앗, 죄송한데 정확히 어떤 식을 말씀하시는 건지 제가 잘 모르겠어서, 혹시 식 lim_(n -> inf) [7^(n+1)/(n+1)!]/[7^n/n!] = lim_(n -> inf) 7/(n+1) =0 을 말씀하시는 것 맞을까요? 맞다면 계산할 때 어떤 부분에서 n+1이 반영이 안 되었다는 말씀이실까요?
결론부터 말씀드리면 책의 표현이 옳습니다. 아마 책에서 시그마 밑의 인덱스에서 0을 제외한 까닭은 [a_n x^n을 x에 대해 미분하면 n a_n x^(n-1)가 된다] 라는 말이 n=0일 때 수학적으로 엄밀하지 않은 말이기 때문이라고 생각합니다. 왜냐면 x^(-1)은 x=0에서는 정의되지 않기 때문입니다. 그래서 n=0인 경우 x^0을 미분하면 0으로 없어지니까 인덱스에서 n=0을 제외시키고 1부터 쓴 것 같습니다. 그런데 저는 어차피 0*x^(-1)을 0으로 취급하는 것은 x=0인 경우만 제외하면 맞는 말이므로 그냥 [a_n x^n을 x에 대해 미분하면 n a_n x^(n-1)가 된다] 를 n=0을 포함해서 말해도 오해가 없을 것이라고 생각했습니다. 그래서 괜히 미분할때마다 인덱스가 바뀌는 것을 신경 쓸 바에는, 어차피 x가 0이 아닌 값을 evaluate할 때 혼동의 여지가 없으므로 인덱스에 n=0인 경우를 포함시켜서 적은 것입니다. 결국 저는 살짝 표기법에 오남용이 있어도 식의 의미에 전혀 혼동이 없으며, 문제풀 때 x=0을 대입하게 될 리는 없으므로 저렇게 적었긴 하지만 이는 편의를 위한 것일 뿐, 수학적으로 문제가 없는 답안을 쓰기를 원하신다면 책처럼 인덱스를 옮기던지, 아니면 성립하는 x의 범위에서 0을 제외시키는 것이 맞는 것 같습니다! 엄밀하지 않은 부분을 말씀해주셔서 감사드립니다.
네, 아시다시피 lim(a_n * b_n)을 lim(a_n) * lim(b_n) 으로 분리 시키려면 a_n과 b_n이 수렴한다는 보장이 있어야 해서, |x|^n의 수렴여부가 보장되지 않은 채로 저렇게 극한을 분리시키는 것은 틀린 풀이 같습니다. 따라서 엄밀하게 하려면 (연습장에 우선 저처럼 휴리스틱하게 극한을 찢어 x의 범위를 나눌 생각을 한 후) 실제 풀이를 쓸 때는 먼저 x의 범위 나누어 |x|=1 인 영역에서는 n|x|^(n^2)의 극한이 0이 아님을 확인함으로써 일반항 판정법에 의해 발산함을 보여, 최종적으로 수렴반경이 1임을 얻으셔야 할 것 같습니다. 엄밀하지 않은 부분을 지적해주셔서 감사드립니다!
![[멱급수 전개 (개념 및 예제풀이)] 테일러급수 & 매클로린급수](http://i.ytimg.com/vi/WYicw5Z_vKQ/mqdefault.jpg)
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정말 감사합니다!
감사합니다!
1:05:22 시간보시면 위에 식에서 N+1을 반영안하고 계산하신거 같습니다.
앗, 죄송한데 정확히 어떤 식을 말씀하시는 건지 제가 잘 모르겠어서,
혹시 식 lim_(n -> inf) [7^(n+1)/(n+1)!]/[7^n/n!] = lim_(n -> inf) 7/(n+1) =0
을 말씀하시는 것 맞을까요?
맞다면 계산할 때 어떤 부분에서 n+1이 반영이 안 되었다는 말씀이실까요?
@@snu7244 원 댓글 다신 분이 급수에서 7을 n으로 보신거 같아요. 저도 n인줄 알았어요 ㅋㅋㅋ
교재에서는 거듭제곱급수 기본정리를 사용할때 미분하면 시그마의 밑의 수가 1씩 커지는데 설명에서는 그걸 딱히 고려하지 않으신 것 같더라구요. 어떤게 맞을까요?
결론부터 말씀드리면 책의 표현이 옳습니다.
아마 책에서 시그마 밑의 인덱스에서 0을 제외한 까닭은 [a_n x^n을 x에 대해 미분하면 n a_n x^(n-1)가 된다] 라는 말이 n=0일 때 수학적으로 엄밀하지 않은 말이기 때문이라고 생각합니다. 왜냐면 x^(-1)은 x=0에서는 정의되지 않기 때문입니다. 그래서 n=0인 경우 x^0을 미분하면 0으로 없어지니까 인덱스에서 n=0을 제외시키고 1부터 쓴 것 같습니다.
그런데 저는 어차피 0*x^(-1)을 0으로 취급하는 것은 x=0인 경우만 제외하면 맞는 말이므로 그냥 [a_n x^n을 x에 대해 미분하면 n a_n x^(n-1)가 된다] 를 n=0을 포함해서 말해도 오해가 없을 것이라고 생각했습니다. 그래서 괜히 미분할때마다 인덱스가 바뀌는 것을 신경 쓸 바에는, 어차피 x가 0이 아닌 값을 evaluate할 때 혼동의 여지가 없으므로 인덱스에 n=0인 경우를 포함시켜서 적은 것입니다.
결국 저는 살짝 표기법에 오남용이 있어도 식의 의미에 전혀 혼동이 없으며, 문제풀 때 x=0을 대입하게 될 리는 없으므로 저렇게 적었긴 하지만 이는 편의를 위한 것일 뿐, 수학적으로 문제가 없는 답안을 쓰기를 원하신다면 책처럼 인덱스를 옮기던지, 아니면 성립하는 x의 범위에서 0을 제외시키는 것이 맞는 것 같습니다!
엄밀하지 않은 부분을 말씀해주셔서 감사드립니다.
@@snu7244 덕분에 공부 잘 하고 있습니다. 감사합니다!
1:22:35에서 |x|^n이 수렴하는지 모르는 상황에서 n^(1/n)과 |x|^n의 극한을 따로 계산해도 되나요?
네, 아시다시피 lim(a_n * b_n)을 lim(a_n) * lim(b_n) 으로 분리 시키려면 a_n과 b_n이 수렴한다는 보장이 있어야 해서, |x|^n의 수렴여부가 보장되지 않은 채로 저렇게 극한을 분리시키는 것은 틀린 풀이 같습니다.
따라서 엄밀하게 하려면 (연습장에 우선 저처럼 휴리스틱하게 극한을 찢어 x의 범위를 나눌 생각을 한 후) 실제 풀이를 쓸 때는 먼저 x의 범위 나누어 |x|=1 인 영역에서는 n|x|^(n^2)의 극한이 0이 아님을 확인함으로써 일반항 판정법에 의해 발산함을 보여, 최종적으로 수렴반경이 1임을 얻으셔야 할 것 같습니다.
엄밀하지 않은 부분을 지적해주셔서 감사드립니다!
1:04:46에 극한값이 1 아닌가요?
앗, 제가 숫자 7과 변수 n을 너무 비슷하게 써서 lim_(n ->∞) n/(n+1)로 보인 것 같은데, lim_(n ->∞) 7/(n+1)이어서 극한값이 0입니다.
혼동을 드려 죄송합니다😭