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動画内の誤りまとめ（コメントでの指摘ありがとうございます！）1:01 言葉の説明 誤：0以上1以下 正：0より大きく1より小さい2:58 三角不等式 誤：d(c,a) 正：d(c,b)7:44 曲線の定義式 誤：(x,sinx) 正：(x,sin(1/x))
のっけから意味不明で混乱したけど、間違いだとわかって良かったｗ
距離空間は距離があるから、直感的に掴みやすいけど、位相空間は位相と開集合しかないのがなぁ...一回聞いて理解できるやつは天才。
でも大学数学ってある程度慣れたら、どれだけ抽象的でも「この条件を満たすのが～なんだ」ってあまり抵抗なく受け入れられる。慣れるまでは「何がしたいのか」、「何のためにこんな定義にしてるのか」みたいな疑問しか浮かんでこなくて全然話が進まない。
位相空間論は世界を1から作っていく感じが好き
気持ちいいよな
受講者の5割が落ちる位相空間論……最初の方はマジで何言ってんの?って思ってたけどルベーグ積分やった後に戻って最初の方見ると分かるようになったな。
視聴者が賢い層すぎてワッカに気づく人がほぼいない奇跡
これも人間が機械に甘えたせい
層(数学)だけに
位相空間論が一番楽しい大学卒業した今でも順序位相とか勉強してる
私も社会人ですが引き続き多様体の復習をしているのでの毎日位相空間です。
物理学科出身です。1年時に集合位相論の講義がありましたが、宇宙語話しているのかと思いました。テストはノートに書かれていた定義、定理（証明含む）を暗記して乗り切りました。懐かしい…
トポロジーって量子力学以外に使うの？
暗記で乗り切る。第一歩目として大切です。
趣味としてやるには全部頭に叩き込んで応用を後で考えるより、興味があることを証明するために必要な考え方を部分的に導入する感じのほうが楽しいわ、
中学生ですが、立体図形の意味が分かりづらかったものの、位相幾何学の本を読んでひろゆきの混乱する写像や、連続写像による関数への理解にも繋がりました。大学数学でのトポロジーが楽しみになりました！
中学生はそんな暇があったら外で遊べ😂 背伸びしたところで何もならん。
@@Haruo_Mukaiうーわ
@@S-Hiro_それな
@@Haruo_Mukai少なくともお前のコメしてる時間よりは有意義だろｗ
@@Haruo_Mukai興味あるもんはいつから勉強してもええやろ
3:57 うちの教授の本が出てきて誇らしくなった
寧ろ応用ありきで説明に「開集合」のような天下りの概念を忍び込ませようとするからまどろっこしい話になる。
集合の言葉の中に順序や繋がりを表現することに基礎付けの意味があるのだから、説明においてもその方針を堅持しないと何がしたいんだとなる。
2年の時、まさに位相空間論で苦戦しました…1年と2年の間で数学の難易度が上がりすぎて毎日地獄でした。
実は位相空間の定義は、収束が定義できる空間、と同じになりますただし、通常の点列による収束ではなく一般化した順序集合上の収束を考える必要があります(フィルターの概念)導入として収束概念から入る方が位相の理解に良いと考えています
本当に数学らしい数学💖
集合論や位相空間論を学んだことがあるかどうか、苦戦したことなど教えてください～
第一、第二加算公理はキツかった😢
経済数学の授業が位相空間論ベースだったので思っていたのと違う感が当時あったな。
位相空間をはじめ、大学教程ではじめて出会う数学概念に「難し過ぎる」と感じる人は、本音と建前の使い分けができていない。基礎的概念の定義と証明なんてやつは白鳥の水面下でのバタ足であって、数学が正しく形式的であるために必要な建前。プロの数学者だって、本音では高校流の「近づけば近づく」で考えていて、証明を仕上げる最後の最後の段階で、形式主義に従っているにすぎない。この辺の空気感を知るには、森毅「位相のこころ」を読むことを勧める。もう絶版かな？
わかりやすいです それぞれの定義の特徴について深く考えようと思います距離空間との関係を意識することが大事ですね
普通の大学生は、コンパクト性の重要性の理解まで行ければ上等。入門書は山ほど出ているので、面白いと思った本で勉強してたな。懐かしい。因みに、学校教員課程の元学生の感想。
微積分で習った「収束」とはなにかそのために「点の近傍」をどう定義すべきかと考えると実は極めて自然な定義なのですが開集合系は更に一歩先へ進んでしまっています初学者には近傍系を使った定義を推します
僕は数学科出身ですが、大学数学に馴染めなくて常に図書館こもって過去問解いてなんとか切り抜けました...いまだに理解はできてないです...
最大値の定理がコンパクトに繋がるのめっちゃびっくりです
阪大の石川将人先生の「基礎数学I ①多様体論へのいざない」という動画がわかりやすいです。
3年前に見たかった
やっと理解したって思った瞬間に１０分前に理解したこと忘れてるからな。
勉強になりましたありがとう。なんとなくではありますが、道筋が見えたような気がします。
大学数学はマジ無理過去問無かったらどうにもならんかった
物理学科なんだけど、一年後期の期末テストに4問あるうちの一つに開集合閉集合上界の定義をかけって問題があって、そのせいでgp4の人がほぼいないというクソみたいなことが起きたな
若い頃（大学1年時）に躓いた分野だった。読んだのは位相空間論のタイトルの本ではなく、微積分の本だったような気がする。私の場合、これらの概念が理解できなかったので、実質的に文転した（実質文転が可能な大学だった）。
0以上1以下は端点を含むので閉集合です。
ご指摘ありがとうございます、その通りですね。「0より大きく1より小さい」など工夫した言い方のほうが良かったかもしれません。ちなみに数式の方では0
分かりやすく解説して下さってるのでしょうが残念ながら私の脳は理解することを拒みました……
大学生です。おすすめでこの動画が回って来ました。純粋な疑問なのですが、数学の魅力、楽しみとは一体なんでしょうか。何を持って趣味たり得ているのか、気になります。私にはチンプンカンプンですので、難しすぎる...！
位相空間論の授業、最初にユークリッド空間、距離空間で成り立つことを踏まえて位相空間論の公理にうつった記憶があるだから逆に開集合を距離なしで定義できるのか？みたいな問いかけで始まった
素晴らしい🎉
僕は去年度に位相の授業を落として今年度に再履修してるのですが、去年度は定義を見ても証明を写しても質問しても何もかもがわからず絶望のままテストが解けず落としちゃったんですけど今年度は少しわかるようになってきたのでやはり初学者には集合論や位相空間論はしんどすぎると思ってます。個人的には位相とルベーグと多様体が大学数学の山だと思ってます。
ルベーグに関しては難しいとか面白いを通り越してただただ眠かったです(笑)。
@@ElGamal.encryption ルベーグと多様体は単位落としました()難易度えぐかったですね
積位相の定義とか直感的に分かりにくいよな
位相幾何学者の正弦曲線、スライドにある定義式(x,sinx)ではなく(x,sin(1/x))じゃないですか？ 7:44
ありがとうございます。これその通りです！sinxだと普通のサインですね＞＜
高一で数３まで終わらせたので、高二から位相空間やったけど、まわりに教えてくれる人いなくて、半年たって写像の連続性を近傍で証明するやつまで理解出来た。自信もついた！おれすごいでしょ
すごすぎるw
これはすごい
こういう時が一番楽しい
写像の正射影だけはいつまで経ってもわからん
凄いなw
集合に境界を入れたものが位相空間っておもって良い？
マンハッタン距離じゃないんですか？
動画と関係ない質問で申し訳ありません。定理の証明って暗記する必要があると思いますか?もちろんただ闇雲に暗記するのではなく、証明の論理構造を理解して、白紙から全て自分の力のみで理論を構築できるようにするべきか?？ということです。大学入ってからはそのように勉強していたのですが、そこまでやっていると当然本を読む時間がかなりかかってしまい、ココ最近になって正直無駄なのかな？と思うようになりました。教授にも1度相談したことあるのですが、自分が思うようにやればよい。とアドバイスしていただきました。すらいむさんは大学生時代定理の証明を暗記していましたか?
この質問は面白いです！ 返答は長くなるので、動画のネタにさせていただきます。
@@math-fun ありがとうございます!動画待ってます!
医学科１年で位相空間論を学びました。いい参考書のご紹介ありがとうございます。
医学科でやるんですか！？
はじめ教養学部に預けられますので、やってました。
2:58三角不等式の右辺第2項はd(c,b)かと。
ご指摘ありがとうございます！ その通りですね。
わかりやすい。ところで、Introduction to topologyのamazonリンクが違うやつに飛ぶのは自分だけかな？URLは違ってそうなのに。
ご指摘ありがとうございます！間違っていたので訂正しました。
順序って位相構造なんちゃうん？
大なり＝と小なり＝で開いてるか閉じてるか表すとφ(. .)
反例を見たいですね
ふむふむ
General Topology 専攻してました。そんなに難しいですかね？位相空間論の魅力は公理や定義のシンプルさにあると思うのですが、大多数の人とは感覚が違うのかなぁ。
分かりますよ🎉これぞ数学❗って感じでした😄
数学科以外は数学得意だよ！とか言わないでほしいな。
![Get an introduction to college mathematics with the “30 Lectures in Mathematics Series” [ENG sub]](/img/n.gif)
動画内の誤りまとめ（コメントでの指摘ありがとうございます！）
1:01 言葉の説明 誤：0以上1以下 正：0より大きく1より小さい
2:58 三角不等式 誤：d(c,a) 正：d(c,b)
7:44 曲線の定義式 誤：(x,sinx) 正：(x,sin(1/x))
のっけから意味不明で混乱したけど、間違いだとわかって良かったｗ
距離空間は距離があるから、直感的に掴みやすいけど、位相空間は位相と開集合しかないのがなぁ...一回聞いて理解できるやつは天才。
でも大学数学ってある程度慣れたら、どれだけ抽象的でも「この条件を満たすのが～なんだ」ってあまり抵抗なく受け入れられる。慣れるまでは「何がしたいのか」、「何のためにこんな定義にしてるのか」みたいな疑問しか浮かんでこなくて全然話が進まない。
位相空間論は世界を1から作っていく感じが好き
気持ちいいよな
受講者の5割が落ちる位相空間論……最初の方はマジで何言ってんの?って思ってたけどルベーグ積分やった後に戻って最初の方見ると分かるようになったな。
視聴者が賢い層すぎてワッカに気づく人がほぼいない奇跡
これも人間が機械に甘えたせい
層(数学)だけに
位相空間論が一番楽しい
大学卒業した今でも順序位相とか勉強してる
私も社会人ですが引き続き多様体の復習をしているのでの毎日位相空間です。
物理学科出身です。
1年時に集合位相論の講義がありましたが、宇宙語話しているのかと思いました。テストはノートに書かれていた定義、定理（証明含む）を暗記して乗り切りました。懐かしい…
トポロジーって量子力学以外に使うの？
暗記で乗り切る。第一歩目として大切です。
趣味としてやるには全部頭に叩き込んで応用を後で考えるより、興味があることを証明するために必要な考え方を部分的に導入する感じのほうが楽しいわ、
中学生ですが、立体図形の意味が分かりづらかったものの、
位相幾何学の本を読んでひろゆきの混乱する写像や、連続写像による関数への理解にも繋がりました。
大学数学でのトポロジーが楽しみになりました！
中学生はそんな暇があったら外で遊べ😂 背伸びしたところで何もならん。
@@Haruo_Mukaiうーわ
@@S-Hiro_それな
@@Haruo_Mukai少なくともお前のコメしてる時間よりは有意義だろｗ
@@Haruo_Mukai興味あるもんはいつから勉強してもええやろ
3:57 うちの教授の本が出てきて誇らしくなった
寧ろ応用ありきで説明に「開集合」のような天下りの概念を忍び込ませようとするからまどろっこしい話になる。
集合の言葉の中に順序や繋がりを表現することに基礎付けの意味があるのだから、説明においてもその方針を堅持しないと何がしたいんだとなる。
2年の時、まさに位相空間論で苦戦しました…
1年と2年の間で数学の難易度が上がりすぎて毎日地獄でした。
実は位相空間の定義は、収束が定義できる空間、と同じになります
ただし、通常の点列による収束ではなく一般化した順序集合上の収束を考える必要があります(フィルターの概念)
導入として収束概念から入る方が位相の理解に良いと考えています
本当に数学らしい数学💖
集合論や位相空間論を学んだことがあるかどうか、苦戦したことなど教えてください～
第一、第二加算公理はキツかった😢
経済数学の授業が位相空間論ベースだったので思っていたのと違う感が当時あったな。
位相空間をはじめ、大学教程ではじめて出会う数学概念に「難し過ぎる」と感じる人は、
本音と建前の使い分けができていない。基礎的概念の定義と証明なんてやつは
白鳥の水面下でのバタ足であって、数学が正しく形式的であるために必要な建前。
プロの数学者だって、本音では高校流の「近づけば近づく」で考えていて、
証明を仕上げる最後の最後の段階で、形式主義に従っているにすぎない。
この辺の空気感を知るには、森毅「位相のこころ」を読むことを勧める。もう絶版かな？
わかりやすいです それぞれの定義の特徴について深く考えようと思います
距離空間との関係を意識することが大事ですね
普通の大学生は、コンパクト性の重要性の理解まで行ければ上等。
入門書は山ほど出ているので、面白いと思った本で勉強してたな。
懐かしい。因みに、学校教員課程の元学生の感想。
微積分で習った「収束」とはなにか
そのために「点の近傍」をどう定義すべきか
と考えると実は極めて自然な定義なのですが開集合系は更に一歩先へ進んでしまっています
初学者には近傍系を使った定義を推します
僕は数学科出身ですが、大学数学に馴染めなくて常に図書館こもって過去問解いてなんとか切り抜けました...
いまだに理解はできてないです...
最大値の定理がコンパクトに繋がるのめっちゃびっくりです
阪大の石川将人先生の「基礎数学I ①多様体論へのいざない」という動画がわかりやすいです。
3年前に見たかった
やっと理解したって思った瞬間に１０分前に理解したこと忘れてるからな。
勉強になりましたありがとう。なんとなくではありますが、道筋が見えたような気がします。
大学数学はマジ無理
過去問無かったらどうにもならんかった
物理学科なんだけど、一年後期の期末テストに4問あるうちの一つに開集合閉集合上界の定義をかけって問題があって、そのせいでgp4の人がほぼいないというクソみたいなことが起きたな
若い頃（大学1年時）に躓いた分野だった。読んだのは位相空間論のタイトルの本ではなく、微積分の本だったような気がする。私の場合、これらの概念が理解できなかったので、実質的に文転した（実質文転が可能な大学だった）。
0以上1以下は端点を含むので閉集合です。
ご指摘ありがとうございます、その通りですね。
「0より大きく1より小さい」など工夫した言い方のほうが良かったかもしれません。
ちなみに数式の方では0
分かりやすく解説して下さってるのでしょうが残念ながら私の脳は理解することを拒みました……
大学生です。おすすめでこの動画が回って来ました。
純粋な疑問なのですが、数学の魅力、楽しみとは一体なんでしょうか。何を持って趣味たり得ているのか、気になります。
私にはチンプンカンプンですので、難しすぎる...！
位相空間論の授業、最初にユークリッド空間、距離空間で成り立つことを踏まえて位相空間論の公理にうつった記憶がある
だから逆に開集合を距離なしで定義できるのか？みたいな問いかけで始まった
素晴らしい🎉
僕は去年度に位相の授業を落として今年度に再履修してるのですが、去年度は定義を見ても証明を写しても質問しても何もかもがわからず絶望のままテストが解けず落としちゃったんですけど今年度は少しわかるようになってきたのでやはり初学者には集合論や位相空間論はしんどすぎると思ってます。個人的には位相とルベーグと多様体が大学数学の山だと思ってます。
ルベーグに関しては難しいとか面白いを通り越してただただ眠かったです(笑)。
@@ElGamal.encryption ルベーグと多様体は単位落としました()
難易度えぐかったですね
積位相の定義とか直感的に分かりにくいよな
位相幾何学者の正弦曲線、スライドにある定義式(x,sinx)ではなく(x,sin(1/x))じゃないですか？ 7:44
ありがとうございます。これその通りです！
sinxだと普通のサインですね＞＜
高一で数３まで終わらせたので、高二から位相空間やったけど、まわりに教えてくれる人いなくて、半年たって写像の連続性を近傍で証明するやつまで理解出来た。自信もついた！おれすごいでしょ
すごすぎるw
これはすごい
こういう時が一番楽しい
写像の正射影だけはいつまで経ってもわからん
凄いなw
集合に境界を入れたものが位相空間っておもって良い？
マンハッタン距離じゃないんですか？
動画と関係ない質問で申し訳ありません。定理の証明って暗記する必要があると思いますか?もちろんただ闇雲に暗記するのではなく、証明の論理構造を理解して、白紙から全て自分の力のみで理論を構築できるようにするべきか?？ということです。大学入ってからはそのように勉強していたのですが、そこまでやっていると当然本を読む時間がかなりかかってしまい、ココ最近になって正直無駄なのかな？と思うようになりました。教授にも1度相談したことあるのですが、自分が思うようにやればよい。とアドバイスしていただきました。すらいむさんは大学生時代定理の証明を暗記していましたか?
この質問は面白いです！ 返答は長くなるので、動画のネタにさせていただきます。
@@math-fun ありがとうございます!動画待ってます!
医学科１年で位相空間論を学びました。いい参考書のご紹介ありがとうございます。
医学科でやるんですか！？
はじめ教養学部に預けられますので、やってました。
2:58
三角不等式の右辺第2項はd(c,b)かと。
ご指摘ありがとうございます！ その通りですね。
わかりやすい。
ところで、Introduction to topologyのamazonリンクが違うやつに飛ぶのは自分だけかな？URLは違ってそうなのに。
ご指摘ありがとうございます！
間違っていたので訂正しました。
順序って位相構造なんちゃうん？
大なり＝と小なり＝で開いてるか閉じてるか表すとφ(. .)
反例を見たいですね
ふむふむ
General Topology 専攻してました。
そんなに難しいですかね？位相空間論の魅力は公理や定義のシンプルさにあると思うのですが、大多数の人とは感覚が違うのかなぁ。
分かりますよ🎉これぞ数学❗って感じでした😄
数学科以外は数学得意だよ！とか言わないでほしいな。