09. Топология
Вставка
- Опубліковано 1 чер 2021
- Российская платформа математических вычислений и динамического моделирования Engee:
сайт: clck.ru/37kCz5
Телеграм канал: clck.ru/37kCww
###############
Гипотеза Пуанкаре, доказательство Перельмана. Объяснение теоремы на примере двумерных негомеоморфных существ. Эйлерова характеристика.
Мы в соцсетях:
VK ‣ mathworks
Telegram ‣ t.me/exponenta_ru
#Алексей_Савватеев #Леонард_Эйлер #математика #высшая математика #наука - Наука та технологія
![Лента Мёбиуса - кому вообще нужна топология? [3Blue1Brown]](/img/n.gif)
Прекрасно видеть такого увлеченного, воодушевленного преподавателя. Так интересно и доходчиво рассказывает и обходится без формул! Люблю умных.
А воюют и ненавидят других людей тупицы, неспособные иначе реализоваться.
0:12 - двумерный клещ, живущий на поверхности сферы
1:05 - двумерный клещ, живущий на поверхности тора
2:38 - могут ли они понять, живут они на одинаковых или на разных поверхностях?
3:02 - это был двумерный полноценный аналог гипотезы Пуанкаре, доказанной Перельманом
4:00 - клещи живут на разных поверхностях. Как это доказать? Эйлер знает.
5:25 - рекомендация книги Прасолова "Наглядная топология"
5:58 - нанесём триангуляционную сетку на сфере, это суть граф
7:05 - посчитаем количество Вершин, Рёбер и Граней этой сетки и сообщим жителю тора
8:08 - вычислим "Эйлерову характеристику" как В-Р+Г и на сфере оно равно 2
9:17 - а на торе В-Р+Г равно 0
9:51 - почему это важно? потому что Эйлерова характерстика есть инвариант поверхности
10:17 - перейдём к доказательству на примере сферы
11:32 - сперва объясним, почему этот факт заслуживает доказательства
12:18 - вернемся к доказательству для сферы, что Эйлерова характеристика равна 2
12:47 - уничтожение 1 вершины изменяет В на -1, Р на некое -k, а Г на -k+1
14:10 - но тогда В-Р+Г изменилось на -1-(-k)+(-k+1)=0, то есть сохранилось
14:49 - выкосим столько вершин, сколько сможем, максимально упрощая сетку
15:20 - в итоге получим сетку из ДВУХ граней, отделённых друг от друга одной замкнутой границей
16:01 - теперь В-Р+Г равно n-n+2 = 2, значит и исходная характеристика была равна 2
16:55 - для тора не будем повторять это рассуждение, а покажем живой пример с другим В-Р+Г
17:59 - "перевяжем" тор двумя нитками, состоящими из 2 вершин и 2 ребёр каждая
18:48 - добавим два ребра по внешним и два ребра по внутренним полуокружностям тора
19:43 - тут В=4, Р=8, Г=4, значит В-Р+Г = 0 , ЧТД.
20:24 - дополнение №1 о приведении любой поверхности в поверхности с несколькими отверстиями
21:10 - бутылка Клейна - неориентируемая поверхность, как и лист Мёбиуса
23:38 - для любой ориентируемой поверхности В-Р+Г=2-2g, где g - число отверстий
С помощью ИИ я попытался сделать единый рассказ из этого конспекта:
" Давным-давно на разных поверхностях жили два двумерных клеща. Один клещ жил на поверхности сферы, а другой - на поверхности тора. Они были любопытными существами и хотели узнать, живут ли они на одинаковых или разных поверхностях.
Однажды они услышали о двумерном полноценном аналоге гипотезы Пуанкаре, которую доказал Перельман. Эта гипотеза утверждала, что любое просто связное замкнутое трехмерное многообразие топологически эквивалентно трехмерной сфере. Клещам стало интересно, может ли это помочь им выяснить, живут ли они на одной и той же или разных поверхностях.
Они решили обратиться за помощью к Эйлеру. Эйлер был известным математиком, который внес много важных вкладов в топологию. Он порекомендовал им прочитать книгу Прасолова "Визуальная топология", чтобы узнать больше об этом предмете.
Клещи последовали совету Эйлера и узнали о триангуляционных сетках и о том, как вычислить характеристику Эйлера поверхности. Они нарисовали триангуляционную сетку на своих поверхностях и подсчитали количество вершин, ребер и граней сетки. Затем они вычислили характеристику Эйлера как В-Р+Г.
На сфере они обнаружили, что характеристика Эйлера равна 2. На торе, однако, они обнаружили, что характеристика Эйлера равна 0. Это было важное открытие, поскольку оно означало, что характеристика Эйлера является инвариантом поверхности. Другими словами, она не меняется, даже если поверхность деформируется каким-либо образом.
Клещи смогли доказать этот факт, осторожно разрушая по одной вершине за раз и наблюдая, как это влияет на количество вершин, ребер и граней решетки. Они обнаружили, что независимо от того, сколько вершин они уничтожали, характеристика Эйлера оставалась неизменной.
В конце концов, они смогли максимально упростить свои сетки и получить сетку только с двумя гранями, разделенными замкнутой границей. Это означало, что их первоначальный расчет характеристики Эйлера был правильным.
Для тора они не стали повторять эти рассуждения, а вместо этого показали живой пример с другим расчетом В-Р+Г. Они "связали" тор двумя нитями, состоящими из 2 вершин и 2 ребер каждая, и добавили два ребра вдоль внешней и внутренней полуокружностей тора. В этом случае они обнаружили, что В=4, Р=8, Г=4, поэтому В-Р+Г = 0.
Клещи были очень довольны своим открытием и поняли, что они действительно живут на разных поверхностях. Они также узнали о других интересных поверхностях, таких как бутылка Клейна и лист Мёбиуса, которые являются неориентируемыми поверхностями. Для любой ориентируемой поверхности они узнали, что В-Р+Г=2-2g, где g - количество отверстий в поверхности.
Итак, благодаря своей любознательности и целеустремленности, два клеща смогли узнать много интересного о топологии и открыть для себя новые способы понимания окружающего мира. "
При таком уровне абстракции и делая выводы клещ умнее меня. Моя интуиция говорит, что это не так.
дохуя интуционист
Спасибо за запись
Если бы у меня в детстве были все преподы с такой подачей, я бы был как минимум гением)
Наоборот, ты был бы идиотом с такими преподами, которые просто тупо подменяют понятия.
крутые лекции. дают хоть немного эту топологию понять
Объясни мне, пожалуйста, 14:01 ("соответственно минус четыре, а не минус пять)
@@alexandera.7616смотрите, мы удалили 5 рёбер. Вместе с ними мы, казалось бы, удалили 5 граней. Но это не так, поскольку на месте 5 удалённых граней образовалась одна новая большая грань. Поэтому-то граней не -5, а -4 (т.к. -5 граней +1 новая = -4)
Маткульт привет!
Клещ, живущий на неориентируемой 2-мерной поверхности может быть умнее любого человека, который живёт в ориентируемом 3-многообразии.
Возможно наш трёхмерный ориентируемый мир на самом деле поверхность четырехмерного объекта.
ну учитывая что у любой точки многообразия есть окрестность гомеоморфная некоторой области евклидового пространства соответсвующей размерности, то я бы поспорил , что наше многообразие в котором мы живем ориентируемо. к тому же в физике уже давно ясно , что наше пространство- время - четырехмерное псевдориманово многообразие
Теперь: зная общую топологию и фрактал задающий квант нашего пространства(Ед),
легко видеть топологию эквипотенциальных осей основных нуклонов
детерминированных в сплошном пространстве/носителе/физвакууме/эффире -
левого и правого(зеркального) солитона/электрон-позитронной пары основных
нуклонофф/, и принципы их взаимодействия(С)......
15:00 упростить до треугольника или многоугольника с бесконечным количеством вершин -1 вершина (многоугольник - почти окружность))) "экватор сферы"?
Leonhard Euler was a Swiss mathematician, physicist, astronomer, geographer, logician, and engineer.
gfy
Топология начинается с точки.Есть под таким названием Советский документальный фильм.В интернате он есть можно посмотреть.
Спасибо за видео, Но накормите его пожалуйста
Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария - 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) - швейцарский, прусский и российский[7] математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук)[8]
Закусывать надо!)
Посмотрел первые 11 минут и возник ехидный вопрос... пример со сферой и тором хороший, а что если 1-й клещ не на сфере, а на поверхности бутылки Клейна живет? =) В этом случае Эйлерова характеристика их не спасет) ...или существует преобразование из тора в бутылку Клейна?
Эйлерова характеристика доля таких клещей будет одинакова, но то что они разные, можно будет узнать только если второй клещ увидит ползающего на внутренней поверхности тора клеща-антипода которому так и не сможет лапу пожать.
В магическом мире современной науки возможно всё 🤷♂️
спасет. группы гомологий различны же все таки. преобразование тора ( ориентируемого многообразия) в бутылку клейна( неориентируемого многообразия) ? не смешите меня
*После грибов самое то , иначе у вас каждую минуту будет слишком много вопросов в голове)))*
Оталкиваться нужно от одиннадцати..., это первое основное,правда неточное число...
Ну, то есть, тессеракт, при таком взгляде и подходе - тор.)))
а где продолжение?
На предмет пятнашек не совсем верно. Правила игры не запрещают кое-что, что этот инвариант нарушает. Это не было учтено математиками.
мир и война (коммунизм и капитализм; две стороны конфликта) ----- это лента Мёбиуса или бутылка Клейна?
Хорошо быть математиком, ну есть гравитация и никаких проблем.😄
Как рассчитали скорость света?
Хороший вопрос, но он для физиков. У Veritasium было видео об этом
Скорость наблюдения наблюдателя ниже скорости света, а дальше нужно подумать)))*
Чем-то похожим занимаются 3d-моделисты.
Наше пространство - поверхность 4х мерной антисферы,, те паралельный световой пучок всегда расходится, а удаляющиеся предметы уменьшаются....
Забавно как законы оптики и перспектив интерпретированы в геометрию)
Если такой взгляд принять за основу, получится интересная картина мира
@@user-gz2mn1xb9b Наше пространство конечно!! Тк безконечность пространства противоречит закону вложенности - если носитель безконечен, то предноситель должен быть безконечностью в квадрате - а это абсурд!!...
ну в данном случае у нас первая бесконечность - континуум. вторая бесконечность континууум в квадрате. но эти величины равны, так как существует изоморфизм между группами действительных чисел@@allexqzn2060
Помогите пожалуйста, я ничего не понимаю... Как в зависимости от топологии находить замыкание, внутренность и границу множества? Вот в R со стандартной топологией все понятно.
Если А=(1,2)
Cl(A) = [1,2]
Int(A)= (1,2)
Fr(A) ={1,2}
Так ведь?
А если мы в топологии стрелки? Или топологии Ω = {U | [−1, 1] ⊂ U} ∪ {∅}? Как вообще воспринимать топологию? Я сто раз читала определение, но не понимаю... Топология - это набор открытых множеств с некоторыми условиями, как я понимаю. Но как от нее может что-то зависеть? Как топология вообще задает пространство? И как влияет на внутренность и замыкание?
она задает понятия непрерывности сходимости связности. это очень важные понятия пространства
Тетраэдр?
И клещ не двумерен, только в нашем воображении.
он двумерен в данном случае. может быть одномерен нульмерен и тд
Ошибочка, если n граней это 1 вершина, то -n граней = n вершинам!
В части доказательства, касающейся тора, что-то упущено. Кто мешает клещу на торе нарисовать вокруг себя маленький треугольник, объявить его "заплаткой" №1, а всё остальное "заплаткой" №2? Тогда В-Р+Г будет равно 2. Ведь на сфере тот самый "экватор" мы можем стянуть до маленького треугольника вокруг себя, причём в обе стороны. А на торе в обе стороны стянуть не получится, но это интуитивно, а нужно ведь доказать?
Мне кажется, что "правильные" заплатки - это такие заплатки, которые не имеют внутри себя пустот, которые можно изготовить из тянущегося, но не склеивающегося материала. Тор с вырезанным треугольником, по-моему, не получится растянуть в плоский лоскут без дыр.
@@KolyNCo , верно, но как проверить, что каждая заплатка без дыр? Порезать её на подзаплатки и посчитать В-Р+Г? Но сами подзаплатки тоже нужно все проверять. Переходя к нашей вселенной - где гарантия, что где-то на микроуровне не существуют какие-нибудь "кротовые норы"? Где-нибудь в недоступных местах, скажем, во вращающихся чёрных дырах, где сингулярность - кольцо. И всё, благодаря этому, наша вселенная уже не сферична.
@@MikleQuits , понял вашу мысль) Остается только клещу на торе взять нитку и проверять, стягивается ли она при прохождении по контуру заплатки. Наверное это также нереально, как в нашем мире взять огромную "простыню" без отверстий и "прочёсывать" ею всё пространство)
@@KolyNCo , да, можно даже оставить только одну заплатку, и проверять стягиваемость от неё в обе стороны - внутрь и наружу. Но трудно представить это на практике.
Видимо тут нехватает определений: что такое ребро, что такое грань... - они заменены "интуитивностью" или "очевидностью" этих понятий. Оставшийся тор не должен отвечать определению грани.
Видимо подразумевается, что "грань" гомеоморфна части плоскости и если после вырезания треугольника этого еще не видно по остатку - надо вырезать, или рисовать на дальше.
Ух, какой же у меня когнитивный диссонанс между абстракцией и реальностью. Все-таки, математики - безумные люди, мне гораздо ближе применение этих формул в реальности, т.е. в физике. А когда Саватеев ныряет в свой матан, я отключаюсь от матрицы. Для моего мозга математика не имеет смысла без физического выражения и я дико прусь от истиных математиков, которые на квадратном корне эту реальность вертели, у них свой абстрактный мир. И я с трепетом, как на фокусников смотрю на людей с абстрактным мышлением. Это очень круто и ни черта не понятно.
бутылка Клейна = "труба" Мёбиуса (или не корректно?)
нет. фундаментальные прямоугольники различаются ( это тоже инвариант)
@@adfsf2970 «Труба Мёбиуса» это не более чем слова. Назвать бутылку Клейна можно как угодно. Как можно подтвердить или опровергнуть предложенное наименование? Ведь из наименования никак не получается описание этого многообразия.
@@Micro-Moo для большинства многообразий определено название. трубой мебиуса нельзя назвать просто потому что название будет нести неккоректный характер
@@adfsf2970 «трубой мебиуса нельзя назвать просто потому что название будет нести некорректный характер» Я же вовсе не поддерживаю название «труба Мёбиуса», оно звучит просто достаточно глупо, да и надобности нет. Да название вообще редко имеет «корректный» характер. Этого трудно требовать от названия хотя бы потому, что оно короткое. Обычно приводят такой пример: «бином Ньютона» придуман не Ньютоном и биномом не является. И т. п.
@@Micro-Moo ладно мне не к чему докапатся
мы не трёхмерные люди мы кляксы на промокашке
Не возможность никак, интересно(,( nc-x)+（ v( ba- 3.112) p(s-d)) +11
Привет от Катющика
Смажьте клеща маслом и он отвяжется.
Ого, стол 1 в 1 как у меня стоит, тот что на железных квадратных ножках
Пространства, видимой Вселенной, может состоять из периодов, одной квант струны, хаоса и фрактал (типа годовой цикл). Во все периоды времени, сумма энергии Вселенной, равна нулю. Один развёрнутый квант бутон, в период хаоса и фрактал, в 1 секунду, может 15 миллиард раз, присоединиться и отсоединиться при этом не имея, избранных контактов. При этом, минимально может, иметь пару контактов (по информации и энергии), максимум 150 контактов ( основном с квантовыми поправками). Как это работает, объяснить просто
То, что надо безработному в 29 лет)
Как двумерный клещь может вообще понять что такое сфера, что такое тор. Эти фигуры находятся в трехмерном пространстве, а для клеща есть только два пространства. Что сфера что тор для них просто сплошная непрерывная поверхность. Да, клещь может пойти в одну сторону и прийти с противоположной в тоже место, но он не поймет что произошло. Это только мы трехмерные существа это понимаем и видим, для клеща нет третьего пространства. Или я чего то не понимаю?
да но сфера и тор - 2 мерные многообразия. Эйлерова характеристика( про которые говорит Савватеев) это сумма чисел Бетси, являющихся рангом групп гомологий . Вы не способны понять , что такое четырехмерная сфера или гипертор, однако это не отменяет того факта что это 2 разных многообразия. тут по инвариантам судить надо. не думаю что клещ сможеть взять нитку и ее как бы сжимать в точку. поэтому тут предпочтительней использовать эйлерову характеристику
Он может понять что такое 3 мерное пространство также как и мы можем понять что такое 4 мерное пространство
Да, мы не можем представить объекты из него, однако мы научились их описывать и оперировать ими
3:45 Алексей Владимирович, побойтесь Бога. Какие ещё жители пятимерного пространства?
он и так верит в бога. это абсракции
Лучше было сказать "доказательство методом редукции до инварианта", чем "методом аннексии".
Нет, это бессмысленное выражение, потому что на каждом шаге редукции выполняется инвариант, даже на нулевом (когда ни один шаг не сделан). Ничего не редуцируется «до инварианта», инвариант есть в самом начали.
Объясните пожалуйста для чего нужна топология? Я нигде не могу найти практическую пользу этой области науки
В компьютерной графике, алгоритмы, всевозможные преобразования моделей, я после лекций пришел сюда собственно
Короткий ответ: везде. Но математика это не агрономия и не металлургия. Она полезна именно тем, что практическую пользу никто не ищет. Можно долго объяснять, почему именно такая польза в конечном итоге наиболее полезна, но это именно долго, нужно приводить примеры и т. д.
Автомобильная шина.....Не очень удачный образ. Лучше уж-большой бублик. По шине ползать как то стрёмно.
16:17 Биполярный мир - это конус.
это любит и не любит одновременно
14:01 - было пять фигур, стала одна ... "шутки про аннексию"...ну, соответственно, (что, простите?) минус четыре, а не минус пять.
Вы можете нормально пояснить? Этот прикол с "соответственно" заставил меня разлюбить точные науки ещё в школе. Безобьяснительно говорить слово "соответственно", а на вопрос хитро щуриться и боромотать под нос сарказмы, это подстава, только подстава и никакой науки.
P.S. "Было n, стало один...
соответственно - это как бы переход от одного утверждения в другое. тривиально логичный переход
Как студентка престижной швейцарской Политехнической школы, которая брала участие в уроках математики названных в честь Эйлера, я вас уверяю что Леонард Эйлер не русский, а швейцарский математик !
да но большинство его открытий было в России ( точнее статей)
Смотри Вики. Он пол жизни провел в России и умер в С-П
Так вы математик или нет? Должны же понимать, что понятие «русский» или «швейцарских» требует точного определения. А вы такого определения дать не можете. В случае Эйлера уж точно. Если вы захотите принять, что тот, кто всего-навсего просто родился в Швейцарии, и есть швейцарец, к вам появится вопрос: а на каком основании?
Планет нет вообще.
нормальный?
Хто може допомогти з топологією?
Математика очень вредная для здоровья дисциплина. Она бывает причиной нервных и психических расстройств и большого дискомфорта. Поэтому после девятого класса математика должна
быть видом спорта для вундеркиндов, либо изучать её в некоторых лабораториях в процессе работы, начиная с лаборaнта.. Я хочу чтобы подростало здоровое молодое поколение, не замученое математикой. А будущих Лобачевских пусть готовят математические клубы, как будущих Алёхиных, Ботвинников, Карповых, Каспаровых - шахматные клубы. Зачем разигрывить глупые спектакли, когда одни делают вид, что преподают математику, сопромат, теоретическую электротехнику, а другие делают вид, что изучают эти предметы. Это даже выглядит неприлично. Сопромат, теоретическая электротехника нужны очень ограниченному кругу инженеров.
Такой бред что уши в трубочку заворачиваются. С первых секунд ролика.
"Двумерных клещей" невозможно в принципе. Рассуждать на эту тему и из этого делать выводы некорректно. Это как если бы мы представили, что мы это синие единороги, и из этого допущения делать дальнейшие выводы.
И еще про тор очень бредово. Поясню. Даже если предположить двумерный разумный обьект на торе и на шаре, он сможет понять что он именно на торе. Когда он доберется до внутренней части тора (дырки) и проползет по ее экватору, он поймет что там гораздо меньшее расстоянее чем на внешней стороне бублика. А на шаре это расстояние будет неизменно в любом месте.
Что за бред, как ты поймешь, что ты находишься на внутренней стороне тора?))
Ну так он по сути дела тоже самое на торе и нарисовал
тор может бы и такой , что "дырки " в трех мерном пространстве еле видно. бред лишь вы говорите
... взял эту планету и совершил изнасил в грубой форме.... разрезал...
мягко говоря звучит не камильфо
мизинцев говорит ua-cam.com/video/tEP13NNwyus/v-deo.html
Клещи умнее чем твои одноклассники
Эйлер- швейцарец
ПДЦ, как сложно слушать его "искрометный" юмор! Сам от себя получает удовольствие и разбавляет повествование мусором. Не досмьтррл.