下，谢谢
還有一個因素就是
人們對於虧損的痛苦逃避
花四塊錢有50%機率虧兩塊錢 25%機率回本 25%機率賺錢
虧錢的效用負值絕對值比賺錢的效用高
也可以解釋人們不想花大錢玩這遊戲
哈哈哈，终于知道连出100次正面的概率怎么算了✌️，我就一直觉得抛硬币里有大学问，果然不出我所料😎
所以应该像你一开始说的那样，因为每一把赌局的期望回报是1.5元，那我只需要投入少于1.5元就可以了，我玩多少把没有所谓
李老师，能不能出一个系列专门讲ap physics 1或者ap calculus ab/bc的教学视频！求！
李老师有接触过运筹学吗~想了解一下这方面的知识~
我也不太懂那个悖论的例子：一次投中反面的收益是2元，那么两次投中反面的收益不应该是3元吗？（第一次没有投中的1元+第二次投中的2元）
lyonyu 我也覺得怪怪的🤨
其实这是两个独立项目，没有关系。第一个项目是你理解的投正面1元，反面2元。第二个项目是，连续投n次正面，收入2^(n+1) 元。
悖论里没中的话，游戏就结束了，没有什么1元
還是不懂
两个独立的题目，这里指收益都是2元
李老师，能否讲讲币圈投资合约的数学知识，投资亏了好多，不知道该不该玩了。。。
哎，币圈的合约也不是自己玩的，必须要找一个能带你一起的人，不然是必亏的
老师您好。我有个问题不理解，一枚硬币置n次，最后一次出现反面的概率和置n次硬币，只出现一次反面的概率是一样的么？如果是，我觉得前者的难度更大。如果不是，那是不是应该再除以n呢？还是有其他算法？
老师 你好，投一次是反面2块钱，投两次是一正一反，应该是3块钱，不是4块钱，头三次就应该是1+1+2=4块钱，尔不是8块钱啊
在伯努利的理论中，投两次不应该是一正一反最后收益1+2=3元吗？还有后面的也是三次是1+1+2=4？还是我理解错了？
我要抬个杠，当解释圣披得堡悖论时计算出了问题，因为你是一直扔直到你抛出反面，反面的概率应该也要算进去，所以每个项要乘多一个1/2，虽然最后也是无穷大。。
...你再好好看看
第二次圣保罗悖论里面的正反面收益还是跟之前一样吗？
关于比尔盖茨会不会捡1万块的问题，我觉得可以这么解。一万人民币大约是1500美金，比尔盖茨的资产大约是500亿美元，我们拿1500除以500亿可以得出这1500美金相对于他的全部资产的比重，这个数字是0.00000003，亿分之3。假设我的资产是100万人民币，拿100万乘以0.00000003等于0.03。也就是说1万块在比尔盖茨的眼里大约相当于我眼里的3分钱，那么你说比尔盖茨会不会捡呢？当然有可能他还是会捡🤪……苍天啊，大地啊，保佑我上面这些没有算错，我已经使出洪荒之力了😅
Hill Hopeman 因为你量化得有问题😂 他的资产跟他捡钱没有线性关系 经济学来讲只要你捡了钱就是赚了 没有任何损失 为什么不捡呢😂 何况他要是比尔盖茨 对钱那么敏感
很多有錢人很節省，那不是花不起，是天性使然，是對生活的態度，跟錢無關。
这个问题我记得比尔盖茨亲自回答过，当然是要捡啊
资产不等于现金
捡别人失落的钱是可耻的，这是我一直以来所受到的教育。
讲得非常好非常清楚！
李老师，能给讲讲凯利公式是怎么推导出来的吗？
我也是小盆友 小盆友。。。如今小盆友在永乐世界里绝对是身份的象征！
李老师，我想请教一下，为什么两次的期望不是1+2，三次的期望不是1+1+2？？？？我想了很久。。。。。。
同问
李老师，可以讲一期美式期权的计算逻辑和数学公式吗
如果小时候用李老师的方法而不是硬式教育 也许我们会多不少有用之才 并且我们知道自己快乐着 哈哈哈
总结一下，这里能够把原来期望成本的无穷大变成效用成本的4元，一下子这个游戏的收益成本（是否值得投资的考虑因素）被压缩了这么多，决定因素是选取了log2N作为效用函数。这一点李老师说得没错，但是说效用函数选一个快速递减的函数是因为有钱多的人不稀罕有更多的钱就不对了。开始玩游戏的时候人设没有说是有钱人在玩啊。其实我觉得使用效用来压缩这游戏收益成本是不对的，这游戏如果很多人玩，而且假设有一台自动投注且速度无线快的机器，任何人马上可以拿到投出反面才停止（不管经过多少轮，直到投出反面）的结局，这样投注是不是有无穷大收益成本，意味着多贵都要玩呢？但实际上也不会有人觉得它的收益是无穷大，这不是要付出时间成本，这仅仅是风险太大，小概率的大成功被正常地忽略了。这就和乐透彩票一样嘛，还是很多人不玩的。这和有很多钱的时候效用递减有关系吗？
請問股市中真的有黃金分割率嗎？準確嗎？是心理學嗎
老师在圣彼得堡悖论时过于简略，条件没有给足：直至反面为止，是如果正面没有收益，反面收益是2的n次幂
數學就是萬物的規律的抽象化
弱弱问一下，投了两次不该是三元收益吗？怎么会是四元？
永乐老师，之后有机会介绍傅立叶吗？
想請教一下李老師!玩彩票有一種聰明包牌法，就是矩陣排列法是怎麼記算與應用的