【オイラーの公式は証明できません】という異常なコメントがありますが, 【「eをiθ回かける」なんてことはできませんので】というコメントは割と本質的です. うるさいことをいうなら, そもそも高校でやる指数のべき, e^x で x が 0, 負の数になるところから【e を x 回かける】という意味づけができなくなっています. 有理数までなら一応代数的な操作の範囲ですが, x が実数の時点で解析的には大変なことがいろいろあります. x を複素数にもっていくときにも面倒な話があって, 実数にしろ複素数にしろ解析学の相当面倒で難しい話が必要です.
![Infinity and Continuity [JP]](http://i.ytimg.com/vi/RN3AR28u1-U/mqdefault.jpg)
授業が素晴らしいので、このカラカラが逆に心地よく聞こえてくる・・・・
とってもわかりやすいです。
定年を間近に迎えて、こんな講義を受けることができるなんて思いもよりませんでした。
初めて複素関数の考え方に触れましたが、基本は思ったよりも素朴なところからアプローチできるんですね。これは勉強になります。
【オイラーの公式は証明できません】という異常なコメントがありますが,
【「eをiθ回かける」なんてことはできませんので】というコメントは割と本質的です.
うるさいことをいうなら, そもそも高校でやる指数のべき,
e^x で x が 0, 負の数になるところから【e を x 回かける】という意味づけができなくなっています.
有理数までなら一応代数的な操作の範囲ですが,
x が実数の時点で解析的には大変なことがいろいろあります.
x を複素数にもっていくときにも面倒な話があって,
実数にしろ複素数にしろ解析学の相当面倒で難しい話が必要です.
改めて見直してみると、数学ってやっぱり面白いですね＾＾
2回目のコメントです（長文ですみません）。
私の最初のコメントへのYoshitsugu Sekineという方から言及があるので、補足説明します。
e^iθ＝cosθ+isinθのθ (θ≠0) に何か数値を入れて、左辺と右辺を計算し、左辺と右辺が一致することを示せますか？
e^(ーx) ＝1／e^x の x (x＞0) に何か数値を入れて、左辺と右辺を計算し、左辺と右辺が一致することを示せますか？
どちらも左辺が計算できないので、できませんね（だから、e^iθの計算はcosθ+isinθで、e^(ーx) の計算は1／e^x でしますよね）。
そんな式が証明できるわけありません。
なぜ左辺が計算できないか。それは２式とも左辺を定義する式だからです。定義式は証明できません。
（お分かりいただけたでしょうか？）
にもかかわらず証明を試みる人が絶えないのは、formula が「公式」と訳されているためでしょう。罪作りな訳です。「オイラーの定義」と訳すべきだった。
「証明した」というひとの「証明」には、ですから、e^iθが、あらかじめ、cosθ+isinθと等しいことが証明できる式（たいてい cosθ+isinθの展開式）で定義してあるか、そうでなければ、必ずどこかに、まだ使えない式（注）での変形とか、単純な計算ミスとかが見つかるはずです（ばかばかしいので調べたことないですが）。
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注：e^iθ＝cosθ+isinθを証明した後でないと使えない式とはたとえば (d/dθ)e^iθ＝ie^iθ、とか、(e^iα)(e^iβ)＝e^i(α＋β)。
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Yoshitsugu Sekineさんの「有理数までなら・・」以下の記述については、私、数学の専門家ではないので、どんな難解なことがあるのかわかりませんが、少なくとも上の議論には影響ないと思います。
3回目のコメントです。
2回目のコメントで、下の断り書きを書くのを忘れてました。
e^(ーx) ＝1／e^x の x (x＞0) については、すでに指数が正の実数の指数関数の導入は済んでいて、これから指数が負の実数の指数関数の導入をする場面を想定します。
もちろん任意回微分可能な実関数を想定していますよ。
これマクローリン展開じゃないの？
この講義は数理以外の2年生対象ですか？
高校生には早いかな、まったくわかんないよ
nice guy.
2：15 イるリ ってかいてある (#^.^#)
英語でお願いします