For English speakers: We consider the sequence {a[n]}, which satisfies the following recurrence relation: a[1] = 1, a[2] = 2, a[n+2]*a[n] = 2*a[n+1]^2. (1) Find {a[n]}. (2) Find the product a[1]*a[2]*......*a[n]. (1) We have some solutions. Let b[n] be log[2, a[n]]. Thus we obtain that b[n+2] + b[n] = 1 + 2*b[n+1], b[n+2] - b[n+1] = b[n+1] - b[n] + 1. Then we define that c[n] = b[n+1] - b[n] and easily obtain the the recurrence relation c[n+1] = c[n] + 1. Therefore we can find {c[n]}, {b[n]} and {a[n]}. We see another solution. We divide the beginning relation by a[n+1]*a[n]. Hence a[n+2]/a[n+1] = 2*a[n+1]/a[n]. This means that the sequence {a[n+1]/a[n]} is a geometric sequence, which is equal to 2^n. Therefore {a[2]/a[1]}*{a[3]/a[2]}*......*{a[n]/a[n-1]} = 2* 2^2* ......2^(n-1), a[n] = 2^{1 + 2 + 3 +......+ (n - 1)} = 2^{n(n-1)/2}. (2) We can easily find that the beginning product is equal to Π[1≦k≦n] a[k] = 2^{Σ[1≦k≦n] k(k-1)/2}. Thus we can complete the question if we calculate the summation: Σ[1≦k≦n] k(k-1)/2. We use the following formulas Σ[1≦k≦n] k^2 = n(n+1)(2n+1)/6, Σ[1≦k≦n] k = n(n+1)/2, or an elegant technique: Σ[1≦k≦n] k(k-1)/2 = 1/6*Σ[1≦k≦n] {-k(k-1)(k-2) + (k+1)k(k-1)} = 1/6*{-(-1)*0*1 + 0*1*2 - 0*1*2 + 1*2*3 - 1*2*3 + 2*3*4 - ...... -(n-2)(n-1)n + (n-1)n(n+1)} = n(n-1)(n+1)/6.
For English speakers:
We consider the sequence {a[n]}, which satisfies the following recurrence relation:
a[1] = 1, a[2] = 2,
a[n+2]*a[n] = 2*a[n+1]^2.
(1) Find {a[n]}.
(2) Find the product a[1]*a[2]*......*a[n].
(1) We have some solutions.
Let b[n] be log[2, a[n]]. Thus we obtain that
b[n+2] + b[n] = 1 + 2*b[n+1],
b[n+2] - b[n+1] = b[n+1] - b[n] + 1.
Then we define that c[n] = b[n+1] - b[n] and easily obtain the the recurrence relation
c[n+1] = c[n] + 1.
Therefore we can find {c[n]}, {b[n]} and {a[n]}.
We see another solution. We divide the beginning relation by a[n+1]*a[n]. Hence
a[n+2]/a[n+1] = 2*a[n+1]/a[n].
This means that the sequence {a[n+1]/a[n]} is a geometric sequence, which is equal to 2^n. Therefore
{a[2]/a[1]}*{a[3]/a[2]}*......*{a[n]/a[n-1]}
= 2* 2^2* ......2^(n-1),
a[n] = 2^{1 + 2 + 3 +......+ (n - 1)} = 2^{n(n-1)/2}.
(2) We can easily find that the beginning product is equal to
Π[1≦k≦n] a[k] = 2^{Σ[1≦k≦n] k(k-1)/2}.
Thus we can complete the question if we calculate the summation:
Σ[1≦k≦n] k(k-1)/2.
We use the following formulas
Σ[1≦k≦n] k^2 = n(n+1)(2n+1)/6,
Σ[1≦k≦n] k = n(n+1)/2,
or an elegant technique:
Σ[1≦k≦n] k(k-1)/2
= 1/6*Σ[1≦k≦n] {-k(k-1)(k-2) + (k+1)k(k-1)}
= 1/6*{-(-1)*0*1 + 0*1*2 - 0*1*2 + 1*2*3 - 1*2*3 + 2*3*4 - ...... -(n-2)(n-1)n + (n-1)n(n+1)}
= n(n-1)(n+1)/6.
(2)はパッと見で思いつかなかったけど書き出してって気づけました〜
たくさん動画見させていただいて、とてもわかりやすいのですが、板書や計算を消す時は中途半端で消さないで全て消して欲しいっていうのが視聴者の意見ですね。
勉強するにはすごくいい問題だ
6万人おめでと
カンカンカンちゃんの教え方絶対僕にピッタリですわ
ありがとうございます。先生の動画のお陰でモチベーション上がりました。浪人してもっとレベルの高い大学行きます。
自分もlog取らずにa(n)/a(n+1)=b(n)で解いたので、解説でlog出てきた瞬間に「うわぁミスったかもー泣」と思いましたが、答えあってて安心しました！
久しぶりに漸化式解きましたが、スッキリです！
問題見た瞬間両辺をa(n)a(n+1)で割ったわ
確かにlogもありやな
他の方のコメントにもあるように両辺をa(n)･a(n+1)で割って
a(n+1)/a(n) を b(n) と置くと (等比数列に帰着させて）
b(n)=2^n
これから a(n+1)=2^n･a(n)
となって、ここから対数を取りました。
(1)明らかに任意の自然数nでan≠0であることより(不安な人は帰納法とか使えばいい)、
a[n+2]a[n]=2{a[n+1]}^2
a[n+2]/a[n+1]=2{a[n+1]/a[n]}
よって、
数列{a[n+1]/a[n]}は初項a[2]/a[1]=2で公比2の等比数列なので、
{a[n+1]/a[n]}=2^n
すなわち、a[n+1]=2^n a[n]
ここでn≧2の時、
a[n]=2^(n-1)a[n-1]=2^(n-1)2^(n-2)...2 a[1]=2^{Σ(k-1)}=2^{n(n-1)/2}
これはn=1の時も成立する。
(2)Σk(k-1)/2を求めるまでは同じ。
Σk(k-1)/2
=Σ{(k+1)k(k-1)-k(k-1)(k-2)}/6 (連続する３つの数の積の和)
={(n+1)n(n-1)-0}/6
=(n+1)n(n-1)/6
よって、求める値は2^{(n+1)n(n-1)/6}
あー2*nan=an+1の一般項ってそう求めるんですね
勉強になりました
天才(°▽°)
医学部受かりたければこれは落としたら死んでしまうと思います。
毎回そういう問題を選んでらっしゃるのか、そういった問題が多いように思われます！流石です！
あと、初め対数取るとき一応、帰納的にしんすうが0より大きいから対数をとると……などとかいたほうがいいですよね？
この問題を見て、受験生の時に通っていた某大手予備校のテキストに同問が載っていたことを思い出しました。
出題年は確か80年代～90年代だったかと思いますので、相当数の受験生が毎年解いてきた良問なのでしょう。
2項間漸化式への落とし込みに分数やご説明の対数を取る方法、もしくは数学的帰納法を用いたりと解法は幅広いので、ある程度高校数学を習熟している方は確実に取らなければならない、差が付き易い問題かと存じます。
最初の式変形がちょっと時間かかったけど自力でできてめっちゃスッキリした!！
最初のlogをとるっていう発送が思いつかなかった。
指数の形になってたらlogとった方がいいのか。数列は和の方が計算しやすいし。
コメント欄見てると別解もあるけど、それも思いつかなかった😭
受験生なのに気づけなかったショック
やっぱ漸化式気づけない、、、
一昨日のプレセンターでも恒等式出て気づけなくて丸々落としちゃった😢
センター試験練習プリントの第3回だかで同じ問題出て時間を節約する問題だった
またまた今日も、骨のある問題で。
お疲れ様です。
My first reaction is that it looks like a geometric series.... Let me continue to watch to see if I am wrong....
どうせa3の値が要るからだしてみたら、類推できそうなのでそこから自然に帰納法にしちゃいました。
漸化式💦😣 楽しみます(笑)
最後の計算は、Σk^2とΣkにバラしてもいいけれども、Σk^2の公式を導くときに出てくる階差数列の形に変形できて・・・と、コメントしようと思ったら、既にその解き方を書いてる人が何人か。レベル高いな。受験生はホントいい勉強になるだろね。
三項間漸化式あまり好きじゃないから両辺aₙ·aₙ₊₁で割りました
ありがとうございました
α、β、γで置いて解こうとしたら爆死。
このレベルは気持ちよく解けるね
初手等比中項使ったけど何も起こらなかった。
0でないことたしかめて、割り算しました。
階差数列で初項が数列に当てはまらない問題なんやったっけ……
a[5]まで求めたら全部2の累乗で表せられた数だったから
2^0、2^1、2^3、2^6、2^10で指数が階差数列だってことに気付いた。
でも帰納法でどうやって証明すれば良いか分からん…
つまり、a(n)=2^(n(n-1)/2) を予測できたということですよね。n, n+1 で成立すると仮定して、漸化式に代入して整理すればできますよ。
代入して一般項の予想がついたのなら帰納法でも証明できる。
ただ、n,n+1,n+2の関係式だから必然的に普通の帰納法じゃなくて、
(i)n=1,2で与式が成立
(ii)n=k,k+1で成立すると仮定するとn=k+2でも成立する。
ってタイプの帰納法を使えばいい。
証明
a[n]=2^{n(n-1)/2}であることを数学的帰納法で示す。
(i) n=1,2の時
a[1]=1=2^{1(1-1)/2}
a[2]=2=2^{2(2-1)/2}より成立。
(ii)n=k,k+1で成立してると仮定すると、
a[k]=2^{k(k-1)/2}
a[k+1]=2^{k(k+1)/2}なので、
a[k]a[k+2]={a[k+1]}^2
2^{k(k-1)/2}a[k+2]=[2^{k(k+1)/2}]^2
(細かい計算省略)
a[k+2]=2^[(k+2){(k+2)-1}/2]
よって、n=k+2でも成立。
(i),(ii)より数学的帰納法より、
a[n]=2^{n(n-1)/2}
なるほど。
ありがとうございます😊
見た瞬間対数取る気満々w
対数取るところで、(log 2)*(a[n+1])^2 みたいに見えちゃうので、何処までが対数の中なのかわかるようにカッコつけて log(2*(a[n+1])^2)にして欲しいです。
勿論流れで分かりますけどね。。^^;
KoNaga テストだったらアウトになりますか？
太郎田中 採点官次第ですが、答えがあってたら丸は貰えるでしょう。ですが紛らわしい表現は出来るだけ避けるべきですね。自分自身が見直す時のためにも。
階差数列というか、等差数列じゃないんですか？
階差数列が定数になる数列が等差数列なので、ギリギリOKでしょう。「階差数列が1です」って言ってるんでね。
vacuumcarexpo そうなんですね
てっきり階差数列はｘの関数が差の数列の事かと思ってました。
複素数お願いします
俺鳥取大志望！！
文系だけど
An+2/An+1=2An+1/An でいい気がした
最後のやつk²-kなのにk²+kって書いて計算間違えた笑笑
こうせんとんなり 問題解き始める前に与えられた漸化式を使ってn=4,5ぐらいまで出しとけば検算に使えるのでそういうミスも減らせると思いますよ！
漸化式問題に限らず整数問題等でもnが入ってる問題では最初にnに具体的な数字入れて計算してみることをオススメします
Доброе утро ☀️
修了式、入社式、からの漸化式！！！！！！！
相手は死ぬ。
今日もわかりやすい解説をありがとうございます。
(1) ですが、a[6] あたりまで計算すると
a[6] = 2^15 = 2^(1+2+3+4+5)
となるので、そこから一般項を推測して帰納法で解きました。
(2) については、
Σ[1≦k≦n] k(k - 1)/2
= Σ[1≦k≦n] {(k + 1)k(k - 1) - k(k - 1)(k - 2)}/6
に気付くとすぐできますね。
……と思ったら、すでに同様のコメントがありました(￣▽￣;)
この問題、前に解いた気がする
医学部行ってる兄に見せたら暗算で解いててもうわけわからん
やばすぎて草
それは医学部の中でもトップ
東大理III首席で草
I was wrong...
a(n+2)/a(n+1)=2×a(n+1)/an と漸化式を変形する方法でもいいですか？
Stark Tonny 俺それでやったわ。
できるでw
割るからにはan≠0を示す方がいいですね
0にならないのは式の形から帰納法でもなんでも導けます
あまとう
それは傲慢ーーー
公比を2^nとかにして無理やりやってますね。
公比というのはですねぇ、項の数に左右されてはいけないのですよ。
常に同じ数をかけてこそ公比なのですわよ。
An+1=2^n×An
まで合ってるからそこからは頑張ってちょ。
コメント漁れば見つかるかもね。
あまとう
n≧2の時
a(2)=2^1×a(1)
a(3)=2^2×a(2)=2^2×2^1×a(1)
a(4)=2^3×a(3)=2^3×2^2×2^1×a(1)
a(n)=2^(1+2+…+n-1)×a(1)
a(n)=2^{n(n-1)/2}
a(1)=1でn=1の時も成り立つ
一応、式で説明してみました。
あまとう a(0)の値が問題文にあれば分ける必要ないと思います。
漸化式がa(n+1)=2^n×a(n)なので、漸化式からa(1)を求めるためにはa(0)の値が必要になるため、それはこの条件からはあらわせないので、ひとまずn=1は置いておいて、a(2)を求めるためにはa(1)がいるから…と考えてn≧2成り立つかなと吟味していきます。そして最後にn=1をn≧2で成り立つ一般項に代入して初めてその一般項がn≧1で成り立つことが証明されます。
操作として似ている基本問題は階差数列の問題です。
このことを念頭において確認してみてください。
多分これでいいと思うんだけど…
理由が間違ってたらごめんーちょ
鈴木貫太郎って本名？
もっちゃんはやらないんですか
もっちゃんとはバーゼル問題。是非ご覧ください。
@@kantaro1966 返信ありがとうございます。
あ、あの回は見させていただきました！
A(n+2)/A(n+1)=2A(n+1)/An=2^n×A2/A1=2^(n+1)。よってA(n+2)=2^(n+1)×A(n+1)=…=2^{(n+1)+n+…+2}×A2=2^{(n+1)(n+1)/2}。積はk(k-1)/2=1/6×{(k+1)k(k-1)-k(k-1)(k-2)}としてからΣをつけて1/6×(n+1)n(n-1)としました。
対数とってもいいけど、
An+2/An+1=2×An+1/Anが思いついたならそっちの方がやや早い気がしたンゴ。指数のとこ足すだけだったからそっちもオヌヌメです。
まぁ個人差だと思うンゴ。
ワイも同じやり方でしたンゴ
ａn>0の議論が不十分な気がしました。