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2:10で補助線を引いて作った直角三角形を使って三平方の定理の証明で使われる形、つまり直角三角形4つを使って四畳半一間みたいに並べる方法で考えてみました。一辺が6㎝の正方形が出来上がり、「真ん中の隙間に2:20で説明してる小さな正方形の対角線の長さ(直角三角形の長辺-短辺に相当)と同じ長さを一辺とした正方形」が出来上がる。この対角線と一辺の長さを分かりやすくaとすると赤の面積⇒直角三角形2つ+対角線aの正方形⇒直角三角形2つ+a^2/2・・・①四畳半一間(一辺6㎝の正方形)=直角三角形4つ+一辺aの正方形⇒直角三角形4つ+a^2・・・②つまり①=②÷2よって6×6÷2=18㎝^2
自分も4:54までは同じなのですが点Dと他の点Dを繋ぎ合わせ、対角線を引き、そうすると過去にも算数オリンピックや東海中学校でも出た、22.5° 45° 112.5°の三角形が出てくるのでその答えが9㎠なので2倍して18㎠になるという解き方で解きました
この問題はACとBC軸にして展開するよりABを軸にして展開した方がシンプルだと思うんですが、その場合は単元を逸脱するんだろうか。等積変形は含まれるけど√は出ないし手裏剣を作るより理解しやすい気が。
△BDCと△ADCが合同なので、△ADCをCを軸に時計回りに270°回転させ、BCと線対称になるように△BDCとくっ付けます。（BCの下に来た△ADCのDをD'とします）そうするとBD=BD'=6cmの□BDCD'ができますが、知る人ぞ知る、ちょっと有名な形になります。過程は省略させてもらいますが、DD'と平行にCを移動させ、BCが BDもしくはBD'と一致するように動かすとできる△BCDもしくは△BCD'が6cm×6cmの直角二等辺三角形になるので、面積が18㎠と求まります。
もう少し工夫して解ける算数的解法を見つけたので、どこかのタイミングで出してみます！（それにしても難しい…）
手も足も出ない難問でした！
ADとBDが6cmで、Ｃが90度A角とB角が2等分なので6cmの高さが半分3cm←直感DとCに線を引き、三角形を2つに考えるとADCとBCDの3角形面積が6×3➗2で面積がひとつ9cmなので9cm➕9cmで免責が18cmとかんがえました！😊色々な解き方があるのだなぁと思いました
Cを通ってADに平行な線を引き△ADCの面積移動で∠AC'D＝90になる点C'をとると△AC'DはADを斜辺とする直角二等辺三角形になる。同様に△BDCも直角二等辺三角が作れる。この二つを合わせると対角線が6センチの正方形となるので求める面積は６×６÷２＝１８と求まる。
ABの中点をEとすると、CD : DE = √2 : 1 (角の二等分線の性質)、三角形ADBは頂角45度の二等辺の面積と考えると、求める面積はその√2倍ですぐ解けるのでは？
コメントをいただきありがとうございます。"算数"オリンピックの問題なのでルートを使わず解くというのが最終的な目的になります。三平方の定理や三角関数など数学的な考え方ではなく、算数的なパズルを解く感覚の面白さを感じていただければと思います！
@@manavisquare 直角二等辺三角形の辺の比を 1:1:a と置くと、aが最終的に消去されて、ルートなしでも解けますが、確かに高校入試っぽくて、コンセプトから外れるかもしれませんね。
それは高校でらうでしょ
算数だからルートが使えないのでは？
おすすめに出てきて解いてみましたが三平方の定理を使って無理くりやるのが限界でした。こんなもんを小学生が解くのかと思うと正直ゾッとします。
動画UPお疲れ様です！答えを1つ思いついたので、一旦書いて答え合わせと、最後に1つ疑問が出来たのでコメントします注意）解法に余弦定理を利用しました＜計算＞まず一番大きい三角形は直角二等辺三角形なので、白の三角形の鈍角は、π-1/4π*(1/2)*2=3/4πまた、2π-2*(3/4π)=π/2（90°）から、白三角形の鈍角を中心に短辺6cmを半径とした円を書くと、中には白三角形2個と短辺6cm（長辺6√2cm）の直角二等辺三角形 ー⓪が入る事が分かるこの事から白三角形の面積△S1=1/2*6（底辺）*6√2/2（高さ）=3^2*√2 ー①次ぎに、大きな三角形の面積△S0は短辺をaとすると、△S0=(1/2)a^2 ー②また三平方の定理から、長辺cはc=√2a ー③ここで白の三角形の鈍角3/4πを基準に余弦定理を利用すると、c^2=6^2+6^2-2*6*6*cos(3/4π)=6^2(2+√2)＞②③より、△S0=(1/2)a^2=(1/2)*(c^2/2)=(6/2)^2(2+√2)=3^2*2+3^2*√2 ー④＞①④より求める面積△S2=△S0-△S1=3^2*2=18[cm^2]＜疑問＞求めた面積△S2が、⓪で出現した短辺6cmの直角二等辺三角形と同じ面積でしたこのことから図形変形をすると重ねられるのかと模索したのですが、マッチさせる事が出来ずギブアップです😂＜感想＞素晴らしいです！！手裏剣型にして算数で解けるようにする方法も、別解の簡単な図形に変形出来るのも、全く思いつきませんでしたｗ
DからBCに下した垂線の足をEとすると直角三角形DBEができる。また、DからCAに下した垂線の足をFとすると直角三角形ADF（三角形DBEど合同）ができる。直角三角形DBEを４個使って、斜辺BDを１辺とする正方形を作る。そうすると、内部に正方形の空間ができる。実は、その空間は、CDを１辺とする正方形になる。したがって、求める面積は、１辺を６cmとする正方形の面積の半分、18平方cmになる。
久しぶりに見たら、答えが判っているだけに解法も単純化できるね。DE⊥AC、DEを対称軸として点Aを複写した点F。BD＝AD＝DF＝6、∠ADB＝∠ADF＝135°、∠BDF＝90°、△DBFは目的の直角二等辺三角形BCを対称軸として点Dを複写した点G。∠DBG＝45°だから点GはBF上の点DG∦AFだから、△CDG＝△FDG、△DBF＝□DBFC＝□DBCA
別解わかりやすくて良きです。
CからADの延長線に向けて垂線引くのが楽な気がする。その交点をEとしたら、三角形の合同と二等辺三角形の性質考えればCEが3cmと分かる。あとは△ADCの面積は6×3÷2で9。求める面積はそれが2つ分で18。
1辺6センチの正方形の中に、赤の部分を２つ分敷き詰める。赤い部分は直角のところで45度に分けます。で、それを、斜辺6センチの直角三角形と、45度の直角三角形に分ける。これを2組ぶん、三角形4つづつ、合計８個並べます。中心に45度直角三角形4個を正方形に中が×のレイアウトで、周囲に直角三角形を4個、6センチの辺を外側にして並べる。斜辺6センチの直角三角形の残りの長い方の辺は、短辺と45度3角形の斜辺を足したものと同じ長さなので、綺麗にハマります。2つ分使ったので、求める面積は36/2で18です。
別解の計算式を用いたやり方ではすぐに解けたのだが先の図解から説く方法は解を求め終わるまでに20分ほど悩んだ…
三平方の定理無しで解くのはかなりヤバいすね。開成中クラスはこういうのがでるんですかね？
ホント良い問題😄考え方の基礎力が上がる😊人生においても色んな考え方があると、いざというときに役に立つ😁
なかなか面白い問題ですね。
三角形ABDはSIN135°を使えば面積がでますが三平方の定理を使えないように封じ込まれた問題ですね（汗）
別解法 白の面積は頂角４５度斜辺6の二等辺三角形となる。(二等辺三角形の半分が２つある)。６/√２*6/2また、CからＡＢに垂線を引き直角二等辺三角形を２分すると辺の比が1、√２となる頂角４５度の三角形となる。底辺の比は１対√２となり、高さが等しいので面積比は１対√２となる。したがって赤の面積は白の√２倍となる。18
本質は ここでも 細分化ですね！細分化するのは どうしたら解けるか？問題が解ける道を探すために 細分化する！素晴らしい！ここがわかれば 多くの子供は数学の天才に！(笑)
辺abの長さをaとおくとa^2=36+36ｰ72cos135ﾟa^2=72+36√2△abcは直角二等辺三角形であるため面積は対角線×対角線×1/4と表される。△abcの面積をSとすると、S=(72+36√2)/4=18+9√2△abdの面積は1/2×6×6×sin135ﾟ=9√2よって四角形acbdの面積は18+9√2ｰ9√2=18 (cm^2)
(別解?)ac,abの長さをxとすると2x^2=72+36√2x^2=36+18√2x=3√(4+2√2)ブラーマグプタの定理における半周長をsとするとs=3√(4+2√2)+6四角形acbdの面積をSとするとブラーマグプタの定理よりS=√{(3√(4+2√2))^2(3√(4+2√2)ｰ6√(2+√2)+6)^2}=18√(ｰ(4+2√2)(1+2√2))=18√(ｰ(12+10√2))よって四角形acbdの面積は18√(12+10√2)i (cm^2) (iは虚数単位)
@@كبريتاتالباريوم 算数オリンピックってルートおっけいでしたっけ？？
ルートもダメだし、サインコサインもアウトやね
@@كبريتاتالباريوم ac≠ab,四角形acbdが円に内接する条件が満たされてないので使えませんね。
ぱっと見4つの三角形に分けると求める面積は全体の直角二等辺三角形の2√2/(2＋2√2)からスタートして三平方で解けましたがそこそこの計算量でした。
辺の長さを求める三平方の定理の式(6^2=a^2+b^2)に(a^2+ab)を代入して面積を導く。計算はできても、なかなかピンとこないです。
比で解くのが簡単な気がしますね。計算方法より、答えが先に見えると難しく感じます
コメントをいただきありがとうございます。答えが先に見えると難しく感じるという感覚、とてもよくわかります。一部の情報サイトなので信憑性は不明ですが、「解き方がわからずとも、答えを導き出すことができた人が多かった」というようなことが書かれており、しっかりと解けた人が少なかったのではないかなと思います。
既出かもしれないけど・・・求めたいのは三角形２つと三角形の短辺を一辺とする正方形。角度４５度を利用すると、正方形の面積は（長辺―短辺）ｘ1/2ｘ（長辺―短辺）となる。それで、２倍して三角形４つと正方形２つを求める。すなわち、1/2ｘ長辺ｘ短辺ｘ４＋（長辺ー短辺）＾２。それで、三角形４つで一辺が６ｃｍのおなじみの正方形（かざぐるま）をつくると、中に一辺が（長辺―短辺）の正方形ができる。したがって、一辺６ｃｍの正方形は求めたい面積の２倍だと分かる。よって、６ｘ６÷２＝１８ｃｍ２。
図形問題として答えると以下です。(一部省略）DCに線を引く、BCとACを張り付け4角形A(B)DＣＤを作る、点Ｄと点Ｄに線を引く。3角形ＤＣＤは直角2等辺角形です。線ＤＤと平行な線を点Ｃから延ばし、線A(B)Dを延ばした線の交差をEとする。CEDは2等辺三角形、DCDは2等辺三角形、３角形DCDとDEDは高さが等しく同じ面積、従って、三角形A(B)EDを求めれば答えになる。三角形A(B)EＤは線EDと線DA(B)の長さの等しい直角2等辺3角形よって ６×６÷２＝１８平方センチメートルです。
ab ABDの面積a^2+b^2=36から((a+b)^2)/2 - ab = (a^2+b^2)/2 = 18とか
算数オリンピックの22.5度の面積問題の改題だと思ったらこれも算数オリンピックだった。
DからBCに下ろした垂線とBCの交点をE、Dから ACに下ろした垂線と ACの交点をFとします。CDを通るように補助線を引き、ABと補助線の交点をGとします。四角形ADBCから四角形CEDFを切り取って脇に置いておきます。三角形ADFと三角形BDEのそれぞれと合同な三角形をもう1セット作ります。三角形BDEを回転し、三角形ADFの辺AFと三角形BDEの辺EDが、三角形ADFの頂点Aと三角形BDEの頂点Eが重なるように移動させます。先程作った合同な三角形でも同じ操作をし、180度回転させて繋げると、一辺6cmの正方形の中に小さな正方形が現れます。この正方形の一辺の長さはAF-DEですが、三角形AFDと三角形AGDが合同なので、これはAG-DGと同じ、つまりCDと同じ長さになります。CDは、最初に切り取った正方形CEDFの対角線なので、CDを一辺とした正方形の面積は、正方形CEDFの2倍になります。つまり、一辺6cmの正方形の面積は、三角形ADF4個分と正方形CEDF2個分を合わせた面積となります。これは求める面積の2倍なので、求める面積は6×6÷2＝18となります。
これはさすがにお手上げでした。
1:09 マリオに出てくるバッタンの鳴き声
コメントをいただきありがとうございます。初めて言われました…ゲーム実況チャンネルで見て練習しておきます。
中学数学以上の考え方として(6×sin(45°/2))^2+(6×sin(45°/2))×(6×cos(45°/2))=18の考え方もあるが、これだと三角関数表や関数電卓が必要になるか。3:25 これ見た時点で算数での解き方わかった。歳食うと思想が鈍るなあ。
半角の公式を使えば、sin22.5°とcos22.5°が求まるので、関数電卓がなくても大丈夫。
△CAB-△DAB と考えると、θ=22.5°とおいて1/2×(6sinθ+6cosθ)^2 - 1/2×12cosθ×6sinθ=18{(sinθ)^2 + (cosθ)^2 + 2sinθcosθ} - 36sinθcosθ=18となるので、半角の公式も不要ですね。
手裏剣の形を作った時の4つ2等辺三角形を組み合わせると6×6の正四角形になるので真ん中の同じ正四角形と合わせて6×6×2/4＝18cm2手感じで解きました
6×6の正方形じゃなくて、直角二等辺三角形は正方形の半分で、正方形はひし形だから、ひし形の面積を求める公式から6×6÷2＝18となって、手裏剣▽2個分が出ちゃうよね。この解法では、5:00の補助線に気づけるか？と、7:13の赤+黄色＝6cmに気づけるか？が、大きなポイントですね
@@musakojiROCKET 4つの直角二等辺三角形の９０℃の部分を合わせると6×6の正方形になりますよね？〼ではなく☒の形で
@@fhumyh そうだった！ ＾＾；
13:50付近に書いた数式が・・・まあ分かるからセーフか。
コメントをいただきありがとうございます。見直したところ、二乗の位置が間違っておりました、、ご指摘大変助かります。
随分前に紹介されたようなので、コメントにすでに上がっていそうですが、別の解き方で解いたので、紹介しておきます。まず、大人タイム。CDを結びその延長とABの交点をE、さらにその延長上にDEと同じ長さの点をとりD'とすると、△BDE≡△BD'E。D'からBDに垂線を下ろし交点をFとすると、△BD'Fは直角二等辺三角形でBD'＝6なのでD'F＝3√2。よって△BDD'＝△ABD＝6*3√2/2＝9√2。△ABD：四角形ADBC(面積比)＝ED：DC。ED：EC＝EB：CB＝1：√2よって四角形ADBC＝9√2*√2＝18。小学生タイム。着眼点。分かっているのは6だけなので、一辺が6の正方形が作れないか？まず、∠BAC＝45°なのでABを軸に△ABCを「ひっくり返し」て△ABC'を作ると正方形ACBC'ができます。同時にDも移動させるとDC'上にAD'＝6となる点D'を取れます。また、ACを軸に△ADCを「ひっくり返し」て△ACD''を作るとAD''＝6、∠D'AD''＝90°になります。求める面積は、△BCD＝△ACD''なので、四角形ADCD''ですが、DD''//BCなので、ADの延長とBCの交点をEとすると、△CDD''＝EDD''なので、四角形ADCD''＝△AED''になります。ここで∠DCE＝45°、∠CDE＝67.5°なので∠CED＝67.5°。よって、DC＝EC＝CD''なので、∠CED''＝22.5°より、∠AED''=45°。なので、四角形AD'Ed''は１辺6の正方形。正方形AD'ED''＝2*△AED''＝2*四角形ADBC。よって、四角形ADBC＝6*6/2＝18。
三角関数を使わずにこの問題を解ける小学生は天才！！ちなみに 三角関数を使えば、斜辺が６ｃｍの直角三角形が２個と その直角三角形の短辺を１辺とした正方形の和であるので直角三角形２個の面積は 6x6xsin45x0.5=18/√2正方形の面積は 6x6x(1-cos45)x0.5=18-18/√218/√2+18-18/√2=18 となります。
違う解き方で、三角形BCDを取り出して、6cmのBDをその底辺としてみると、高さは3cmになる、ということが図形的に割と簡単にわかりそうです。BDを延長し、BCを斜辺とする直角三角形BCEを描き、直角三角形CDEに着目すると、CEが3cm（6cmの半分）になることが導けます。CDEと合同な直角三角形がBCDの中に隠れてました。
こんな考え方できる小学生、ありえない笑 こういうひらめきができる人が天才なんでしょうね
色々別解があるのですが、どれもなかなか難しい発想が必要になるのですごいですよね。これを小学生が解くと考えると恐ろしいものがあります、、（正解者は比較的多くいたようです。）
むず笑笑でも解説きいて分かったー
ご視聴ありがとうございます！この問題は難しいですよね…
図形を4つ組み合わせて、手裏剣型を作ったところで投了。解説にあったやや傾いた正方形は、私には見えなかった…。悔しいので大人の技でボコボコにしてやりました。
コメントをいただきありがとうございます。斜めになった正方形というのはなかなか見えてこないですよね…最終的には大人パワーでねじ伏せてしまう気持ちとてもわかります笑
赤の三角形の面積1個求めるより4個足して1辺6の正方形にした方が早くね？
私は2個足して対角線6センチの正方形2つにしました
等せきへんけいで、6×3÷2の2個分で18。求めたい部分を真ん中でスパッと割って(45度で)6センチのところを底辺と考えて、そこに斜辺6センチの直角二等辺三角形を置いてみる。求めたい部分の面積は(割ったので半分だけど)、、底辺と高さが同じで等積変形でイケる。イロイロ考えると高さが同じだと言いきれます。6×3÷2×2=18
CD=xとすると△BCDの正弦定理より6/sin45°=x/sin22.5° ∴x=3/cos22.5° 求める面積S=2△BCD=6xsin112.5°=18sin112.5°/cos22.5°=18cos22.5°/cos22.5°=18
私も解法考えました。答えは合っているのですが、等積変形を使うのですが数学が平行の証明が出来ないので平行の証明お願いします。四角形ADBCを二等分にして三角形ADCの面積を求めて二倍にする方法です。まずADを対角線とする正四角形を作成して、直線BDの延長上にある点をEとします。ADは6なので三角形ADEの面積は6×6÷2÷2＝9となります。ここからが問題なんですが、直線CEと直線ADが平行なので直線ADを底辺とする三角形ADEと三角形ADCの面積は等しいので、三角形ADCは9となり、四角形ADBCは9×2＝18となります。点Eから直線ADに垂線を引くと高さ3となるのはすぐわかったのですが、直線ADを底辺とする時な三角形ADCの高さはパソコンで調べて計算しました。角度から平行を証明出来ればよかったのですが、頭悪いので無理でした。
コメントをいただきありがとうございます。これを小学生が解くのはとても難しい問題だと思います。以前まで別のアカウントでコメントをいただいていた方ですよね？
初めてコメントしました。解法は合っていたでしょうか？
どこかのタイミングで別解をアップされるとのことでしたが、別の方法で解いたので一応こちらに。CDで分割。△BCDの外接円を描き、その中心点をOとする。∠BOD=∠BCD*2=90°となり、△BODは直角二等辺三角形になる。また、∠DOC=∠DBC*2=45°となり、∠DOC=∠BDOとなることからDB//OCとなる。このことから△BODは△BCDを等積変形したものとなるため△BODの面積=6*3*1/2=9となり、四角形ADBCの面積は9*2=18となる。円周角の定理は中学の課程らしいですが、算数オリンピックの出題であることを鑑みると外角の定理など交えることで解けるのでそういうのもアリなのかな?と。
比較的シンプルな解法を思いついた気がします。算数ではないですが。・三角形ABCをもう一つ書いて、A'B'C'とする。・求める面積は、1/2 X {（△ABCー△ABD）＋（△A'B'C'ー△A'B'D'）}である。・A'B'D'をもとのABCの中のADE、BDFに移動させてはめこむと、ABCの中は正方形DECFが残る（一辺が a cmの正方形）。移動元のA'B'C'は丸ごと残る（斜辺が2b cmの直角二等辺三角形）。・従って求める面積は、1/2 X（△DECF＋△A’B’C’）＝1/2 X（a^2＋1/2 X 2b Xb）= 1/2 X（a^2＋b^2）=1/2 X 6^2 = 18(cm2)
もう一つ別の解法で解くことができたのでこちらに。点DからBCにおろした垂線との交点をEとする。求める面積は△BCDの面積の2倍、すなわち[BC*ED]で求まる・・・(※1)また、△BDEは22.5°67.5°90°の三角形となる。・・・(※2)ABを斜辺とする直角二等辺三角形をCの反対側に作り、△ABFとする。(つまりAFBCが正方形となる)∠ABD=45°*1/2=22.5°∠FBD=∠FBA+ABD=45°+22.5=67.5°∠FDB=∠ADB*1/2=(180°-22.5°*2)*1/2=67.5°∠FBD=∠FDBとなることから△FBDは二等辺三角形となる。これにより、BDの中点をGとすると△FBGは22.5°67.5°90°の三角形となる。・・・(※3)(※2)と(※3)より、△BDEと△FBGは相似となり、FB:BG=BD:DEとなる。BD=6,BG=3となるので、この式に値を入れるとFB:3=6:EDとなり、FB*ED=3*6=18となる。また、FB=BCであるため、BC*ED=18となる。上記は(※1)の式と同じ値となるため、求める面積は18となる。
コメントをいただきありがとうございます。これは有力な別解ですね！よくこちらの解答を思い付かれましたね、、大変参考になります。
三角比使いたい
正八角形の一辺が６ｃｍ それを囲む正四角形 の面積差を求める問題に見えた。 この方法で解に行った人いないかな？
CDで分割→BCで合わせて45度90度の四角形。2辺が6ｃｍの直角二等辺三角形と比較し、出入り部分の面積が同じことを証明。
補助線２本引いて、平行であることを証明すればOKだね。
垂線を後回しにして、延長線と平行線の交点がいいみたいだね。90度は簡単に検証できる。
コメントをいただきありがとうございます。「CDで分割→BCで合わせて45度90度の四角形」というのがどういった図形を指しているのかが理解できず、、もしよろしければご教示いただけないでしょうか！
BCでBCDを線対称コピーをした図形です。↓の私のレスの返信に解法があります。ua-cam.com/video/LterKWfl3Uc/v-deo.html&lc=Ugz8x0csIo1bsoptwK54AaABAg.9THcc__-r9D9TJ7yuGZegA
ご丁寧にお教えいただきありがとうございます。この解法は初めてお見かけしました。大変参考になります！
これはむずい
私は、三平方の定理を使ってaの値を出してしまいました。a=√(18-9√2)結構簡単にaが求められたので、そんなに難しくは感じませんでした。算数的解法は一切思いつきませんでした。お手上げです。
コメントをいただきありがとうございます。三平方の定理をつかってもなかなかめんどくさい計算になってしまうような問題にはなってるので、よく出来た問題だなぁーと思って問題を眺めておりました。まっちゃん様の解き方の方が私の別解よりも楽に解けてそうなイメージです！これを算数で解く小学生がいると思うとなかなか怖いですよね、、
コメントありがとうございます。私は、△ADEと△BDFをAEとBFが重なるようにくっつけて、頂角45°で2辺が6cmの二等辺三角形を作りました。あとは、底辺のどちらかの点から6cmの辺へ垂線を下ろせば、3√2cmと(6-3√2)cmを2辺とする直角三角形ができるので、三平方の定理より(2a)²=(3√2)²+(6-3√2)と立式でき、比較的簡単にaの値が求まります。算数オリンピックとかでは、このように同じ図形を何枚かくっつけて正方形を作って面積を求めたり、補助線をうまーく引いて角度を求めたり、奇想天外な問題がてんこもりですよね。つくづく若い子たちの頭の柔らかさに驚かされます。これからも、面白い算数(数学)問題の解説動画、楽しみにしています。
↑(6-3√2)²の間違いです。
うわぁ～ ＼(^o^;;;)／最初のふりの『ここかな？ここかな？』の方向に入り込んで、見事に座礁しました ＾＾； ｺｰｻﾝﾃﾞｽもしかして手裏剣か？？？って迷ったところで疲れてギブっす wwwいちど一つの方向に入り込むとなかなか引き返せないって固定観念、コワいですねー oO（でもオモシロかった）
分かり肉……。
コメントをいただきありがとうございます。解説がわかりにくいこと、申し訳ございません。今後よりわかりやすい解説にできるよう、努力して参ります。
４つ合わせれば同じ正方形がもう一つできるから
珍しく解けたんやけど、式が全然違った。それでもいいのかな…
前のコメントでできた直角に等辺三角形の面積は６×３÷２＝９。これが二つあるので９＋９＝１８
半角の公式を使ってシコシコ計算してしまったが、小学生の問題なのね・・・
90×½(1:1) 6×6÷2=18
ええ問題やねぇ。(*^-^*)
数学的な解法でしか解けなかった
半角の公式から求めようとしたのはだめだったか。
この問題は面積を式にした段階(ab+b^2)で、コレは倍角公式の方が計算楽だわ、って気づければ行けたと思いますよ。
正六角形分割でできると思った自分が馬鹿だった
このパターン多いなぁ
ソロモンの悪夢
紙にかいてやって、はかったら1分32.5秒だった
算数オリンピックもネタ切れしていますよ。知識優先の問題が増え、今では数合わせ的になりつつあります。今後どうなるのやら。
答 41cm^2
自力で解けた
一番簡単なのは、正方形になるようcの対角にDを置いて、Dを中心に正方形ABCDを四つ作ると、内部は一辺6cmの正三角形8つからなる正八角形になるので、外側の四角形は12✖️12＝144、内側の正八角形は正三角形8つで6✖️3✖️1/2✖️8＝72、外側の面積は大きな四角形から内部の正八角形を引いて、144➖72で72になります。これを4分の1すれば答えになります。
自分は算数で解く事は諦めて加法定理を使って解きました……。敗北感。あと、多分別解でも解ける小学生は普通にでは無いけどいる様な気がする。
いつも思うけど、こんな大会に出るような子だったら三平方知ってるし使いこなせるだろうけど、算数オリンピックで三平方使ったらバツになるの？
？これ、パタンと向こうに倒して正方形作れば簡単じゃないですか？こんな難しくしなくても解けるよ。
いくつか見たけど、この先生の解法、ちょっとこねくり回しすぎ傾向あるかも。
81ｾﾝﾁﾍｰﾎｰﾒｰﾄﾙ
超絶ゴリ押し6×6×sin135÷2+(6×sin45/2)^2
コメントをいただきありがとうございます。ここの面積を三角関数で求められたのですね！数学的に解く場合では結局それが一番早い解法だと思います。
ごめんなさい、その解法がよく分からなかったので解説お願いします🤲
@@記憶力衰退にびびる者 まずは求める部分の図形を三つに分けます。斜辺が6cmの直角三角形2つと正方形です。その上で合同な直角三角形2つを並べ、鋭角が45度の6cmの二等辺三角形にすると、二等辺三角形の面積は1/2 × 6cm × 6cm × sin45° = 9√2となります。（コメントではsin135°になっています。）次に正方形の面積ですが、上記の斜辺が6cmの直角三角形を考えると、半角の公式より、sin(45°/2)=√(2-√2) / 2と求めることができ、正方形の１辺は6×(√(2-√2) / 2)= 3√(2-√2)と求めることができます。つまり、正方形の面積は、(3√(2-√2))^2 = 9(2-√2)と求めることができます。したがって求める面積は、9√2 + 9(2-√2) = 18㎠となります。
これ小学生が解くの？？
３０秒で、解けました。
なにがなんだかわから変
頭の体操ですね、社会に出たら全く役に立たないけど。
確かに難しい問題ですけど、こういうのが解けたら数学者の素質があるかと問われたら…どうかなと思います。受験秀才の延長ではないでしょうか？
2:10で補助線を引いて作った直角三角形を使って三平方の定理の証明で使われる形、つまり直角三角形4つを使って四畳半一間みたいに並べる方法で考えてみました。
一辺が6㎝の正方形が出来上がり、「真ん中の隙間に2:20で説明してる小さな正方形の対角線の長さ(直角三角形の長辺-短辺に相当)と同じ長さを一辺とした正方形」が出来上がる。
この対角線と一辺の長さを分かりやすくaとすると
赤の面積⇒直角三角形2つ+対角線aの正方形⇒直角三角形2つ+a^2/2・・・①
四畳半一間(一辺6㎝の正方形)=直角三角形4つ+一辺aの正方形⇒直角三角形4つ+a^2・・・②
つまり①=②÷2
よって6×6÷2=18㎝^2
自分も4:54までは同じなのですが
点Dと他の点Dを繋ぎ合わせ、
対角線を引き、そうすると過去にも算数オリンピックや東海中学校でも出た、22.5° 45° 112.5°の三角形が出てくるのでその答えが9㎠なので2倍して18㎠になるという解き方で解きました
この問題はACとBC軸にして展開するよりABを軸にして展開した方がシンプルだと思うんですが、その場合は単元を逸脱するんだろうか。
等積変形は含まれるけど√は出ないし手裏剣を作るより理解しやすい気が。
△BDCと△ADCが合同なので、△ADCをCを軸に時計回りに270°回転させ、BCと線対称になるように△BDCとくっ付けます。（BCの下に来た△ADCのDをD'とします）
そうするとBD=BD'=6cmの□BDCD'ができますが、知る人ぞ知る、ちょっと有名な形になります。
過程は省略させてもらいますが、DD'と平行にCを移動させ、BCが BDもしくはBD'と一致するように動かすとできる△BCDもしくは△BCD'が6cm×6cmの直角二等辺三角形になるので、面積が18㎠と求まります。
もう少し工夫して解ける算数的解法を見つけたので、どこかのタイミングで出してみます！
（それにしても難しい…）
手も足も出ない難問でした！
ADとBDが6cmで、Ｃが90度
A角とB角が2等分なので6cmの高さが半分3cm←直感
DとCに線を引き、三角形を2つに考えると
ADCとBCDの3角形面積が
6×3➗2で面積がひとつ9cm
なので
9cm➕9cmで免責が18cmとかんがえました！😊
色々な解き方があるのだなぁと思いました
Cを通ってADに平行な線を引き△ADCの面積移動で∠AC'D＝90になる点C'をとると△AC'DはADを斜辺とする直角二等辺三角形になる。同様に△BDCも直角二等辺三角が作れる。この二つを合わせると対角線が6センチの正方形となるので求める面積は６×６÷２＝１８と求まる。
ABの中点をEとすると、CD : DE = √2 : 1 (角の二等分線の性質)、三角形ADBは頂角45度の二等辺の面積と考えると、求める面積はその√2倍ですぐ解けるのでは？
コメントをいただきありがとうございます。
"算数"オリンピックの問題なのでルートを使わず解くというのが最終的な目的になります。
三平方の定理や三角関数など数学的な考え方ではなく、算数的なパズルを解く感覚の面白さを感じていただければと思います！
@@manavisquare
直角二等辺三角形の辺の比を 1:1:a と置くと、aが最終的に消去されて、ルートなしでも解けますが、確かに高校入試っぽくて、コンセプトから外れるかもしれませんね。
それは高校でらうでしょ
算数だからルートが使えないのでは？
おすすめに出てきて解いてみましたが
三平方の定理を使って無理くりやるのが限界でした。
こんなもんを小学生が解くのかと思うと正直ゾッとします。
動画UPお疲れ様です！
答えを1つ思いついたので、一旦書いて答え合わせと、
最後に1つ疑問が出来たのでコメントします
注意）解法に余弦定理を利用しました
＜計算＞
まず一番大きい三角形は直角二等辺三角形なので、
白の三角形の鈍角は、π-1/4π*(1/2)*2=3/4π
また、2π-2*(3/4π)=π/2（90°）から、
白三角形の鈍角を中心に短辺6cmを半径とした円を書くと、
中には白三角形2個と短辺6cm（長辺6√2cm）の直角二等辺三角形 ー⓪が入る事が分かる
この事から白三角形の面積△S1=1/2*6（底辺）*6√2/2（高さ）=3^2*√2 ー①
次ぎに、大きな三角形の面積△S0は短辺をaとすると、△S0=(1/2)a^2 ー②
また三平方の定理から、長辺cはc=√2a ー③
ここで白の三角形の鈍角3/4πを基準に余弦定理を利用すると、
c^2=6^2+6^2-2*6*6*cos(3/4π)=6^2(2+√2)
＞②③より、△S0=(1/2)a^2=(1/2)*(c^2/2)=(6/2)^2(2+√2)=3^2*2+3^2*√2 ー④
＞①④より求める面積△S2=△S0-△S1=3^2*2=18[cm^2]
＜疑問＞
求めた面積△S2が、⓪で出現した短辺6cmの直角二等辺三角形と同じ面積でした
このことから図形変形をすると重ねられるのかと模索したのですが、
マッチさせる事が出来ずギブアップです😂
＜感想＞
素晴らしいです！！
手裏剣型にして算数で解けるようにする方法も、
別解の簡単な図形に変形出来るのも、全く思いつきませんでしたｗ
DからBCに下した垂線の足をEとすると直角三角形DBEができる。また、DからCAに下した垂線の足をFとすると直角三角形ADF（三角形DBEど合同）ができる。直角三角形DBEを４個使って、斜辺BDを１辺とする正方形を作る。そうすると、内部に正方形の空間ができる。実は、その空間は、CDを１辺とする正方形になる。したがって、求める面積は、１辺を６cmとする正方形の面積の半分、18平方cmになる。
久しぶりに見たら、答えが判っているだけに解法も単純化できるね。
DE⊥AC、DEを対称軸として点Aを複写した点F。BD＝AD＝DF＝6、∠ADB＝∠ADF＝135°、∠BDF＝90°、△DBFは目的の直角二等辺三角形
BCを対称軸として点Dを複写した点G。∠DBG＝45°だから点GはBF上の点
DG∦AFだから、△CDG＝△FDG、△DBF＝□DBFC＝□DBCA
別解わかりやすくて良きです。
CからADの延長線に向けて垂線引くのが楽な気がする。
その交点をEとしたら、三角形の合同と二等辺三角形の性質考えればCEが3cmと分かる。
あとは△ADCの面積は6×3÷2で9。
求める面積はそれが2つ分で18。
1辺6センチの正方形の中に、赤の部分を２つ分敷き詰める。
赤い部分は直角のところで45度に分けます。
で、それを、斜辺6センチの直角三角形と、45度の直角三角形に分ける。
これを2組ぶん、三角形4つづつ、合計８個並べます。
中心に45度直角三角形4個を正方形に中が×のレイアウトで、
周囲に直角三角形を4個、6センチの辺を外側にして並べる。
斜辺6センチの直角三角形の残りの長い方の辺は、
短辺と45度3角形の斜辺を足したものと同じ長さなので、
綺麗にハマります。
2つ分使ったので、求める面積は
36/2で18です。
別解の計算式を用いたやり方ではすぐに解けたのだが先の図解から説く方法は解を求め終わるまでに20分ほど悩んだ…
三平方の定理無しで解くのはかなりヤバいすね。開成中クラスはこういうのがでるんですかね？
ホント良い問題😄考え方の基礎力が上がる😊人生においても色んな考え方があると、いざというときに役に立つ😁
なかなか面白い問題ですね。
三角形ABDはSIN135°を使えば面積がでますが
三平方の定理を使えないように封じ込まれた問題ですね（汗）
別解法 白の面積は頂角４５度斜辺6の二等辺三角形となる。(二等辺三角形の半分が２つある)。６/√２*6/2
また、CからＡＢに垂線を引き直角二等辺三角形を２分すると辺の比が1、√２となる頂角４５度の三角形となる。底辺の比は１対√２となり、高さが等しいので面積比は１対√２となる。したがって赤の面積は白の√２倍となる。18
本質は ここでも 細分化ですね！細分化するのは どうしたら解けるか？問題が解ける道を探すために 細分化する！素晴らしい！ここがわかれば 多くの子供は数学の天才に！(笑)
辺abの長さをaとおくと
a^2=36+36ｰ72cos135ﾟ
a^2=72+36√2
△abcは直角二等辺三角形であるため面積は対角線×対角線×1/4と表される。
△abcの面積をSとすると、
S=(72+36√2)/4
=18+9√2
△abdの面積は
1/2×6×6×sin135ﾟ
=9√2
よって四角形acbdの面積は
18+9√2ｰ9√2
=18 (cm^2)
(別解?)
ac,abの長さをxとすると
2x^2=72+36√2
x^2=36+18√2
x=3√(4+2√2)
ブラーマグプタの定理における半周長をsとすると
s=3√(4+2√2)+6
四角形acbdの面積をSとするとブラーマグプタの定理より
S=√{(3√(4+2√2))^2(3√(4+2√2)ｰ6√(2+√2)+6)^2}
=18√(ｰ(4+2√2)(1+2√2))
=18√(ｰ(12+10√2))
よって四角形acbdの面積は
18√(12+10√2)i (cm^2) (iは虚数単位)
@@كبريتاتالباريوم 算数オリンピックってルートおっけいでしたっけ？？
ルートもダメだし、サインコサインもアウトやね
@@كبريتاتالباريوم ac≠ab,四角形acbdが円に内接する条件が満たされてないので使えませんね。
ぱっと見4つの三角形に分けると求める面積は全体の直角二等辺三角形の2√2/(2＋2√2)からスタートして三平方で解けましたがそこそこの計算量でした。
辺の長さを求める三平方の定理の式(6^2=a^2+b^2)に(a^2+ab)を代入して面積を導く。計算はできても、なかなかピンとこないです。
比で解くのが簡単な気がしますね。
計算方法より、答えが先に見えると難しく感じます
コメントをいただきありがとうございます。
答えが先に見えると難しく感じるという感覚、とてもよくわかります。一部の情報サイトなので信憑性は不明ですが、「解き方がわからずとも、答えを導き出すことができた人が多かった」というようなことが書かれており、しっかりと解けた人が少なかったのではないかなと思います。
既出かもしれないけど・・・求めたいのは三角形２つと三角形の短辺を一辺とする正方形。角度４５度を利用すると、正方形の面積は（長辺―短辺）ｘ1/2ｘ（長辺―短辺）となる。それで、２倍して三角形４つと正方形２つを求める。すなわち、1/2ｘ長辺ｘ短辺ｘ４＋（長辺ー短辺）＾２。それで、三角形４つで一辺が６ｃｍのおなじみの正方形（かざぐるま）をつくると、中に一辺が（長辺―短辺）の正方形ができる。したがって、一辺６ｃｍの正方形は求めたい面積の２倍だと分かる。よって、６ｘ６÷２＝１８ｃｍ２。
図形問題として答えると以下です。(一部省略）
DCに線を引く、BCとACを張り付け4角形A(B)DＣＤを作る、点Ｄと点Ｄに線を引く。3角形ＤＣＤは直角2等辺角形です。
線ＤＤと平行な線を点Ｃから延ばし、線A(B)Dを延ばした線の交差をEとする。CEDは2等辺三角形、DCDは2等辺三角形、
３角形DCDとDEDは高さが等しく同じ面積、従って、三角形A(B)EDを求めれば答えになる。
三角形A(B)EＤは線EDと線DA(B)の長さの等しい直角2等辺3角形よって ６×６÷２＝１８平方センチメートルです。
ab ABDの面積
a^2+b^2=36
から
((a+b)^2)/2 - ab = (a^2+b^2)/2 = 18
とか
算数オリンピックの22.5度の面積問題の改題だと思ったらこれも算数オリンピックだった。
DからBCに下ろした垂線とBCの交点をE、Dから ACに下ろした垂線と ACの交点をFとします。CDを通るように補助線を引き、ABと補助線の交点をGとします。
四角形ADBCから四角形CEDFを切り取って脇に置いておきます。三角形ADFと三角形BDEのそれぞれと合同な三角形をもう1セット作ります。三角形BDEを回転し、三角形ADFの辺AFと三角形BDEの辺EDが、三角形ADFの頂点Aと三角形BDEの頂点Eが重なるように移動させます。先程作った合同な三角形でも同じ操作をし、180度回転させて繋げると、一辺6cmの正方形の中に小さな正方形が現れます。この正方形の一辺の長さはAF-DEですが、三角形AFDと三角形AGDが合同なので、これはAG-DGと同じ、つまりCDと同じ長さになります。CDは、最初に切り取った正方形CEDFの対角線なので、CDを一辺とした正方形の面積は、正方形CEDFの2倍になります。
つまり、一辺6cmの正方形の面積は、三角形ADF4個分と正方形CEDF2個分を合わせた面積となります。これは求める面積の2倍なので、求める面積は6×6÷2＝18となります。
これはさすがにお手上げでした。
1:09 マリオに出てくるバッタンの鳴き声
コメントをいただきありがとうございます。
初めて言われました…
ゲーム実況チャンネルで見て練習しておきます。
中学数学以上の考え方として
(6×sin(45°/2))^2+(6×sin(45°/2))×(6×cos(45°/2))=18
の考え方もあるが、これだと三角関数表や関数電卓が必要になるか。
3:25 これ見た時点で算数での解き方わかった。歳食うと思想が鈍るなあ。
半角の公式を使えば、sin22.5°とcos22.5°が求まるので、関数電卓がなくても大丈夫。
△CAB-△DAB と考えると、θ=22.5°とおいて
1/2×(6sinθ+6cosθ)^2 - 1/2×12cosθ×6sinθ
=18{(sinθ)^2 + (cosθ)^2 + 2sinθcosθ} - 36sinθcosθ
=18
となるので、半角の公式も不要ですね。
手裏剣の形を作った時の4つ2等辺三角形を組み合わせると6×6の正四角形になるので
真ん中の同じ正四角形と合わせて6×6×2/4＝18cm2
手感じで解きました
6×6の正方形じゃなくて、直角二等辺三角形は正方形の半分で、正方形はひし形だから、ひし形の面積を求める公式から6×6÷2＝18となって、手裏剣▽2個分が出ちゃうよね。
この解法では、5:00の補助線に気づけるか？と、7:13の赤+黄色＝6cmに気づけるか？が、大きなポイントですね
@@musakojiROCKET 4つの直角二等辺三角形の９０℃の部分を合わせると6×6の正方形になりますよね？〼ではなく☒の形で
@@fhumyh
そうだった！ ＾＾；
13:50付近に書いた数式が・・・まあ分かるからセーフか。
コメントをいただきありがとうございます。
見直したところ、二乗の位置が間違っておりました、、
ご指摘大変助かります。
随分前に紹介されたようなので、コメントにすでに上がっていそうですが、
別の解き方で解いたので、紹介しておきます。
まず、大人タイム。
CDを結びその延長とABの交点をE、さらにその延長上にDEと同じ長さの点をとりD'とすると、△BDE≡△BD'E。D'からBDに垂線を下ろし交点をFとすると、△BD'Fは直角二等辺三角形でBD'＝6なのでD'F＝3√2。
よって△BDD'＝△ABD＝6*3√2/2＝9√2。
△ABD：四角形ADBC(面積比)＝ED：DC。ED：EC＝EB：CB＝1：√2
よって四角形ADBC＝9√2*√2＝18。
小学生タイム。
着眼点。分かっているのは6だけなので、一辺が6の正方形が作れないか？
まず、∠BAC＝45°なのでABを軸に△ABCを「ひっくり返し」て△ABC'を作ると正方形ACBC'ができます。同時にDも移動させるとDC'上にAD'＝6となる点D'を取れます。
また、ACを軸に△ADCを「ひっくり返し」て△ACD''を作るとAD''＝6、∠D'AD''＝90°になります。求める面積は、△BCD＝△ACD''なので、四角形ADCD''ですが、DD''//BCなので、ADの延長とBCの交点をEとすると、△CDD''＝EDD''なので、四角形ADCD''＝△AED''になります。ここで∠DCE＝45°、∠CDE＝67.5°なので∠CED＝67.5°。
よって、DC＝EC＝CD''なので、∠CED''＝22.5°より、∠AED''=45°。
なので、四角形AD'Ed''は１辺6の正方形。正方形AD'ED''＝2*△AED''＝2*四角形ADBC。
よって、四角形ADBC＝6*6/2＝18。
三角関数を使わずにこの問題を解ける小学生は天才！！
ちなみに 三角関数を使えば、斜辺が６ｃｍの直角三角形が２個と その直角三角形の短辺を１辺とした正方形の和であるので
直角三角形２個の面積は 6x6xsin45x0.5=18/√2
正方形の面積は 6x6x(1-cos45)x0.5=18-18/√2
18/√2+18-18/√2=18 となります。
違う解き方で、
三角形BCDを取り出して、6cmのBDをその底辺としてみると、高さは3cmになる、ということが
図形的に割と簡単にわかりそうです。
BDを延長し、BCを斜辺とする直角三角形BCEを描き、
直角三角形CDEに着目すると、CEが3cm（6cmの半分）になることが導けます。
CDEと合同な直角三角形がBCDの中に隠れてました。
こんな考え方できる小学生、ありえない笑 こういうひらめきができる人が天才なんでしょうね
色々別解があるのですが、どれもなかなか難しい発想が必要になるのですごいですよね。
これを小学生が解くと考えると恐ろしいものがあります、、
（正解者は比較的多くいたようです。）
むず笑笑
でも解説きいて分かったー
ご視聴ありがとうございます！この問題は難しいですよね…
図形を4つ組み合わせて、手裏剣型を作ったところで投了。解説にあったやや傾いた正方形は、私には見えなかった…。悔しいので大人の技でボコボコにしてやりました。
コメントをいただきありがとうございます。
斜めになった正方形というのはなかなか見えてこないですよね…
最終的には大人パワーでねじ伏せてしまう気持ちとてもわかります笑
赤の三角形の面積1個求めるより4個足して1辺6の正方形にした方が早くね？
私は2個足して対角線6センチの正方形2つにしました
等せきへんけいで、6×3÷2の2個分で18。
求めたい部分を真ん中でスパッと割って(45度で)
6センチのところを底辺と考えて、そこに斜辺6センチの直角二等辺三角形を置いてみる。
求めたい部分の面積は(割ったので半分だけど)、、底辺と高さが同じで等積変形でイケる。
イロイロ考えると高さが同じだと言いきれます。
6×3÷2×2=18
CD=xとすると△BCDの正弦定理より6/sin45°=x/sin22.5° ∴x=3/cos22.5° 求める面積S=2△BCD=6xsin112.5°=18sin112.5°/cos22.5°=18cos22.5°/cos22.5°=18
私も解法考えました。答えは合っているのですが、等積変形を使うのですが数学が平行の証明が出来ないので平行の証明お願いします。
四角形ADBCを二等分にして三角形ADCの面積を求めて二倍にする方法です。
まずADを対角線とする正四角形を作成して、直線BDの延長上にある点をEとします。
ADは6なので三角形ADEの面積は6×6÷2÷2＝9となります。ここからが問題なんですが、直線CEと直線ADが平行なので直線ADを底辺とする三角形ADEと三角形ADCの面積は等しいので、三角形ADCは9となり、四角形ADBCは9×2＝18となります。
点Eから直線ADに垂線を引くと高さ3となるのはすぐわかったのですが、直線ADを底辺とする時な三角形ADCの高さはパソコンで調べて計算しました。角度から平行を証明出来ればよかったのですが、頭悪いので無理でした。
コメントをいただきありがとうございます。
これを小学生が解くのはとても難しい問題だと思います。
以前まで別のアカウントでコメントをいただいていた方ですよね？
初めてコメントしました。解法は合っていたでしょうか？
どこかのタイミングで別解をアップされるとのことでしたが、
別の方法で解いたので一応こちらに。
CDで分割。△BCDの外接円を描き、その中心点をOとする。
∠BOD=∠BCD*2=90°となり、△BODは直角二等辺三角形になる。
また、∠DOC=∠DBC*2=45°となり、∠DOC=∠BDOとなることからDB//OCとなる。
このことから△BODは△BCDを等積変形したものとなるため
△BODの面積=6*3*1/2=9となり、四角形ADBCの面積は9*2=18となる。
円周角の定理は中学の課程らしいですが、算数オリンピックの出題であることを鑑みると
外角の定理など交えることで解けるのでそういうのもアリなのかな?と。
比較的シンプルな解法を思いついた気がします。算数ではないですが。
・三角形ABCをもう一つ書いて、A'B'C'とする。
・求める面積は、1/2 X {（△ABCー△ABD）＋（△A'B'C'ー△A'B'D'）}である。
・A'B'D'をもとのABCの中のADE、BDFに移動させてはめこむと、ABCの中は正方形DECFが残る（一辺が a cmの正方形）。移動元のA'B'C'は丸ごと残る（斜辺が2b cmの直角二等辺三角形）。
・従って求める面積は、1/2 X（△DECF＋△A’B’C’）＝1/2 X（a^2＋1/2 X 2b Xb）= 1/2 X（a^2＋b^2）=1/2 X 6^2 = 18(cm2)
もう一つ別の解法で解くことができたのでこちらに。
点DからBCにおろした垂線との交点をEとする。
求める面積は△BCDの面積の2倍、すなわち[BC*ED]で求まる・・・(※1)
また、△BDEは22.5°67.5°90°の三角形となる。・・・(※2)
ABを斜辺とする直角二等辺三角形をCの反対側に作り、△ABFとする。
(つまりAFBCが正方形となる)
∠ABD=45°*1/2=22.5°
∠FBD=∠FBA+ABD=45°+22.5=67.5°
∠FDB=∠ADB*1/2=(180°-22.5°*2)*1/2=67.5°
∠FBD=∠FDBとなることから△FBDは二等辺三角形となる。
これにより、BDの中点をGとすると△FBGは22.5°67.5°90°の三角形となる。・・・(※3)
(※2)と(※3)より、△BDEと△FBGは相似となり、FB:BG=BD:DEとなる。
BD=6,BG=3となるので、この式に値を入れると
FB:3=6:EDとなり、FB*ED=3*6=18となる。
また、FB=BCであるため、BC*ED=18となる。
上記は(※1)の式と同じ値となるため、求める面積は18となる。
コメントをいただきありがとうございます。
これは有力な別解ですね！よくこちらの解答を思い付かれましたね、、
大変参考になります。
三角比使いたい
正八角形の一辺が６ｃｍ それを囲む正四角形 の面積差を求める問題に見えた。 この方法で解に行った人いないかな？
CDで分割→BCで合わせて45度90度の四角形。2辺が6ｃｍの直角二等辺三角形と比較し、出入り部分の面積が同じことを証明。
補助線２本引いて、平行であることを証明すればOKだね。
垂線を後回しにして、延長線と平行線の交点がいいみたいだね。90度は簡単に検証できる。
コメントをいただきありがとうございます。
「CDで分割→BCで合わせて45度90度の四角形」というのがどういった図形を指しているのかが理解できず、、
もしよろしければご教示いただけないでしょうか！
BCでBCDを線対称コピーをした図形です。↓の私のレスの返信に解法があります。
ua-cam.com/video/LterKWfl3Uc/v-deo.html&lc=Ugz8x0csIo1bsoptwK54AaABAg.9THcc__-r9D9TJ7yuGZegA
ご丁寧にお教えいただきありがとうございます。
この解法は初めてお見かけしました。大変参考になります！
これはむずい
私は、三平方の定理を使ってaの値を出してしまいました。a=√(18-9√2)
結構簡単にaが求められたので、そんなに難しくは感じませんでした。算数的解法は一切思いつきませんでした。お手上げです。
コメントをいただきありがとうございます。
三平方の定理をつかってもなかなかめんどくさい計算になってしまうような問題にはなってるので、よく出来た問題だなぁーと思って問題を眺めておりました。
まっちゃん様の解き方の方が私の別解よりも楽に解けてそうなイメージです！
これを算数で解く小学生がいると思うとなかなか怖いですよね、、
コメントありがとうございます。
私は、△ADEと△BDFをAEとBFが重なるようにくっつけて、頂角45°で2辺が6cmの二等辺三角形を作りました。あとは、底辺のどちらかの点から6cmの辺へ垂線を下ろせば、3√2cmと(6-3√2)cmを2辺とする直角三角形ができるので、三平方の定理より
(2a)²=(3√2)²+(6-3√2)
と立式でき、比較的簡単にaの値が求まります。
算数オリンピックとかでは、このように同じ図形を何枚かくっつけて正方形を作って面積を求めたり、補助線をうまーく引いて角度を求めたり、奇想天外な問題がてんこもりですよね。つくづく若い子たちの頭の柔らかさに驚かされます。これからも、面白い算数(数学)問題の解説動画、楽しみにしています。
↑(6-3√2)²の間違いです。
うわぁ～ ＼(^o^;;;)／
最初のふりの『ここかな？ここかな？』の方向に入り込んで、見事に座礁しました ＾＾； ｺｰｻﾝﾃﾞｽ
もしかして手裏剣か？？？って迷ったところで疲れてギブっす www
いちど一つの方向に入り込むとなかなか引き返せないって固定観念、コワいですねー oO（でもオモシロかった）
分かり肉……。
コメントをいただきありがとうございます。
解説がわかりにくいこと、申し訳ございません。
今後よりわかりやすい解説にできるよう、努力して参ります。
４つ合わせれば同じ正方形がもう一つできるから
珍しく解けたんやけど、式が全然違った。それでもいいのかな…
前のコメントでできた直角に等辺三角形の面積は６×３÷２＝９。これが二つあるので９＋９＝１８
半角の公式を使ってシコシコ計算してしまったが、小学生の問題なのね・・・
90×½(1:1) 6×6÷2=18
ええ問題やねぇ。(*^-^*)
数学的な解法でしか解けなかった
半角の公式から求めようとしたのはだめだったか。
この問題は面積を式にした段階(ab+b^2)で、コレは倍角公式の方が計算楽だわ、って気づければ行けたと思いますよ。
正六角形分割でできると思った自分が馬鹿だった
このパターン多いなぁ
ソロモンの悪夢
紙にかいてやって、はかったら1分32.5秒だった
算数オリンピックもネタ切れしていますよ。知識優先の問題が増え、今では数合わせ的になりつつあります。今後どうなるのやら。
答 41cm^2
自力で解けた
一番簡単なのは、正方形になるようcの対角にDを置いて、Dを中心に正方形ABCDを四つ作ると、内部は一辺6cmの正三角形8つからなる正八角形になるので、外側の四角形は12✖️12＝144、内側の正八角形は正三角形8つで6✖️3✖️1/2✖️8＝72、外側の面積は大きな四角形から内部の正八角形を引いて、144➖72で72になります。これを4分の1すれば答えになります。
自分は算数で解く事は諦めて加法定理を使って解きました……。敗北感。
あと、多分別解でも解ける小学生は普通にでは無いけどいる様な気がする。
いつも思うけど、こんな大会に出るような子だったら三平方知ってるし使いこなせるだろうけど、算数オリンピックで三平方使ったらバツになるの？
？これ、パタンと向こうに倒して正方形作れば簡単じゃないですか？
こんな難しくしなくても解けるよ。
いくつか見たけど、この先生の解法、ちょっとこねくり回しすぎ傾向あるかも。
81ｾﾝﾁﾍｰﾎｰﾒｰﾄﾙ
超絶ゴリ押し
6×6×sin135÷2+(6×sin45/2)^2
コメントをいただきありがとうございます。
ここの面積を三角関数で求められたのですね！
数学的に解く場合では結局それが一番早い解法だと思います。
ごめんなさい、その解法がよく分からなかったので解説お願いします🤲
@@記憶力衰退にびびる者
まずは求める部分の図形を三つに分けます。斜辺が6cmの直角三角形2つと正方形です。
その上で合同な直角三角形2つを並べ、鋭角が45度の6cmの二等辺三角形にすると、二等辺三角形の面積は
1/2 × 6cm × 6cm × sin45° = 9√2となります。（コメントではsin135°になっています。）
次に正方形の面積ですが、上記の斜辺が6cmの直角三角形を考えると、半角の公式より、sin(45°/2)=√(2-√2) / 2と求めることができ、正方形の１辺は6×(√(2-√2) / 2)= 3√(2-√2)と求めることができます。
つまり、正方形の面積は、
(3√(2-√2))^2 = 9(2-√2)と求めることができます。
したがって求める面積は、
9√2 + 9(2-√2) = 18㎠
となります。
これ小学生が解くの？？
３０秒で、解けました。
なにがなんだかわから変
頭の体操ですね、社会に出たら全く役に立たないけど。
確かに難しい問題ですけど、こういうのが解けたら数学者の素質があるかと問われたら…
どうかなと思います。受験秀才の延長ではないでしょうか？