МОЩНАЯ тригонометрия
Вставка
- Опубліковано 14 сер 2019
- Интересное тригонометрическое уравнение.
Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Поддержать Проект: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Новая Группа ВКонтакте: volkovvalery
Почта: uroki64@mail.ru
Задание из книги Ткачука В.В. "Математика - абитуриенту".
вот так и в жизни - кто-то нарисует задачу, а ты бьешься-бьешься, а ответа нет
Почему нет ответа? Есть ответ: нет решений (пустое множество). 🤔
Красивое, подробное решение. Спасибо.
Уважаемый Валерий Волков,огромная Вам благодарность,что Вы несёте практически бескорыстно свет знания...То,что Вы показываете,практически нельзя найти в Сканави...Ещё раз огромная Вам благодарность...
Что больше sin(sin 2021) или cos(cos 2021) ?
Косинус больше (+0.84 против -0.73).
Не по мне такое решение (слаб матаппарат). А решить то хочется! Построил по характерным точкам графики двух функций (левой и правой части) и не обнаружил точек пересечения. Корней нет. А если б были - был бы тупик.
Ну строго говоря, в комплексных числах решение есть. Можно ещё разобрать уравнение sin(cos(x))=cos(sin(x)), тоже не имеющее вещественных корней.
Как раз это было очень нужно мне 👍👍👍
А поразбирайте интересные уравнения в целых числах
@@xz8928, откуда такие примеры, интересно?)
Как всегда супер, трудно решить
а можно еще перейти к произведению и показать, что в обоих случаях аргумент обратной функции по модулю будет больше единицы
Решал по-другому.
Функции в левой и правой частях уравнения периодические по x с периодом 2 pi. Поэтому достаточно рассмотреть только полуинтервал [-pi, pi) и растиражировать найденное.
На отрезке [-pi, 0] корней нет, так как левая часть уравнения отрицательна или равна нулю, а правая строго положительна. Поэтому рассматриваем только (0, pi), что влечет sin(x) > 0.
При sin(x) = s > 0 выполняется (увы, вышка) неравенство: sin(s) < s, а вообще везде - неравенство cos(c) >= 1 - 0.5 c^2.
Оценим разницу правой и левой частей уравнения. cos(cos(x)) - sin(sin(x)) > 1 - 0.5 cos^2(x) - sin(x), причем важно, что неравенство строгое.
Выражаем все через sin(x). 1 - 0.5 cos^2(x) - sin(x) = 1 - 0.5 (1 - sin^2(x)) - sin(x) = 0.5 (1 - 2 sin(x) + sin^2(x)), что представляет собой полный квадрат и поэтому неотрицательно. Итого, на интервале (0, pi) имеем cos(cos(x)) - sin(sin(x)) > 1 - 0.5 cos^2(x) - sin(x) = 0.5 (1 - 2 sin(x) + sin^2(x)) >= 0, корней нет.
Шо за вышка?
@@user-xk9cu4md9k водонапорная ! :)
Как-то замороченно... А не проще доказать, что sin(a)=cos(b) только тогда, когда a=π/4+t и |b|=π/4-t в нашем диапазоне [-1,1]? Тогда, 1=sin²x+cos²x=a²+b²=π/8+2t². Отсюда t=±√[1/2-π/16], где π/161/2. А sin(x)=a=π/4+t > 5/4 > 1, что невозможно. Значит решений нет.
Если не заметить, что арксинус от величины больше 1, красивый ответ получается.
В начале, чтобы не анализировать, можно было разность синусов представить в виде произведения.
Можно так:
sin(a) = cos(b)
1) -1
А почему тогда и только тогда? Ведь а не обязан быть равным б. Может быть а равным 0, б равным пи-пополам...или 3/8пи и 1/8пи
Но, если переписать ваш подход, так, что для выполнения равенства должно быть б=π/4-t, а=π/4+t, тогда а+б=π/2 и может быть тоже выйдет решить через систему.
Upd. Да, можно. Получаем t = 1/π. Тогда а=π/4+1/π. Первое слагаемое больше 3/4, второе больше 1/4, сумма больше 1, что невозможно.
@@user-ou3jn8lt3d Да, точно. Спасибо, что поправили
@@madmax6943 я тоже ошибся, когда рассчитывал t. На самом деле t=±√[1/2-π/16]. Но сути это не меняет.
МОЩНОЕ название
Даже не пытался решать - ответ очевиден. Можно, в уме, графически представить. Но видео просмотрел. А, вдруг, я ошибся? Но нет, не ошибся. Sin и Cos могут быть равны, в четырёх точках и до бесконечности. Но их квадраты - это другие функции, которые не пересекаются.
ну единственное можно добавить, что при переходе от синусов к самим аргументам, было необходимо проверить их [аргументов] равенство при прибавлении периода функции к одному из них. Очевидно там нет ответов, т.к. 2pi больше 6, но все ж думаю сказать об этом стоило. Просто это классическая ошибка при таких переходах.
Можно было воспользоваться тем,что sin a = sin b если а-b=пn.тогда sin x+cosx=пn+п/2 что невозможно ни при каком n так как sinx+cosx принимает значения от -корня из 2 до корня из2
Точно, Татьяна. Автор канала всегда почему то выбирает самое сложное и нудное решение, видимо сказывается недостаток аналитических способностей. Ваше же решение простое и понятное.
это просто общий способ,работающий в любой ситуацции-последовательное рассмотрение всех вариантов решения. Вдобавок он более строгий и ,для большинства, понятный
Но это же неверно. sin(pi/3) = sin(2pi/3)
Автор выбирает способ который работает ДЛЯ ВСЕХ примеров, а ваш способ работает только для этого примера.
Поторопилась. a +b=п+ 2пn
Cos(cos(x))> sin(sin(x)) для любого х Доказывается точно также....Только надо подставить х=0...
построил графики - нету пересечений.... получаются улыбающиеся губы и только !
По интегралом можно видео. (Желательно с нуля, за ране спасибо )
А тибе зо чем ???777????
А такое : sin(sin(...sin(x))=cos(cos(...cos(x)) ?
По принципу сжимающих отображений предел выражения слева и справа равны решению уравнения sinx=x и cosx=х. Получается sinx=cosx, x=pi/4. Но sin(pi/4)≠pi/4. Ответ тоже пустое получится. Это не строго, но решение можно доделать, например, если ты имел ввиду конечные выражения - оценить погрешность и сказать пару слов о знаке. Дерзай, если хочешь.
Как мы нашли отрезок от -пи/2 до пи/2 ?
Это в радианах все, переведи в градусы и поймешь.
Двойной облом 😂😂😂
Если построить графики функций sin(sin(x)) и cos(cos(x)), то они действительно не имеют точек пересечения %)) Задача решена!
Я думал щас такой умный до конца пролистну и все сам пойму, в итоге пересматреть пришлось（
Опять пустое множество((
В подобных задачах решение либо пустое множество, либо совсем очевидные.
Если графически нельзя отобразить, значит и нет решения.
А разве задача не решается , что если f(f(x))=g(g(x)) , то f(x) = g(x)?
cosx=sinx
x=+-π/4
Coscosx=Cos1/√2
Sinsinx=Sin1/√2
cos и sin равны только при π/4+2πk,
1/√2=! π/4+2πk
Косинус пи/4= синус пи/4
Кос кос пи/4 не равен син син пи/4
Да, всё правильно, пустое множество. Только я, после того, как воспользовался формулой приведения, перенёс синус и использовал разность синусов
sinx+cosx
45
Моё предположение: пустое множество
х=45гр
Для любого x cos(cos x)> sin(sin x)...
sin(sin x) = cos(cos x)
ещё вариант
sin(sin x) = sin(π/2 - cos x)
sin x = π/2 - cos x
sin x + cos x = π/2
т.к. cos x = sin(π/2 - x), то
sin x + sin(π/2 - x) = π/2
т.к. sin x + sin y = 2 ∙ sin((x+y)/2) ∙ cos((x−y)/2), то
sin x + sin(π/2 - x) = 2 ∙ sin( (x+π/2-x)/2 ) ∙ cos( (x - π/2 + x)/2 )
2 ∙ sin(π/4) ∙ cos(2x - π/2) = π/2
cos(2x - π/2) = ( π/2 ) / ( 2 sin(π/4) )
cos(2x - π/2) = π/(2√2)
arccos( π/(2√2) ) = 2x - π/2
arccos принимает значения от -1 до 1, но π/(2√2)≈1,11 > 1, значит корней нет
Не думаешь что на видео по проще и быстрее?
Ну слёту ответ - 45 градусов.
даже знаю как ты решил! sin(sinx) = cos(cosx) => tg(tgx) = 1 .> tgx ^2 = 1 => tgx = +-1 => x = pi/4+pi*k/2. Угадал?
А хер тебе......
То же так сначало подумал)
Понятно, что sin(x)=cos(y) означает x=y=pi/4 плюс период, но т.к. в аргументе те же функции, а мы знаем, что они одновременно не равны pi/4, то и решений нет, очевидно, единственная сложность таких заданий в том, что неискушенный ученик может кинуться преобразовывать сие чудесное уравнение
а как доказать что они равны только в "=y=pi/4 плюс период,"
@@alekseqkireev1056 я так же решал. Arccos(π/4)=arcsin(π/4). Что неверно. А доказать что sin(x) и cos(x) на промежутке π пересекаются 1 раз можно через графики функций и производные
sin(x)=cos(y) не означает, что х=у. И не означает, что что-то из них равно пи/4
@@user-ou3jn8lt3d они равны только в точке pi/4 + период
@@user-ou3jn8lt3d и там sinx=cosx
Гораздо проще решается.
Возводятся обе части в квадрат, cos^2(cosx) заменяем на 1 - sin^2(cos x)
Переносим.
Получаем 1 = sin^2(sin x) - sin^2(cos x)
sin^2(sin x) - sin^2(cos x) не превышает по модулю единицы => такое возможно только когда:
{sin^2(sin x) = 1;
sin^2(cos x) = 0
}
Чего быть не может, поскольку -1 < cos x < 1
Перенесли неправильно
Я не математик, но в тригонометрии син и кос это отношения зависящие от угла, который имеет значения выражающиеся в градусах или рад. чаще всего. У меня возникает вопрос что такое синус косинуса угла? Есть синус угла, я это понимаю, но что такое синус отношения(т.е. просто числа). Зачем такие задачи. Кто их будет решать в реальной жизни. Иногда складывается впечатления, что составители или идиоты или прикалываются. Задача из разряда найди обьем 3км/ч, если прямоугольник в круге радиусом 5 градусов цельсия....
углы выражаются не только в градусах, но и, например, в радианах. говоря, скажем, про sin(5), подразумеваем sin(5 радиан) ( 1рад примерно равен 57.3 градусам).
sin(x) - это некоторое число. sin(sin(x)) - синус числа (т.е. синус некоторого количества радиан)
@@user-xz9sc1tl5l еще раз. Синус градусов или радиан существует. Изначально придуман для вычисления сторон по углу в прямоугольнике. Потом как координата в декартовой системе по известному углу. Но ни син, ни кос простого числа не существует. Тригонометрическая функция берется всегда от угла и результат всегда простое число. Взять синус предположит от 0.5 это все равно что взять корень из самолета. Если есть желание и дальше поспорить приведите пример из жизни где потребуется взять син(син30)).. Ну нельзя измерть скорость у давления.
@@pingofdead , ты же сам написал, что согласен с тем, что синус радиан существует. sin(sin(x)) - это и есть sin от какого-то количества радиан. здесь аргументом для функции синус выступает sin(x), что в этом плохого? да хоть e^(-arctg(ln(x)), какая разница?
1 радиан - это безразмерная величина, поэтому говоря про sin(0.5), имеем полное право говорить о sin(5 радиан).
к чему этот пример вообще... какой смысл в нем...