Просмотр видео автора дал накопительных эффект и я увидел треугольники) Проведём линии АО и ВО. А так же опустим радиус на стороны АС и СВ. Получим две пары равных треугольников и квадрат со стороной радиус. Треугольник АОВ содержит по 1 треугольнику из каждой пары равных треугольников. Его площадь 8*2/2 = 8 Тогда площадь АВС будет 8*2+4 (площадь квадрата) = 20
Ну то, что площадь треугольника максимальной будет, когда катеты равны очевидно просто по рисунку (треугольник внутри описанной окружности). Именно в этом случае высота трегольника будет максимальной и равной половине гипотенузы. А максимальная площадь получается с²/4. Тоже угодил в ловушку. 🥴 Очень поучительно.
Я не помню давали ли в школе неравенство Эйлера "радиус описанной окружности больше или равен диаметру вписанной", и равны они только в равностороннем треугольнике. Для прямоугольного же с гипотенузой 8, радиус вписанной окружности строго меньше двух. ДЗ - зная радиусы, можно найти полупериметр p = 2R+r, ну и площадь S=2rR + r^2 ДЗ2 (r+3)^2 + (r+4)^2 = 7^2 r^2 + 7r - 12 = 0 r = (√97 - 7)/2 (какое-то страшное число :) Катеты (√97 - 1)/2 и (√97 + 1)/2 Площадь (97-1)/8 = 12
Соедини вершины АиВ с центром окружности. Площадь тр. АВС равна сумме двух верхних, двух нижних тр, - ов (8 *2 =16) и квадрата со стороной, равной радиусу. Итого в сумме получаем 20. Ответ 20.
По свойствам касательных периметр 8+8+2+2=20 площадь 20 ЗЫ на начальном рисунке 8, далее по тексту 18 :( Но решение то же и ответ 40 Задача элементарно решается "с конца" - описанный треугольник и есть радиус - нужен периметр, который элементарно считается по касательным и квадратику слева внизу.
Бедный класс...и чего он плакал? Легко решается, если образовать квадрат из радиуса, применить теорему о касательных и теорему Пифагора. Буквально в 5 строчек. Первый вариант задачи сразу дает отрицательный дискриминант, значит ситуация нерешабельна, и такого треугольника не существует. Второй вариант очень даже легко решаемый.
Только сейчас увидел ДЗ. Вспомним, что c = 2R, отсюда сразу S = r² + 2Rr. В нашем случае S = 4² + 2•10•4 = 96. Проверяем, не хотят ли нас обмануть: (a - b)² = c² - 4S = 4(R² - S) = 4•(10² - 96) > 0. Всё в порядке: такой треугольник есть.
Пусть один из катетов равен x; Другой катет равен sqrt(c^2 - x^2); r = 0.5[x + sqrt(c^2 - x^2) - c]; dr/dx = 0.5[1 - x/sqrt(c^2 - x^2)] = 0; x/sqrt(c^2 - x^2) = 1; x = sqrt(c^2 - x^2); x^2 = c^2 - x^2; [далее можно показать, что dr/dx в этой точке меняет знак с плюса на минус] x = 0.5c*sqrt(2). Т. е. максимальный r достигается на прямоугольном равнобедренном треугольнике.
Наш треугольник не обязательно египетский. Можно попробовать решить систему уравнений: а*b/2 = 20 и a^2+b^2 = 64 Но на первый взгляд получим уравнение 4 степени. Можно по другому попробовать: Гипаонетунза разбивается на x + y, тогда катеты х+2 и y +2 ну и вроде система попроще: (х+2)^2 + (у+2)^2 = 64 х + у = 8 Тут квадратное уравнение будет. Ну и очень похоже что будет два решения просто по причине того что катеты a и b могут быть взаимно обратными, ну то есть 3 и 5 или 5 и 3
Не решал строго, но на первый взгляд кажется, что тр-к какой-то "не такой". Гипотенуза коротковата. Чисто интуитивно при r=2 хочется чтобы гипотенуза была 10:-))) так что надо посмотреть, существует ли вообще такой треугольник
Общая формула: S = r² + cr. Легко доказывается, если разложить треугольник на квадрат со стороной r и четыре попарно равных треугольника, из каждой пары собирается треугольник основанием с и высотой r. В нашем случае S = 2² + 8•2 = 20.... Вроде бы. Единственный подвох может быть в том, что такого треугольника может не существовать. И действительно: квадрат разности катетов равен (a - b)² = a² - 2ab + b² = c² - 4S = 8² - 4•20 = -16. Но квадрат не может быть отрицательным! Скорее всего, все благополучно попались в эту ловушку. Поэтому ответ на задачу такой: нет решений. Доказать, что нет решений - тоже значит решить задачу.
Просмотр видео автора дал накопительных эффект и я увидел треугольники)
Проведём линии АО и ВО. А так же опустим радиус на стороны АС и СВ.
Получим две пары равных треугольников и квадрат со стороной радиус. Треугольник АОВ содержит по 1 треугольнику из каждой пары равных треугольников. Его площадь 8*2/2 = 8
Тогда площадь АВС будет 8*2+4 (площадь квадрата) = 20
Ну то, что площадь треугольника максимальной будет, когда катеты равны очевидно просто по рисунку (треугольник внутри описанной окружности). Именно в этом случае высота трегольника будет максимальной и равной половине гипотенузы. А максимальная площадь получается с²/4.
Тоже угодил в ловушку. 🥴 Очень поучительно.
Я не помню давали ли в школе неравенство Эйлера "радиус описанной окружности больше или равен диаметру вписанной", и равны они только в равностороннем треугольнике.
Для прямоугольного же с гипотенузой 8, радиус вписанной окружности строго меньше двух.
ДЗ - зная радиусы, можно найти полупериметр p = 2R+r, ну и площадь S=2rR + r^2
ДЗ2
(r+3)^2 + (r+4)^2 = 7^2
r^2 + 7r - 12 = 0
r = (√97 - 7)/2 (какое-то страшное число :)
Катеты (√97 - 1)/2 и (√97 + 1)/2
Площадь (97-1)/8 = 12
Соедини вершины АиВ с центром окружности. Площадь тр. АВС равна сумме двух верхних, двух нижних тр, - ов (8 *2 =16) и квадрата со стороной, равной радиусу. Итого в сумме получаем 20. Ответ 20.
По свойствам касательных периметр 8+8+2+2=20 площадь 20
ЗЫ на начальном рисунке 8, далее по тексту 18 :(
Но решение то же и ответ 40
Задача элементарно решается "с конца" - описанный треугольник и есть радиус - нужен периметр, который элементарно считается по касательным и квадратику слева внизу.
Два прямоугольных треугольника и простейшее уравнение-вы куда-то поехали не туда-будьте проще.
Бедный класс...и чего он плакал? Легко решается, если образовать квадрат из радиуса, применить теорему о касательных и теорему Пифагора. Буквально в 5 строчек. Первый вариант задачи сразу дает отрицательный дискриминант, значит ситуация нерешабельна, и такого треугольника не существует. Второй вариант очень даже легко решаемый.
Задачка примитивная, решается в уме за пару минут максимум.
Вывел в начале периметр 10, при том шо гипотенуза 8. И начал доказывать писаниной, почему такого не может быть.😂
Только сейчас увидел ДЗ. Вспомним, что c = 2R, отсюда сразу S = r² + 2Rr.
В нашем случае S = 4² + 2•10•4 = 96.
Проверяем, не хотят ли нас обмануть:
(a - b)² = c² - 4S = 4(R² - S) = 4•(10² - 96) > 0. Всё в порядке: такой треугольник есть.
Пусть один из катетов равен x;
Другой катет равен sqrt(c^2 - x^2);
r = 0.5[x + sqrt(c^2 - x^2) - c];
dr/dx = 0.5[1 - x/sqrt(c^2 - x^2)] = 0;
x/sqrt(c^2 - x^2) = 1;
x = sqrt(c^2 - x^2);
x^2 = c^2 - x^2; [далее можно показать, что dr/dx в этой точке меняет знак с плюса на минус]
x = 0.5c*sqrt(2). Т. е. максимальный r достигается на прямоугольном равнобедренном треугольнике.
насколько я помню в треуге 3 4 5 r=1... а в треуге 8 6 10 r=2... походу этот шарик не поместится в треуг с гипотенузой 8)... ну можно подумать
Наш треугольник не обязательно египетский.
Можно попробовать решить систему уравнений:
а*b/2 = 20 и
a^2+b^2 = 64
Но на первый взгляд получим уравнение 4 степени.
Можно по другому попробовать:
Гипаонетунза разбивается на x + y, тогда катеты х+2 и y +2 ну и вроде система попроще:
(х+2)^2 + (у+2)^2 = 64
х + у = 8
Тут квадратное уравнение будет. Ну и очень похоже что будет два решения просто по причине того что катеты a и b могут быть взаимно обратными, ну то есть 3 и 5 или 5 и 3
ну по идее a^2+b^2=16... 2=(a+b-8)/2... не очень сложная алгебра
Не решал строго, но на первый взгляд кажется, что тр-к какой-то "не такой". Гипотенуза коротковата. Чисто интуитивно при r=2 хочется чтобы гипотенуза была 10:-))) так что надо посмотреть, существует ли вообще такой треугольник
Пусть x и y - катеты;
Гипотенуза равна: z = 2R = 20;
x + y = 2z + r = 28;
x^2 + y^2 = 400;
x^2 + x^2 - 56x + 784 = 400;
2x^2 - 56x + 384 = 0;
x^2 - 28x + 192 = 0;
(x - 14)^2 = 4;
Катеты равны 12 и 16. Треугольник "египетский". S(ABC) = 0.5*12*16 = 96. (!!)
а+b=12... -2ab=16-144...ab=64... a^2-12a+64=0... действительных корней нет вроде
накосячил с 16) 64 надо было...но это не сильно меняет дело... дискр отрицат
20
Общая формула: S = r² + cr. Легко доказывается, если разложить треугольник на квадрат со стороной r и четыре попарно равных треугольника, из каждой пары собирается треугольник основанием с и высотой r.
В нашем случае S = 2² + 8•2 = 20.... Вроде бы.
Единственный подвох может быть в том, что такого треугольника может не существовать. И действительно: квадрат разности катетов равен (a - b)² = a² - 2ab + b² = c² - 4S = 8² - 4•20 = -16. Но квадрат не может быть отрицательным!
Скорее всего, все благополучно попались в эту ловушку.
Поэтому ответ на задачу такой: нет решений. Доказать, что нет решений - тоже значит решить задачу.
ДЗ: 12.
И это не первый случай, когда от геометрии Валерия Казакова весь класс плачет (:
Да, было такое!