【静岡大2023】誘導をいかに使うか！～はさみうち～

[@otaniyoukou7300]

こうして、淡々と解説を聞くと、数学的帰納法とはさみうちの原理を使った良問であることが分かりました。ただ、大学入試というタイムトライアルなので、落ち着いて漏れなく論述を解答用紙にまとめる訓練を積まないとポカミスをやらかしそうです。

[@null-rn9zx]

数学的帰納法で立てた式が成立しないnとかあっていいんだ。他の問題で見たことなくて詰まりました…数学力ないのかな…

[@coscos3060]

早口でもなく、かと言ってスロー過ぎでもない耳障りのいい説明をされますので
理解もし易いです😂

[@tanaka6879]

(1)でｎが３以上で帰納法が成り立つならば、ｎは３で不等式が成立することは調べなくていいの？

[@ジョン永遠]

いやダメですよ．ここはむしろk≧2で(3/2)k≧k＋1がいえるからk＋1でも成立しｎ＝1,2 で成立を確認して証終．
(2)も同様で，仮定で`＞'の不等式が使えるので，示すべき不等式は等号付きの`≧'でよい．よってk≧2でOK

[@ymmm50]

はさみうち気持ちいい

[@ジョン永遠]

同じような証明を2回やるのはちょっとかったるいね．
(4)が言えれば(2)も言えることは明らかなので，(3)から(1)も示せるだろうと推察．
(3)の不等式は 1＋n(n＋1)/6＜(3/2)^n だから　1＋n(n＋1)/6≧n　がいえれば
(1)の不等式も示せたことになる．
実際，この不等式は (n－2)(n－3)≧0 と同値でn≧1で成立する．
それはそれとして(1), (3)とも2項定理で直接示せる．
(1)は初めの3項，(3)は初めの4項までとればOK

[@たかお丸]

(1)はlogとって微分したら簡単な計算オンリーで示せないでしょうか？文系縛りなのかな？

[@洋一田中-w8b]

1:25でどうして3/2kよりk+1の方が小さいと示せれば良いのですか？逆だと思ってしまいました。
どなたか分かる方いらっしゃいますでしょうか？

[@ジョン永遠]

示したい不等式と帰納法の仮定で使える不等式を繋ぐ不等式がそれだから
書いて見ればすぐわかる．

[@average334]

3k/2-(k+1)= k/2 - 1
よってk≧2のとき
3k/2-(k+1)≧0
∴3k/2≧(k+1)
例えばk=4であれば
3k/2=6, k+1=5 で左側の方が大きいですね
大小感覚を身につけるならまず具体的な値を入れるのが良いと思います！

[@ジョン永遠]

(1)の不等式から(3)の不等式が導けるけど，(3)が(4)のためだと思えば，
(1)から次の不等式が導ける．すべての n に対して　(3/2)^n＞(n²－1)/4
右辺は n²/4 でもいえるが上式がより簡単
なお，これらは(3)の(同値な)不等式よりもいい評価式
上記の不等式の証．
nが偶数のとき，m＝n/2は正の整数だから(1)の不等式より (3/2)^m＞m
あとは両辺2乗すればよい．
nが3以上の奇数のとき，m＝(n－1)/2，m＋1=(n＋1)/2はとも正の整数だから
(1)の不等式より (3/2)^m＞m，(3/2)^(m＋1)＞m ＋1 あとは辺々掛ければよい．
n＝1のときは直接確かめてお終い．
(追記)　(1)の不等式はnが自然数となっているが，すぐわかるようにn＝0でもOK．
そこで(1)の不等式を n≧0 で成立としておけば，上記証明で偶数のnは0からでよく，
奇数のnは1からでよい．(つまりn＝1の別個確かめが不要になるということ．)

[@shoko-ln8xd]

一番面の問題の証明なんですけどk＋1≦3/2kを満たせばよい、じゃだめなんでしょうか？

[@shoko-ln8xd]

もちろん最初にn=1の確認もしてkで成り立つと仮定した後に

[@MultiYUUHI]

ベルヌーイ不等式使わなかったorz

[@nishitoku]

⑶は，⑴からの数列の和で秒殺🗡

[@ジョン永遠]

これはいい！nをkに変えて1からnまでの和をとるとOKか

[@shoko-ln8xd]

かしこい(*´ω｀*)