Розмір відео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показувати елементи керування програвачем
Автоматичне відтворення
Автоповтор
5以上の素数は6n±1と表せるっていうのは一生忘れないだろう…ありがとう…。
どういたしまして。
京大の整数問題は本当に難しいけど、解答は大体美しいものになるから好き
すごい…試験では18歳かそこらの子が解くんだよね。凄すぎる
6n±1は双子素数を表現するものと言うことができる。つまり6n±1=f(n)とすると、f(1)=5,7、f(2)=11,13、f(3)=17,19、(f(4)は23単独)、f(5)=29,31、・・。(不思議なことにこの式は教科書や解説書ではほとんど見かけたことがない。知らない人が多いのはそのため)即ち「素数の座」は6の倍数の両側にあって(どちらか一方、もしくは両方空席の場合もある)、言わば6の倍数は「素数の親」だと言うこともできるだろう。
美しい問題の多い京大本当に好き
聞けば分かるレベルだけど、時間内に解く人がスゴイってめちゃくちゃ感じた。
この年受けたけどさ、、、むしろ一番難しいと感じたのが、どっちか一つが偶素数で一方が奇素数であると言うことに気付くかなんだよね。当然といえば当然やねんけど。その後が簡単やからな
こう言う少し雑談入れる先生、好きだなぁ
Kun Musuko さんご覧になってくださりありがとうございます。
あくまで私の考えですが、pが３超過の奇素数だと仮定し2^p＋p^2≡(-1)^p＋p^2 (mod3) ≡p^2 ー1 (∵pは奇数) =(p＋1)(pー1)連続三項間整数pー1、p、p＋1においていずれかは必ず3の倍数であるが、pは素数であるため除く。この時pー1、p＋1のどちらかが３の倍数となるがそうすると2^p＋p^2≡(p＋1)(pー1)≡0 (mod3) となり 仮定に反する。 p=3の時17となり条件を満たす。って感じで解いたのですがいかがでしょうか
佐々木優香 美しすぎる👏
すげえ。あくまで私の考えってのが不足があるかも知れんて意味かどうか知らないけどすげえ。
かっこいい!
仮定て、「pが３超過の奇素数だと仮定」でしょうか？仮定に反するというのはどういう意味なのかおしえていただけますか？
@@田中くにお-s5y 横から失礼します。「pが3より大きい奇素数であるときp^2+2^p≡0(mod3)でまたp^2+2^p＞3^2+2^3＞3だから、p^2+2^pが素数であるという『条件』を満たさない」ということを仰りたかったのだと、私は解釈しました。ご本人ではないので何とも言えませんが、このように解釈すると辻褄が合うように思います。
平方数みたらmod3しなさいってばっちゃんがいってた
どんなばっちゃんだよ笑
この人好きやわ
ケケケの奇多浪 さんありがとうございます。
1年前まで受験勉強をしていた者です。わかりやすい解説ありがとうございます。このような動画を見ると、今まで数学を勉強してきて良かったと感じます。大学では数学はあまり使わないのですが、今後も趣味として嗜んでいこうと思います。これからも頑張ってください。
ALEX XOXO さんご覧になってくださりありがとうございます。趣味としてなら、こんなのが面白いと思います。是非ご覧ください。自然数の平方の逆数の和にπが登場 ua-cam.com/video/9VyGY6DtU7o/v-deo.html
結構昔の動画だけど、フェルマーの小定理使えば(2,3)以外はmod3で0になるので(2,3)以外にないことが一瞬で示せます^^
問題を見たらつい解きたくなってしまう問題をサムネに載せられたらつい見ちまうじゃねぇかぁぁぁ
・9632 さんコメントありがとうございます。問題見たらついときたくなっちゃう‥‥素晴らしい数学マインド！東大入試問題‥‥３人がジャンケンしてk回目に1人の勝者が決まる確率は？ua-cam.com/video/wbQCmLKoS1E/v-deo.html
最後の最後で、全ての式が線でつながって答えになる感覚がすごいです。ありがとうございます。まさか、大人になって数学の動画にはまるとは思ってもなかったです笑。
ご覧くださりありがとうございます。
この問題考えた人凄い！数字の答えは簡単に出せるけど、証明のほうは極難しい。(証明できませんでした)
この問題を本番の時実際に解いていたものですが、この問題は特に印象が残っています。問題のカラクリが分かった時のスカッとする達成感、忘れられないです。このような問題が出題されるので、なぜか毎年気になって京大の入試問題見てしまいます。
これを2週間前に見たかった…7月の数検２級2次第5問で使えるやん…6n±1…一生忘れない…ありがとうございます…2週間前に見たかった…
アドミッションズの方にアップされる動画、お世話になってます！いつもありがとうございます！！！1年前の動画にコメントすることじゃないけど…
素数は必ず6n±1すげえええええwwwwwwwwwなんで今まで知らなかったんだろ
しん 屋やんまなか 5以上の素数な
2,3,6n±1
日本語の文脈も理解できないバカいて草
@@えうふ どっち?
どっち？
改めて見るとこの問題を見るとやはり面白いです！6n±1は素数、心に刻みます！
大学3年生になって最近知ったこのチャンネルですが先生可愛いし面白いのでめっちゃ見てます！受験勉強色々やったな〜
赤本、青本にはない解答だけどこれが最も分かりやすい
備忘録3周目 70G" (偶素数)＝ 2 (だけ) ･･･①, (奇素数)＝ ( 2以外の全素数 ) ･･･②p と q の 対称性より 2≦ p ≦ q ･･･③ としてよい。 p^q＋q^p ＝ ( 8以上の素数 ) ･･･④① ~ ④ より、 p^q と q^p は 偶奇を異にするから p＝2 で q＝( 3以上の素数 )■ よって、④ ⇔ 2^q＋q^2＝( 8以上の素数 ) (ⅰ) q＝3 のとき、2³＋3²＝ 17(素数) で適する。 (ⅱ) q≧5 のとき、mod3 の 合同式で、 q≡ ±1 と表すことができる。 2^q＋q^2 ≡ (－1)^q＋(±1)^2 ≡ －1 ＋1 ≡ 02^q＋q^2 ＝ ( 3の倍数 ) ＞17 , 以上より、( p, q )＝ ( 2, 3 ), ( 3, 2 ) (∵ ③を元に戻した。) ■〖 (実験は気づきの母) q＝3→ 17 ○, q＝5→ *3×19 ✕, q＝7→ *3×59 ✕, q＝11→ *3×723 ✕ 〗
とても気持ちのいい解き方ですね面白かったです
中柳 さんありがとうございます。
雑談挟むスタイルめちゃいいですねわかりやすかったです
Furuha .298 さんありがとうございます。編集は、面倒くさい＆技術不足なので、原則、一発アドリブ撮影です。なので、細かな言い間違えはご了承ください。
すごい考え方は全て習ったものなのに全然思いつかん。どうでもいいけど57出てきた時グロタンディーク素数の話出るかなと思った。
それは思いましたw 有名ですもんねw
素数を6n±1っておける発想はなかなかないだろうなぁ…本当に整数問題は奥が深い
mod3で簡単に解けました。Pが5以上の素数ならば、3の倍数ではないので、P^2≡1 。また、Pは奇数だから 2^P≡-1 。よって、P^2+2^P≡0 。
かしこ
今春から大学生です。あなたのような人が数学の教師であればもっと数学が面白く感じただろうと思います。とても良い動画でした。
いちご大福 さんとてもとても嬉しいコメントありがとうございます。一応、本質を大事にするということをモットーにしています。是非、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」の全編をご覧頂けたら嬉しいです。→URLです↓ ua-cam.com/video/O5BLVlYgonc/v-deo.html
今何してるかな
こういう問題を見ると数学って楽しいなあと思いますね！高３の時に全く歯が立たず、解説を聞いて感動したのを思い出しました。解き方をすっかり忘れてしまっていたのでまた感動させていただきありがとうございます笑
花子ぺるー さんご覧になってくださりありがとうございます。
鈴木貫太郎 わざわざお返事ありがとうございます。他の動画も見させていただきます！
ありがとうございます。
京大の入試っておもしろいですね。なんというか、想像と全く異なるものでした。分かりやすい解説ありがとうございます😊
プリン楠雄 さんご覧になってくださりありがとうございます。
論旨を均等に運ぶには、集合論を踏まえて「５以上の素数についてのみ調べればよい。つまり２と３の関門だけクリアすればよいのだから、６で割った余りで分類する」という一言があったら、もっと分かりやすかったと思います。加えて、「n≧1」と書き添えると、全ての自然数nに対して成り立つ素数が存在するという意味にも取られるので、「ある自然数nを用いて」とか「そうなる自然数nが存在する（∃n∈N）」とすべきだと思います。
面白い問題ですよね。ちなみに、私は後半の解法を、p = 2n+1、q = 2 の下、「(2n+1)^2+2^(2n+1)≡n(n+1) mod 3」⇒「n = 3m-2」⇒「p = 2n+1 = 6m-3」⇒「p = 3」として解きました。証明における本質的な違いはないですが・・・。
N=3m−2になる理由教えてくださいお願いします🙏
視聴2回目です。すっかり忘れていました。整数の基本で剰余類に分けるということは知っているのですが、意外に使いこなせないものの一つのような気がしています。また、「マスターオブ整数」では倍数の判定法は難しい部類にカテゴライズされていまして、まずそれ以外のところから学習するように「使い方」に書いてあります。何度もやる価値のある過去問のようです。
当方情報系大学院生、受験数学はサッパリでした。ただ、数学は好きなのでタイトルに惹かれて開きました。問題のチョイスがまず面白いと思います。また、参考書の模範解答ような、解答を知ってる解き方じゃなくて実験的に試していく解き方で面白かったです。
48 tokin さんコメントありがとうございます。是非、他の動画もご覧になって下さい。これなんかは結構好評です。ua-cam.com/video/UpSDt40ZAhs/v-deo.html
実験→合同式なら思いつきそう議論満たせるか分かんないけど
すごくわかりやすい
アルラウネ同盟 さんご覧になってくださりありがとうございます。
動画を見る前のヒント・奇数＋奇数＝偶数 ２でなければ絶対に素数ではない・奇数＋偶数＝奇数・奇数×奇数＝奇数
この頃はmod使わずに解かれてたんですね。分かりやすいです。そして改めてmod凄い。
後半、以下のような解答はどうでしょうか。① p=3のとき、2^3+3^2=17 で成立② p＞3のとき、2^p ≡ －1 (mod3) (pは奇数)p^2 ≡ 1 (mod3) (pは3の倍数ではない)よって2^p＋p^2 ≡ 0 (mod3) でさらに素数であることから、2^p＋p^2＝3 しかありえない。しかし、p＞3より左辺は明らかに3を超えるため矛盾。以上より、p＝3である。
これをテーマに小説書いてます。本当に助かりました。
6N±１の概念の事を 自分の若い頃に分かっていれば素数を求めるプログラムのアルゴリズムで教師を黙らす事が出来てたかもしれない。当時の自分は奇数かつ最終桁数が５を除外だけで余計な計算をさせないで工程数を減らすというアルゴリズムで精一杯でしたね。1つの知識の差で違う職業に就けたかもしれないと思いました。
私はq=2とした後p=2m+1と置いて計算し、その形を見てmを3の剰余類で分けたんですが、最初から6の剰余類で分けるとこんなに簡単になることに衝撃を受けました
こういう数学の問題は楽しくていいですね。受験生にとってが大変でしょうが。
p,qのどちらかは2だと言うことは動画を見るまで分からなかったので、それ以降を自分なりに解いてみましたp=2とする3を法とすると、2^q+q^2≡(-1)q+q^2…○1qが3の倍数でない時、○1≡(-1)q+1qは偶数ではないので、○1≡0よって、qが3の倍数でない時、与式は3の倍数しかし、与式は明らかに3以上なので、これは素数とならないよって、qは3の倍数また、qは素数なので、q=3p=2、q=3を与式に代入すると、17となり、これは素数よって、求める組(p,q)は=(2,3),(3,2)もし何か間違っていれば添削お願いしますm(_ _)m
オススメに出てきてくれてありがとうございます。チャンネル登録しました。
ちなみに57はグロタンディーク素数と言われていて、著名な数学者が講義の時、素数の例として57を扱ったことが由来
具体的な数字を入れて実験することの重要性を問う良い問題ですね！
糸川英夫 さんコメントありがとうございます。そうですね。まずは調べてみることは大切ですね。
糸川英夫 さん具体的な数字を入れて実験することなく、あっさり綺麗に解いている方もいます。とても参考になるのでこちらもご覧にってみてはいかがでしょうか。ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
ありがとうございます！
また6n±1を関数と考えれば2と3以外の全ての素数は二つの一次関数の二本の直線上にポイントされているということになる。素数の出現する場所は決まっている。ところで(6n+1)(6n-1)=36n²-1で、36に自然数の2乗をかけた値から1を引くと双子素数の積になる(ものがある)というのも少し面白い。
解けたーー！！こういうシンプルで知識を問うようなものじゃない京大の問題好きです自分は素数を6n±1で表せるという発想は出てこなかったので、証明に証明を重ねて、長くなってしまいました…数年後に京大に行くことを目標にしているので、頑張ります！
奇数と偶数の和でないといけないことは気がつく、それ故、一方は２であることも気がつける。2,3 以外のいくつか例を計算してみて、それらがみな３の倍数になるということがそこに見えてた筈なのに、それが気がつかなかった。ぼんやりしてんなあ、とてもいい反省材料になりました。
toohuudoo さんいつもご覧になってくださりありがとうございます。
toohuudoo さん合同式を使った素晴らしい解説をしている方がいるのでご参照ください。やや上級者向けかもしれませんがとてもわかりやすくスッキリしています。ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
p>3とすると、p^2≡1 (mod3)またpは奇数であるから、2^p≡2 (mod3)よって、2^p + p^2 ≡ 2 + 1 ≡ 0 (mod3)
(2桁の内)91の素数っぽいランキング1位凄く分かるwww
那由多 さん断トツ1位ですよね。1001 4桁一位(独断)
鈴木貫太郎 うわわっ御本人にコメントを頂けるとは...光栄で御座います。凄く分かりやすく、たまにある雑談もとても面白く、とても楽しい動画でした。やはり数学は面白いですね。(私なんかが言うのもおこがましいとは思いますが...)そして1001は素数じゃないんですね。確かに一見素数っぽいですねw
那由多 さん返信ありがとうございます。他の動画も是非ご覧になって下さい。これなんかは結構いいかもしれません。ua-cam.com/video/9VyGY6DtU7o/v-deo.html
是非視聴させて頂きます！
鈴木貫太郎 ３桁だと299が有力ですｗ
京大の過去問やってて素数は6n±1で表して見るといいことあるよと数学塾の先生に言われたのを思い出しました
Alex Parker さんコメントありがとうございます。
ここのチャンネルを視聴する前だったら手も足も出ない問題でしたが，お陰様で，暗算で解けました😄あ，ちなみに，私はmod 3で処理しました。2^p = (3 - 1)^p ≡ - 1(∵pは奇数)p=3の時与式=2^3 + 3^2 = 17⇒素数p≠3の時p^2≡1(∵pは3以外の素数であり，3の倍数でない)∴与式≡( - 1) + 1 = 0つまりp≠3の場合，与式は必ず3の倍数になる
同じ解き方の方がいて安心しました！
@@はらんちゅー さん3の倍数以外の数の2乗を3で割ると必ず1余るってのは便利ですよね
自分はできませんでした。現場で解答が書ける人って凄いなーと。
数学好きなのですごく面白い勉強してて休憩に見てるけど学びにもなる最高
p>3ならmod 3で2の奇数乗≡-1±1の2乗=1よって与式≡0
なるほど！！素数の必要条件は、奇数であることもそうだけど、整数を6n、6n+1、6n+2、6n+3、6n+4、6n+5で分類してやることで、6n±1なのか！あと合同式でも(mod3)6n±1≡±1(6n±1)^2≡(±1)^2=13-1≡-1(3-1)^6n±1≡(-1)^6n±1=-1から、余りが1-1=0より5以降の素数においては全て3の倍数であることが示されるってことか
今日の動画のコメント欄から、受講しました👍️。今は、藤井二冠の影響✨もあり、将棋の人気が高まってますが、子供麻雀教室もあるようです。楽しく学べるのは、いいですね！素数の性質、定理、互いに素は、中学のうちに、先取りでしっかり理解しておきたいです！
オイラが高校ん時の数学の先生は、黒板の書き間違いを指摘されると、よく気付いたな、出席簿二重丸にしといてやる、まあ何にもならないけどなｗといって笑いをとってごまかしつつ、いいか、ただ黒板のメモを書き写してるだけじゃ何の勉強にもならないぞ、自分で考えて解きなおすための道筋にすぎんからな（ｷﾘｯ。と、もっともらしく締めくくってました。数年前退官されましたがいい先生だったです。
素敵すぎる
後で◎の意味を問われて困るパターン
オイラー？(幻聴
オイラーは先生も賢かったんやな
Mod3脊髄反射もいいけど6n±1もいいね
2:2157は素数です。グロタンディーク大先生が言うんだから、間違いありません。
1つは2っていうのはすぐ分かったけど、どうやったらもう一方を導けばいいかがすぐには分かんなかった。解説を聞いてなるほどと思いました。
高1の時先生にだされて凄い時間かけて解いた思い出
わかり易かった
すべての整数を6N+Mと出すまでの思考の過程をもっと具体的に教えてほしいです。
整数は奇数と偶数しかありません。同様に整数は３で割った時の余りが０か１か２のものしかありません。整数は４で割った時の余りが０か１か２か３のものしかありません。以下同様です。６で割った余りは０か１か２か３か４か５ですが、あまり５は余りー１と同じこと、余り４は余りー２と同じです。
@@kantaro1966 素早い返答ありがとうございます。その理屈はわかるのですが、その理屈に至るまでの過程を知りたいです。私だったら３の倍数であることを示したいから自然数を3N+Mと表現することをおもいつくのですが、それではうまくいかないから６N+Mにたどり着くという流れで良いでしょうか？
この問題は3の倍数で分類してもできますし、その方が普通だと思います。私が6n±1にしたのは偶数になることを防ぐためでしたが、その必要はなかったみたいです。ただ、5位上のすべての素数が6±1で表すことができるのは知っていて損はないでしょう。
@@kantaro1966 ありがとうございます。いくつか動画を拝見して数学にかなり興味が出てきたのでチャンネル登録しました。
東大もそうだけど、"気づけば"意外とシンプルな形で解けるよね高1までに履修した内容で解ける
もっかい数学やりたくなる
今は切り上げた点数の数列だけしか覚えてない人が殆どですね（麻雀の話）。僕の頃は切り上げない正味の数列で数えるのが普通だったので、3種類の数列を覚えました。中でも2のべき乗数列は今回のように麻雀以外でも役に立つのですが、麻雀用としては512までしか覚えませんでした（ニー、ヨン、パー・・・ニゴロ、ゴイチニまで）。先生は1024まで読み上げていますが、麻雀で1024は使わないですよね？
｢ざんにっぱ｣って言った時麻雀っぽいなーと思ったら、画面越しなのにバレててびびったw
P＝3より大きい素数として3k＋1または3k＋2として証明しようとしたけど出来なかった…。そっか…6n＋1、6n-1でやるのか。ビックリやわ
3でもできますよ
落ち着いてやったらできた。
片方2はわからないとだめ。ここからは解きようがないので代入して実験をする。そこですべて3の倍数になるということに気づく。以下解答3を法とする剰余系において、P≧5のとき、Pは素数よりP≡±1と表されるから、2^P＋P^2≡(-1)^±1＋(±1)^2=－1＋1=0 また明らかに2^P＋P^2は3より大きい。よって2^P＋P^2は素数でない3の倍数である。P=2,3のときは割愛
視聴回数がこれだけ凄いことになってますね。動画の内容も結構楽しみですが他人のコメントも見てて楽しいです。
感動した
pleX さんとても嬉しいコメントありがとうございます。是非、他の動画もご覧になって下さい。これなんか結構好評です。ua-cam.com/video/1M7FF1nd25I/v-deo.html
まずpとqが素数(奇数)のとき奇数の奇数乗=奇数なので、奇数+奇数=偶数になるからpが2になる。そこからqに3代入した後に、3より大きい素数を3で割った余りが1or2だからその素数を2乗して3で割ると余りが1になることを言って、2の奇数乗を3で割った余りが2なることを言って、それらを足すと3で割り切れるから3より大きい素数で題意を満たす素数はないってことでもいけるんじゃんね？
これ解けたときちょっと感動した笑笑
数Iの青チャートに出てきて、やってみたらp=2までは、求められた。それ以降はなかなか進まず。何せ合同式を学校でやってない状態でこの問題に取り組んだからめんどくさかった
この動画から貫太郎さんの動画を見始めたんだよなあ。
麻雀の話が一番面白かった、 🀄️
コメ欄見て思ったこと「あれ…俺場違い?…」
ゆーて俺もw中3のおれがわかるわけないw
それな
あがあがりんお3.1415926 ここは中学生が来て良い場所ではないです( ; _ ; )/~~~ でも高校で理解できるようになりますよ
@@ハンマーヘッド矢沢 Really?
あがあがりんお3.1415926 うん、really
落ち着いてる時なら解けるかもしれない難易度だけど、本番で出て冷静に解けるかどうかと言われたら無理そう・・・多分後回しにする
old cat さんそうかもしれませんね。整数問題は難しい場合が多いですから。
old cat 京大の整数問題はとりま最後
0:43 - 1:00 たった17秒で1個目が決定されるくだりが鮮やかで驚きました。
p^q+q^p=Pとおく。(Pは素数)p,q≧2よりP≠2.偶奇性を考えてp,qの少なくとも一方が2.p=2とすると(与式)⇔2^q+q²=P⇔2^q=P-q²･･･①ここで法を3とする剰余を考える(左辺)=2^q≡2･･･②となる．q²は平方数なので0または-1と合同q²≡0の時はqは素数なので3以外ありえない。よって(p,q)=(2,3)．q²≡-1の時は①②よりP≡0．よってP=3となるがp,q≧2より矛盾.p,qは対称であるのでq=2のときも同様に議論できる．よって（答)(p,q)=(2,3),(3,2) ■
これ今日青チャートで解いたばっかりや(解けたとは言ってない)やっぱり青チャートは良いぜぇ～
わかったようなわからないような...少しもやもやします。あと質問ですが、偶数を作るのに2ではなくて4とかを使ってはいけないのでしょうか？あとなぜ素数の式を6n+1にしたのですか？
sister ray さん骨伝説の さんコメントありがとうございます。6n±1でなく、3n±1でもできますが、3n±1は偶数になることがあり、(-1)^偶数は＋1になってしまうのを避けるために、私は6n±1にしました。ただ、3n±1としても、pは5以上の素数なので、5以上の素数だから奇数と一言断ればいいだけなので、3n±1でやるのが普通かと思います。
鈴木貫太郎 ありがとうございます
めっちゃ再生数伸びてますね〜やっぱり難関大学の問題は人気あるのかな？このチャンネルも軌道に乗ってきたみたいで良かったですね！
かよちん大好き さん初期の頃よりご視聴いただきありがとうございます。今後もよろしくお願いします。
こちらこそ面白い問題や、入試問題などの丁寧で上手な解説よろしくお願いします！
これ京大理系数学の中でも超難問でしょ
おもしろすぎる！
きんにくらいだー さんありがとうございます。
この問題なんかも是非。ua-cam.com/video/wbQCmLKoS1E/v-deo.html
鈴木貫太郎 分かりました！解いてみます
pをmod3で0と±1で場合分けしてゴリ押すのは面倒くさくなりますか？割とスマートにできたと思ってるんですけど議論に自信がないもので
フェルマーの小定理は用いても大丈夫でしょうか？自分は p = 2k+1 かつ p = 3l, 3l±1 (k,l は適当な自然数) と2回表しました。2^p = 2^(2k+1) = 4^k･2 ≡ 2 (mod 3)p = 3l±1 のときp^2 = (3l±1)^2 ≡ 1 (mod 3)よってp^2 + 2^p ≡ 0 (mod 3)これは素因数3を含む合成数で不適。よって p = 3l であり p は素数よりl = 1 , p = 3 に限られる。
素数は2以外は全て奇数はこういう問題解くときに重要だから、覚えよう。
実験によって3で割りきれることを思い付くのか...勉強になります
両方奇数だと合計が偶数なので，片方は2．pを2とする．2^qはqは奇数なのでmod3で2．q^2がmod3で1になるのはqが3の倍数の奇数の場合のみ．3の倍数の素数は3だけなので，p=2のときqが3以外の素数ならp^q+q^pは3で割れる．でp=2,q=3のときp^q+q^pは素数なので．．という感じ？
3の倍数となることは予想できますが、素数となり得る6n+1,6n-1をpに代入する発想に至るっいうアドリブは難しいね。
p^2 + 2^p までは同じ。p=3を試してみてOK。pが5以上の素数のときは、mod 3で考えると必ずp≡±1なのでp^2≡1。pは奇数なので、2^p≡(-1)^p≡-1。したがって、常にp^2 + 2^p ≡ 0となって3の倍数になってしまい、素数にならない。ゆえに、(2, 3)しかない。5以上の素数が6n±1というのは、そのこと自体の証明が必要だとすれば寄り道かも？
p^q+q^pは素数よりp^qかq^pのどちらか一方は奇数、もう片方は偶数なのでp=n q=n+1(nは整数)と表すという方法で答えはあってたのですが正しいのでしょうか。 優しい人教えてください🙏🙏
「p,qは異なる素数」と問題にないのならば、(2,2)の組も一応潰しておかないと減点かなぁ。
176 nerimar さんご覧になってくださりありがとうございます。そうでしょうね。動画なので、口頭だけで済ませてしまいましたが。
大学受験でこんな問題来たら絶対頭回んなそうどこからアプローチしていけばいいかわからんくて焦るよな
2014年一橋大学の素数問題も偶奇に注目するという点では同じですかね是非解いてみてください
5以上の素数は6n±1と表せるっていうのは一生忘れないだろう…ありがとう…。
どういたしまして。
京大の整数問題は本当に難しいけど、解答は大体美しいものになるから好き
すごい…試験では18歳かそこらの子が解くんだよね。凄すぎる
6n±1は双子素数を表現するものと言うことができる。つまり6n±1=f(n)とすると、f(1)=5,7、f(2)=11,13、f(3)=17,19、(f(4)は23単独)、f(5)=29,31、・・。(不思議なことにこの式は教科書や解説書ではほとんど見かけたことがない。知らない人が多いのはそのため)即ち「素数の座」は6の倍数の両側にあって(どちらか一方、もしくは両方空席の場合もある)、言わば6の倍数は「素数の親」だと言うこともできるだろう。
美しい問題の多い京大本当に好き
聞けば分かるレベルだけど、時間内に解く人がスゴイってめちゃくちゃ感じた。
この年受けたけどさ、、、むしろ一番難しいと感じたのが、どっちか一つが偶素数で一方が奇素数であると言うことに気付くかなんだよね。当然といえば当然やねんけど。その後が簡単やからな
こう言う少し雑談入れる先生、好きだなぁ
Kun Musuko さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
あくまで私の考えですが、
pが３超過の奇素数だと仮定し2^p＋p^2≡(-1)^p＋p^2 (mod3)
≡p^2 ー1 (∵pは奇数)
=(p＋1)(pー1)
連続三項間整数pー1、p、p＋1においていずれかは必ず3の倍数であるが、pは素数であるため除く。この時pー1、p＋1のどちらかが３の倍数となるがそうすると
2^p＋p^2≡(p＋1)(pー1)≡0 (mod3)
となり 仮定に反する。 p=3の時17となり条件を満たす。
って感じで解いたのですがいかがでしょうか
佐々木優香
美しすぎる👏
すげえ。あくまで私の考えってのが不足があるかも知れんて意味かどうか知らないけどすげえ。
かっこいい!
仮定て、「pが３超過の奇素数だと仮定」でしょうか？
仮定に反するというのはどういう意味なのかおしえていただけますか？
@@田中くにお-s5y 横から失礼します。「pが3より大きい奇素数であるときp^2+2^p≡0(mod3)で
またp^2+2^p＞3^2+2^3＞3だから、p^2+2^pが素数であるという『条件』を満たさない」ということを仰りたかったのだと、私は解釈しました。
ご本人ではないので何とも言えませんが、このように解釈すると辻褄が合うように思います。
平方数みたらmod3しなさいってばっちゃんがいってた
どんなばっちゃんだよ笑
この人好きやわ
ケケケの奇多浪 さん
ありがとうございます。
1年前まで受験勉強をしていた者です。
わかりやすい解説ありがとうございます。
このような動画を見ると、今まで数学を勉強してきて良かったと感じます。
大学では数学はあまり使わないのですが、今後も趣味として嗜んでいこうと思います。
これからも頑張ってください。
ALEX XOXO さん
ご覧になってくださりありがとうございます。趣味としてなら、こんなのが面白いと思います。是非ご覧ください。
自然数の平方の逆数の和にπが登場 ua-cam.com/video/9VyGY6DtU7o/v-deo.html
結構昔の動画だけど、フェルマーの小定理使えば(2,3)以外はmod3で0になるので(2,3)以外にないことが一瞬で示せます^^
問題を見たらつい解きたくなってしまう
問題をサムネに載せられたらつい見ちまうじゃねぇかぁぁぁ
・9632 さん
コメントありがとうございます。問題見たらついときたくなっちゃう‥‥素晴らしい数学マインド！
東大入試問題‥‥３人がジャンケンしてk回目に1人の勝者が決まる確率は？
ua-cam.com/video/wbQCmLKoS1E/v-deo.html
最後の最後で、全ての式が線でつながって答えになる感覚がすごいです。ありがとうございます。まさか、大人になって数学の動画にはまるとは思ってもなかったです笑。
ご覧くださりありがとうございます。
この問題考えた人凄い！
数字の答えは簡単に出せるけど、
証明のほうは極難しい。
(証明できませんでした)
この問題を本番の時実際に解いていたものですが、この問題は特に印象が残っています。問題のカラクリが分かった時のスカッとする達成感、忘れられないです。このような問題が出題されるので、なぜか毎年気になって京大の入試問題見てしまいます。
これを2週間前に見たかった…
7月の数検２級2次第5問で使えるやん…
6n±1…一生忘れない…ありがとうございます…
2週間前に見たかった…
アドミッションズの方にアップされる動画、お世話になってます！
いつもありがとうございます！！！
1年前の動画にコメントすることじゃないけど…
素数は必ず6n±1
すげえええええwwwwwwwww
なんで今まで知らなかったんだろ
しん 屋やんまなか 5以上の素数な
2,3,6n±1
日本語の文脈も理解できないバカいて草
@@えうふ どっち?
どっち？
改めて見るとこの問題を見るとやはり面白いです！
6n±1は素数、心に刻みます！
大学3年生になって最近知ったこのチャンネルですが先生可愛いし面白いのでめっちゃ見てます！受験勉強色々やったな〜
赤本、青本にはない解答だけどこれが最も分かりやすい
備忘録3周目 70G" (偶素数)＝ 2 (だけ) ･･･①, (奇素数)＝ ( 2以外の全素数 ) ･･･②
p と q の 対称性より 2≦ p ≦ q ･･･③ としてよい。 p^q＋q^p ＝ ( 8以上の素数 ) ･･･④
① ~ ④ より、 p^q と q^p は 偶奇を異にするから p＝2 で q＝( 3以上の素数 )■ よって、
④ ⇔ 2^q＋q^2＝( 8以上の素数 ) (ⅰ) q＝3 のとき、2³＋3²＝ 17(素数) で適する。 (ⅱ) q≧5 のとき、
mod3 の 合同式で、 q≡ ±1 と表すことができる。 2^q＋q^2 ≡ (－1)^q＋(±1)^2 ≡ －1 ＋1 ≡ 0
2^q＋q^2 ＝ ( 3の倍数 ) ＞17 , 以上より、( p, q )＝ ( 2, 3 ), ( 3, 2 ) (∵ ③を元に戻した。) ■
〖 (実験は気づきの母) q＝3→ 17 ○, q＝5→ *3×19 ✕, q＝7→ *3×59 ✕, q＝11→ *3×723 ✕ 〗
とても気持ちのいい解き方ですね
面白かったです
中柳 さん
ありがとうございます。
雑談挟むスタイルめちゃいいですね
わかりやすかったです
Furuha .298 さん
ありがとうございます。編集は、面倒くさい＆技術不足なので、原則、一発アドリブ撮影です。なので、細かな言い間違えはご了承ください。
すごい考え方は全て習ったものなのに全然思いつかん。
どうでもいいけど57出てきた時
グロタンディーク素数の話出るかなと思った。
それは思いましたw 有名ですもんねw
素数を6n±1っておける発想はなかなかないだろうなぁ…
本当に整数問題は奥が深い
mod3で簡単に解けました。
Pが5以上の素数ならば、3の倍数ではないので、P^2≡1 。
また、Pは奇数だから 2^P≡-1 。
よって、P^2+2^P≡0 。
かしこ
今春から大学生です。
あなたのような人が数学の教師であればもっと数学が面白く感じただろうと思います。
とても良い動画でした。
いちご大福 さん
とてもとても嬉しいコメントありがとうございます。一応、本質を大事にするということをモットーにしています。是非、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」の全編をご覧頂けたら嬉しいです。→URLです↓ ua-cam.com/video/O5BLVlYgonc/v-deo.html
今何してるかな
こういう問題を見ると数学って楽しいなあと思いますね！高３の時に全く歯が立たず、解説を聞いて感動したのを思い出しました。
解き方をすっかり忘れてしまっていたのでまた感動させていただきありがとうございます笑
花子ぺるー さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
鈴木貫太郎 わざわざお返事ありがとうございます。他の動画も見させていただきます！
ありがとうございます。
京大の入試っておもしろいですね。
なんというか、想像と全く異なるものでした。分かりやすい解説ありがとうございます😊
プリン楠雄 さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
論旨を均等に運ぶには、集合論を踏まえて
「５以上の素数についてのみ調べればよい。つまり２と３の関門だけクリアすればよいのだから、６で割った余りで分類する」
という一言があったら、もっと分かりやすかったと思います。
加えて、「n≧1」と書き添えると、全ての自然数nに対して成り立つ素数が存在するという意味にも取られるので、「ある自然数nを用いて」とか「そうなる自然数nが存在する（∃n∈N）」とすべきだと思います。
面白い問題ですよね。ちなみに、私は後半の解法を、
p = 2n+1、q = 2 の下、
「(2n+1)^2+2^(2n+1)≡n(n+1) mod 3」⇒「n = 3m-2」⇒「p = 2n+1 = 6m-3」⇒「p = 3」
として解きました。証明における本質的な違いはないですが・・・。
N=3m−2になる理由教えてください
お願いします🙏
視聴2回目です。すっかり忘れていました。整数の基本で剰余類に分けるということは知っているのですが、意外に使いこなせないものの一つのような気がしています。
また、「マスターオブ整数」では倍数の判定法は難しい部類にカテゴライズされていまして、まずそれ以外のところから学習するように「使い方」に書いてあります。
何度もやる価値のある過去問のようです。
当方情報系大学院生、受験数学はサッパリでした。ただ、数学は好きなのでタイトルに惹かれて開きました。
問題のチョイスがまず面白いと思います。また、参考書の模範解答ような、解答を知ってる解き方じゃなくて実験的に試していく解き方で面白かったです。
48 tokin さん
コメントありがとうございます。是非、他の動画もご覧になって下さい。これなんかは結構好評です。ua-cam.com/video/UpSDt40ZAhs/v-deo.html
実験→合同式なら思いつきそう議論満たせるか分かんないけど
すごくわかりやすい
アルラウネ同盟 さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
動画を見る前のヒント
・奇数＋奇数＝偶数 ２でなければ絶対に素数ではない
・奇数＋偶数＝奇数
・奇数×奇数＝奇数
この頃はmod使わずに解かれてたんですね。分かりやすいです。そして改めてmod凄い。
後半、以下のような解答はどうでしょうか。
① p=3のとき、2^3+3^2=17 で成立
② p＞3のとき、
2^p ≡ －1 (mod3) (pは奇数)
p^2 ≡ 1 (mod3) (pは3の倍数ではない)
よって
2^p＋p^2 ≡ 0 (mod3) でさらに素数であることから、
2^p＋p^2＝3 しかありえない。
しかし、p＞3より左辺は明らかに3を超えるため矛盾。
以上より、p＝3である。
これをテーマに小説書いてます。本当に助かりました。
6N±１の概念の事を 自分の若い頃に分かっていれば素数を求めるプログラムのアルゴリズムで教師を黙らす事が出来てたかもしれない。当時の自分は奇数かつ最終桁数が５を除外だけで余計な計算をさせないで工程数を減らすというアルゴリズムで精一杯でしたね。1つの知識の差で違う職業に就けたかもしれないと思いました。
私はq=2とした後p=2m+1と置いて計算し、その形を見てmを3の剰余類で分けたんですが、最初から6の剰余類で分けるとこんなに簡単になることに衝撃を受けました
こういう数学の問題は楽しくていいですね。受験生にとってが大変でしょうが。
p,qのどちらかは2だと言うことは動画を見るまで分からなかったので、それ以降を自分なりに解いてみました
p=2とする
3を法とすると、2^q+q^2≡(-1)q+q^2…○1
qが3の倍数でない時、○1≡(-1)q+1
qは偶数ではないので、○1≡0
よって、qが3の倍数でない時、与式は3の倍数
しかし、与式は明らかに3以上なので、これは素数とならない
よって、qは3の倍数
また、qは素数なので、q=3
p=2、q=3を与式に代入すると、17となり、これは素数
よって、求める組(p,q)は=(2,3),(3,2)
もし何か間違っていれば添削お願いしますm(_ _)m
オススメに出てきてくれてありがとうございます。チャンネル登録しました。
ちなみに57はグロタンディーク素数と言われていて、著名な数学者が講義の時、素数の例として57を扱ったことが由来
具体的な数字を入れて実験することの重要性を問う良い問題ですね！
糸川英夫 さん
コメントありがとうございます。そうですね。まずは調べてみることは大切ですね。
糸川英夫 さん
具体的な数字を入れて実験することなく、あっさり綺麗に解いている方もいます。とても参考になるのでこちらもご覧にってみてはいかがでしょうか。
ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
ありがとうございます！
また6n±1を関数と考えれば2と3以外の全ての素数は二つの一次関数の二本の直線上にポイントされているということになる。素数の出現する場所は決まっている。ところで(6n+1)(6n-1)=36n²-1で、36に自然数の2乗をかけた値から1を引くと双子素数の積になる(ものがある)というのも少し面白い。
解けたーー！！こういうシンプルで知識を問うようなものじゃない京大の問題好きです
自分は素数を6n±1で表せるという発想は出てこなかったので、証明に証明を重ねて、長くなってしまいました…
数年後に京大に行くことを目標にしているので、頑張ります！
奇数と偶数の和でないといけないことは気がつく、それ故、
一方は２であることも気がつける。2,3 以外のいくつか例を
計算してみて、それらがみな３の倍数になるということが
そこに見えてた筈なのに、それが気がつかなかった。
ぼんやりしてんなあ、とてもいい反省材料になりました。
toohuudoo さん
いつもご覧になってくださりありがとうございます。
toohuudoo さん
合同式を使った素晴らしい解説をしている方がいるのでご参照ください。やや上級者向けかもしれませんがとてもわかりやすくスッキリしています。ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
p>3とすると、p^2≡1 (mod3)
またpは奇数であるから、2^p≡2 (mod3)
よって、2^p + p^2 ≡ 2 + 1 ≡ 0 (mod3)
(2桁の内)
91の素数っぽいランキング1位凄く分かるwww
那由多 さん
断トツ1位ですよね。1001 4桁一位(独断)
鈴木貫太郎
うわわっ御本人にコメントを頂けるとは...
光栄で御座います。
凄く分かりやすく、たまにある雑談もとても面白く、とても楽しい動画でした。
やはり数学は面白いですね。(私なんかが言うのもおこがましいとは思いますが...)
そして1001は素数じゃないんですね。
確かに一見素数っぽいですねw
那由多 さん
返信ありがとうございます。他の動画も是非ご覧になって下さい。これなんかは結構いいかもしれません。ua-cam.com/video/9VyGY6DtU7o/v-deo.html
是非視聴させて頂きます！
鈴木貫太郎 ３桁だと299が有力ですｗ
京大の過去問やってて素数は6n±1で表して見るといいことあるよと数学塾の先生に言われたのを思い出しました
Alex Parker さん
コメントありがとうございます。
ここのチャンネルを視聴する前だったら手も足も出ない問題でしたが，お陰様で，暗算で解けました😄
あ，ちなみに，私はmod 3で処理しました。
2^p = (3 - 1)^p ≡ - 1(∵pは奇数)
p=3の時
与式=2^3 + 3^2 = 17⇒素数
p≠3の時
p^2≡1(∵pは3以外の素数であり，3の倍数でない)
∴与式≡( - 1) + 1 = 0
つまりp≠3の場合，与式は必ず3の倍数になる
同じ解き方の方がいて安心しました！
@@はらんちゅー さん
3の倍数以外の数の2乗を3で割ると必ず1余るってのは便利ですよね
自分はできませんでした。
現場で解答が書ける人って凄いなーと。
数学好きなのですごく面白い
勉強してて休憩に見てるけど学びにもなる
最高
p>3ならmod 3で
2の奇数乗≡-1
±1の2乗=1
よって
与式≡0
なるほど！！
素数の必要条件は、
奇数であることもそうだけど、
整数を6n、6n+1、6n+2、6n+3、6n+4、6n+5で分類してやることで、6n±1なのか！
あと合同式でも(mod3)6n±1≡±1
(6n±1)^2≡(±1)^2=1
3-1≡-1
(3-1)^6n±1≡(-1)^6n±1=-1
から、余りが1-1=0より5以降の素数においては全て3の倍数であることが示されるってことか
今日の動画のコメント欄から、受講しました👍️。
今は、藤井二冠の影響✨もあり、将棋の人気が高まってますが、子供麻雀教室もあるようです。
楽しく学べるのは、いいですね！
素数の性質、定理、互いに素は、中学のうちに、先取りでしっかり理解しておきたいです！
オイラが高校ん時の数学の先生は、黒板の書き間違いを指摘されると、よく気付いたな、出席簿二重丸にしといてやる、まあ何にもならないけどなｗといって笑いをとってごまかしつつ、いいか、ただ黒板のメモを書き写してるだけじゃ何の勉強にもならないぞ、自分で考えて解きなおすための道筋にすぎんからな（ｷﾘｯ。と、もっともらしく締めくくってました。数年前退官されましたがいい先生だったです。
素敵すぎる
後で◎の意味を問われて困るパターン
オイラー？(幻聴
オイラーは先生も賢かったんやな
Mod3脊髄反射もいいけど6n±1もいいね
2:21
57は素数です。
グロタンディーク大先生が言うんだから、間違いありません。
1つは2っていうのはすぐ分かったけど、どうやったらもう一方を導けばいいかがすぐには分かんなかった。解説を聞いてなるほどと思いました。
高1の時先生にだされて凄い時間かけて解いた思い出
わかり易かった
すべての整数を6N+Mと出すまでの思考の過程をもっと具体的に教えてほしいです。
整数は奇数と偶数しかありません。同様に整数は３で割った時の余りが０か１か２のものしかありません。整数は４で割った時の余りが０か１か２か３のものしかありません。以下同様です。６で割った余りは０か１か２か３か４か５ですが、あまり５は余りー１と同じこと、余り４は余りー２と同じです。
@@kantaro1966 素早い返答ありがとうございます。その理屈はわかるのですが、その理屈に至るまでの過程を知りたいです。私だったら３の倍数であることを示したいから自然数を3N+Mと表現することをおもいつくのですが、それではうまくいかないから６N+Mにたどり着くという流れで良いでしょうか？
この問題は3の倍数で分類してもできますし、その方が普通だと思います。私が6n±1にしたのは偶数になることを防ぐためでしたが、その必要はなかったみたいです。ただ、5位上のすべての素数が6±1で表すことができるのは知っていて損はないでしょう。
@@kantaro1966 ありがとうございます。いくつか動画を拝見して数学にかなり興味が出てきたのでチャンネル登録しました。
東大もそうだけど、"気づけば"意外とシンプルな形で解けるよね
高1までに履修した内容で解ける
もっかい数学やりたくなる
今は切り上げた点数の数列だけしか覚えてない人が殆どですね（麻雀の話）。
僕の頃は切り上げない正味の数列で数えるのが普通だったので、3種類の数列を覚えました。
中でも2のべき乗数列は今回のように麻雀以外でも役に立つのですが、麻雀用としては512までしか覚えませんでした（ニー、ヨン、パー・・・ニゴロ、ゴイチニまで）。先生は1024まで読み上げていますが、麻雀で1024は使わないですよね？
｢ざんにっぱ｣って言った時麻雀っぽいなーと思ったら、画面越しなのにバレててびびったw
P＝3より大きい素数として3k＋1または3k＋2として証明しようとしたけど出来なかった…。そっか…6n＋1、6n-1でやるのか。ビックリやわ
3でもできますよ
落ち着いてやったらできた。
片方2はわからないとだめ。
ここからは解きようがないので代入して実験をする。そこですべて3の倍数になるということに気づく。
以下解答
3を法とする剰余系において、P≧5のとき、Pは素数よりP≡±1と表されるから、
2^P＋P^2≡(-1)^±1＋(±1)^2
=－1＋1=0
また明らかに2^P＋P^2は3より大きい。よって2^P＋P^2は素数でない3の倍数である。
P=2,3のときは割愛
視聴回数がこれだけ凄いことになってますね。
動画の内容も結構楽しみですが他人のコメントも見てて楽しいです。
感動した
pleX さん
とても嬉しいコメントありがとうございます。是非、他の動画もご覧になって下さい。これなんか結構好評です。ua-cam.com/video/1M7FF1nd25I/v-deo.html
まずpとqが素数(奇数)のとき奇数の奇数乗=奇数なので、奇数+奇数=偶数になるからpが2になる。そこからqに3代入した後に、3より大きい素数を3で割った余りが1or2だからその素数を2乗して3で割ると余りが1になることを言って、2の奇数乗を3で割った余りが2なることを言って、それらを足すと3で割り切れるから3より大きい素数で題意を満たす素数はない
ってことでもいけるんじゃんね？
これ解けたときちょっと感動した笑笑
数Iの青チャートに出てきて、やってみたらp=2までは、求められた。それ以降はなかなか進まず。何せ合同式を学校でやってない状態でこの問題に取り組んだからめんどくさかった
この動画から貫太郎さんの動画を見始めたんだよなあ。
麻雀の話が一番面白かった、 🀄️
コメ欄見て思ったこと
「あれ…俺場違い?…」
ゆーて俺もw
中3のおれがわかるわけないw
それな
あがあがりんお3.1415926 ここは中学生が来て良い場所ではないです( ; _ ; )/~~~ でも高校で理解できるようになりますよ
@@ハンマーヘッド矢沢 Really?
あがあがりんお3.1415926 うん、really
落ち着いてる時なら解けるかもしれない難易度だけど、本番で出て冷静に解けるかどうかと言われたら無理そう・・・多分後回しにする
old cat さん
そうかもしれませんね。整数問題は難しい場合が多いですから。
old cat 京大の整数問題はとりま最後
0:43 - 1:00 たった17秒で1個目が決定されるくだりが鮮やかで驚きました。
p^q+q^p=Pとおく。(Pは素数)
p,q≧2よりP≠2.
偶奇性を考えてp,qの少なくとも一方が2.
p=2とすると(与式)⇔2^q+q²=P
⇔2^q=P-q²･･･①
ここで法を3とする剰余を考える
(左辺)=2^q≡2･･･②となる．
q²は平方数なので0または-1と合同
q²≡0の時はqは素数なので3以外ありえない。よって(p,q)=(2,3)．
q²≡-1の時は①②よりP≡0．
よってP=3となるがp,q≧2より矛盾.
p,qは対称であるのでq=2のときも同様に議論できる．
よって（答)(p,q)=(2,3),(3,2) ■
これ今日青チャートで解いたばっかりや(解けたとは言ってない)
やっぱり青チャートは良いぜぇ～
わかったようなわからないような...
少しもやもやします。
あと質問ですが、偶数を作るのに2ではなくて4とかを使ってはいけないのでしょうか？
あとなぜ素数の式を6n+1にしたのですか？
sister ray さん
骨伝説の さん
コメントありがとうございます。
6n±1でなく、3n±1でもできますが、3n±1は偶数になることがあり、(-1)^偶数は＋1になってしまうのを避けるために、私は6n±1にしました。ただ、3n±1としても、pは5以上の素数なので、5以上の素数だから奇数と一言断ればいいだけなので、3n±1でやるのが普通かと思います。
鈴木貫太郎 ありがとうございます
めっちゃ再生数伸びてますね〜
やっぱり難関大学の問題は人気あるのかな？
このチャンネルも軌道に乗ってきたみたいで良かったですね！
かよちん大好き さん
初期の頃よりご視聴いただきありがとうございます。今後もよろしくお願いします。
こちらこそ面白い問題や、入試問題などの丁寧で上手な解説よろしくお願いします！
これ京大理系数学の中でも超難問でしょ
おもしろすぎる！
きんにくらいだー さん
ありがとうございます。
この問題なんかも是非。ua-cam.com/video/wbQCmLKoS1E/v-deo.html
鈴木貫太郎 分かりました！解いてみます
pをmod3で0と±1で場合分けしてゴリ押すのは面倒くさくなりますか？
割とスマートにできたと思ってるんですけど議論に自信がないもので
フェルマーの小定理は用いても大丈夫でしょうか？
自分は p = 2k+1 かつ p = 3l, 3l±1
(k,l は適当な自然数) と2回表しました。
2^p = 2^(2k+1) = 4^k･2 ≡ 2 (mod 3)
p = 3l±1 のとき
p^2 = (3l±1)^2 ≡ 1 (mod 3)
よってp^2 + 2^p ≡ 0 (mod 3)
これは素因数3を含む合成数で不適。
よって p = 3l であり p は素数より
l = 1 , p = 3 に限られる。
素数は2以外は全て奇数は
こういう問題解くときに重要だから、覚えよう。
実験によって3で割りきれることを思い付くのか...勉強になります
両方奇数だと合計が偶数なので，片方は2．pを2とする．2^qはqは奇数なのでmod3で2．q^2がmod3で1になるのはqが3の倍数の奇数の場合のみ．3の倍数の素数は3だけなので，p=2のときqが3以外の素数ならp^q+q^pは3で割れる．でp=2,q=3のときp^q+q^pは素数なので．．という感じ？
3の倍数となることは予想できますが、素数となり得る6n+1,6n-1をpに代入する発想に至るっいうアドリブは難しいね。
p^2 + 2^p までは同じ。p=3を試してみてOK。pが5以上の素数のときは、mod 3で考えると必ずp≡±1なのでp^2≡1。pは奇数なので、2^p≡(-1)^p≡-1。したがって、常にp^2 + 2^p ≡ 0となって3の倍数になってしまい、素数にならない。ゆえに、(2, 3)しかない。5以上の素数が6n±1というのは、そのこと自体の証明が必要だとすれば寄り道かも？
p^q+q^pは素数よりp^qかq^pのどちらか一方は奇数、もう片方は偶数なのでp=n q=n+1(nは整数)と表すという方法で答えはあってたのですが正しいのでしょうか。
優しい人教えてください🙏🙏
「p,qは異なる素数」と問題にないのならば、(2,2)の組も一応潰しておかないと減点かなぁ。
176 nerimar さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
そうでしょうね。動画なので、口頭だけで済ませてしまいましたが。
大学受験でこんな問題来たら絶対頭回んなそう
どこからアプローチしていけばいいかわからんくて焦るよな
2014年一橋大学の素数問題も偶奇に注目するという点では同じですかね
是非解いてみてください