Розмір відео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показувати елементи керування програвачем
Автоматичне відтворення
Автоповтор
5以上の素数は6n±1と表せるっていうのは一生忘れないだろう…ありがとう…。
どういたしまして。
すごい…試験では18歳かそこらの子が解くんだよね。凄すぎる
京大の整数問題は本当に難しいけど、解答は大体美しいものになるから好き
6n±1は双子素数を表現するものと言うことができる。つまり6n±1=f(n)とすると、f(1)=5,7、f(2)=11,13、f(3)=17,19、(f(4)は23単独)、f(5)=29,31、・・。(不思議なことにこの式は教科書や解説書ではほとんど見かけたことがない。知らない人が多いのはそのため)即ち「素数の座」は6の倍数の両側にあって(どちらか一方、もしくは両方空席の場合もある)、言わば6の倍数は「素数の親」だと言うこともできるだろう。
この年受けたけどさ、、、むしろ一番難しいと感じたのが、どっちか一つが偶素数で一方が奇素数であると言うことに気付くかなんだよね。当然といえば当然やねんけど。その後が簡単やからな
聞けば分かるレベルだけど、時間内に解く人がスゴイってめちゃくちゃ感じた。
問題を見たらつい解きたくなってしまう問題をサムネに載せられたらつい見ちまうじゃねぇかぁぁぁ
・9632 さんコメントありがとうございます。問題見たらついときたくなっちゃう‥‥素晴らしい数学マインド！東大入試問題‥‥３人がジャンケンしてk回目に1人の勝者が決まる確率は？ua-cam.com/video/wbQCmLKoS1E/v-deo.html
あくまで私の考えですが、pが３超過の奇素数だと仮定し2^p＋p^2≡(-1)^p＋p^2 (mod3) ≡p^2 ー1 (∵pは奇数) =(p＋1)(pー1)連続三項間整数pー1、p、p＋1においていずれかは必ず3の倍数であるが、pは素数であるため除く。この時pー1、p＋1のどちらかが３の倍数となるがそうすると2^p＋p^2≡(p＋1)(pー1)≡0 (mod3) となり 仮定に反する。 p=3の時17となり条件を満たす。って感じで解いたのですがいかがでしょうか
佐々木優香 美しすぎる👏
すげえ。あくまで私の考えってのが不足があるかも知れんて意味かどうか知らないけどすげえ。
かっこいい!
仮定て、「pが３超過の奇素数だと仮定」でしょうか？仮定に反するというのはどういう意味なのかおしえていただけますか？
@@user-hr2gx5uo3g 横から失礼します。「pが3より大きい奇素数であるときp^2+2^p≡0(mod3)でまたp^2+2^p＞3^2+2^3＞3だから、p^2+2^pが素数であるという『条件』を満たさない」ということを仰りたかったのだと、私は解釈しました。ご本人ではないので何とも言えませんが、このように解釈すると辻褄が合うように思います。
こう言う少し雑談入れる先生、好きだなぁ
Kun Musuko さんご覧になってくださりありがとうございます。
結構昔の動画だけど、フェルマーの小定理使えば(2,3)以外はmod3で0になるので(2,3)以外にないことが一瞬で示せます^^
1年前まで受験勉強をしていた者です。わかりやすい解説ありがとうございます。このような動画を見ると、今まで数学を勉強してきて良かったと感じます。大学では数学はあまり使わないのですが、今後も趣味として嗜んでいこうと思います。これからも頑張ってください。
ALEX XOXO さんご覧になってくださりありがとうございます。趣味としてなら、こんなのが面白いと思います。是非ご覧ください。自然数の平方の逆数の和にπが登場 ua-cam.com/video/9VyGY6DtU7o/v-deo.html
備忘録3周目 70G" (偶素数)＝ 2 (だけ) ･･･①, (奇素数)＝ ( 2以外の全素数 ) ･･･②p と q の 対称性より 2≦ p ≦ q ･･･③ としてよい。 p^q＋q^p ＝ ( 8以上の素数 ) ･･･④① ~ ④ より、 p^q と q^p は 偶奇を異にするから p＝2 で q＝( 3以上の素数 )■ よって、④ ⇔ 2^q＋q^2＝( 8以上の素数 ) (ⅰ) q＝3 のとき、2³＋3²＝ 17(素数) で適する。 (ⅱ) q≧5 のとき、mod3 の 合同式で、 q≡ ±1 と表すことができる。 2^q＋q^2 ≡ (－1)^q＋(±1)^2 ≡ －1 ＋1 ≡ 02^q＋q^2 ＝ ( 3の倍数 ) ＞17 , 以上より、( p, q )＝ ( 2, 3 ), ( 3, 2 ) (∵ ③を元に戻した。) ■〖 (実験は気づきの母) q＝3→ 17 ○, q＝5→ *3×19 ✕, q＝7→ *3×59 ✕, q＝11→ *3×723 ✕ 〗
美しい問題の多い京大本当に好き
これを2週間前に見たかった…7月の数検２級2次第5問で使えるやん…6n±1…一生忘れない…ありがとうございます…2週間前に見たかった…
アドミッションズの方にアップされる動画、お世話になってます！いつもありがとうございます！！！1年前の動画にコメントすることじゃないけど…
平方数みたらmod3しなさいってばっちゃんがいってた
どんなばっちゃんだよ笑
最後の最後で、全ての式が線でつながって答えになる感覚がすごいです。ありがとうございます。まさか、大人になって数学の動画にはまるとは思ってもなかったです笑。
ご覧くださりありがとうございます。
この問題考えた人凄い！数字の答えは簡単に出せるけど、証明のほうは極難しい。(証明できませんでした)
今春から大学生です。あなたのような人が数学の教師であればもっと数学が面白く感じただろうと思います。とても良い動画でした。
いちご大福 さんとてもとても嬉しいコメントありがとうございます。一応、本質を大事にするということをモットーにしています。是非、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」の全編をご覧頂けたら嬉しいです。→URLです↓ ua-cam.com/video/O5BLVlYgonc/v-deo.html
今何してるかな
mod3で簡単に解けました。Pが5以上の素数ならば、3の倍数ではないので、P^2≡1 。また、Pは奇数だから 2^P≡-1 。よって、P^2+2^P≡0 。
かしこ
論旨を均等に運ぶには、集合論を踏まえて「５以上の素数についてのみ調べればよい。つまり２と３の関門だけクリアすればよいのだから、６で割った余りで分類する」という一言があったら、もっと分かりやすかったと思います。加えて、「n≧1」と書き添えると、全ての自然数nに対して成り立つ素数が存在するという意味にも取られるので、「ある自然数nを用いて」とか「そうなる自然数nが存在する（∃n∈N）」とすべきだと思います。
すごい考え方は全て習ったものなのに全然思いつかん。どうでもいいけど57出てきた時グロタンディーク素数の話出るかなと思った。
それは思いましたw 有名ですもんねw
素数は必ず6n±1すげえええええwwwwwwwwwなんで今まで知らなかったんだろ
しん 屋やんまなか 5以上の素数な
2,3,6n±1
日本語の文脈も理解できないバカいて草
@@user-ne1si2mx2q どっち?
どっち？
京大の入試っておもしろいですね。なんというか、想像と全く異なるものでした。分かりやすい解説ありがとうございます😊
プリン楠雄 さんご覧になってくださりありがとうございます。
動画を見る前のヒント・奇数＋奇数＝偶数 ２でなければ絶対に素数ではない・奇数＋偶数＝奇数・奇数×奇数＝奇数
素数を6n±1っておける発想はなかなかないだろうなぁ…本当に整数問題は奥が深い
面白い問題ですよね。ちなみに、私は後半の解法を、p = 2n+1、q = 2 の下、「(2n+1)^2+2^(2n+1)≡n(n+1) mod 3」⇒「n = 3m-2」⇒「p = 2n+1 = 6m-3」⇒「p = 3」として解きました。証明における本質的な違いはないですが・・・。
N=3m−2になる理由教えてくださいお願いします🙏
この問題を本番の時実際に解いていたものですが、この問題は特に印象が残っています。問題のカラクリが分かった時のスカッとする達成感、忘れられないです。このような問題が出題されるので、なぜか毎年気になって京大の入試問題見てしまいます。
赤本、青本にはない解答だけどこれが最も分かりやすい
当方情報系大学院生、受験数学はサッパリでした。ただ、数学は好きなのでタイトルに惹かれて開きました。問題のチョイスがまず面白いと思います。また、参考書の模範解答ような、解答を知ってる解き方じゃなくて実験的に試していく解き方で面白かったです。
48 tokin さんコメントありがとうございます。是非、他の動画もご覧になって下さい。これなんかは結構好評です。ua-cam.com/video/UpSDt40ZAhs/v-deo.html
大学3年生になって最近知ったこのチャンネルですが先生可愛いし面白いのでめっちゃ見てます！受験勉強色々やったな〜
この人好きやわ
ケケケの奇多浪 さんありがとうございます。
こういう問題を見ると数学って楽しいなあと思いますね！高３の時に全く歯が立たず、解説を聞いて感動したのを思い出しました。解き方をすっかり忘れてしまっていたのでまた感動させていただきありがとうございます笑
花子ぺるー さんご覧になってくださりありがとうございます。
鈴木貫太郎 わざわざお返事ありがとうございます。他の動画も見させていただきます！
ありがとうございます。
後半、以下のような解答はどうでしょうか。① p=3のとき、2^3+3^2=17 で成立② p＞3のとき、2^p ≡ －1 (mod3) (pは奇数)p^2 ≡ 1 (mod3) (pは3の倍数ではない)よって2^p＋p^2 ≡ 0 (mod3) でさらに素数であることから、2^p＋p^2＝3 しかありえない。しかし、p＞3より左辺は明らかに3を超えるため矛盾。以上より、p＝3である。
改めて見るとこの問題を見るとやはり面白いです！6n±1は素数、心に刻みます！
また6n±1を関数と考えれば2と3以外の全ての素数は二つの一次関数の二本の直線上にポイントされているということになる。素数の出現する場所は決まっている。ところで(6n+1)(6n-1)=36n²-1で、36に自然数の2乗をかけた値から1を引くと双子素数の積になる(ものがある)というのも少し面白い。
奇数と偶数の和でないといけないことは気がつく、それ故、一方は２であることも気がつける。2,3 以外のいくつか例を計算してみて、それらがみな３の倍数になるということがそこに見えてた筈なのに、それが気がつかなかった。ぼんやりしてんなあ、とてもいい反省材料になりました。
toohuudoo さんいつもご覧になってくださりありがとうございます。
toohuudoo さん合同式を使った素晴らしい解説をしている方がいるのでご参照ください。やや上級者向けかもしれませんがとてもわかりやすくスッキリしています。ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
私はq=2とした後p=2m+1と置いて計算し、その形を見てmを3の剰余類で分けたんですが、最初から6の剰余類で分けるとこんなに簡単になることに衝撃を受けました
6N±１の概念の事を 自分の若い頃に分かっていれば素数を求めるプログラムのアルゴリズムで教師を黙らす事が出来てたかもしれない。当時の自分は奇数かつ最終桁数が５を除外だけで余計な計算をさせないで工程数を減らすというアルゴリズムで精一杯でしたね。1つの知識の差で違う職業に就けたかもしれないと思いました。
ここのチャンネルを視聴する前だったら手も足も出ない問題でしたが，お陰様で，暗算で解けました😄あ，ちなみに，私はmod 3で処理しました。2^p = (3 - 1)^p ≡ - 1(∵pは奇数)p=3の時与式=2^3 + 3^2 = 17⇒素数p≠3の時p^2≡1(∵pは3以外の素数であり，3の倍数でない)∴与式≡( - 1) + 1 = 0つまりp≠3の場合，与式は必ず3の倍数になる
同じ解き方の方がいて安心しました！
@@user-qh9hi2ux9x さん3の倍数以外の数の2乗を3で割ると必ず1余るってのは便利ですよね
雑談挟むスタイルめちゃいいですねわかりやすかったです
Furuha .298 さんありがとうございます。編集は、面倒くさい＆技術不足なので、原則、一発アドリブ撮影です。なので、細かな言い間違えはご了承ください。
ちなみに57はグロタンディーク素数と言われていて、著名な数学者が講義の時、素数の例として57を扱ったことが由来
とても気持ちのいい解き方ですね面白かったです
中柳 さんありがとうございます。
この頃はmod使わずに解かれてたんですね。分かりやすいです。そして改めてmod凄い。
視聴2回目です。すっかり忘れていました。整数の基本で剰余類に分けるということは知っているのですが、意外に使いこなせないものの一つのような気がしています。また、「マスターオブ整数」では倍数の判定法は難しい部類にカテゴライズされていまして、まずそれ以外のところから学習するように「使い方」に書いてあります。何度もやる価値のある過去問のようです。
p>3とすると、p^2≡1 (mod3)またpは奇数であるから、2^p≡2 (mod3)よって、2^p + p^2 ≡ 2 + 1 ≡ 0 (mod3)
p,qのどちらかは2だと言うことは動画を見るまで分からなかったので、それ以降を自分なりに解いてみましたp=2とする3を法とすると、2^q+q^2≡(-1)q+q^2…○1qが3の倍数でない時、○1≡(-1)q+1qは偶数ではないので、○1≡0よって、qが3の倍数でない時、与式は3の倍数しかし、与式は明らかに3以上なので、これは素数とならないよって、qは3の倍数また、qは素数なので、q=3p=2、q=3を与式に代入すると、17となり、これは素数よって、求める組(p,q)は=(2,3),(3,2)もし何か間違っていれば添削お願いしますm(_ _)m
これをテーマに小説書いてます。本当に助かりました。
(2桁の内)91の素数っぽいランキング1位凄く分かるwww
那由多 さん断トツ1位ですよね。1001 4桁一位(独断)
鈴木貫太郎 うわわっ御本人にコメントを頂けるとは...光栄で御座います。凄く分かりやすく、たまにある雑談もとても面白く、とても楽しい動画でした。やはり数学は面白いですね。(私なんかが言うのもおこがましいとは思いますが...)そして1001は素数じゃないんですね。確かに一見素数っぽいですねw
那由多 さん返信ありがとうございます。他の動画も是非ご覧になって下さい。これなんかは結構いいかもしれません。ua-cam.com/video/9VyGY6DtU7o/v-deo.html
是非視聴させて頂きます！
鈴木貫太郎 ３桁だと299が有力ですｗ
｢ざんにっぱ｣って言った時麻雀っぽいなーと思ったら、画面越しなのにバレててびびったw
オイラが高校ん時の数学の先生は、黒板の書き間違いを指摘されると、よく気付いたな、出席簿二重丸にしといてやる、まあ何にもならないけどなｗといって笑いをとってごまかしつつ、いいか、ただ黒板のメモを書き写してるだけじゃ何の勉強にもならないぞ、自分で考えて解きなおすための道筋にすぎんからな（ｷﾘｯ。と、もっともらしく締めくくってました。数年前退官されましたがいい先生だったです。
素敵すぎる
後で◎の意味を問われて困るパターン
オイラー？(幻聴
オイラーは先生も賢かったんやな
2年前の動画にコメントするのもあれなんですが、これ合ってますかね。いずれ誰かが見てくれるかな。（動画と同じ手順でq=2と置いてから）p^2 + 2^p = (素数)mod3において 「p^2 ≡ 0, 1」「2^p ≡ (-1)^p」であるが、pが奇数であることを考えれば「2^p ≡ (-1)^p ≡ -1」p^2 ≡ 0の場合、p=3 ⇒ OKp^2 ≡ 1の場合、 p^2 + 2^p = (素数) ≡ 0 となり、p^2 + 2^p = 3となるが、これを満たす素数pは存在しないので不適。よって、pとqの対称性も考慮して (p,q) = (2,3), (3,2)
私も今ならそうやります
@@kantaro1966 ありがとうございます！自信になります。
実験→合同式なら思いつきそう議論満たせるか分かんないけど
京大の過去問やってて素数は6n±1で表して見るといいことあるよと数学塾の先生に言われたのを思い出しました
Alex Parker さんコメントありがとうございます。
オススメに出てきてくれてありがとうございます。チャンネル登録しました。
解けたーー！！こういうシンプルで知識を問うようなものじゃない京大の問題好きです自分は素数を6n±1で表せるという発想は出てこなかったので、証明に証明を重ねて、長くなってしまいました…数年後に京大に行くことを目標にしているので、頑張ります！
なるほど！！素数の必要条件は、奇数であることもそうだけど、整数を6n、6n+1、6n+2、6n+3、6n+4、6n+5で分類してやることで、6n±1なのか！あと合同式でも(mod3)6n±1≡±1(6n±1)^2≡(±1)^2=13-1≡-1(3-1)^6n±1≡(-1)^6n±1=-1から、余りが1-1=0より5以降の素数においては全て3の倍数であることが示されるってことか
p^q+q^p=Pとおく。(Pは素数)p,q≧2よりP≠2.偶奇性を考えてp,qの少なくとも一方が2.p=2とすると(与式)⇔2^q+q²=P⇔2^q=P-q²･･･①ここで法を3とする剰余を考える(左辺)=2^q≡2･･･②となる．q²は平方数なので0または-1と合同q²≡0の時はqは素数なので3以外ありえない。よって(p,q)=(2,3)．q²≡-1の時は①②よりP≡0．よってP=3となるがp,q≧2より矛盾.p,qは対称であるのでq=2のときも同様に議論できる．よって（答)(p,q)=(2,3),(3,2) ■
東大もそうだけど、"気づけば"意外とシンプルな形で解けるよね高1までに履修した内容で解ける
こういう数学の問題は楽しくていいですね。受験生にとってが大変でしょうが。
両方奇数だと合計が偶数なので，片方は2．pを2とする．2^qはqは奇数なのでmod3で2．q^2がmod3で1になるのはqが3の倍数の奇数の場合のみ．3の倍数の素数は3だけなので，p=2のときqが3以外の素数ならp^q+q^pは3で割れる．でp=2,q=3のときp^q+q^pは素数なので．．という感じ？
具体的な数字を入れて実験することの重要性を問う良い問題ですね！
糸川英夫 さんコメントありがとうございます。そうですね。まずは調べてみることは大切ですね。
糸川英夫 さん具体的な数字を入れて実験することなく、あっさり綺麗に解いている方もいます。とても参考になるのでこちらもご覧にってみてはいかがでしょうか。ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
ありがとうございます！
まずpとqが素数(奇数)のとき奇数の奇数乗=奇数なので、奇数+奇数=偶数になるからpが2になる。そこからqに3代入した後に、3より大きい素数を3で割った余りが1or2だからその素数を2乗して3で割ると余りが1になることを言って、2の奇数乗を3で割った余りが2なることを言って、それらを足すと3で割り切れるから3より大きい素数で題意を満たす素数はないってことでもいけるんじゃんね？
コメ欄見て思ったこと「あれ…俺場違い?…」
ゆーて俺もw中3のおれがわかるわけないw
それな
あがあがりんお3.1415926 ここは中学生が来て良い場所ではないです( ; _ ; )/~~~ でも高校で理解できるようになりますよ
@@user-oc1hn1vd3s Really?
あがあがりんお3.1415926 うん、really
片方2はわからないとだめ。ここからは解きようがないので代入して実験をする。そこですべて3の倍数になるということに気づく。以下解答3を法とする剰余系において、P≧5のとき、Pは素数よりP≡±1と表されるから、2^P＋P^2≡(-1)^±1＋(±1)^2=－1＋1=0 また明らかに2^P＋P^2は3より大きい。よって2^P＋P^2は素数でない3の倍数である。P=2,3のときは割愛
フェルマーの小定理は用いても大丈夫でしょうか？自分は p = 2k+1 かつ p = 3l, 3l±1 (k,l は適当な自然数) と2回表しました。2^p = 2^(2k+1) = 4^k･2 ≡ 2 (mod 3)p = 3l±1 のときp^2 = (3l±1)^2 ≡ 1 (mod 3)よってp^2 + 2^p ≡ 0 (mod 3)これは素因数3を含む合成数で不適。よって p = 3l であり p は素数よりl = 1 , p = 3 に限られる。
自分はできませんでした。現場で解答が書ける人って凄いなーと。
1つは2っていうのはすぐ分かったけど、どうやったらもう一方を導けばいいかがすぐには分かんなかった。解説を聞いてなるほどと思いました。
落ち着いてる時なら解けるかもしれない難易度だけど、本番で出て冷静に解けるかどうかと言われたら無理そう・・・多分後回しにする
old cat さんそうかもしれませんね。整数問題は難しい場合が多いですから。
old cat 京大の整数問題はとりま最後
これ京大理系数学の中でも超難問でしょ
はじめまして自分は現役のころに、京都大学を受験しようと思っていましたが、センターでずっこけ、結局大学には行かず、その後すぐに、不登校や、塾に行きたいけど行けない生徒たちに勉強を教えていたものです。18歳からはじめて、ちょうど三年目になり、個人で開くことも検討しています。今20歳です。得意教科はもちろん数学です。数学に関しては執着心が強く、正直教えることに関しては誰にも負ける気がしません。動画を見さしてもらいました。京大にしては解きやすい問題だったんではないでしょうか。率直な感想は、僕ならそうしません。そうは教えない。数学というのは、そもそも人に教える上で一番大切なのは、「先生、すごい」ではなく、その生徒さんに、「俺でもできるかも」と思わせることだと思います。そのためには、入試の初見でもし自分ならどう立ち向かうかをまず念頭において解説するべきです。（p,q）の解のうち、一つが必ず２になる説明はいいと思います。それ以外は、奇数＋奇数になって、値が偶数になるから、ひとつは2だということですよね（偶数＋奇数＝奇数）（偶数の場合、2以外は１と自身の数以外に、2の約数を持ってしまっているから×）といくのであれば、偶数と奇数の理論である、偶数は2n、奇数は2ｎ+１を用いて、（2n+1)^2+2^2n+1という流れになるのが現実的だと思われます。（nは自然数）p=2n+1、q=2とします。（p,qは素数）展開して4n^2+4n+1+2×4^nになりますねここまでなら、中学生でもできるはずですここから高校数学です。modを使うのが一番だと思います。（数A)教えているときに思うのが、「modって、名前からして難しそう」と、イメージから入られる生徒さんが多いのですが、そもそも「mod」とは、合同式のことで、例えば7≡4(mod3)で示しているのは、7を3で割った余りと、4を3で割った余りが同じだということです。つまり1なので、4≡1(mod3)ですね。4＝3+1、（3+1）^n≡1(mod3)、つまり、4^n≡１(mod3)ですね｛（3+1）^n≡1(mod3)については、多項定理（数2）を見たことがある方なら話が早いのですが、展開したときに、1^n以外の他の項はすべて3に関するコンビネーション（C)が関わっていますよね。だから、1^n以外の他の項はすべて3で割り切れます。だから4^n≡１(mod3)ということです。｝上の説明から、2×4^n≡2(mod3)が言えますね。（1^n×2＝2というところです）続いて4n^2+4n+1について、今同様mod3でやって見ます。4n^2+4n=4n(n+1)n(n+1)に着目すると、n=3k,n=3k-1,n=3k-2としたとき（kは自然数）n=3k、n=3k-1なら、n(n+1)は3の倍数｛3k(3k+1)、(3k-1)3kより、約数に3が含まれるのは明らか}4n(n+1)、も3の倍数となり、4n^2+4nも3の倍数となります。よって、4n^2+4n+1≡１（mod3)になり、2×4^n≡2(mod3)から、4n^2+4n+1+2×4^n≡1+2=3≡0(mod3)となり、3で割り切れることがわかります。つまり、4n^2+4n+1+2×4^n=3の時のみ、素数だといえるわけです。ただ、この式の最小値は57（n=2の時）より、明らかに不適だし、見ればわかりますよね、3より大きいんだということは。だからn≠3k、3k-1だというわけです。n=3k-2の時p=6k-3=3(2k-1)より、そもそもpは素数なので、k=1しかありえません。このとき、p=3、q=23^2+2^3=17より、題意を満たしますねよって、(p,q)の組は、（2,3）しかないですよね。ということです。よって、求めるべき解答は（2,3）（3,2）となるわけです。おそらくこの問題も含め、一般的に数学の難しい問題というのは、「発想力」だといわれていますただ、今回も示したとおり、その発想というのも、奇数、偶数の中学生レベルの発想力と、数1A (一般的に高校1年、遅くても2年）の整数の学校で少なくとも習う範囲の知識しか使っていませんmodというのは、基本 □≡1の形で使われることが多いです。なぜなら、楽だから。そういう過程で、今回は3と置いたわけです。困ったらまず基本からたどる。おそらく入試本番では頭なんていつもの10分の1ぐらいしか働いていないはずです。だからこそ基本に忠実であるべきです。長々とすみません。よかったら読んでみてコメントください。最後までよんでいただいてありがとうございました。
ふ
返信ありがとうございますふは、打ち間違えです合同式は数学1Aの範囲だし、説明もしましたが、考え方自体は難しくはないです僕は千葉にある定時制高校に通っていた当時高1の子を、教え続けた結果、東京理科大学を目指せるレベルかつ、数学は得意科目というところまで押し上げました彼には僕が東大、京大レベルに加え、奇問と言われている問題を自分が解いてるところを見せ、彼に数学の楽しさを十分に教えてきました彼は僕の前なら平気で10時間以上数学に没頭できます要するに教育者というものは、いかに簡単に楽しく、緊張感なく教えていくことが、大切だと思います私は今公認会計士をとって個人経営の塾を開きいずれは法人化したいと本気で考えていますたまには自分にもできない問題をやってみたいな返信ありがとうございました
コメントをありがとうございます。目標に向かって頑張ってください
ありがとうございます
数学好きなのですごく面白い勉強してて休憩に見てるけど学びにもなる最高
今は切り上げた点数の数列だけしか覚えてない人が殆どですね（麻雀の話）。僕の頃は切り上げない正味の数列で数えるのが普通だったので、3種類の数列を覚えました。中でも2のべき乗数列は今回のように麻雀以外でも役に立つのですが、麻雀用としては512までしか覚えませんでした（ニー、ヨン、パー・・・ニゴロ、ゴイチニまで）。先生は1024まで読み上げていますが、麻雀で1024は使わないですよね？
P＝3より大きい素数として3k＋1または3k＋2として証明しようとしたけど出来なかった…。そっか…6n＋1、6n-1でやるのか。ビックリやわ
3でもできますよ
落ち着いてやったらできた。
p>3ならmod 3で2の奇数乗≡-1±1の2乗=1よって与式≡0
視聴回数がこれだけ凄いことになってますね。動画の内容も結構楽しみですが他人のコメントも見てて楽しいです。
これ解けたときちょっと感動した笑笑
すごくわかりやすい
アルラウネ同盟 さんご覧になってくださりありがとうございます。
今日の動画のコメント欄から、受講しました👍️。今は、藤井二冠の影響✨もあり、将棋の人気が高まってますが、子供麻雀教室もあるようです。楽しく学べるのは、いいですね！素数の性質、定理、互いに素は、中学のうちに、先取りでしっかり理解しておきたいです！
東大、京大といった超難関大は、問題が超シンプルなんだよな。。。わかりそうで、さっぱり解けない問題ばかり
めっちゃ再生数伸びてますね〜やっぱり難関大学の問題は人気あるのかな？このチャンネルも軌道に乗ってきたみたいで良かったですね！
かよちん大好き さん初期の頃よりご視聴いただきありがとうございます。今後もよろしくお願いします。
こちらこそ面白い問題や、入試問題などの丁寧で上手な解説よろしくお願いします！
2:302桁の素数っぽい素数じゃない数といった時、僕も91がすぐ浮かびました。笑
Vuyb Dfhyvjtf さんその感覚大事ですよ！
凄い！！こんな問題、どうやって思いつくんだろう…私は機械系なので、物理よりなのですが、弾性論や流体力学では、ベクトル・テンソル解析、そして物理系なら否応無く微分方程式が出てきます。奥深い数学の世界…といっても所詮は物理数学ですが、しかしこの深みに入った後、大学入試に立ち返ると、いかに洗練された問題なのかが分かります。近年では、大学入試の不適切問題が話題になりますが、やはり問題作成が難しいのだと身に染みて思います。初コメントでした！
城屋悠希 さん丁寧なコメントありがとうございます。
城屋悠希 さん 合同式を使った素晴らしい解説をしている方がいるのでご参照ください。ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
鈴木貫太郎 わざわざありがとうございます！私はどちらかと言うと数学は苦手な方です。というのも、りんご2個とみかん3個、合わせていくつかという問いには「3+2=5」と解けます。物理的な考え方で、足せば答えが出ると分かるからです。ただ、数学では「2+3=5」というのは、本当なのか？といった具合に、証明などが主となり、難しいです。中でも代表的なのは「ε-δ論法」だと思います。高校数学や工学系などの数学では、微分可能かどうかや、微分の定義であるhを限りなく0に近づけるという説明の「限りなく0に近づける」ってどれくらい近づけることなのか？といったことなど、あまり考えません。それでも、高校なら数学の文章題や物理問題への微分の応用などの問題が解けることから、全くきにする必要はありませんでした。そんな私ですが、毎回数学問題を対象として、解説していただいているので、楽しく拝見しています。そして問題の美しさや理論展開の素晴らしさに感嘆しています。返信、ありがとうございました！
わかったようなわからないような...少しもやもやします。あと質問ですが、偶数を作るのに2ではなくて4とかを使ってはいけないのでしょうか？あとなぜ素数の式を6n+1にしたのですか？
sister ray さん骨伝説の さんコメントありがとうございます。6n±1でなく、3n±1でもできますが、3n±1は偶数になることがあり、(-1)^偶数は＋1になってしまうのを避けるために、私は6n±1にしました。ただ、3n±1としても、pは5以上の素数なので、5以上の素数だから奇数と一言断ればいいだけなので、3n±1でやるのが普通かと思います。
鈴木貫太郎 ありがとうございます
○○を求めよというと、そればっかに注目してしまう・・・。そこで少し頭を切り替えて、○○ではないものを探すという視点は、社会人になって、とても重要だと再認識している。大学入試は不要という評論家がいるが、大学入試は問題解決能力を養う、貴重な場だと思う。もちろん大学入試がすべてというわけではなく、他の機会でも問題解決能力を養うことはできる。ただ、頭ごなしに大学入試を不要という評論家は理解できない。
中学生で、まだちんぷんかんぷんなんですけど、意識上げるためにこういう動画を最近よく見ます3年後、待ってろよ、京大！！！
「57は…」ツイッターを見過ぎだ僕「素数だ！」「3の倍数ですね
pをmod3で0と±1で場合分けしてゴリ押すのは面倒くさくなりますか？割とスマートにできたと思ってるんですけど議論に自信がないもので
57を見たら 57=60-3 で3の倍数91を見たら 91=70+21 で7の倍数と即座に思い浮かぶようにするとすんなり素数判定できる
p^2 + 2^p までは同じ。p=3を試してみてOK。pが5以上の素数のときは、mod 3で考えると必ずp≡±1なのでp^2≡1。pは奇数なので、2^p≡(-1)^p≡-1。したがって、常にp^2 + 2^p ≡ 0となって3の倍数になってしまい、素数にならない。ゆえに、(2, 3)しかない。5以上の素数が6n±1というのは、そのこと自体の証明が必要だとすれば寄り道かも？
中三ですか僕も授業中先生の麻雀ネタに食いつくんですが共感者が一人もいません
高校行くときっと仲間が増えるよ！！
すべての整数を6N+Mと出すまでの思考の過程をもっと具体的に教えてほしいです。
整数は奇数と偶数しかありません。同様に整数は３で割った時の余りが０か１か２のものしかありません。整数は４で割った時の余りが０か１か２か３のものしかありません。以下同様です。６で割った余りは０か１か２か３か４か５ですが、あまり５は余りー１と同じこと、余り４は余りー２と同じです。
@@kantaro1966 素早い返答ありがとうございます。その理屈はわかるのですが、その理屈に至るまでの過程を知りたいです。私だったら３の倍数であることを示したいから自然数を3N+Mと表現することをおもいつくのですが、それではうまくいかないから６N+Mにたどり着くという流れで良いでしょうか？
この問題は3の倍数で分類してもできますし、その方が普通だと思います。私が6n±1にしたのは偶数になることを防ぐためでしたが、その必要はなかったみたいです。ただ、5位上のすべての素数が6±1で表すことができるのは知っていて損はないでしょう。
@@kantaro1966 ありがとうございます。いくつか動画を拝見して数学にかなり興味が出てきたのでチャンネル登録しました。
大学受験でこんな問題来たら絶対頭回んなそうどこからアプローチしていけばいいかわからんくて焦るよな
高1の時先生にだされて凄い時間かけて解いた思い出
p.qは素数より、p.q≠2のときp≡1 q≡1（mod2）と表せる1^1+1^1≡2≡0つまり2の倍数になるp^q+q^p＝2の時p.qは素数にならないので不適、p＝2の時 2^q+q^2となり 続きおしえてー お願いします！
2^q+q^2がq＝3以外3の倍数になる証明mod使って教えほしいです！分かる方お願いします！！
素数は2以外は全て奇数はこういう問題解くときに重要だから、覚えよう。
2:2157は素数です。グロタンディーク大先生が言うんだから、間違いありません。
当時はこれが解けなくても合格できました
「p,qは異なる素数」と問題にないのならば、(2,2)の組も一応潰しておかないと減点かなぁ。
176 nerimar さんご覧になってくださりありがとうございます。そうでしょうね。動画なので、口頭だけで済ませてしまいましたが。
プログラム書くようになると、2^Nは非常によく出てくるので、20乗くらいまでと、24,32,48,64乗くらいは覚えている・・・
数Iの青チャートに出てきて、やってみたらp=2までは、求められた。それ以降はなかなか進まず。何せ合同式を学校でやってない状態でこの問題に取り組んだからめんどくさかった
5以上の素数は6n±1と表せるっていうのは一生忘れないだろう…ありがとう…。
どういたしまして。
すごい…試験では18歳かそこらの子が解くんだよね。凄すぎる
京大の整数問題は本当に難しいけど、解答は大体美しいものになるから好き
6n±1は双子素数を表現するものと言うことができる。つまり6n±1=f(n)とすると、f(1)=5,7、f(2)=11,13、f(3)=17,19、(f(4)は23単独)、f(5)=29,31、・・。(不思議なことにこの式は教科書や解説書ではほとんど見かけたことがない。知らない人が多いのはそのため)即ち「素数の座」は6の倍数の両側にあって(どちらか一方、もしくは両方空席の場合もある)、言わば6の倍数は「素数の親」だと言うこともできるだろう。
この年受けたけどさ、、、むしろ一番難しいと感じたのが、どっちか一つが偶素数で一方が奇素数であると言うことに気付くかなんだよね。当然といえば当然やねんけど。その後が簡単やからな
聞けば分かるレベルだけど、時間内に解く人がスゴイってめちゃくちゃ感じた。
問題を見たらつい解きたくなってしまう
問題をサムネに載せられたらつい見ちまうじゃねぇかぁぁぁ
・9632 さん
コメントありがとうございます。問題見たらついときたくなっちゃう‥‥素晴らしい数学マインド！
東大入試問題‥‥３人がジャンケンしてk回目に1人の勝者が決まる確率は？
ua-cam.com/video/wbQCmLKoS1E/v-deo.html
あくまで私の考えですが、
pが３超過の奇素数だと仮定し2^p＋p^2≡(-1)^p＋p^2 (mod3)
≡p^2 ー1 (∵pは奇数)
=(p＋1)(pー1)
連続三項間整数pー1、p、p＋1においていずれかは必ず3の倍数であるが、pは素数であるため除く。この時pー1、p＋1のどちらかが３の倍数となるがそうすると
2^p＋p^2≡(p＋1)(pー1)≡0 (mod3)
となり 仮定に反する。 p=3の時17となり条件を満たす。
って感じで解いたのですがいかがでしょうか
佐々木優香
美しすぎる👏
すげえ。あくまで私の考えってのが不足があるかも知れんて意味かどうか知らないけどすげえ。
かっこいい!
仮定て、「pが３超過の奇素数だと仮定」でしょうか？
仮定に反するというのはどういう意味なのかおしえていただけますか？
@@user-hr2gx5uo3g 横から失礼します。「pが3より大きい奇素数であるときp^2+2^p≡0(mod3)で
またp^2+2^p＞3^2+2^3＞3だから、p^2+2^pが素数であるという『条件』を満たさない」ということを仰りたかったのだと、私は解釈しました。
ご本人ではないので何とも言えませんが、このように解釈すると辻褄が合うように思います。
こう言う少し雑談入れる先生、好きだなぁ
Kun Musuko さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
結構昔の動画だけど、フェルマーの小定理使えば(2,3)以外はmod3で0になるので(2,3)以外にないことが一瞬で示せます^^
1年前まで受験勉強をしていた者です。
わかりやすい解説ありがとうございます。
このような動画を見ると、今まで数学を勉強してきて良かったと感じます。
大学では数学はあまり使わないのですが、今後も趣味として嗜んでいこうと思います。
これからも頑張ってください。
ALEX XOXO さん
ご覧になってくださりありがとうございます。趣味としてなら、こんなのが面白いと思います。是非ご覧ください。
自然数の平方の逆数の和にπが登場 ua-cam.com/video/9VyGY6DtU7o/v-deo.html
備忘録3周目 70G" (偶素数)＝ 2 (だけ) ･･･①, (奇素数)＝ ( 2以外の全素数 ) ･･･②
p と q の 対称性より 2≦ p ≦ q ･･･③ としてよい。 p^q＋q^p ＝ ( 8以上の素数 ) ･･･④
① ~ ④ より、 p^q と q^p は 偶奇を異にするから p＝2 で q＝( 3以上の素数 )■ よって、
④ ⇔ 2^q＋q^2＝( 8以上の素数 ) (ⅰ) q＝3 のとき、2³＋3²＝ 17(素数) で適する。 (ⅱ) q≧5 のとき、
mod3 の 合同式で、 q≡ ±1 と表すことができる。 2^q＋q^2 ≡ (－1)^q＋(±1)^2 ≡ －1 ＋1 ≡ 0
2^q＋q^2 ＝ ( 3の倍数 ) ＞17 , 以上より、( p, q )＝ ( 2, 3 ), ( 3, 2 ) (∵ ③を元に戻した。) ■
〖 (実験は気づきの母) q＝3→ 17 ○, q＝5→ *3×19 ✕, q＝7→ *3×59 ✕, q＝11→ *3×723 ✕ 〗
美しい問題の多い京大本当に好き
これを2週間前に見たかった…
7月の数検２級2次第5問で使えるやん…
6n±1…一生忘れない…ありがとうございます…
2週間前に見たかった…
アドミッションズの方にアップされる動画、お世話になってます！
いつもありがとうございます！！！
1年前の動画にコメントすることじゃないけど…
平方数みたらmod3しなさいってばっちゃんがいってた
どんなばっちゃんだよ笑
最後の最後で、全ての式が線でつながって答えになる感覚がすごいです。ありがとうございます。まさか、大人になって数学の動画にはまるとは思ってもなかったです笑。
ご覧くださりありがとうございます。
この問題考えた人凄い！
数字の答えは簡単に出せるけど、
証明のほうは極難しい。
(証明できませんでした)
今春から大学生です。
あなたのような人が数学の教師であればもっと数学が面白く感じただろうと思います。
とても良い動画でした。
いちご大福 さん
とてもとても嬉しいコメントありがとうございます。一応、本質を大事にするということをモットーにしています。是非、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」の全編をご覧頂けたら嬉しいです。→URLです↓ ua-cam.com/video/O5BLVlYgonc/v-deo.html
今何してるかな
mod3で簡単に解けました。
Pが5以上の素数ならば、3の倍数ではないので、P^2≡1 。
また、Pは奇数だから 2^P≡-1 。
よって、P^2+2^P≡0 。
かしこ
論旨を均等に運ぶには、集合論を踏まえて
「５以上の素数についてのみ調べればよい。つまり２と３の関門だけクリアすればよいのだから、６で割った余りで分類する」
という一言があったら、もっと分かりやすかったと思います。
加えて、「n≧1」と書き添えると、全ての自然数nに対して成り立つ素数が存在するという意味にも取られるので、「ある自然数nを用いて」とか「そうなる自然数nが存在する（∃n∈N）」とすべきだと思います。
すごい考え方は全て習ったものなのに全然思いつかん。
どうでもいいけど57出てきた時
グロタンディーク素数の話出るかなと思った。
それは思いましたw 有名ですもんねw
素数は必ず6n±1
すげえええええwwwwwwwww
なんで今まで知らなかったんだろ
しん 屋やんまなか 5以上の素数な
2,3,6n±1
日本語の文脈も理解できないバカいて草
@@user-ne1si2mx2q どっち?
どっち？
京大の入試っておもしろいですね。
なんというか、想像と全く異なるものでした。分かりやすい解説ありがとうございます😊
プリン楠雄 さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
動画を見る前のヒント
・奇数＋奇数＝偶数 ２でなければ絶対に素数ではない
・奇数＋偶数＝奇数
・奇数×奇数＝奇数
素数を6n±1っておける発想はなかなかないだろうなぁ…
本当に整数問題は奥が深い
面白い問題ですよね。ちなみに、私は後半の解法を、
p = 2n+1、q = 2 の下、
「(2n+1)^2+2^(2n+1)≡n(n+1) mod 3」⇒「n = 3m-2」⇒「p = 2n+1 = 6m-3」⇒「p = 3」
として解きました。証明における本質的な違いはないですが・・・。
N=3m−2になる理由教えてください
お願いします🙏
この問題を本番の時実際に解いていたものですが、この問題は特に印象が残っています。問題のカラクリが分かった時のスカッとする達成感、忘れられないです。このような問題が出題されるので、なぜか毎年気になって京大の入試問題見てしまいます。
赤本、青本にはない解答だけどこれが最も分かりやすい
当方情報系大学院生、受験数学はサッパリでした。ただ、数学は好きなのでタイトルに惹かれて開きました。
問題のチョイスがまず面白いと思います。また、参考書の模範解答ような、解答を知ってる解き方じゃなくて実験的に試していく解き方で面白かったです。
48 tokin さん
コメントありがとうございます。是非、他の動画もご覧になって下さい。これなんかは結構好評です。ua-cam.com/video/UpSDt40ZAhs/v-deo.html
大学3年生になって最近知ったこのチャンネルですが先生可愛いし面白いのでめっちゃ見てます！受験勉強色々やったな〜
この人好きやわ
ケケケの奇多浪 さん
ありがとうございます。
こういう問題を見ると数学って楽しいなあと思いますね！高３の時に全く歯が立たず、解説を聞いて感動したのを思い出しました。
解き方をすっかり忘れてしまっていたのでまた感動させていただきありがとうございます笑
花子ぺるー さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
鈴木貫太郎 わざわざお返事ありがとうございます。他の動画も見させていただきます！
ありがとうございます。
後半、以下のような解答はどうでしょうか。
① p=3のとき、2^3+3^2=17 で成立
② p＞3のとき、
2^p ≡ －1 (mod3) (pは奇数)
p^2 ≡ 1 (mod3) (pは3の倍数ではない)
よって
2^p＋p^2 ≡ 0 (mod3) でさらに素数であることから、
2^p＋p^2＝3 しかありえない。
しかし、p＞3より左辺は明らかに3を超えるため矛盾。
以上より、p＝3である。
改めて見るとこの問題を見るとやはり面白いです！
6n±1は素数、心に刻みます！
また6n±1を関数と考えれば2と3以外の全ての素数は二つの一次関数の二本の直線上にポイントされているということになる。素数の出現する場所は決まっている。ところで(6n+1)(6n-1)=36n²-1で、36に自然数の2乗をかけた値から1を引くと双子素数の積になる(ものがある)というのも少し面白い。
奇数と偶数の和でないといけないことは気がつく、それ故、
一方は２であることも気がつける。2,3 以外のいくつか例を
計算してみて、それらがみな３の倍数になるということが
そこに見えてた筈なのに、それが気がつかなかった。
ぼんやりしてんなあ、とてもいい反省材料になりました。
toohuudoo さん
いつもご覧になってくださりありがとうございます。
toohuudoo さん
合同式を使った素晴らしい解説をしている方がいるのでご参照ください。やや上級者向けかもしれませんがとてもわかりやすくスッキリしています。ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
私はq=2とした後p=2m+1と置いて計算し、その形を見てmを3の剰余類で分けたんですが、最初から6の剰余類で分けるとこんなに簡単になることに衝撃を受けました
6N±１の概念の事を 自分の若い頃に分かっていれば素数を求めるプログラムのアルゴリズムで教師を黙らす事が出来てたかもしれない。当時の自分は奇数かつ最終桁数が５を除外だけで余計な計算をさせないで工程数を減らすというアルゴリズムで精一杯でしたね。1つの知識の差で違う職業に就けたかもしれないと思いました。
ここのチャンネルを視聴する前だったら手も足も出ない問題でしたが，お陰様で，暗算で解けました😄
あ，ちなみに，私はmod 3で処理しました。
2^p = (3 - 1)^p ≡ - 1(∵pは奇数)
p=3の時
与式=2^3 + 3^2 = 17⇒素数
p≠3の時
p^2≡1(∵pは3以外の素数であり，3の倍数でない)
∴与式≡( - 1) + 1 = 0
つまりp≠3の場合，与式は必ず3の倍数になる
同じ解き方の方がいて安心しました！
@@user-qh9hi2ux9x さん
3の倍数以外の数の2乗を3で割ると必ず1余るってのは便利ですよね
雑談挟むスタイルめちゃいいですね
わかりやすかったです
Furuha .298 さん
ありがとうございます。編集は、面倒くさい＆技術不足なので、原則、一発アドリブ撮影です。なので、細かな言い間違えはご了承ください。
ちなみに57はグロタンディーク素数と言われていて、著名な数学者が講義の時、素数の例として57を扱ったことが由来
とても気持ちのいい解き方ですね
面白かったです
中柳 さん
ありがとうございます。
この頃はmod使わずに解かれてたんですね。分かりやすいです。そして改めてmod凄い。
視聴2回目です。すっかり忘れていました。整数の基本で剰余類に分けるということは知っているのですが、意外に使いこなせないものの一つのような気がしています。
また、「マスターオブ整数」では倍数の判定法は難しい部類にカテゴライズされていまして、まずそれ以外のところから学習するように「使い方」に書いてあります。
何度もやる価値のある過去問のようです。
p>3とすると、p^2≡1 (mod3)
またpは奇数であるから、2^p≡2 (mod3)
よって、2^p + p^2 ≡ 2 + 1 ≡ 0 (mod3)
p,qのどちらかは2だと言うことは動画を見るまで分からなかったので、それ以降を自分なりに解いてみました
p=2とする
3を法とすると、2^q+q^2≡(-1)q+q^2…○1
qが3の倍数でない時、○1≡(-1)q+1
qは偶数ではないので、○1≡0
よって、qが3の倍数でない時、与式は3の倍数
しかし、与式は明らかに3以上なので、これは素数とならない
よって、qは3の倍数
また、qは素数なので、q=3
p=2、q=3を与式に代入すると、17となり、これは素数
よって、求める組(p,q)は=(2,3),(3,2)
もし何か間違っていれば添削お願いしますm(_ _)m
これをテーマに小説書いてます。本当に助かりました。
(2桁の内)
91の素数っぽいランキング1位凄く分かるwww
那由多 さん
断トツ1位ですよね。1001 4桁一位(独断)
鈴木貫太郎
うわわっ御本人にコメントを頂けるとは...
光栄で御座います。
凄く分かりやすく、たまにある雑談もとても面白く、とても楽しい動画でした。
やはり数学は面白いですね。(私なんかが言うのもおこがましいとは思いますが...)
そして1001は素数じゃないんですね。
確かに一見素数っぽいですねw
那由多 さん
返信ありがとうございます。他の動画も是非ご覧になって下さい。これなんかは結構いいかもしれません。ua-cam.com/video/9VyGY6DtU7o/v-deo.html
是非視聴させて頂きます！
鈴木貫太郎 ３桁だと299が有力ですｗ
｢ざんにっぱ｣って言った時麻雀っぽいなーと思ったら、画面越しなのにバレててびびったw
オイラが高校ん時の数学の先生は、黒板の書き間違いを指摘されると、よく気付いたな、出席簿二重丸にしといてやる、まあ何にもならないけどなｗといって笑いをとってごまかしつつ、いいか、ただ黒板のメモを書き写してるだけじゃ何の勉強にもならないぞ、自分で考えて解きなおすための道筋にすぎんからな（ｷﾘｯ。と、もっともらしく締めくくってました。数年前退官されましたがいい先生だったです。
素敵すぎる
後で◎の意味を問われて困るパターン
オイラー？(幻聴
オイラーは先生も賢かったんやな
2年前の動画にコメントするのもあれなんですが、これ合ってますかね。いずれ誰かが見てくれるかな。
（動画と同じ手順でq=2と置いてから）
p^2 + 2^p = (素数)
mod3において 「p^2 ≡ 0, 1」「2^p ≡ (-1)^p」であるが、pが奇数であることを考えれば「2^p ≡ (-1)^p ≡ -1」
p^2 ≡ 0の場合、p=3 ⇒ OK
p^2 ≡ 1の場合、 p^2 + 2^p = (素数) ≡ 0 となり、p^2 + 2^p = 3となるが、これを満たす素数pは存在しないので不適。
よって、pとqの対称性も考慮して (p,q) = (2,3), (3,2)
私も今ならそうやります
@@kantaro1966 ありがとうございます！自信になります。
実験→合同式なら思いつきそう議論満たせるか分かんないけど
京大の過去問やってて素数は6n±1で表して見るといいことあるよと数学塾の先生に言われたのを思い出しました
Alex Parker さん
コメントありがとうございます。
オススメに出てきてくれてありがとうございます。チャンネル登録しました。
解けたーー！！こういうシンプルで知識を問うようなものじゃない京大の問題好きです
自分は素数を6n±1で表せるという発想は出てこなかったので、証明に証明を重ねて、長くなってしまいました…
数年後に京大に行くことを目標にしているので、頑張ります！
なるほど！！
素数の必要条件は、
奇数であることもそうだけど、
整数を6n、6n+1、6n+2、6n+3、6n+4、6n+5で分類してやることで、6n±1なのか！
あと合同式でも(mod3)6n±1≡±1
(6n±1)^2≡(±1)^2=1
3-1≡-1
(3-1)^6n±1≡(-1)^6n±1=-1
から、余りが1-1=0より5以降の素数においては全て3の倍数であることが示されるってことか
p^q+q^p=Pとおく。(Pは素数)
p,q≧2よりP≠2.
偶奇性を考えてp,qの少なくとも一方が2.
p=2とすると(与式)⇔2^q+q²=P
⇔2^q=P-q²･･･①
ここで法を3とする剰余を考える
(左辺)=2^q≡2･･･②となる．
q²は平方数なので0または-1と合同
q²≡0の時はqは素数なので3以外ありえない。よって(p,q)=(2,3)．
q²≡-1の時は①②よりP≡0．
よってP=3となるがp,q≧2より矛盾.
p,qは対称であるのでq=2のときも同様に議論できる．
よって（答)(p,q)=(2,3),(3,2) ■
東大もそうだけど、"気づけば"意外とシンプルな形で解けるよね
高1までに履修した内容で解ける
こういう数学の問題は楽しくていいですね。受験生にとってが大変でしょうが。
両方奇数だと合計が偶数なので，片方は2．pを2とする．2^qはqは奇数なのでmod3で2．q^2がmod3で1になるのはqが3の倍数の奇数の場合のみ．3の倍数の素数は3だけなので，p=2のときqが3以外の素数ならp^q+q^pは3で割れる．でp=2,q=3のときp^q+q^pは素数なので．．という感じ？
具体的な数字を入れて実験することの重要性を問う良い問題ですね！
糸川英夫 さん
コメントありがとうございます。そうですね。まずは調べてみることは大切ですね。
糸川英夫 さん
具体的な数字を入れて実験することなく、あっさり綺麗に解いている方もいます。とても参考になるのでこちらもご覧にってみてはいかがでしょうか。
ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
ありがとうございます！
まずpとqが素数(奇数)のとき奇数の奇数乗=奇数なので、奇数+奇数=偶数になるからpが2になる。そこからqに3代入した後に、3より大きい素数を3で割った余りが1or2だからその素数を2乗して3で割ると余りが1になることを言って、2の奇数乗を3で割った余りが2なることを言って、それらを足すと3で割り切れるから3より大きい素数で題意を満たす素数はない
ってことでもいけるんじゃんね？
コメ欄見て思ったこと
「あれ…俺場違い?…」
ゆーて俺もw
中3のおれがわかるわけないw
それな
あがあがりんお3.1415926 ここは中学生が来て良い場所ではないです( ; _ ; )/~~~ でも高校で理解できるようになりますよ
@@user-oc1hn1vd3s Really?
あがあがりんお3.1415926 うん、really
片方2はわからないとだめ。
ここからは解きようがないので代入して実験をする。そこですべて3の倍数になるということに気づく。
以下解答
3を法とする剰余系において、P≧5のとき、Pは素数よりP≡±1と表されるから、
2^P＋P^2≡(-1)^±1＋(±1)^2
=－1＋1=0
また明らかに2^P＋P^2は3より大きい。よって2^P＋P^2は素数でない3の倍数である。
P=2,3のときは割愛
フェルマーの小定理は用いても大丈夫でしょうか？
自分は p = 2k+1 かつ p = 3l, 3l±1
(k,l は適当な自然数) と2回表しました。
2^p = 2^(2k+1) = 4^k･2 ≡ 2 (mod 3)
p = 3l±1 のとき
p^2 = (3l±1)^2 ≡ 1 (mod 3)
よってp^2 + 2^p ≡ 0 (mod 3)
これは素因数3を含む合成数で不適。
よって p = 3l であり p は素数より
l = 1 , p = 3 に限られる。
自分はできませんでした。
現場で解答が書ける人って凄いなーと。
1つは2っていうのはすぐ分かったけど、どうやったらもう一方を導けばいいかがすぐには分かんなかった。解説を聞いてなるほどと思いました。
落ち着いてる時なら解けるかもしれない難易度だけど、本番で出て冷静に解けるかどうかと言われたら無理そう・・・多分後回しにする
old cat さん
そうかもしれませんね。整数問題は難しい場合が多いですから。
old cat 京大の整数問題はとりま最後
これ京大理系数学の中でも超難問でしょ
はじめまして自分は現役のころに、京都大学を受験しようと思っていましたが、センターでずっこけ、結局大学には行かず、その後すぐに、不登校や、塾に行きたいけど行けない生徒たちに勉強を教えていたものです。18歳からはじめて、ちょうど三年目になり、個人で開くことも検討しています。今20歳です。得意教科はもちろん数学です。数学に関しては執着心が強く、正直教えることに関しては誰にも負ける気がしません。動画を見さしてもらいました。京大にしては解きやすい問題だったんではないでしょうか。率直な感想は、僕ならそうしません。そうは教えない。数学というのは、そもそも人に教える上で一番大切なのは、「先生、すごい」ではなく、その生徒さんに、「俺でもできるかも」と思わせることだと思います。そのためには、入試の初見でもし自分ならどう立ち向かうかをまず念頭において解説するべきです。（p,q）の解のうち、一つが必ず２になる説明はいいと思います。それ以外は、奇数＋奇数になって、値が偶数になるから、ひとつは2だということですよね（偶数＋奇数＝奇数）（偶数の場合、2以外は１と自身の数以外に、2の約数を持ってしまっているから×）といくのであれば、偶数と奇数の理論である、偶数は2n、奇数は2ｎ+１を用いて、（2n+1)^2+2^2n+1という流れになるのが現実的だと思われます。（nは自然数）p=2n+1、q=2とします。（p,qは素数）展開して4n^2+4n+1+2×4^nになりますねここまでなら、中学生でもできるはずですここから高校数学です。modを使うのが一番だと思います。（数A)教えているときに思うのが、「modって、名前からして難しそう」と、イメージから入られる生徒さんが多いのですが、そもそも「mod」とは、合同式のことで、例えば7≡4(mod3)で示しているのは、7を3で割った余りと、4を3で割った余りが同じだということです。つまり1なので、4≡1(mod3)ですね。4＝3+1、（3+1）^n≡1(mod3)、つまり、4^n≡１(mod3)ですね｛（3+1）^n≡1(mod3)については、多項定理（数2）を見たことがある方なら話が早いのですが、展開したときに、1^n以外の他の項はすべて3に関するコンビネーション（C)が関わっていますよね。だから、1^n以外の他の項はすべて3で割り切れます。だから4^n≡１(mod3)ということです。｝上の説明から、2×4^n≡2(mod3)が言えますね。（1^n×2＝2というところです）続いて4n^2+4n+1について、今同様mod3でやって見ます。4n^2+4n=4n(n+1)n(n+1)に着目すると、n=3k,n=3k-1,n=3k-2としたとき（kは自然数）n=3k、n=3k-1なら、n(n+1)は3の倍数｛3k(3k+1)、(3k-1)3kより、約数に3が含まれるのは明らか}4n(n+1)、も3の倍数となり、4n^2+4nも3の倍数となります。よって、4n^2+4n+1≡１（mod3)になり、2×4^n≡2(mod3)から、4n^2+4n+1+2×4^n≡1+2=3≡0(mod3)となり、3で割り切れることがわかります。つまり、4n^2+4n+1+2×4^n=3の時のみ、素数だといえるわけです。ただ、この式の最小値は57（n=2の時）より、明らかに不適だし、見ればわかりますよね、3より大きいんだということは。だからn≠3k、3k-1だというわけです。n=3k-2の時p=6k-3=3(2k-1)より、そもそもpは素数なので、k=1しかありえません。このとき、p=3、q=23^2+2^3=17より、題意を満たしますねよって、(p,q)の組は、（2,3）しかないですよね。ということです。よって、求めるべき解答は（2,3）（3,2）となるわけです。おそらくこの問題も含め、一般的に数学の難しい問題というのは、「発想力」だといわれていますただ、今回も示したとおり、その発想というのも、奇数、偶数の中学生レベルの発想力と、数1A (一般的に高校1年、遅くても2年）の整数の学校で少なくとも習う範囲の知識しか使っていませんmodというのは、基本 □≡1の形で使われることが多いです。なぜなら、楽だから。そういう過程で、今回は3と置いたわけです。困ったらまず基本からたどる。おそらく入試本番では頭なんていつもの10分の1ぐらいしか働いていないはずです。だからこそ基本に忠実であるべきです。長々とすみません。よかったら読んでみてコメントください。最後までよんでいただいてありがとうございました。
ふ
返信ありがとうございます
ふは、打ち間違えです
合同式は数学1Aの範囲だし、
説明もしましたが、考え方自体は難しくはないです
僕は千葉にある定時制高校に通っていた当時高1の子を、教え続けた結果、東京理科大学を目指せるレベルかつ、数学は得意科目というところまで押し上げました
彼には僕が東大、京大レベルに加え、奇問と言われている問題を自分が解いてるところを見せ、彼に数学の楽しさを十分に教えてきました
彼は僕の前なら平気で10時間以上数学に没頭できます
要するに教育者というものは、いかに簡単に楽しく、緊張感なく教えていくことが、大切だと思います
私は今公認会計士をとって個人経営の塾を開きいずれは法人化したいと本気で考えています
たまには自分にもできない問題をやってみたいな
返信ありがとうございました
コメントをありがとうございます。目標に向かって頑張ってください
ありがとうございます
数学好きなのですごく面白い
勉強してて休憩に見てるけど学びにもなる
最高
今は切り上げた点数の数列だけしか覚えてない人が殆どですね（麻雀の話）。
僕の頃は切り上げない正味の数列で数えるのが普通だったので、3種類の数列を覚えました。
中でも2のべき乗数列は今回のように麻雀以外でも役に立つのですが、麻雀用としては512までしか覚えませんでした（ニー、ヨン、パー・・・ニゴロ、ゴイチニまで）。先生は1024まで読み上げていますが、麻雀で1024は使わないですよね？
P＝3より大きい素数として3k＋1または3k＋2として証明しようとしたけど出来なかった…。そっか…6n＋1、6n-1でやるのか。ビックリやわ
3でもできますよ
落ち着いてやったらできた。
p>3ならmod 3で
2の奇数乗≡-1
±1の2乗=1
よって
与式≡0
視聴回数がこれだけ凄いことになってますね。
動画の内容も結構楽しみですが他人のコメントも見てて楽しいです。
これ解けたときちょっと感動した笑笑
すごくわかりやすい
アルラウネ同盟 さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
今日の動画のコメント欄から、受講しました👍️。
今は、藤井二冠の影響✨もあり、将棋の人気が高まってますが、子供麻雀教室もあるようです。
楽しく学べるのは、いいですね！
素数の性質、定理、互いに素は、中学のうちに、先取りでしっかり理解しておきたいです！
東大、京大といった超難関大は、問題が超シンプルなんだよな。。。
わかりそうで、さっぱり解けない問題ばかり
めっちゃ再生数伸びてますね〜
やっぱり難関大学の問題は人気あるのかな？
このチャンネルも軌道に乗ってきたみたいで良かったですね！
かよちん大好き さん
初期の頃よりご視聴いただきありがとうございます。今後もよろしくお願いします。
こちらこそ面白い問題や、入試問題などの丁寧で上手な解説よろしくお願いします！
2:30
2桁の素数っぽい素数じゃない数といった時、僕も91がすぐ浮かびました。笑
Vuyb Dfhyvjtf さん
その感覚大事ですよ！
凄い！！
こんな問題、どうやって思いつくんだろう…
私は機械系なので、物理よりなのですが、弾性論や流体力学では、ベクトル・テンソル解析、そして物理系なら否応無く微分方程式が出てきます。
奥深い数学の世界…といっても所詮は物理数学ですが、しかしこの深みに入った後、大学入試に立ち返ると、いかに洗練された問題なのかが分かります。
近年では、大学入試の不適切問題が話題になりますが、やはり問題作成が難しいのだと身に染みて思います。
初コメントでした！
城屋悠希 さん
丁寧なコメントありがとうございます。
城屋悠希 さん
合同式を使った素晴らしい解説をしている方がいるのでご参照ください。
ua-cam.com/video/HIEEYNKdE-U/v-deo.html
鈴木貫太郎
わざわざありがとうございます！
私はどちらかと言うと数学は苦手な方です。というのも、りんご2個とみかん3個、合わせていくつかという問いには「3+2=5」と解けます。物理的な考え方で、足せば答えが出ると分かるからです。
ただ、数学では「2+3=5」というのは、本当なのか？といった具合に、証明などが主となり、難しいです。
中でも代表的なのは「ε-δ論法」だと思います。高校数学や工学系などの数学では、微分可能かどうかや、微分の定義であるhを限りなく0に近づけるという説明の「限りなく0に近づける」ってどれくらい近づけることなのか？といったことなど、あまり考えません。
それでも、高校なら数学の文章題や物理問題への微分の応用などの問題が解けることから、全くきにする必要はありませんでした。
そんな私ですが、毎回数学問題を対象として、解説していただいているので、楽しく拝見しています。そして問題の美しさや理論展開の素晴らしさに感嘆しています。
返信、ありがとうございました！
わかったようなわからないような...
少しもやもやします。
あと質問ですが、偶数を作るのに2ではなくて4とかを使ってはいけないのでしょうか？
あとなぜ素数の式を6n+1にしたのですか？
sister ray さん
骨伝説の さん
コメントありがとうございます。
6n±1でなく、3n±1でもできますが、3n±1は偶数になることがあり、(-1)^偶数は＋1になってしまうのを避けるために、私は6n±1にしました。ただ、3n±1としても、pは5以上の素数なので、5以上の素数だから奇数と一言断ればいいだけなので、3n±1でやるのが普通かと思います。
鈴木貫太郎 ありがとうございます
○○を求めよというと、そればっかに注目してしまう・・・。
そこで少し頭を切り替えて、○○ではないものを探すという視点は、社会人になって、とても重要だと再認識している。
大学入試は不要という評論家がいるが、大学入試は問題解決能力を養う、貴重な場だと思う。
もちろん大学入試がすべてというわけではなく、他の機会でも問題解決能力を養うことはできる。
ただ、頭ごなしに大学入試を不要という評論家は理解できない。
中学生で、まだちんぷんかんぷんなんですけど、意識上げるためにこういう動画を最近よく見ます
3年後、待ってろよ、京大！！！
「57は…」
ツイッターを見過ぎだ僕「素数だ！」
「3の倍数ですね
pをmod3で0と±1で場合分けしてゴリ押すのは面倒くさくなりますか？
割とスマートにできたと思ってるんですけど議論に自信がないもので
57を見たら 57=60-3 で3の倍数
91を見たら 91=70+21 で7の倍数と
即座に思い浮かぶようにすると
すんなり素数判定できる
p^2 + 2^p までは同じ。p=3を試してみてOK。pが5以上の素数のときは、mod 3で考えると必ずp≡±1なのでp^2≡1。pは奇数なので、2^p≡(-1)^p≡-1。したがって、常にp^2 + 2^p ≡ 0となって3の倍数になってしまい、素数にならない。ゆえに、(2, 3)しかない。5以上の素数が6n±1というのは、そのこと自体の証明が必要だとすれば寄り道かも？
中三ですか僕も授業中先生の
麻雀ネタに食いつくんですが
共感者が一人もいません
高校行くときっと仲間が増えるよ！！
すべての整数を6N+Mと出すまでの思考の過程をもっと具体的に教えてほしいです。
整数は奇数と偶数しかありません。同様に整数は３で割った時の余りが０か１か２のものしかありません。整数は４で割った時の余りが０か１か２か３のものしかありません。以下同様です。６で割った余りは０か１か２か３か４か５ですが、あまり５は余りー１と同じこと、余り４は余りー２と同じです。
@@kantaro1966 素早い返答ありがとうございます。その理屈はわかるのですが、その理屈に至るまでの過程を知りたいです。私だったら３の倍数であることを示したいから自然数を3N+Mと表現することをおもいつくのですが、それではうまくいかないから６N+Mにたどり着くという流れで良いでしょうか？
この問題は3の倍数で分類してもできますし、その方が普通だと思います。私が6n±1にしたのは偶数になることを防ぐためでしたが、その必要はなかったみたいです。ただ、5位上のすべての素数が6±1で表すことができるのは知っていて損はないでしょう。
@@kantaro1966 ありがとうございます。いくつか動画を拝見して数学にかなり興味が出てきたのでチャンネル登録しました。
大学受験でこんな問題来たら絶対頭回んなそう
どこからアプローチしていけばいいかわからんくて焦るよな
高1の時先生にだされて凄い時間かけて解いた思い出
p.qは素数より、p.q≠2のときp≡1 q≡1（mod2）と表せる
1^1+1^1≡2≡0つまり2の倍数になるp^q+q^p＝2の時p.qは素数にならないので不適、p＝2の時 2^q+q^2となり 続きおしえてー お願いします！
2^q+q^2がq＝3以外3の倍数になる証明mod使って教えほしいです！分かる方お願いします！！
素数は2以外は全て奇数は
こういう問題解くときに重要だから、覚えよう。
2:21
57は素数です。
グロタンディーク大先生が言うんだから、間違いありません。
当時はこれが解けなくても合格できました
「p,qは異なる素数」と問題にないのならば、(2,2)の組も一応潰しておかないと減点かなぁ。
176 nerimar さん
ご覧になってくださりありがとうございます。
そうでしょうね。動画なので、口頭だけで済ませてしまいましたが。
プログラム書くようになると、2^Nは非常によく出てくるので、20乗くらいまでと、24,32,48,64乗くらいは覚えている・・・
数Iの青チャートに出てきて、やってみたらp=2までは、求められた。それ以降はなかなか進まず。何せ合同式を学校でやってない状態でこの問題に取り組んだからめんどくさかった