RECTA que pasa por un PUNTO y CORTA a DOS RECTAS que SE CRUZAN
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- Опубліковано 17 бер 2019
- En este vídeo de geometría analítica en el espacio de 2º de bachillerato, se pide calcular la ecuación paramétrica de la recta que pasa por un punto y corta a dos rectas dadas que se cruzan. La construcción de dicha recta se basa en conseguir un punto y un vector de dirección. El vector se obtiene teniendo en cuenta que la recta pedida es secante o coplanaria con cada una de las dos rectas dadas.
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Te entiendo hasta en velocidad 1.5 y con los nervios del día antes de selectividad sin apenas haber tocado matemáticas. Ere un fiera
Muchas gracias :)
Gracias ..con esta pandemia estoy cursando virtualmente la universidad (primeras materias) y es fundamental sus explicaciones!!
Excelente tus explicaciones, muchas gracias desde Argentina 😉
muchas gracias, me has ayudado muchísimo, y tus otros vídeos también
MUCHISIMAS GRACIAS
Muchas gracias llevaba dos días sin entender ahora son tres
Dinamicas clases con explicaciones precisas y contundentes...sin dudar...
Este problema puede solucionarse de otra forma mucho más fácil de entender. Con el punto dado y cada una de las rectas se buscan los dos planos (el plano que contiene una recta y el punto dado). La recta solución es la recta formada por el sistema de los 2 planos, es decir, los dos planos se cortan en esta recta. Es obvio que esta recta se corta con cada una de las rectas dadas porque esta recta pertenece a cada plano por construcción y las otras rectas están incluidas en estos planos no siendo paralelas con la recta encontrada.
Para mi, Andrés es uno de los que realiza mejores vídeos en Internet.
Muchas gracias por tu observación y explicación. Lo cierto es que la experiencia me dice que cuando construimos planos auxiliares, a muchos chavales les cuesta tener esa visión espacial. Lo mismo ocurre cuando calculo la perpendicular común a dos rectas que se cruzan, que prefiero encontrar los dos puntos de distancia mínima que trazar planos auxiliares. Un saludo.
Enhorabuena Andrés¡¡¡ Has conseguido que me coma la cabeza con este vídeo más que con cualquier otro. Venía del trabajo pensando si esa recta siempre existiría dado cualquier punto y dos rectas que se crucen. Además lo iba haciendo con dibujos de rectas y puntos en el espacio mentalmente. Creo, ya me lo confirmarás (si quieres o puedes) que hay muchas excepciones. Un ejemplo: recta r en el plano XY, por ejemplo (x,y,z)=(0,0,0)+LAMBDA(1,1,0) y la recta s un poco mas arriba pero paralela al plano XY, por ejemplo (x,y,z)=(0,0,1)+LAMBDA(1,-1,0) y un punto perteneciente al plano XY, por ejemplo (3,-1,0). Creo que no existe ninguna recta que pase por este punto y corte a las otras dos rectas. Generalizando, he pensado que si las coordenadas de los vectores directores de las rectas tienen una o dos coordenadas iguales, los únicos puntos que cumplen la propiedad de que exista una recta que pase por el punto y que corte las otras dos, son los que pertenecen a la recta "distancia mínima" entre las dos rectas. No se si es coherente, igual me he hecho la picha un lio.
Eso que he dicho de los puntos de la recta "distancia mínima" es una tontería, hay muchos mas puntos, pero si creo que se deben excluir, en el caso del ejemplo los puntos que pertenecen a los planos z=0 y z=1 salvo los que pertenecen a las propias rectas. Además, sigo intuyendo que si una o dos coordenadas de los vectores son iguales existen parejas de planos paralelos que contienen las rectas y les pasa lo mismo que a los del ejemplo.
Tengo la respuesta definitiva a tu duda. Existe otra forma de resolver este problema que te va a aclarar todo. Sea t la recta que queremos calcular que pasa por un punto dado P y corta a dos rectas dadas r y s que se cruzan. Podemos construir un plano pi que contiene a P y r. Si dicho plano corta (y digo corta porque no siempre lo hace) a la recta s, en un punto Q, dicho punto Q junto con P son dos puntos que determinan la recta t pedida.
En el caso concreto que planteas, si te das cuenta, el plano que contiene al punto y una de las rectas es paralelo a la otra recta, por lo que nunca habrá corte entre ese plano y la recta. De ahí que digas que no existe la recta que pase por el punto y corte a las dos rectas dadas. Sin embargo, para tu ejemplo concreto, si planteas tal cual lo que hago en el vídeo, la recta t sale (x,y,z)=(3,-1,0)+lambda(1,-1,0), que es una recta que pasa por el punto dado y es secante a una de las rectas pero no a la otra (de hecho es paralela porque no puede ser secante). ¿Y por qué pasa esto? Cuando calculo el vector director (a,b,c) de la recta t exigiendo la coplanariedad doble de la recta t y r, y t y s, no hay ningún problema en el caso de que sean paralelas. Dos rectas paralelas son siempre coplanarias (es fácil verlo) por lo que esa condición se sigue cumpliendo aunque no sean secantes como se da con la otra pareja de rectas.
Espero haberte solucionado la duda. Ahora vienen un par de vídeos de eso de la distancia mínima (la perpendicular común). Saludos y gran aporte como siempre.
Muchas gracias por la respuesta. Todo claro y cristalino.
Buenísimo, me salió un ejercicio parecido en una guía, y después de 1 hora de armar sistemas de ecuaciones sin llegar a nada, casi me rindo, este video me iluminó, muchas gracias.
listo para la batalla con yusti?
Hola, muchas gracias por la explicación. Tengo una pregunta: ¿para calcular la recta t, ésta podría expresarse como la intersección de estos dos planos?
Primer plano: la recta r pertenece a este plano, y el punto P también pertenece a este plano (y se calcula)
Segundo plano: la recta s pertenece a este plano, y el punto P también pertenece a este plano (y de nuevo se calcula)
Muchas gracias
Perfectamente válido. En efecto, he hecho el cálculo como tú describes y he comprobado que obtenía la misma recta. Lo he tenido que hacer porque mi visión espacial no me llegaba para imaginarlo, jeje. Muy buena observación 😉
@ no faltaria hallar otro vector director? Podria ser dr x ds?
En serio muy bueno
Muchas gracias 😊
Excelente explicacion!!
Tengo una duda
Que pasaria si en el sistema de ecuaciones final resulta dos ecuaciones con tres incognitas?
Se podria tomar un parametro igual?
Correcto. Así es.
Fenomenal, tediosiño pero 😘😘😘
Es más fácil hacer el producto vectorial (i,j,k) del sistema de ecuaciones de a, b y c. Así te da el vector director tal cual
gracias amigo
Hola profesor este ejercicio se podría hacer si las rectas son paralelas?
Gracias
En el caso de que no te hubieran dado el punto P, se podría coger un punto de la recta r??
En ese caso existen infinitas rectas. Tomando dos puntos cualesquiera de cada una de las rectas y calculando la recta que los une, ya tienes una solución.
Se podría sacar el vector director de t con el producto vectorial de los de r y s?
No se puede. Prueba a hacer el producto vectorial de dr y ds y verás como no sale seguramente paralelo al que he obtenido como director de t. Eso es porque el corte de la recta que nos piden con las otras no es necesariamente perpendicular.
Vale, pero, digamos que un plano contiene a la recta r, y otro a la recta s, y la intersección de estas dos es la recta t que buscamos. Si sacamos la ecuación implícita de estos dos planos (fácil, tenemos el punto de t, un vector de r y otro de s, y hacemos vector a través del punto que nos dan y el punto de casa recta), y estas dos ecuaciones implícitas la ponemos como un sistema, ya tenemos la recta t
¿No se podría sacar la recta t mediante la perpendicular común?
No, porque la perpendicular común no tiene porque pasar por el punto dado.
@ ah vale, muchas Gracias!
tengo una duda para que era necesario aclarar que se cruzan? y si son cooplanares seria lo mismo?
En el caso de que las rectas fuesen secantes sería más sencillo. Se calcularía el punto de corte de ambas rectas y con el otro punto dado construimos la recta. Si las rectas fuesen paralelas, solo tendría sentido si el punto dado estuviera en el mismo plano que las rectas paralelas, en cuyo caso habría infinitas rectas que pasarían por ese punto y secantes a ambas rectas.
@ gracias por la aclaración profesor 👍
Si las dos rectas que se cruzan, se cortarían, se haría con el mismo método?
En ese caso habría un punto de corte entre las dos y rectas y con ese punto de intersección y el punto dato ya tienes la recta
Andrés. Se podría resolver sacando el punto de corte entre la recta s y r y hacer un vector con el punto que ya nos dan???
No, porque las rectas r y s no se cortan, sino que se cruzan.
te quiero andrés
Super like, que asco de planos auxiliares de verdad
Alguien sabe dos rectas que pasen por un punto 🖒
Dos rectas que sean secantes
y si en vez de darme el punto me hubiesen dado el vector director?
En ese caso tomarías el punto genérico de cada una de las rectas para construir el vector genérico que las une y obligarías a que ese vector fuera paralelo al vector director que te dan.