CALCULER 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... 3 démonstrations 😎
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- Опубліковано 15 лис 2022
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
⬇️ Lien vers la vidéo évoquée: Hotel de Hilbert en anglais ⬇️
• The Infinite Hotel Par...
Vidéo inédite et musclée.
On calcule S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...
On propose 3 démonstrations, à toi de choisir celle que tu penses être correcte. On donne la bonne réponse et on fait un peu de séries numériques.
Condition nécessaire de convergence d'une série numérique.
Pour ceux qui veulent creuser il y a (par ordre de niveau de vulgarisation, de facile à hardcore) :
1 - Science étonnante l'épisode intitulé "L'infini"
2 - El Jj dans sa serie "Deux minutes pour parler de ...." > l'hôtel de Hilbert
3 - Et pour les vrai hardcore mateux : Sience4all : Toute la serie sur les infinis (Attention le niveau de ses vidéos est plutôt niveau bac +18)
Toutes ses chaînes sont en français, les vidéos date un peu mais ça vaut le coup.
Il y a aussi l’Épisode « Cap vers l’infini » de la série Voyage au pays de maths d’Arte, cette série de 10 épisodes est un bijou, la vulgarisation mathématique à son paroxysme je trouve, on ne peut qu’aimer, matheux ou pas 😁
bac +18 ahaha
Faudrait que je me refasse sa série sur l'infini maintenant que je suis un petit peu moins nul en maths.
Certains prétendent que 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12
Ou que 1-1+1-1....=1/2
Il est pourtant facile de montrer que ces résultats ne sont pas justes.
Quelqu'un qui n'a pas une maîtrise absolue des bases aura tendance à faire plus confiance à une autorité qu'à ses propres perceptions et ceci même si cette autorité se trompe.
@@martin.68 à partir du moment où on manipule des séries qui convergent pas ou peut tout montrer 😂😂😂
J'ajouterai si vous permettez l'épisode d'Arte dans la série "Voyages au pays des maths", intitulé "Sur la route de l'infini".
En prépa, un prof nous avait séparé en deux groupes : un qui devait montrer qu'une solution existe à un problème donné, l'autre qui devait calculer la solution. chacun des deux groupe ne connaissait pas le sujet de l'autre groupe, les deux pensaient que l'autre groupe avait un problème similaire et que c'était une question de rapidité... Le premier groupe s'est bien payé la tête du second quand ils sont revenus avec une jolie solution tout contents... alors que le problème n'admettait pas de solutions.
On a donc vite appris à éviter de bosser pour rien...
quand on apprend, se tromper n'est pas bosser pour rien ... c'est inévitable et même indispensable. On apprend en se trompant. C'est e que nos prof français n'ont jamais compris et c'est pourquoi les résultats de l'éducation nationale sont si désastreux , surtout en math.
@@alexhauser405 Vous êtes hors sujet, il est donc difficile de critiquer le niveau de l'enseignement à partir de ça. Son point était qu'avant de chercher une solution il fallait vérifier qu'elle existe, "bosser pour rien" est "chercher une solution" (qui n'existe pas)
on t'a surtout appris le critère spéciale des séries aternées !
@@gillesphilippedeboissay109 je vois pas le rapport, tu t'es trompé de commentaire je pense..
@@alexhauser405 Vous réalisez que c'est un tout petit peu évident ce que vous dîtes ?
"On apprend en se trompant", tout ça...
Ce qui n'implique pas que les profs sont vraiment nuls de ne pas comprendre une évidence.
Mais simplement que vous n'avez toujours pas réussi à admettre, aujourd'hui encore, que les profs ont dépassé cette évidence, et essayent de vous inculquer quelque chose au delà encore.
Autrement dit... vous n'avez TOUJOURS PAS compris vos profs. Vous n'avez même pas atteint leur niveau.
Vous pouvez les insulter autant que vous voulez, mais ça ne vous rend pas service.
Excellent 👍 quel talent de rendre ces concepts accessibles à des néophytes. Chapeau
Voici une cinquième façon de calculer S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1…
On attaque par la face nord, celle des fonctions complexes. Prenons la fonction complexe F(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 +… = 1/(1-z) pour tout z du disque unité ouvert. On la prolonge analytiquement sur tout le disque unité, privé de 1.
On calcule alors F(-1) et on trouve... 1/2. Donc S = 1/2. Sympa...
Salut super vidéo ce serait cool si tu pouvais traiter des questions des Olympiades de maths dans tes vidéos, je pense que c'est bien adapté à ta chaîne et intéressant pour nous : )
Super boulot. Même globalement la chaîne est très très bonne, combien de gosse qui n'ont pas la chance d'avoir un prof à la maison tu dois aider. Bravo !!!
Bonjour. j'aime les maths, depuis toujours. Avec vous, je réfléchis et je me marre. Quelle chance, apprendre dans la bonne humeur. Que les profs en preine de la graine ! Merci.
Jai passé ma vie à chercher comment la simplifier, et j'ai eu un déclic en regardant votre vidéo, le soleil est sorti de son nuage et vient illuminer ma journée, même la chaise sur laquelle je suis assis s'en rappelera longtemps, j'ai enfin trouvé la simplicité grâce à vous, dès aujourd'hui et à l'avenir, j'arrêterai de faire des trucs qui servent à rien.. alors grand merci pour l'éveil de ma conscience..
Bon animateur ,
Ça fait longtemps que j ai quitté les bancs de l école mais vos videos me plaisent et me rafraîchissent les méninges
Bon courage et merci
Encore des vidéos comme ça svp, votre pédagogie est exceptionnelle ✌️
Bravo pour cette explication, j'adore les maths et j'avoue avoir appris plein de chose dans cette vidéo :)
Je crois voir une petite erreur dans la partie finale (vers 9 m 5). Si on tend vers un « infini pair », il y aura un nombre impair de termes et non pair car on commence à 0, donc on aura des couples { -1, +1 } plus un terme, le premier...
Mais bravo encore pour toutes ces démonstrations. C'est passionnant et expliqué avec passion et efficacité !
On ne commence pas à 0 mais à n=0 donc à 1
@@whaiken2225 C'est ce qui me chagrinait, en commençant à n=0, on commence bien par 1 et non -1.😉
C'étais très intéressant merci pour cette vidéo !
Toujours faire très attention avec les séries divergentes. Merci pour ce rappel 🙂
Sympa que tu évoques l'hôtel de Hilbert
Il faut aussi faire attention avec les séries convergentes hein 😌
@@manun7105 un peu moins quand même, une série convergente peut-être manipulée comme on veut
@@ryznak4814 non justement 😉
@@manun7105si l'ensemble des séries cv est un espace vectoriel
@@wrathcs et alors ? 🤨
ton enthousiasme est contagieux. merci
A la base, je suis fan des vidéos, je comprends des trucs à 40ans que je pigeais pas ado. Mais c'est la meilleure que j'ai vue, j'adore
Merci beaucoup pour cette video, j’ai depuis deja années une démonstration qui arrive à un résultat impossible, pourrais je vous la soumettre pour savoir où dans la démonstration l’erreur se trouve ? Si oui par quel moyen ?
Excellente pédagogie ! 👍
👍je n'en suis qu'à 4 minutes, et déjà je trouve ça 'trop' génial de présentation! (je te trouve TOP vulgarisateur, 'conscientateur'! 😛😉😘)
+ à 6', ça me casse la tête: l'infini est-il pair ou impair! ?? ... 🤪🥳🧐
Magistrale présentation! .. tu nourris mon âme 😘, sois béni ❤🙏
Merci 😍😍 adorable ton retour, et motivant pour faire encore mieux 💪🏼💪🏼
On peut aussi faire les valeurs d'adhérence de la série : 1, 0.
Un rapport avec les calculs 1 et 2?
Pour être plus correct, une condition nécessaire pour qu'une série alternée du type Un*(-1)^n converge c'est que lim Un = 0 ET Un monotone, ce qui je crois n'a pas été précisé ici (Un monotone n'a pas été précisé). Ou alors dire tout simplement que Un décroit vers 0, ce qui regroupe les 2 conditions au-dessus
Le terme général de la série n’a pas de limite (donc ne peut pas tendre vers 0) . Donc la série ne peut converger
Et?
Je me souviens d’une vidéo qui parlait de cet hôtel. J’ai pas tout compris mais c’est fascinant. C’est ce qui m’a donné envie de refaire des maths.
Un jour, je réussirai à conceptualiser le ね (Clémentine), un objet mathématique plus grand que l’infini. Il porte le nom de mon chat, qui, à mes yeux, est plus grand que l’infini, et que j’aime d’un amour plus qu’infini.
on voit bien que vous , vous comprnez encore moins que quiconque ce que peut être l'infini....
Vidéo géniale. Est-ce que la notion de limite se retrouve en statistique ou en probabilité?
(Pour qu'un évènement se produise, il doit tendre vers le nombre de fois qu'il se produit)
Oui tu peux avoir des limites en probabilités, après pour ton exemple je ne sais pas
Bravo et merci, un cours de math sympa ... c'est pas à l'EN qu'on voit ça. 👍
Erreur déjà signalée par d'autres :
Si n tend vers "l'infini pair" alors la série comporte n-0+1 = n+1 termes donc un nombre impair de termes d'où S=1 et non 0.
De même vers "l'infini impair", n+1 est pair et donc S=0 et non 1.
Pour cela, il ne faut pas oublier la formule sur le nombre de termes d'une série : Soit S = (somme de n=a à b >= a) des A(n), alors le nombre N de termes de S vaut N = b -a +1.
De plus, on a : S = (somme de n=0 à +infini) ((-1)^n)
Soit la série comporte autant de 1 que de -1 soit elle comporte un terme de plus qui vaut 1 (nécessite l'utilisation de la droite achevée réelle, où on note +infini comme le plus grand de tous les réelles), et soit k entier positif qui tend vers cet entier de +infini.
Donc on a : S = S(k) = (somme de n=0 à k) ((-1)^2n) + (somme de n=0 à k) ((-1)^2n+1) = (k+1) x 1 + (k+1) x (-1) = (k+1) x 0 = 0 (oui, k+1 = +infini d'après la donnée de départ, mais dans la droite achevée réelle, on a bien : +infini x 0 = 0).
~~~ OU S = S(k+1) = (somme de n=0 à k+1) ((-1)^2n) + (somme de n=0 à k) ((-1)^2n+1) = (k+2) x 1 + (k+1) x (-1) = (k+1+1) x 1 + (k+1) x (-1) = 1 + (k+1) x 1 + (k+1) x (-1) = 1 + S(k) = 1 + 0 = 1.
On a donc S = 0 ou S = 1, (sans être plus précis, car +infini n'a pas de parité définie).
c'est une série infinie , par axiome, donc il n'y à pas de nombre de termes, le nombre c'est l'infii, mais l'infini n'est pas un nombre.
J'ai eu peur au début de vidéo, mais en fait ça va ;D, c'était un sujet plus avancé que d'habitude ^^'
10 sur 10 comme toujours, bravo
Vraiment excellent
Continue pour les BAC +1 ❤😅
Et que penses tu de la somme de tout les entiers positifs qui est égale à -1/12? Calcul utilisé en physique quantique il me semble (effet casimir ou énergie du vide quantique)
Je pense que c'est avec l'extension de la fonction zêta de Rhieman que la valeur de cette somme prendrait une valeur définie (voir vidéo d'El J'ai, c'est plus compréhensible)
J'aurais bien aimé t'avoir comme prof de math. Bravo.
Super, par contre à la fin, lors de l’explication sur l’infini pair ou impair, il me semble qu’il y a une erreur. En effet, en supposant que l’infini vale 2k, k entier naturel, on aurait de 0 à l’infini 2k + 1 facteurs valant alternativement 1 et -1 en commençant par (-1)^0 = 1. Donc les 2k premiers termes s’annulent, mais il reste 1 pr le 2k+1 ieme terme. Donc ca vaut 1 et pas 0. Peut être que je dis des conneries, dans ce cas là, je veux bien un éclaircissement
Je pense pareil et je venais pour le dire, merci d'avoir écrit ce pavé à ma place.
Oui je pensais aussi dans ce sens A.T
Oui, je suis d'accord, et pour être même plus précis, la limite de cette suite est 1/2, car (en simplifiant le raisonnement à l'extrême)1-1 = 0, et 0+1 = 1, donc la somme varie entre 0 et 1.
@@77kiki77 Non. C'est un forme indéterminé ici. Ce qui vaut ½, c'est la somme de Ramanujan, ou supersomme. C'est clairement au-delà du niveau attendu ici.
Tout à fait. La petite erreur d'inattention est à 8:46, où il fait l'implication "si l'infini est pair, alors on a un nombre pair de termes dans la somme". En réalité, ça dépend bien entendu de l'indice de départ (ici étant 0, ce n'est pas le cas !).
Mais limite je pense que juste parler du nombre de termes suffit.
- Si on considère qu'il y a un nombre pair de termes du départ jusqu'à l'infini, alors on ne fait que la différence "1-1" répétée un nombre infini de fois en réalité, donc on obtiendrait bien 0.
- Si on considère qu'il y a un nombre impair de termes du départ jusqu'à l'infini, alors, en plus du nombre infini de différences "1-1", y'a un dernier "+1" à la fin, donc on obtiendrait bien 1.
Bref, on voit clairement qu'on essaie de faire coller un concept mathématique abstrait à notre pensée réelle, quotidienne, parce que de base ça n'a aucun sens de dire qu'il y a une "fin" infinie des nombres, et qu'en l'occurrence entre un nombre au hasard et cette fin on peut compter le nombre de nombres !
Quel talent trop génial comme prof Encore même si j'ai pas tout compris grrr
Merci. Superbe.
C'est comme l'histoire de 1+2+3+4+5... = -1/12
Oui, mais non. C'est une série divergente, mais on peut la ramener à une value finie si on change certaines règles.
Mais ça veut dire que ce résultat n'a de sens que dans le contexte régit par ces nouvelles règles, et pas au-delà.
Non, pas vraiment :
1+2+3+4+5.. vaut bien -1/12 et est même constaté en physique (voir effet Casimir).
Tout comme 1−1+1−1+… est égale à 1/2 (série connue que l'on appel série de Grandi)
La vidéo s'adresse à des niveaux BAC et donc on ne trouve pas de solution à cette série, mais l'étude de série divergente existe et donne des solutions.
je pense que pour donner cette valeur de -1/12 ce n'est pas la meilleure justification pour le montrer..
Tu peux aller sur des chaines plus poussé tel que science4all où il parle de cette somme,
ou bien science étonnante avec " -1/12 et l'effet Casimir" qui abordent tous deux des démonstrations un peu élaborées que celle de manipuler une série divergente.
@@benoitbertrand1636 j'en ai déjà entendu parler mais je ne l'ai jamais réellement compris. Quoi qu'il en soit, dans tous les cas où c'est possible, ça veut dire que pour une certaine raison, on peut faire abstraction(dans ces cas preci où c'est possible) des règles qu'il est nécessaire de faire abstraction pour trouver ce résultat.
@@chimondavidnaouri6762
Pas facile de repondre, mais non, on passe juste par d'autres mathématiques.
On ne trahi aucune règles, si c'est ça que vous sous-entendiez.
@@benoitbertrand1636 on trahi sûrement des règles qui ne s'appliques pas dans certaines conditions.
Pour l’hôtel de Hilbert, pour ceux qui ne maitrisent pas l'anglais, je vous conseil la vidéo de El JJ "Deux (deux ?) minutes pour l'hôtel de Hilbert". C'est intéressant de voir comment grâce à l’hôtel de Hilbert on peut se rendre compte que tous les infinis ne se valent pas.
Quand mon hôtel naturel est plein et que je vois un salaud de Réel arriver, je lui dis désolé je suis plein, ya plus de place pour vous, retournez d'où vous venez !
Je commente rarement mais, excellente vidéo, félicitations !
Super ... Ouais ... Remettez-nous en mémoire les critères de convergence ... critère de Cauchy etc ...
Ce qui est bien de nos jours c'est que quand on trouve la convergence d'une série on peut vérifier à l'ordi qu'on a sûrement pas faux si çà converge assez vite avec temps de calcul du PC
La série ne convergeant effectivement pas, il n'est donc pas possible de donner une valeur.
Mais si on se forçait artificiellement à lui donner un résultat, le résultat le moins absurde serait 1/2.
Idem pour la somme de tout les entiers positifs qui diverge de manière évidente vers +infini. Cependant, si on se force (artificiellement) à lui donner une valeur, -1/12 ème est la moins mauvaise d'entre elles (confirmé expérimentalement par l'effet casimir par exemple ou analytiquement par le prolongement analytique de la fonction Zeta de Riemann ou par la sommation de Ramanujan).
Edit : pourquoi l'infini serait pair ou impair ? pourquoi ne serait-il aucun des deux ?
Au nom de quoi la non convergence "interdit" de donner une valeur? Pourquoi parler de "forcer artificiellement"? Quel sens mathématiques ont ces notions que vous utilisez? 🤔
Une fois j'ai vu sur internet que la somme de tous les entiers positif serait égal à -1/12, l'explication avait l'air logique, mais après avoir vu ta vidéo j'ai l'impression de m'être fait avoir
Tu ne t'es pas fait avoir....cette vidéo n'explique pas très bien le fond de la question...et la question est un peu plus subtile que ça...
Super continuez 🙂
On trouve beaucoup de vidéos sur le sujet avec ces manipulations douteuses aux résultats aberrants.
Merci pour cet excellent débunk.
Non, ce "débunk" n'est pas très bon. Et certaines des manipulations "douteuses" et "résultats aberrants" sont en fait parfaitement légitimes et vrais 😉
c'est la base de l'école primaire tu commences au début tu finis par la fin sauf les multiplication et division sont prioritaires ou si tu peux simplifier l'opération merci salut
Tu nous fais quand le 1 +2+3+4+... ? Qui donne un résultat assez surprenant, mais grâce à toi j'ai compris que le soucis était la non convergence des suites utilisées pour le calcul...
Ça ne donne pas un résultat étonnant mais un résultat faux ;)
Petite erreur il me semble comme on commence à n = 0 alors si "l'infini est pair " avec de gros guillemets, S = 1 et si il est "impair" S = 0 mais je n'en suis pas sûr cela dit c'est une très bonne vidéo car je vois beaucoup de désinformation sur des sommes infinies comme celle-ci telles les 3 premières démonstrations
Effectivement, je m’apprêtais à faire la même remarque
Tout à fait: En fait tout est faux dans cette vidéo, c'est du concentré de contre-vérité.
a priori on ne commence pas par n= 0 mais par puissance n=0 avec a puissance zéro ( a°=1 )
Par ailleurs 0 n'est ni pair ni impair
Non. On peut faire des trucs bizarres avec l'infini. Alors parler d'infini pair ou impair... ça n'a aucun sens.
Vous voyez tout de même qu'il insiste sur le fait qu'aucune démonstration n'est exacte non?
super video, tu me reveilles quelques cours de math. continue comme cela vraiment sympa ce concept
J'aurais aimé la démonstration par récurrence avec initialisation pour n=1 et n=2 puis prolongation sur 2n et 2n+1. Ça m'aurait rappelé des souvenirs 😋
En plus j'ai envie de dire que c'est le bea ba de la récurrence 😅
Et oui ça doit être du bac +1 mais il y a 30 ans c'était du niveau bac. Avec les matrices 🙄
Un élève qui s'intéresse aux maths au lycée connait les séries divergentes. De plus, les matrices sont toujours au programme en Terminale. Mais bon, il faut s'avouer qu'il n'y a pas vraiment d'application pratique niveau lycée, puisqu'il faut attendre la prépa/fac pour parler d'espaces vectoriels. Puis bon, je ne vois pas quel est le rapport entre matrices et séries divergentes...
@@alexandrezeddam7817 j'ai passé un bac C en 1974 ( c'est pas d'hier 😁) on étudiat efectivement les espace vectoriels dès le lycée, je dirais même en première selon mes souvenirs.
@@alexhauser405 Je confirme, et même en seconde C.
Pour l'hotel de Hilbert elJj a fait une super vidéo ;)
Bonjour Hedacademy, est-ce que tu parles le langages des signes?
Bonjour. Non je ne parle pas le langage des signes
Que la Force soit avec la Convergence !
🙂
Oui, le seul raisonnement a avoir est que l'on ne peut pas appliquer des systèmes fini a l'infini
sinon quand tu factorise pourquoi tu extrait le premier 1, il doit faire partis de la factorisation non ? > - (-1+1-1+1...)
c'est se 1 fictif qui permet par la suite d'isoler tes sommes sinon tu reste avec S=S ^^
sinon la suite étant très simple il est évident qu'elle oscille entre 0 et 1 a chaque élément, donc tu ne peut avoir (-1)n car la différence entre n pair ou impair est de 2 (-1+2=1; 1-2=-1)
J'ai tout compris. C'est exactement comme si le chat de shroedinger explorait l'hotel de Hilbert et rencontrait en même temps Ramanujan sur le roof top et Norman Bates au sous sol.
Lol
Ça existe en anglais certes mais el ji a fait une série sur Hilbert (entre autres) en français qui est un must see quand on aime les maths.
1:45 J'ai fait la même étourderie ce dimanche! 😅
Merci encore pour ta vidéo et ce que tu apportes.
J'aimerais te soumettre un problème (dont je possède la solution et de nombreuses façons d'y aboutir) et échanger sur ta façon de le traiter. Puis-je ?
Un prof de lycée aimant comme toi transmettre
Avec plaisir. Envoie moi l’énoncé par mail hedacademy@gmail.com.
Et J’espère trouver une des façons de le résoudre 😅😅
Les termes employés sont probablement trop durs pour le public de cette chaîne. Expliquer la factorisation par un « - » puis aborder les concepts de séries entières et de convergence est très eloigné. Sinon une bonne énergie c’est agréable à regarder.
Des parenthèses pointillées, j’adore. ✌️
Ça a était laborieux, c'est la première fois que je me perds dans tes explications... 🥵
Dans la démonstration 2, il me semble qu’il y a une « fraude » logique en instaurant les parenthèses après le premier 1: dans ce cas les parenthèses ne correspondent pas à S mais S-1 puisque le premier terme de la suite en a été exclu:
l’équation équilibrée s’écrit ainsi
S= 1+(S-1) si comme dans la video on reprend à droite de l’equation, le résultat de la démonstration 1 dont la conclusion est S=0
S=1+(0-1)
S=1-1
S=0 La difficulté de raisonnement n’est pas tant vers la limite à l’infini mais au debut de la somme infinie.
En fait cette somme S équivaut à erire S=(+1-1) ^n quand n tend vers l’infini. Que n soit pair ou impair est indifférent à la somme. Mais si un des deux termes de la somme manque ce n’est plus une somme . En tous cas pas la somme S{1-1+1-1….} qui est une somme répétitive de deux chiffres égaux de signe opposés .
Dans la démonstration 3 ,
De même
S=1-(1-1+1-1….)
n’est pas S=1-S puique une factorisation par -1 été opérée , il faut la conserver pour que l’égalité soit conservée :
S=1-(-S+1)
S=1+S-1😅
Ce petit bout de démo sert à faire la somme des entiers naturels de 1 à l'infini, qu'on peut voir sur la chaîne de MicMaths ua-cam.com/video/xqTWRtNDO3U/v-deo.html , et qui donne un résultat tout aussi surprenant (avec des applications en physique bien réelle). Mais dans la démo de Micmaths, il utilise bien S = 1/2
Merci pour cette vidéo !
la "démonstration" de micmaths est du grand n'importe quoi. Elle permet de démontrer que 1=2 ou ce que vous voulez. La présente vidéo le fait très bien d'ailleurs, montrant que faire n'importe quoi donne n'importe quoi.
@@ze_mask5919 Non. Il sait à peu près ce qu'il raconte, comme il le rappelle en début de vidéo, il ne fait que remettre sur le tapis une question soulevée par des mathématiciens illustres. Sa première approche "naïve" lève simplement le lièvre, évidemment elle fait comme si on s'affranchissait totalement de la rigueur, mais le cadre théorique pour tout cela existe : c'est celui des nombres p-adiques.
J'ai immédiatement eu l'intuition du 0 et du 1, mais pas du 1/2... Belle démonstration.
petite erreur sur la fin, c'est l'inverse
S=1 si "infini pair"
S=0 si "infini impair"
car le premier élément est 0 pair, si "infini pair" on a un nombre impair d'éléments { donc S = n(1-1)+(-1)^pair }
Et selon le même raisonnement, on a donc 9 doigts en comptant les doigts des deux mains
Autre façon de calculer cette somme :
On commute les termes n° 2 et n° 3 ainsi que les termes n° 6 et 7 puis les termes n° 10 et 11 et ainsi de suite, en passant deux termes à chaque fois.
On obtient : S = 1 + 1 - 1 - 1 + 1 + 1 - 1 - 1 + 1 + 1 - 1 - 1+...
C'est à dire : S = 2 - 2 + 2 - 2 + ...
En regroupant ces termes par deux à partir du deuxième, on obtient S = 2 + 0 + 0 + 0 + ...
Si bien qu'on trouve S = 2 !
En fait, en changeant l'ordre des termes de façon judicieuse, on peut trouver le résultat de son choix !
Vidéo intéressante et je loue l'initiative de sortir un peu de votre zone de confort pour aborder des sujets et thèmes Bac+. Cependant, il y a pas mal de soucis qui obscurcissent la compréhension qu'ont les élèves des séries.
- Une série n'est pas vraiment une somme (ça n'en a pas toutes les propriétés). Il est donc faux de dire qu'on a des sommes si et seulement si ces séries convergent. Si on veut donner un sens élargi au mot "somme" (ce qu'on peut faire, puisque c'est le but de la limite des sommes partielles), il faut garder à l'esprit que c'est un choix arbitraire, qui n'empêche absolument pas d'en choisir un sens encore plus élargi (notamment pour la série dont il est question ici). Le fait que cette série diverge ne signifie pas qu'elle n'a pas de somme. Juste que sa limite des sommes partielles n'existe pas. Mais elle peut avoir une somme encore plus élargie que la limite des sommes partielles, et c'est le cas (et sa valeur est bien 1/2 😛).
- Ce que montrent ces calculs c'est qu'il faut être prudent avec l'infini, et donc la notion de "somme" que l'on choisit pour une infinité de termes. Mais cela ne veut pas dire que tout calcul avec une infinité de termes est absurde. Pas plus que le fait que commuter les termes d'une somme (au sens de série convergente) est absurde implique que les calculs avec infinité de termes sont faux. Il faut juste bien regarder dans les yeux ce qui est fait et voir quelles propriétés on utilise.
Donc, il ne faut pas faire dire au calcul plus que ce qu'il dit. La série ne converge pas. C'est tout. Les deux premiers calculs montrent qu'on ne peut pas associer librement les parenthèses pour cette série avec une quelconque opération. Mais rien en soi, ne montre que le 3ème calcul est absurde.
Du coup prudence avec la vidéo qui arrive sur le -1/12 😉
merci khey
@Hedacademy : La chaine youtube Science étonnante a aussi traité de l'hôtel de Hilbert dans sa vidéo sur les infinis.
On peut utiliser le principe de récurrence comme méthode puisque la somme de suite est dans N
Pour ce qui est de la fin de la vidéo, c'est faux: de l'indice 0 à l'indice 10 millions de milliard, il y a 10 millions de milliard +1 valeurs, donc la suite vaut 1 si l'indice est pair, et 0 si l'indice est impaire, L'inverse de ce qui est dit dans la vidéo donc, mais très bonne vidéo, surtout pour l'explication de ce qu'est une condition nécessaire.
d'une manière général, entre deux entiers a et b compris, il y a b-a+1 valeurs
par exemple: entre 3 et 12 compris, il y a 12-3+1=10 valeurs.
Et au passage, on peut faire dire n'importe quoi à une suite divergente
s= 1+2+3+4+5+...
-2s= -2 -4 -6 -8 - ...
s= 1+2+3+...
s-2s+s=1+0+0+0+0+.... (additionner les valeurs en colonnes)
donc 0=1
Puisque vous annoncez plusieurs vidéos, les suivantes vont-elles traiter l'égalité de Ramanujan 1+2+3+4+5+6+... = -1/12 ?
Pour l'hôtel de Hilbert en français par l'un des meilleurs vulgarisateurs francophones, c'est ici: ua-cam.com/video/1YrbUBSo4Os/v-deo.html&ab_channel=ScienceEtonnante
Pour l'hôtel de Hilbert, il y a "deux minutes pour en parler " qui l'a traité en français
ua-cam.com/video/N_cDA6tF-40/v-deo.html :P
On peut montrer par récurrence que la limite est zero. S1 = (1-1) = 0 S2= (1-1) + (1-1) = (1-1)x2 = 0; Sn = (1-1)*n. Sn+1 = Sn +1 -1 = Sn +0 = Sn => S = 0 pour tout n => elle converge vers 0
Il y a une très bonne vidéo sur l'infini sur la chaîne Science Étonnante
Pour voir que la série diverge, il suffit de voir que les sommes partielles valent 1, 0, 1, 0, etc.
Ca alterne entre deux valeurs, 0 et 1, donc ça ne va pas se mettre à converger par magie !
(ces valeurs montrent au passage que la "meilleure" réponse possible est 1/2, la moyenne, même si c'est faux si on reste strict mathématiquement)
Ce n'est pas faux mathématiquement. C'est faux avec une *certaine* notion mathématique (la limite des sommes partielles). Mais c'est parfaitement vrai avec d'autres (sommation de Césaro/Abel...etc...)
@@manun7105 Oui, je voulais dire que c'était faux "dans le sens usuel" (et donc pour la majorité des lycées/étudiants qui regardent cette chaine)
@@booli8542 Je vois ce que tu veux dire mais à mon sens cette notion de "faux dans le sens usuel" est à bannir. Ça conditionne les élèves à penser dogmatiquement que des trucs sont faux dans l'absolu...et en plus ça n'a aucun sens quand on y pense vraiment 🤷♂️
Le résultat de cette opération là ne donne pas 1/2. Mais celui d'une autre oui. C'est tout 🙃. Dire autre chose, c'est dire plus que ce que le résultat mathématique lui même dit. Et en rajouter trop finit souvent par faire dire des choses fausses 😉
@@manun7105 La remarque est intéressante. Et du coup, ça peut amener à montrer que les mathématiques peuvent aller plus loin que "l'usuel".
Une belle porte DU monde des maths pour LES mondes des maths ^^, sans forcément aller plus loin dans les explications du pourquoi du comment
@@manun7105 Alors ayez au moins la décence de ne pas utiliser le symbole '+' pour représenter ces "autres" sommations.
Arte a fait une vidéo sur l'infini dans l'émission "voyage au pays des maths", il parlent aussi de l'hôtel d'Hibert dont il paraît à 5:00
0+0 = La tête a Toto. Chouette vidéo! Merci!
Tu devrais connaître la chaîne de EL JI . Il a fait une superbe video en français sur l'hôtel de hilbert
Srinivasa Ramanujan en a découvert pas mal d'autres des sommes infinies comme celle là
Par exemple , 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
faut raisonnement : 1+infini=infini ==> 1=0. les théoremes que vous utilsez sont vrai pour un ensemble fini et non pas infini. exemple si s=infini alors s+2=infini et s+4=infini donc s+2=s+4==>2=4.
"infini pair" mais je prend un nombre pair simple pour l'exemple: 2 -> n=0, 1 et 2 donc 3 éléments donc limite = 1 et pas 0 (et limite = 0 pour un "infini impair" à l'inverse). Tu as inversé ou je me suis emmêlé les pinceaux? 🤔
Te pose pas de question , ses 3 demonstrations son fausses.
Y'a une raison. L'addition est definie sur 2 nombres. X+Y=Z : l'addition de 2 nombre en donne un 3 eme. Mais on peut faire (A+B)+C , on a alors défini l'addition de 3 nombres , puis 4 puis 5.
On peut additionner N nombres avec N aussi grand qu'on veut.
On peut deplacer les parentheses comme on veut ou ordonner comme on veut le resultat est le meme. Alors on ecrit sans parentheses.
Sauf que N est un entier , mais infini n'est pas un entier. Manipuler les parentheses ne fonctionne plus (en general) sur une somme infinie.
En fait il parle de limite , par exemple on sait que limite de 1/2+1/4+1/8+...vaut 1.
Alors dans ce cas on écrit 1/2+1/4+1/8+...=1 pour simplifier l'écriture mais le "..." signifie que c'est la limite de la série pas une vraie égalité au sens addition.
En math , on utilise plein de simplification dans les écritures quand on est sur que la facon d'ecrire n'est pas ambigue.
Plein de démonstration bidon sur des sommes infinies , vont tricher à un endroit.
Personne voit rien , sauf si un type leve le doigt et dit "Eh , tu n'a pas le droit d'écrire ca. Tu es sur une somme infinie. As tu vérifié le critère de Cauchy de cette série ?".
Le critère de Cauchy est le truc qui justement t'autorise à manipuler les parentheses et avoir un calcul correct, toujours le meme et independant de ta facon de placer ces parentheses ou d'ordonner les nombres.
Exactement comme sur une somme finie, il est fait pour ca.
Bref ; les séries , c'est un problème clair et clos pour les matheux. Celui qui triche se fait vite attraper. Il doit montrer que sa serie verifie le critere de Cauchy (autrement dit qu'elle converge) avant tout calcul.
moi je visualise une serie qui a plusieurs solutions qui tendent vers comme une sinuzoidale qui varie en permance entre ces 3 solutions jusqu'a l'infinie, sans jamais tendre vers une seule...je sais pas si c'est clair ^^
on peut aussi remarquer que 1-S vaut exactement ... S et donc 1-S = S => S = 1/2
Ce type d'utilisation du calcul classique avec des sommes infinies aboutit à la conclusion que la somme des entiers vaut -1/12
On avait aussi S=-1. Pour l'hôtel de Hilbert, j'aime aussi beaucoup la vidéo d'El Jj (ua-cam.com/video/N_cDA6tF-40/v-deo.html)
Toujours aussi agreable
J'avoue que j'ai un peu de mal, à chaque opération on permute d'un résultat 0 à un résultat 1. Mais fatalement je calcule sur une suite finie, j'avoue que c'est un peu chaud à comprendre à mon niveau.
Regarde la vidéo de scienceetonnante au sujet de l’infini il parle bien de cet hôtel en français
Une vidéo amusante dont la chute m'était connue d'avance, mais pas le chemin que vous alliez parcourir.
Essayons de mettre une grandeur physique à votre infini: le temps;. Si t = infini, on l'appelle éternité. Laissons alors la conclusion à Bernard Haller, comique francophone décédé: " L'éternité c'est long... surtout vers la fin".
Il y avait une façon très simple pour montrer que la limite de la somme n'existe pas.
Il suffit de calculer les premières sommes :
S_1=1
S_2=1-1=0
S_3=1-1+1=1
S_4=1-1+1-1=0
etc.
donc on voit bien que la limite de S_n n'exite pas.
Pour revenir aux "démonstrations", (il aurait mieux valu parler d'argumentations) qui n'en sont pas, il aurait été intéressant de revenir dessus pour identifier dans le détail, les inférences fausses qui sont utilisées.
Par exemple, dans la dernière, on ne peut pas utiliser S puisqu'elle n'existe pas.
Dans (1-1)+(1-1)+..., il me semble (à vérifier) que l'on ne peut pas associer les termes comme bon nous semble.
PS : À un moment, tu parles de parité de l'infini. Je ne pense pas que le concept de parité existe sur l'infini.
vous avez oublié de faire le calcul pour S_infini ....
@@alexhauser405 Pourquoi et comment voulez vous calculer une chose qui n'existe pas ? Il est là le problème.
Quand vous voyez une suite qui fait 1, 0, 1, 0, 1, ... il est facile de montrer qu'on ne peut pas avoir un rang à partir duquel la difference soit inférieure à une valeur arbitrairement petite. Par définition cela signifie que la limite n'existe pas.
The sum of (-1)^n = the sum 1/ (e^i×pi)^n = 1/(e^i×pi-1)=1/-1-1= -1/2
-1+1-1+1-1+1-1+1-1+..............+1-1=-1/2 ===> (-1)×(-1+1-1+1-1+..............+1-1) =1/2
===> 1-1+1-1+1-1+1+............+1-1 = 1/2
Sinon si tu nomme (Un) ta suite, et tu regardes les suites extraites (U2n) qui dcp diverge vers +inf ( en tant somme des 1) et et (Un+1) qui diverge vers -inf en tant que somme des -1 .
Or si une suite converge, les 2 suites extraites (U2n) et (Un+1) converge vers la même limite, Or ce n est pas le cas ici donc (Un) diverge ( de 1 ER ou 2 ème espèce)
Hôtel de Hilbert par Science Etonnante (en français donc) : ua-cam.com/video/1YrbUBSo4Os/v-deo.html
il y a des fois j arrive a suivre , mais la j ai décroché a la cinquième minute 🥴, merci pour votre travaille .
Bonjour. J'ai vu une vod (en français) où le calcul de S est utilisé pour calculer la somme 1+2+3+4+5+ (jusque l'infini), ce qui donne le résultat absurde de (-1/12), en considérant que le résultat intermédiaire est bien (1/2). Mais comme on a déjà trouvé 4 résultats, le fameux (-1/12) est sujet à caution. Hmm ! je n'oseais pas mettre un lien pour aller chez qlq d'autre. à bientôt.
Evidemment que 1+2+3+4+... = -1/12 est faux.
En fait c'est un abus de langage.
En réalité, la prolongation analytique de la fonction zeta de Riemann en -1 est égale à -1/12.
Or, si la fonction zeta équivaut à une série infinie dans son domaine de convergence (par exemple 1+1/4+1/9+1/16+1/25+... = pi^2/6), par contre elle n'a plus rien à voir en dehors du domaine de convergence.
D'autre part toute démonstration un peu débile commençant par S=1+2+3+4+... est d'office fausse car le prémisse est lui-même faux.
On ne peut pas écrire S=1+2+3+4+... puisque S n'existe pas.
J'ai du mal à comprendre comment une somme de nombres positifs peut donner un résultat négatif, - 1/12 en l'occurrence. 🤣🤣🤔🤔
@@alexismalafosse6784 Bonjour, voici le lien vers une vod qui explique le résultat, qui n'est possible que parce que la somme 1+1-1+1 ... etc est considérée comme ayant une solution, ce qui n'est pas le cas. Bon amusement ua-cam.com/video/xqTWRtNDO3U/v-deo.html
Ces calculs ne sont pas du tout faux. Et le résultat n'est pas absurde.
Tonton Beber n'a pas vraiment compris de quoi il parle, parce qu'il ne connaît pas vraiment le sujet malgré les apparences 😌
@@alexismalafosse6784 Par le même genre d'explication que le fait qu'un carré puisse donner un nombre négatif 😉
Je m'interroge sur le sens mathématique des 3 petits points.
si jamais, il y a une video de eljj en francais sur l'hotel de hilber
Une suite Un converge si lim Un tend vers un nombre, pas forcément vers 0. Par contre pour la somme converge il faut en effet que la suite tende vers 0.
En réalité on peut s’amuser à faire de sorte que S soit égale au nombre que l’on veut. Avant de calculer un nombre il faut toujours s’assurer de son existence. Avant de calculer S il faut être d’abord sûr que S est un nombre réel.
(_1)^n c'est une suite géométrique. De raison _1 .et on utilise la somme des termes successive d'une suite géométrique.
Et si à l'infini j'ajoute -1, la somme devient -1 ? Toujours sympas tes vidéos
C'est bien toute la question de l'infini. On ne peut pas lui ajouter ou retrancher quelque chose, il est infini. Comme il ne peut pas être pair ou impair. C'est l'infini, qu'on ne peut pas appréhender avec notre cerveau fini.
certains infinis en contiennent d'autres, comme les entiers sont dans les réels, mais il n'y en a pas un plus vaste que l'autre.
c'est comme la même opération avec d'autres chiffre pour savoir il faut calculer en prenant l'opération par le début et finir avec la fin