For English speakers: We consider the parabola y = x^2/2 and the points P, Q on the graph. Let the length of the line segment PQ be 2, and the x coordinate of the middle point of P, Q be m. Express the value of the area of the region enclosed by the graphs as a function of m. We assume that P(β, β^2/2), Q(α, α^2/2) where α < β. We can easily find that the value of the area is equal to (β - α)^3/12 ...... (*) as the following formula of integration: ∫[α, β] (x - α)(x - β) dx = - (β - α)^3/6. As the Pythagorean theorem, we obtain that (β - α)^2 + (β^2/2 - α^2/2)^2 = 4, which is equal to (β - α)^2*(m^2 + 1) = 4 where the definition of m (α + β)/2 = m is used. Therefore we obtain that (β - α) = 2/sqrt(m^2 + 1) and the result if we substitute 2/sqrt(m^2 + 1) for β - α in the formula (*).
申し訳ございません。最後、約分間違えました。分子は2です。
f(x)=1/2x², P(β,f(β)), Q(α,f(α))とする。直線PQとx軸の成す角をθとすると、tanθ=f'(m)=m, 2cosθ=β-α
cosθ=1/√tanθ²+1=1/√m²+1
題意の面積=1/2･1/6･(2cosθ)³=2/3･(m²+1)^3/2
PQの中点をM(m, k)とすると、PQ=2 より P(m-cosθ, k-sinθ), Q(m+cosθ, k+sinθ) と書ける。
このとき1/6公式から、求める面積Sは、S=(1/6)*(1/2)*(2cosθ)^3=(2/3)*(cosθ)^3 なので、cosθをmの式で表せればよい。
またこのとき、P, Qは y=(1/2)x^2 上の点なので、式にそれぞれ座標を代入すると、
k-sinθ=(1/2)(m-cosθ)^2 …①
k+sinθ=(1/2)(m+cosθ)^2 …②
(②-①)/2 より、sinθ=mcosθ
両辺を2乗して整理すると、(cosθ)^2=1/(1+m^2)
cosθがmの式で表せたので、これをSの式に代入して、
S=(2/3)*{1/(1+m^2)^(3/2)}=2/{3(1+m^2)^(3/2)}
For English speakers:
We consider the parabola y = x^2/2 and the points P, Q on the graph. Let the length of the line segment PQ be 2, and the x coordinate of the middle point of P, Q be m. Express the value of the area of the region enclosed by the graphs as a function of m.
We assume that
P(β, β^2/2), Q(α, α^2/2)
where α < β. We can easily find that the value of the area is equal to
(β - α)^3/12 ...... (*)
as the following formula of integration:
∫[α, β] (x - α)(x - β) dx = - (β - α)^3/6.
As the Pythagorean theorem, we obtain that
(β - α)^2 + (β^2/2 - α^2/2)^2 = 4,
which is equal to
(β - α)^2*(m^2 + 1) = 4
where the definition of m
(α + β)/2 = m
is used.
Therefore we obtain that
(β - α) = 2/sqrt(m^2 + 1)
and the result if we substitute
2/sqrt(m^2 + 1)
for β - α in the formula (*).
いつも見ています！
とてもわかりやすい解説ありがとうございます！これからも頑張ってください！
なぜわざわざP, Qを「動く」設定にしたのか理解できませんでした。PQの傾きが分かれば、PQが斜辺、残りの2辺がx軸、y軸と平行な直角三角形に関する辺の比がすぐにわかるのでこれを利用すると計算が簡単です。
題意の放物線をy=f(x), 直線PQをy=g(x)とおき、P, Qのx座標をα, β(α
馬鹿みたいにPQの式求めてゴリゴリ計算して力技で解いた自分が恥ずかしい
最後の(β-α)^3を求めるのは(β-α)^2の式の両辺を3/2乗すると早そうですね
ありがとうございました
いやー、私も、数学が好きですが、毎日ここまで動画をアップロードして、解いている姿はかっこいいですねぇ!
センター数学何点とれるかチャレンジしてほしい！
子亀のキウイと亀吉チャンネル登録 ライブでね👍
最初、αβも求めないと計算できないかな？などと思っていましたがα＋β＝２mさえ、分かっていればなんとかなりましたね。
6分の１公式使えばほぼ瞬殺ですね。
5:12参上！
おはようございます☀
朝から数学って爽快！！
大物の予備校講師に6分の1公式はただの予備校や教育会での呼び名だから本番で6分の1公式よりなどと書いてしまうと減点される可能性が高いっていわれました、やっぱりふつーに積分するほうがいいのでしょーか？まだ悩んでます
因数分解までしてから使うといいと思います(個人的見解)
特性方程式と同じで書かずに「計算すると」だけで良くね？
記述は普通に積分の方にして
1/6が使えるくらいの積分計算なら立式の次に答え書いてます。
公式使えるような式は部分積分使えば楽に求まるから公式は暗記してない
アホみたいにPQの式求めてしもたw
同じくですw
ベータ関数覚えるとわすれないですよねー
B(2,2), B(2,3) ぐらいしか使わなくない？（′・ω・｀）
簡単そうに見えたのに、くっちゃくちゃになっちゃった。
やはり6分の1公式も本番で導出した方がいいのでしょうか？
Serval S やっても大して手間じゃない👍
久しぶりに見てから寝ます(震)
天下のパクリ屋たか おやすみ〜🌙
おとうちゃん！
おはよう
引用の問題集はなんでしぃうか？
赤本とか〜？
KoNaga 90年代の赤本もってるのうらやましい。。。
。しゃむねこ だいぶ前のだともう売ってないんですね。^^; 昔観た動画でメリカリで手に入れてるとか話されてましたよ。
KoNaga なるほどメルカリか。。。
おはようございます! 今日は時間に余裕ありなので、解いてから出勤します!🌟 ありがとうございます🌠
へぇ～ これだけ計算して、最後こんな答えになるんですねぇ～ さすが国立大！ なかなか複雑な答えに帰着しましたね！🔯👏
答えの分子は1ではなくて2ですね〜
Serval S さん
ご指摘ありがとうございます。その通りです。
おはようございます
1/6公式をちゃんと証明せずにいきなり使うとと大幅減点ですよね…笑
ちゃんと自分で証明できるようにしたいと思います。
また明日もよろしくお願いします
僕は教科書に載ってるから大丈夫だと言われましたが実際どうなんでしょうかね。
たしか6分の1公式は∮(x-α)(x-β)の形
12分の1公式は∮(x-α)(x-β)^2の形にしてから使うとよいと言われました
どこかの大学(東北大？)で12分の1公式を使って減点された際に、使わなきゃ時間が足りないという訴えが通ったと聞きました
いつかの北大入試の採点分析ではどうやら1/6公式で減点されているようだという結果が某予備校で言われてました。それと他の国立大でも同様の結果が出てたそうです。まだ勝手に使うには気乗りしませんね....(^_^;)
聖白蓮 まあ自分で導出すればいいだけなんですけどねw
そうなんですね、初耳でした。ありがとうございます。