super vidéo ! Avec un peu d'intuition je pense qu'on pouvait aussi résoudre l'exercice de la sorte : Soit A, B dans Mn(K) On pose M = (A -XIn) et N = (B -XIn) (In 0. ) (In -A ) Alors M.N = (AB - XIn 0 ) et N.M = (BA - XIn * ) ( * -XIn) ( 0 -XIn) Or det(MN) = det(NM) => det(AB - XIn).det(-XIn) = det(BA - XIn).det(-XIn) => det(AB - XIn) = det(BA - XIn) Ce qui permet de conclure
Il y a une autre manière ( plus efficace à mon sens ) pour la densité de Gln(K) dans Mn(K) qui utilise la caractérisation séquentielle : Soit M c Mn(K), On note r le rang de M, Théorème : on dispose de P,Q c GLn(K) tq M = P^-1 Jr Q (Jr étant la matrice avec un bloc I_r et que des 0 ailleurs ) Ensuite, on pose (Mp)p la suite de matrice telle que Mp = P^-1 Jr* Q avec Jr* qui est Jr mais avec des 1/p pour compléter la diagonale Ainsi, (Mp)p est à valeurs dans GLn(K) et tend vers M par continuité du produit matriciel (bilinéaire en dimension finie) Et ça termine la preuve J'espère que c'est clair 😅 Sinon sympa la vidéo
Hello ! Les joies de l'algo YT m'ont reco cette vidéo. Je me permets ce commentaire que j'espère tu trouveras utile: tu fais une grosse confusion entre la caractérisation séquentielle d'un fermé et celle d'un espace dense, et ça te poursuit tout le long du raisonnement. En effet, à 4:52, tu dis vouloir montrer que si tu prends une suite de matrices inversibles qui convergent dans M_n(K), alors elle converge dans GL_n(K). Mais en fait il faut montrer que si tu prends n'importe quelle matrice dans M_n(K), alors il existe une suite dans GL_n(K) qui converge vers cette matrice (dans M_n(K)). Dans ce cas, si tu fixes A dans M_n(K), alors la suite A_p que tu introduis est la bonne idée (elle converge vers A dans M_n(K)). Mais il faut donc montrer que cette suite est composée uniquement de matrices inversibles à partir d'un certain rang. On le montre en utilisant le fait que A a un nombre fini de valeurs propres, et ça ressemble dans l'idée à ce que tu veux vouloir faire, mais vu que c'est pris dans le mauvais sens, ça bloque un peu. Dans ton raisonnement, tu as \chi_{A_p}(1/p)=0 et tu ne peux rien en dire de plus car A_p bouge avec p. En fait, le spectre de A_p est exactement le spectre de A translaté de 1/p, donc si A a 0 pour valeur propre, alors A_p a 1/p comme valeur propre pour tout p, et on a aucune contradiction (prend le cas où A est carrément nulle, tu verras très vite le problème). Et encore heureux que l'on ne puisse pas prouver que GL_n(K) est fermé, car c'est un espace ouvert de M_n(K) (image réciproque de l'ouvert K^* par une application continue qu'est le déterminant), et M_n(K) est connexe. À 8:35 il faut absolument expliquer pourquoi \phi est continue sur M_n(K)^2. Au passage, comme tu as montré que tu avais besoin que de A inversible, on pourrait fixer B dans M_n(K) et juste regarder l'application avec A qui bouge, et non un couple (A,B). Si un point ne te semble pas clair, n'hésite pas à le dire ! Bon courage !
effectivement merci beaucoup !Le fait que Mn(K) est connexe est pas au programme de PC je crois, mais oui j'ai confondu les caractérisations séquentielles pas de doute 😅
Le fait que M_n(K) soit connexe vient simplement du fait que c'est un espace vectoriel, donc carrément convexe. Je pense qu'il souhaitait exploiter le résultat suivant : dans un espace connexe, les seuls sous ensemble à la fois ouvert et fermé sont l'ensemble vide et l'espace entier. (C'est normal que tu ne connaisses pas la notion de connexité en spé). En particulier, si GL_n(K) était fermé, alors comme il est aussi ouvert, il serait ouvert et fermé et comme il est non vide, on aurait GL_n(K)=M_n(K) ce qui est faux. Sinon ta vidéo est très bien ! 😉
problème sur la question de la densité: avec A quelconque dans Mn(K) (en particulier quand pas dans GLn(K)), on trouve 1 suite (Ap) qui converge vers A avec des elements de la suite qui sont eux dans GLn(K). Ce que tu as décrit c'est plutot la fermeture de GLn(K), pas la densité. Effectivement Ap = A - (1/p).I marche: Ap -> A et si Ap n'est pas inversible det(Ap)=0 = det(A - (1/p).I)=0 donc (1/p) est valp de A et s'il y a plus que n valeurs distinctes de p qui vérifie cela, ca veut dire que l'on a plus que n valp distinctes => contradiction. donc on est sur qu'a partir d'un certain rang p0, tous les Ap sont dans GLn(K)
Pour la rédaction de la densité de Gln dans Mn, je crois que tu voulais plutôt dire que tu prends une matrice A quelconque dans Mn, puis tu construis une suite de Gln qui converge vers ce A. Fais attention parce qu’à un oral ils peuvent te tomber dessus et penser que tu confonds un sous ensemble dense et un sous ensemble fermé. Force pour la suite, je suis content d’en avoir fini avec tout ça 😅 (Je confirme que ce polynôme est un véritable golmon)
titre et minia giga putaclic, mais la vidéo est à la hauteur, grand respect btw je savais pas que GLn etait dense dans Mn, donc merci d'autant plus pour ca
Génial ! Ce sont des cours de sup ou de spé ? Ça fait longtemps que je suis passé par là haha, je n'ai plus tout le programme en tête :)) En tout cas ça fait du bien de revoir les bases, merci pour cette vidéo !
Pour le raisonnement de 5:50 à 7:50 tu t'es emmêlé les pinceaux entre Ap et A. Bonne vidéo sinon, ça me fait un peu penser à la différentielle du déterminant par densité des inversibles (même si je la trouve bien plus simple à déterminer à l'aide des dérivées partielles).
Très bon raisonnement à 5:50 mais il faut inverser A_p et A, sinon à 7:10 tu fais varier le polynôme et la racines tu ne peux donc pas conclure Attention à 7:38 le poca nul c'est imposible Ne pas oublier la continuiter de phi 8:30, c'est le cas car le det est polynomiale bonne chance pour les oraux :)
Si on n'évoque pas le fait que la fonction phi est continue en A et B, alors la densité de GLn(K) dans Mn(K) n'est pas suffisante : il manque un bout, là, nan? Ou est-ce que j'ai pas été attentif?
Sacré golmon ce polynôme
super vidéo ! Avec un peu d'intuition je pense qu'on pouvait aussi résoudre l'exercice de la sorte :
Soit A, B dans Mn(K)
On pose M = (A -XIn) et N = (B -XIn)
(In 0. ) (In -A )
Alors M.N = (AB - XIn 0 ) et N.M = (BA - XIn * )
( * -XIn) ( 0 -XIn)
Or det(MN) = det(NM) => det(AB - XIn).det(-XIn) = det(BA - XIn).det(-XIn)
=> det(AB - XIn) = det(BA - XIn)
Ce qui permet de conclure
J aime bien le mot golmon
Il y a une autre manière ( plus efficace à mon sens ) pour la densité de Gln(K) dans Mn(K) qui utilise la caractérisation séquentielle :
Soit M c Mn(K),
On note r le rang de M,
Théorème : on dispose de P,Q c GLn(K) tq M = P^-1 Jr Q (Jr étant la matrice avec un bloc I_r et que des 0 ailleurs )
Ensuite, on pose (Mp)p la suite de matrice telle que Mp = P^-1 Jr* Q avec Jr* qui est Jr mais avec des 1/p pour compléter la diagonale
Ainsi, (Mp)p est à valeurs dans GLn(K) et tend vers M par continuité du produit matriciel (bilinéaire en dimension finie)
Et ça termine la preuve
J'espère que c'est clair 😅
Sinon sympa la vidéo
En mettant sur la miniature un vrai golmon, j'étais obligé de cliquer
Hello ! Les joies de l'algo YT m'ont reco cette vidéo. Je me permets ce commentaire que j'espère tu trouveras utile: tu fais une grosse confusion entre la caractérisation séquentielle d'un fermé et celle d'un espace dense, et ça te poursuit tout le long du raisonnement. En effet, à 4:52, tu dis vouloir montrer que si tu prends une suite de matrices inversibles qui convergent dans M_n(K), alors elle converge dans GL_n(K). Mais en fait il faut montrer que si tu prends n'importe quelle matrice dans M_n(K), alors il existe une suite dans GL_n(K) qui converge vers cette matrice (dans M_n(K)). Dans ce cas, si tu fixes A dans M_n(K), alors la suite A_p que tu introduis est la bonne idée (elle converge vers A dans M_n(K)). Mais il faut donc montrer que cette suite est composée uniquement de matrices inversibles à partir d'un certain rang. On le montre en utilisant le fait que A a un nombre fini de valeurs propres, et ça ressemble dans l'idée à ce que tu veux vouloir faire, mais vu que c'est pris dans le mauvais sens, ça bloque un peu.
Dans ton raisonnement, tu as \chi_{A_p}(1/p)=0 et tu ne peux rien en dire de plus car A_p bouge avec p. En fait, le spectre de A_p est exactement le spectre de A translaté de 1/p, donc si A a 0 pour valeur propre, alors A_p a 1/p comme valeur propre pour tout p, et on a aucune contradiction (prend le cas où A est carrément nulle, tu verras très vite le problème). Et encore heureux que l'on ne puisse pas prouver que GL_n(K) est fermé, car c'est un espace ouvert de M_n(K) (image réciproque de l'ouvert K^* par une application continue qu'est le déterminant), et M_n(K) est connexe.
À 8:35 il faut absolument expliquer pourquoi \phi est continue sur M_n(K)^2. Au passage, comme tu as montré que tu avais besoin que de A inversible, on pourrait fixer B dans M_n(K) et juste regarder l'application avec A qui bouge, et non un couple (A,B).
Si un point ne te semble pas clair, n'hésite pas à le dire ! Bon courage !
effectivement merci beaucoup !Le fait que Mn(K) est connexe est pas au programme de PC je crois, mais oui j'ai confondu les caractérisations séquentielles pas de doute 😅
Le fait que M_n(K) soit connexe vient simplement du fait que c'est un espace vectoriel, donc carrément convexe. Je pense qu'il souhaitait exploiter le résultat suivant : dans un espace connexe, les seuls sous ensemble à la fois ouvert et fermé sont l'ensemble vide et l'espace entier. (C'est normal que tu ne connaisses pas la notion de connexité en spé). En particulier, si GL_n(K) était fermé, alors comme il est aussi ouvert, il serait ouvert et fermé et comme il est non vide, on aurait GL_n(K)=M_n(K) ce qui est faux.
Sinon ta vidéo est très bien ! 😉
@@maxime6352ouais convexe implique connexe par arcs implique connexe ! C assez stylé
problème sur la question de la densité: avec A quelconque dans Mn(K) (en particulier quand pas dans GLn(K)), on trouve 1 suite (Ap) qui converge vers A avec des elements de la suite qui sont eux dans GLn(K). Ce que tu as décrit c'est plutot la fermeture de GLn(K), pas la densité. Effectivement Ap = A - (1/p).I marche: Ap -> A et si Ap n'est pas inversible det(Ap)=0 = det(A - (1/p).I)=0 donc (1/p) est valp de A et s'il y a plus que n valeurs distinctes de p qui vérifie cela, ca veut dire que l'on a plus que n valp distinctes => contradiction. donc on est sur qu'a partir d'un certain rang p0, tous les Ap sont dans GLn(K)
Pour la rédaction de la densité de Gln dans Mn, je crois que tu voulais plutôt dire que tu prends une matrice A quelconque dans Mn, puis tu construis une suite de Gln qui converge vers ce A.
Fais attention parce qu’à un oral ils peuvent te tomber dessus et penser que tu confonds un sous ensemble dense et un sous ensemble fermé.
Force pour la suite, je suis content d’en avoir fini avec tout ça 😅
(Je confirme que ce polynôme est un véritable golmon)
yep en effet j'ai inversé les deux, faut croire qu'il n'y a pas que le polynôme qui est un golmon
titre et minia giga putaclic, mais la vidéo est à la hauteur, grand respect
btw je savais pas que GLn etait dense dans Mn, donc merci d'autant plus pour ca
@@felixloiseau828 merci beaucoup bg ça fait plaisir
@@clementburgevin3617 go dodo pour tes oraux BG (et bonne chance !)
Génial ! Ce sont des cours de sup ou de spé ? Ça fait longtemps que je suis passé par là haha, je n'ai plus tout le programme en tête :)) En tout cas ça fait du bien de revoir les bases, merci pour cette vidéo !
Salut c'est de la spé, et merci pour ton commentaire !
Tu es passé d'un golmon fait 300 vues à un polynome de golmon à 2,4k vues, sacré golmon.
golmon un jour golmon toujours mdr
Pour le raisonnement de 5:50 à 7:50 tu t'es emmêlé les pinceaux entre Ap et A.
Bonne vidéo sinon, ça me fait un peu penser à la différentielle du déterminant par densité des inversibles (même si je la trouve bien plus simple à déterminer à l'aide des dérivées partielles).
Wow, je viens de faire un bond de 15 ans dans le passé. Mais j'ai suivi la démo, je suis rassuré.
Très bon raisonnement à 5:50 mais il faut inverser A_p et A, sinon à 7:10 tu fais varier le polynôme et la racines tu ne peux donc pas conclure
Attention à 7:38 le poca nul c'est imposible
Ne pas oublier la continuiter de phi 8:30, c'est le cas car le det est polynomiale
bonne chance pour les oraux :)
J’ai bien aimé la vidéo 👍 j’ai rien écouté mais c’était sympa
@@elclemcloum1471 merci ? 😂
@@clementburgevin3617 j’ai arrêté les maths en seconde.
j'ai oublier de m'abonné
g ri
I may excuse integrals, but I draw the limit (lol) at matrix, golmon ou pas golmon
👍
Organise un Paris Open et mets du 4bld bg
pourquoi pas un jour mais on verra
putain c'est incroyable
@@danfilwjran merci bg ça fait grave plaisir
Si on n'évoque pas le fait que la fonction phi est continue en A et B, alors la densité de GLn(K) dans Mn(K) n'est pas suffisante : il manque un bout, là, nan? Ou est-ce que j'ai pas été attentif?
Ouais en effet il manque un bout : phi est continue car le déterminant est multi-linéaire
6:15, pourquoi tu factorises par (-1)**n ?
parce que le déterminant est multi linéaire et les matrices sont de rang n
Les golmons en force !
C'est quoi le rapport avec AD Laurent ?
c'est une réf où il dit je cite : "c'est quoi ce bruit de golmon", mais ici avec un polynôme
@@clementburgevin3617 Il sait que tu utilise son image?
C pas de mon niveau tout ça…
Ta chaîne est en train d'exploser 🤣
vraiment mdr ça n'a aucun sens
En vrai précise que ton corps K c'est R ou C parce que ton raisonnement sur la densité n'est plus valide dans le cas général
J'ai rien compris putain, c'est quel niveau ça (j'ai que le bac) ????
@@Ariadalf normal mdr c deuxième année de prépa
@@clementburgevin3617 Ben putain, ça a l'air trop trop dur, je bite absolument RIEN de RIEN.
@@Ariadalf tkt c des notions que t'as pas vu c'est normal
@@clementburgevin3617 Ouais mais quand même, j'aurais bien aimé comprendre un peu. :(