Nel video sono andato un po' troppo di fretta, nel senso che avrei dovuto spiegare meglio la relazione tra l'espressione che ho derivato per il numero di Eulero (detto anche numero di Nepero), cioè il limite di [1+(1/n)]^n, per n che tende all'infinito, e il suo sviluppo decimale che ho scritto alla lavagna. Se nell'espressione [1+(1/n)]^n si considera ad esempio il valore n=1000, ottieniamo [1+(1/1000)]^1000=2,7169... e se aumentiamo il valore di n, aumentiamo la precisione con cui andiamo a determinare le cifre decimali di e. Ovviamente, è possibile "catturare" l'intero numero di Eulero e solo quando il valore di n "raggiunge" l'infinito.
Complimenti per la chiarezza!!! Una spiegazione esaustiva e brillante che non lascia dubbi su quanto mi sono sempre chiesto!!!! Mi auguro una eccellente carriera di docente!!!!
Finalmente, saranno quasi 40 anni che sono curioso di capire il perché sia stato introdotto quel valore e perché è così importante ma non avevo mai trovato una spiegazione decente. Ci voleva tanto a dire che cercavano un valore di a tale che la derivata di a^x fosse uguale ad a^x? Grazie mille, bellissimo video.
Meraviglioso. Dopo tanti anni (più di 60) posso sapere da dove viene e capire il perchè della constante de Eulero. Grazie mille, "muito obrigado" da un braziliano.
Grazie, davvero ben spiegato. Il numero di Eulero è trascendentale, ma a quanto pare, c'è un algoritmo che fornisce il valore di ogni suo decimale; è quindi, in un certo senso, un numero reale ''calcolabile''. Questa caratteristica è propria di pochi numeri reali, perché gli algoritmi numerici sono numerabili, mentre i numeri reali sono più che numerabili!
Bellissimo video. Ho cecato da sempre una strada per la soluzione del limite notevole. E' bello notare che dopo la sua spiegazione è anche facile! Mi chiedo, a questo punto, potrebbe dirci anche il sistema che si usa per calcolare le cifre che compongono il numero "e" con la consapevolezza che la precisione sia quella voluta? (Potrebbe essere la formula di Taylor col resto di Lagrange?)
Efficace, rapido, conciso. Tecnicamente e didatticamente perfetto. Lo prendo. 👌 Sarebbe poi interessante sapere se un analogo di questo numero di Nepero esiste, con definizioni analoghe, anche nel campo delle funzioni a più variabili.
Grazie dell'apprezzamento. Con le funzioni a più variabili il problema si presenta in modo analogo, ma ovviamente bisogna definire quali derivate, o combinazioni di derivate parziali si vogliono considerare. Apparirà comunque sempre la costante matematica e.
Buonasera, grazie per questo video, molto interessante. Il numero di Nepero mi ha sempre affascinata e anche un po' resa perplessa, come se mi sfuggisse qualcosa nel significato... ora ho compreso peró che di fatto è un'utilità matematica che permette una rappresentazione efficacie di molti fenomeni fisici proprio per la sua particolare proprietà nella derivazione e integrazione. Molto chiaro, grazie... anche se.. al famoso "gran ballo degli scienziati" Nepero è triste perché non si integra 😂 vabbeh questa me la potevo risparmiare!!!
Bella lezione, Professore. Anche io mi posi il problema del come spiegare a studenti l' avvento della misteriosa costante 2,7182818etc - - - Possibilmente senza bisogno di parlare di derivata, anche se allora la strada si allunga. Un modo è immaginare che un banchiere ci ha prestato una somma e tenta di fregarci facendo finta di non capire la matematica (anzi forse non capendola sul serio, in tal caso anche se avido forse è in buona fede). Il banchiere prova ad aumentare la frequenza di refresh degli interessi. Mantenendo sempre il tasso nominale che invece è solo annuo, questo il suo errore. Andando oltre la frequenza contrattuale, che e' una volta ogni anno. Applica ricalcolo trimestrale, mensile, giornaliero e così via. Ogni volta riesce a "rimediare" strappandoci (sempre erroneamente!) qualcosa in più. Ma sempre meno. E alla fine una barriera matematica si profila, una misteriosa costante 2,7182818etc compare e si erge a sbarrare la strada all' errore. Tutto questo c' entra con l' esempio storico chiamato 'anatocismo' . - - - Ma il problema, Professore, è che è difficile trovare studenti che pongano la domanda iniziale : dove salta fuori la misteriosa costante 2,7182818etc ? A volte pensano ad altro, tipo diventare calciatori o fotomodelle etc, roba che al singolo fa fare più soldi della matematica. La collettività si impoverisce, e grazie a questo il singolo può realizzare un reddito assurdo: il tutto senza dover imparare la matematica!
e la cosa più bella, caro prof, che l'interepretazione più vicina alla realtà di 'sta roba è di tipo finanziario. Se io ho un euro all'inizio dell'anno ed un tasso di interesse che tende a zero ma ottengo interessi in maniera continua ed anche li capitalizzo in maniera continua alla fine dell'anno ho guadagnato interessi per Eur 1,718281... ecc. Quindi più del 171%. E dunque il vero miracolo è capire come alla fine di ogni anno, potendo guadagnare il 171% con un tasso di interesse pari ad un infinitesimo, la mia e la vostra Banca invece accredita sul conto solo ... l'infinitesimo :)
Davvero molto bello. Complimenti.!!! Volevo chiederti soltanto una cosa riguardante la parte finale, quando cioè dimostri l'unicitá della famiglia di soluzioni per cui f(x)=f'(x). In sostanza, qual è il ragionamento che ti porta ad usare la funzione e^-x in luogo di un'altra?? Chiaramente, va benissimo.pouchè tutto torna! È stata una tua intuizione o la scelta sottende un ragionamento di fondo? Ti ringrazio molto. G
È una scelta naturale. Se parti da f=Ae^x, allora sai che fe^-x=A e siccome la derivata di una costante è uguale a 0, sai che (fe^-x)'=0. Si tratta poi di usare questo fatto alla rovescio, se una funzione g è tale che (ge^-x)'=0, allora sappiamo che, necessariamente, g=Ae^x. Si osserva poi che g=g' è sufficiente come condizione affinché ciò accada. Naturalmente, è possibile prendere la relazione f=f', cioè f'/f=1, cioè df/f=dx e integrare direttamente per arrivare alla stessa conclusione.
Grazie Professore, molto interessante. Mi sembra che anche il numero di Avogadro presenti un certo interesse, magari se ha tempo ce ne potrà parlare in un altro video. Un saluto.
Grazie Professore ! Si chiama "numero di Nepero o Eulero", ma pochi sanno che lo ha usato per primo Bernoulli (svizzero)... nemo profeta in patria... (peraltro la successione di Bernoulli converge MOLTO PIU rapidamente... S=somma_1_infinito(1/k!))
Resto sempre affascinato dai suoi video Prof. 😊 Però io al 3:40 non ho capito, come un limite di 1+1/n con n>~, possa dare esattamente quel numero 2,71828... 🤷♂️
Ad esempio, per n=1000, ottieni (1+(1/1000))^1000=2.7169... se aumenti il valore di n aumenti la precisione con cui andrai a determinare tutte le cifre decimali (ovviamente, potrai "catturare" l'intero numero solo quando il valore di n tende all'infinito).
C'è un motivo per più profondo per cui si esce questo numero? La natura secondo lei ha scelto per esprimersi il numero di nepero e pigreco per qualche motivo? A suo avviso come fa la matematica a descrivere così bene il mondo che ci circonda? Se non lo vedessi con i miei occhio io non riuscirei a crederci.
Bel video... Si riesce a dimostrate Che la soluzione è f(X)=e^x senza usare l' ipotesi iniziale, ovvero senza ipotizzate Che la soluzione è del Tipo f(x)=a^x? Ciao e grazie
Grazie per l'apprezzamento. È un numero che appare dappertutto in matematica. Pensa soltanto all'identità fondamentale di Eulero: e^(iπ)+1=0, che lega e a π, all'unità immaginaria i, e ai numeri 1 e 0.
prof. superlativa la sua esposizione! ho tuttavia notrarto una singolarità nell'applicazione della formula esponenziale quando X= [1+1/n!)^(n!)→ con n!=11→si ha e= 2,718 053 034..; con n!=12 → 2,721 309 894.. con n!=13 si torna ad 1. Che significato dare al fenomeno ? Grazie.
Non mi è chiaro quello che scrivi. Se vuoi fare dei calcoli, prova con l'espressione equivalente (1+x)^(1/x), con x che tende a zero. 13!=6227020800, e x=1/13!=1.6059043836821614599392377170154947932725710503488281266059 × 10^-10. Se inserisco questi numeri nella formula (1+x)^(1/x), ottengo: 2.7182818282407802001721207102225983003013506657935973453520203923
Un motivo puo' essere che n=12 non basta , per ottenere 2,7182818etc si deve prendere il limite per n che tende ad infinito. Un altro motivo e' che al crescere di n aumenta l' errore di approssimazione numerica del pur meraviglioso hardware.
Video molto bello e interessante, mi sembra di essere tornato ad Analisi I. Permettimi però una piccola precisazione noiosa da matematico, che non scalfisce per nulla il video. Quando arrivi a definire il limite lim n->+inf (1+1/n) devi dimostrare che il limite non è nullo (altrimenti f(x)=f'(x) avrebbe la sola soluzione nulla) e che non diverge (altrimenti non ci sarebbero soluzioni). Dimostrare che quel limite non è nullo è banale, è sufficiente notare che 1+1/n>1 per ogni n naturale, mentre per dimostrare che non diverge si può scrivere, per esempio che (1+1/n)^n
Avrei dovuto spiegare meglio. Nell'espressione [1+(1/n)]^n, se ad esempio si considera il valore n=1000, ottieni [1+(1/1000)]^1000=2.7169... se aumenti il valore di n, aumenti la precisione con cui andrai a determinare le cifre decimali di e. Ovviamente, è possibile "catturare" l'intero numero e solo quando il valore di n tende all'infinito.
Per la trascendenza devi sottolineare quale sia il campo dei coefficienti, se dici solamente che non è soluzione di nessun polinomio è ovviamente falso.
E io che ero rimasto alla sommatoria con n che va da 0 a infinito di 1/n! . Non so come sono capitato sul tuo video, ma mi deprimo a vedere come mi sono arrugginito
@@autoricerca fortuna tua ... Io invece sono tra quelli che li trovano anacronistici oltre che pieni di difetti e con scarse proprietà educative. Saluti
@@SergioMiletto8 persino le targhe sono state cambiate da bianco su sfondo nero a nero su sfondi bianco e proprio per essere meglio leggibili. Anche una semplice lavagna con pennarelli delebili multicolori sono migliori di una lavagna stile '800 che quando viene cancellata con il cancellett8 fal professore non torna nemmeno nera ma rimane quella patina bianca che riduce ulteriormente il contrasto già non eccellente. Chissà se nel 2050, oltre alle case green, alle auto totalmente elettriche, avremo anche scuole moderne... in Italia
Non sono sicuro di avere capito se la tua è una battuta, o un'osservazione critica sostanziale? Non va bene "esattamente" perché non possiamo scrivere tutte le cifre decimali?
@@Ingefurly Non sono d'accordo, e è definito esattamente, come numero, dalle relazioni che lo definiscono. Non bisogna confondere il numero e con la sua rappresentazione decimale, che essendo infinita, non permette in effetti di coglierlo nella sua interezza.
@@autoricerca Allora ti esprimi male: in corrispondenza della rappresentazione numerica approssimata (0:14) tu dici "... perchè ha esattamente il valore che ha?..." indicando appunto la sua rappresentazione numerica approssimata. Questo non è corretto. Non dici "... è esattamente definito dalle relazioni che lo definiscono..." (che poi, mi pare una tautologia). E comunque, anche l'avverbio "esattamente" o l'aggettivo "esatto" riferito ad un numero definito da un limite, non mi pare tanto corretto. Tra l'altro, qualsiasi numero ha "esattamente" il valore che ha ed è definito esattamente dalle relazioni che lo definiscono, da questo punto di vista. E' una tautologia, appunto.
@@Ingefurly Salvo alcuni numeri molto speciali, come il numero di Chaitin, se un numero è computabile, allora la sua rappresentazione decimale esiste, anche se può essere infinita, come è il caso di e. La scrittura con i puntini lascia intendere che il numero è computabile, quindi che i suoi decimali siano tutti esattamente definiti, a prescindere che siano esplicitamente conosciuti o meno, come è qui il caso.
Grazie della puntualizzazione. La dicitura "Numero di Nepero" viene usata, in effetti, soprattutto in Italia. Fuori dall'Italia dicono tutti "numero di Eulero". Ma anche in italiano è possibile dire "numero di Eulero".
Grazie per la precisazione, Professore. E per il fatto che è gentile, dote rara. Prendo atto del fatto che qualcuno dice 'Numero di Eulero' come una volta pur nella mia ignoranza facevo io prima che mi correggessero. Non lo sapevo, è proprio vero che non si finisce mai di imparare. Per cui lì per lì non so cosa pensare. - - - A questo punto presumo che sia dentro che fuori d' Italia si puo' dire 'Numero di Nepero' per 2,7182818etc e venir capiti, anche se non ho le prove di questa mia ipotesi . - - - Non so se dire 'Numero di Eulero' è ragionevole . Non so se dire 'Numero di Nepero' è ragionevole . Quindi se c'è una disputa non ho elementi per prendere posizione fra le due. FORSE questi due nomi sono sbagliati entrambi, questa a questo punto la mia unica certezza salomonica, e in attesa che i Lord della cosiddetta "AI" si mettano d' accordo sul come costringerci a dire, forse il nome 2,7182818etc è filosoficamente stimolante e taglia la testa al toro. - - - Resta da capire chi per primo nella storia si imbatté nella nota costante non intera 2,7182818etc Che io sappia un contributo di Eulero fu tipografico ossia l' uso della lettera 'e' per denotare la costante 2,7182818etc Diciamo che se questo è confermato allora resta da capire cosa ci trovava Eulero nella lettera 'e' :-) - - - E a questo punto un terribile dubbio avanza nella mia mente : pi greco è davvero greco ? E in caso di risposta affermativa possiamo anche proporre la ennesima riforma utile anche per distogliere il mondo da eventuale fine della credibilita' del capitalismo, e chiamarlo 'g' ? Oppure no, e allora è meglio introdurre il nome 3,14159etc (notare che dopo '9' segue '2' per cui fermarci al '9' è didatticamente efficiente) ? Oppure pi babilonese ? pi egizio ? pi romano ? pi americano ? pi della "AI" cinese ? :-)
@@johnwayne8212 Naturalmente, quello che racconto è più che noto per chi ha studiato analisi. Ma a volte ci dimentichiamo di quello che sappiamo, o sapevamo, e così, mi auguro, è possibile apprezzare anche dei piccoli "reminder" come questo video, la cui ragione di essere è unicamente didattica.
Una "non risposta". Insignificante e provocatoria. Il video è chiarissimo, anche per chi padroneggia un po' di analisi matematica. Peccato che non è il tuo caso.
Nel video sono andato un po' troppo di fretta, nel senso che avrei dovuto spiegare meglio la relazione tra l'espressione che ho derivato per il numero di Eulero (detto anche numero di Nepero), cioè il limite di [1+(1/n)]^n, per n che tende all'infinito, e il suo sviluppo decimale che ho scritto alla lavagna. Se nell'espressione [1+(1/n)]^n si considera ad esempio il valore n=1000, ottieniamo [1+(1/1000)]^1000=2,7169... e se aumentiamo il valore di n, aumentiamo la precisione con cui andiamo a determinare le cifre decimali di e. Ovviamente, è possibile "catturare" l'intero numero di Eulero e solo quando il valore di n "raggiunge" l'infinito.
Complimenti per la chiarezza!!!
Una spiegazione esaustiva e brillante che non lascia dubbi su quanto mi sono sempre chiesto!!!!
Mi auguro una eccellente carriera di docente!!!!
Grazie per l'apprezzamento!!!!
Prego!
Come si determina il valore??@@autoricerca
Gran bel video! Prenderò spunto da te e dal tuo modo di spiegare chiaro e comprensibile per il mio canale di chimica!
Grazie per l'apprezzamento, e buon lavoro!
senza parole...peccato che piu di uno 👍non si puo dare....grazie Prof per 7 minuti di bellezza.....
Grazie per il gentile apprezzamento
Finalmente, saranno quasi 40 anni che sono curioso di capire il perché sia stato introdotto quel valore e perché è così importante ma non avevo mai trovato una spiegazione decente.
Ci voleva tanto a dire che cercavano un valore di a tale che la derivata di a^x fosse uguale ad a^x?
Grazie mille, bellissimo video.
Ti ringrazio per l'apprezzamento
Ma che meraviglia. Grazie Professore, una chiarezza ineguagliabile. Una pillola di Matematica con la M.
Grazie per l'apprezzamento.
Meraviglioso. Dopo tanti anni (più di 60) posso sapere da dove viene e capire il perchè della constante de Eulero.
Grazie mille, "muito obrigado"
da un braziliano.
Grazie a te per l'ascolto! Da un italo-svizzero.
Ormai i suoi video professore sono una droga! Complimenti, il numero di Nepero è sempre stato un mistero per me...
Ti ringrazio, e a questo punto mi viene da dire che non tutte le droghe sono nocive 😅
@@autoricerca Assolutamente d'accordo!
Oh finalmente un video fuori dalla standardizzazione .......pochi fronzoli e convenevoli, si va dritto al sodo
Bene così 👍
Grazie per l'apprezzamento.
Grazie, davvero ben spiegato. Il numero di Eulero è trascendentale, ma a quanto pare, c'è un algoritmo che fornisce il valore di ogni suo decimale; è quindi, in un certo senso, un numero reale ''calcolabile''. Questa caratteristica è propria di pochi numeri reali, perché gli algoritmi numerici sono numerabili, mentre i numeri reali sono più che numerabili!
Grazie per l'apprezzamento. Esistono in effetti infiniti numeri reali non computabili.
Chiaro e completo, complimenti.
Grazie, molto gentile.
Grazie, professore. Molto interessante
Grazie a te per l'apprezzamento.
Bellissimo video.
Ho cecato da sempre una strada per la soluzione del limite notevole. E' bello notare che dopo la sua spiegazione è anche facile!
Mi chiedo, a questo punto, potrebbe dirci anche il sistema che si usa per calcolare le cifre che compongono il numero "e" con la consapevolezza che la precisione sia quella voluta?
(Potrebbe essere la formula di Taylor col resto di Lagrange?)
Efficace, rapido, conciso. Tecnicamente e didatticamente perfetto. Lo prendo. 👌
Sarebbe poi interessante sapere se un analogo di questo numero di Nepero esiste, con definizioni analoghe, anche nel campo delle funzioni a più variabili.
Grazie dell'apprezzamento. Con le funzioni a più variabili il problema si presenta in modo analogo, ma ovviamente bisogna definire quali derivate, o combinazioni di derivate parziali si vogliono considerare. Apparirà comunque sempre la costante matematica e.
Buonasera, grazie per questo video, molto interessante. Il numero di Nepero mi ha sempre affascinata e anche un po' resa perplessa, come se mi sfuggisse qualcosa nel significato... ora ho compreso peró che di fatto è un'utilità matematica che permette una rappresentazione efficacie di molti fenomeni fisici proprio per la sua particolare proprietà nella derivazione e integrazione. Molto chiaro, grazie... anche se.. al famoso "gran ballo degli scienziati" Nepero è triste perché non si integra 😂 vabbeh questa me la potevo risparmiare!!!
Grazie per l'ascolto e per l'apprezzamento, e per la freddura su Nepero 😂
Grazie Professore.
grazie a te per l’ascolto
Bella lezione, Professore.
Anche io mi posi il problema del come spiegare a studenti l' avvento della misteriosa costante 2,7182818etc
- - -
Possibilmente senza bisogno di parlare di derivata, anche se allora la strada si allunga. Un modo è immaginare che un banchiere ci ha prestato una somma e tenta di fregarci facendo finta di non capire la matematica (anzi forse non capendola sul serio, in tal caso anche se avido forse è in buona fede).
Il banchiere prova ad aumentare la frequenza di refresh degli interessi. Mantenendo sempre il tasso nominale che invece è solo annuo, questo il suo errore. Andando oltre la frequenza contrattuale, che e' una volta ogni anno. Applica ricalcolo trimestrale, mensile, giornaliero e così via. Ogni volta riesce a "rimediare" strappandoci (sempre erroneamente!) qualcosa in più. Ma sempre meno. E alla fine una barriera matematica si profila, una misteriosa costante 2,7182818etc compare e si erge a sbarrare la strada all' errore. Tutto questo c' entra con l' esempio storico chiamato 'anatocismo' .
- - -
Ma il problema, Professore, è che è difficile trovare studenti che pongano la domanda iniziale : dove salta fuori la misteriosa costante 2,7182818etc ?
A volte pensano ad altro, tipo diventare calciatori o fotomodelle etc, roba che al singolo fa fare più soldi della matematica. La collettività si impoverisce, e grazie a questo il singolo può realizzare un reddito assurdo: il tutto senza dover imparare la matematica!
Grazie per il bell'esempio.
Complimenti! Ottima lezione
Grazie per l'apprezzamento.
Grazie, bel video
grazie
Sensazionale ❤
Molto gentile.
e la cosa più bella, caro prof, che l'interepretazione più vicina alla realtà di 'sta roba è di tipo finanziario. Se io ho un euro all'inizio dell'anno ed un tasso di interesse che tende a zero ma ottengo interessi in maniera continua ed anche li capitalizzo in maniera continua alla fine dell'anno ho guadagnato interessi per Eur 1,718281... ecc. Quindi più del 171%. E dunque il vero miracolo è capire come alla fine di ogni anno, potendo guadagnare il 171% con un tasso di interesse pari ad un infinitesimo, la mia e la vostra Banca invece accredita sul conto solo ... l'infinitesimo :)
Il numero di Eulero appare in effetti quando si calcolano i cosiddetti interessi composti.
Davvero molto bello. Complimenti.!!! Volevo chiederti soltanto una cosa riguardante la parte finale, quando cioè dimostri l'unicitá della famiglia di soluzioni per cui f(x)=f'(x).
In sostanza, qual è il ragionamento che ti porta ad usare la funzione e^-x in luogo di un'altra?? Chiaramente, va benissimo.pouchè tutto torna!
È stata una tua intuizione o la scelta sottende un ragionamento di fondo?
Ti ringrazio molto.
G
È una scelta naturale. Se parti da f=Ae^x, allora sai che fe^-x=A e siccome la derivata di una costante è uguale a 0, sai che (fe^-x)'=0. Si tratta poi di usare questo fatto alla rovescio, se una funzione g è tale che (ge^-x)'=0, allora sappiamo che, necessariamente, g=Ae^x. Si osserva poi che g=g' è sufficiente come condizione affinché ciò accada. Naturalmente, è possibile prendere la relazione f=f', cioè f'/f=1, cioè df/f=dx e integrare direttamente per arrivare alla stessa conclusione.
Grazie Professore, molto interessante. Mi sembra che anche il numero di Avogadro presenti un certo interesse, magari se ha tempo ce ne potrà parlare in un altro video. Un saluto.
Grazie per lo spunto. Un saluto.
Bravo, bel video
Grazie!
Complimenti, percorso molto interessante per giustificare la definizione del numero e.
Grazie per l'apprezzamento.
Grazie Professore !
Si chiama "numero di Nepero o Eulero", ma pochi sanno che lo ha usato per primo Bernoulli (svizzero)... nemo profeta in patria...
(peraltro la successione di Bernoulli converge MOLTO PIU rapidamente... S=somma_1_infinito(1/k!))
Sì, la convergenza della serie che indichi è più rapida.
Resto sempre affascinato dai suoi video Prof. 😊
Però io al 3:40 non ho capito, come un limite di 1+1/n con n>~, possa dare esattamente quel numero 2,71828... 🤷♂️
Ad esempio, per n=1000, ottieni (1+(1/1000))^1000=2.7169... se aumenti il valore di n aumenti la precisione con cui andrai a determinare tutte le cifre decimali (ovviamente, potrai "catturare" l'intero numero solo quando il valore di n tende all'infinito).
@@autoricerca Grazie Prof. Ora mi è chiaro. 😊
C'è un motivo per più profondo per cui si esce questo numero? La natura secondo lei ha scelto per esprimersi il numero di nepero e pigreco per qualche motivo? A suo avviso come fa la matematica a descrivere così bene il mondo che ci circonda? Se non lo vedessi con i miei occhio io non riuscirei a crederci.
A queste tue domande, che io sappia, non abbiamo risposte...
Grazie prof e buona Pasqua
Buona pasqua e grazie per l'ascolto.
La matematica... È per molti ma non per tutti.
@@vrcfncpdci probabilmente neanche per molti ma per pochi 🤗
@@gabricco .. Temo di si , alla faccia dei pedagogisti e degli editori di libri scolastici che vogliono farlo credere.
Bel video... Si riesce a dimostrate Che la soluzione è f(X)=e^x senza usare l' ipotesi iniziale, ovvero senza ipotizzate Che la soluzione è del Tipo f(x)=a^x? Ciao e grazie
Grazie dell'apprezzamento. Sì, è sufficiente integrare f'/f =1, usando la funzione logaritmica.
Peccato non aver avuto un professore come lei… vorrei chiedere se questo numero ha applicazioni tecniche reali o x cosa viene utilizzato. Grazie
Grazie per l'apprezzamento. È un numero che appare dappertutto in matematica. Pensa soltanto all'identità fondamentale di Eulero: e^(iπ)+1=0, che lega e a π, all'unità immaginaria i, e ai numeri 1 e 0.
@Simone Buralli grazie xil suggerimento.. andrò al più presto a leggere su wp..
prof. superlativa la sua esposizione! ho tuttavia notrarto una singolarità nell'applicazione della formula esponenziale quando X= [1+1/n!)^(n!)→ con n!=11→si ha e= 2,718 053 034..;
con n!=12 → 2,721 309 894.. con n!=13 si torna ad 1. Che significato dare al fenomeno ?
Grazie.
Non mi è chiaro quello che scrivi. Se vuoi fare dei calcoli, prova con l'espressione equivalente (1+x)^(1/x), con x che tende a zero. 13!=6227020800, e x=1/13!=1.6059043836821614599392377170154947932725710503488281266059 × 10^-10. Se inserisco questi numeri nella formula (1+x)^(1/x), ottengo: 2.7182818282407802001721207102225983003013506657935973453520203923
Un motivo puo' essere che n=12 non basta , per ottenere 2,7182818etc si deve prendere il limite per n che tende ad infinito. Un altro motivo e' che al crescere di n aumenta l' errore di approssimazione numerica del pur meraviglioso hardware.
Grazie per la semplice ma chiara ed efficace dimostrazione.
Grazie per l'apprezzamento.
Grazie prof.
Grazie per l'ascolto.
GRAZIE.
Grazie a te per l'ascolto
Che lezione interessante!
Mi fa piacere, grazie per l'ascolto
Video molto bello e interessante, mi sembra di essere tornato ad Analisi I. Permettimi però una piccola precisazione noiosa da matematico, che non scalfisce per nulla il video. Quando arrivi a definire il limite lim n->+inf (1+1/n) devi dimostrare che il limite non è nullo (altrimenti f(x)=f'(x) avrebbe la sola soluzione nulla) e che non diverge (altrimenti non ci sarebbero soluzioni). Dimostrare che quel limite non è nullo è banale, è sufficiente notare che 1+1/n>1 per ogni n naturale, mentre per dimostrare che non diverge si può scrivere, per esempio che (1+1/n)^n
Sicuramente, hai ragione, avrei potuto mettere molti più puntini sulle "i", che non ho messo. Grazie per il tuo contributo, e per l'apprezzamento.
Ma dov'è la dimostrazione che e è uguale a 2,718...?
Avrei dovuto spiegare meglio. Nell'espressione [1+(1/n)]^n, se ad esempio si considera il valore n=1000, ottieni [1+(1/1000)]^1000=2.7169... se aumenti il valore di n, aumenti la precisione con cui andrai a determinare le cifre decimali di e. Ovviamente, è possibile "catturare" l'intero numero e solo quando il valore di n tende all'infinito.
grazie
Grazie a te per l'ascolto
Bel video! Mi sembra un modo molto carino per presentare il numero e
Grazie per l'apprezzamento
Per la trascendenza devi sottolineare quale sia il campo dei coefficienti, se dici solamente che non è soluzione di nessun polinomio è ovviamente falso.
Hai perfettamente ragione, i coefficienti devono essere razionali.
Non perdo un video
Mi fa piacere!
E io che ero rimasto alla sommatoria con n che va da 0 a infinito di 1/n! . Non so come sono capitato sul tuo video, ma mi deprimo a vedere come mi sono arrugginito
Siamo tutti un po' arrugginiti! 😅
Penso che l’unico altro esempio di funzione che ha la derivata prima uguale a se stessa sia l’asse x, ossia y = 0
In realtà, y=0 è contenuta nella famiglia Ae^x, quando la costante generica A è uguale a 0.
Anno del signore... quasi 2030 ... e stiamo ancora con lavagne e gessetti in stile '800 ...
Adoro i gessetti!
@@autoricerca fortuna tua ... Io invece sono tra quelli che li trovano anacronistici oltre che pieni di difetti e con scarse proprietà educative. Saluti
@@longflyer63 da studente universitario capisco molto meglio se scritto sul gessetto che non su lavagna elettronica
@@SergioMiletto8 persino le targhe sono state cambiate da bianco su sfondo nero a nero su sfondi bianco e proprio per essere meglio leggibili. Anche una semplice lavagna con pennarelli delebili multicolori sono migliori di una lavagna stile '800 che quando viene cancellata con il cancellett8 fal professore non torna nemmeno nera ma rimane quella patina bianca che riduce ulteriormente il contrasto già non eccellente. Chissà se nel 2050, oltre alle case green, alle auto totalmente elettriche, avremo anche scuole moderne... in Italia
Poiché e è irrazionale nessuna successione limitata di cifre è esattamente uguale a e.
Beh... "esattamente" riferito al numero di Nepero non mi pare il migliore degli esordi. 😅
Non sono sicuro di avere capito se la tua è una battuta, o un'osservazione critica sostanziale? Non va bene "esattamente" perché non possiamo scrivere tutte le cifre decimali?
@@autoricerca Sì, è una battuta basata appunto sul fatto che "e" non può essere espresso "esattamente" in forma numerica, ma solo come simbolo.
@@Ingefurly Non sono d'accordo, e è definito esattamente, come numero, dalle relazioni che lo definiscono. Non bisogna confondere il numero e con la sua rappresentazione decimale, che essendo infinita, non permette in effetti di coglierlo nella sua interezza.
@@autoricerca Allora ti esprimi male: in corrispondenza della rappresentazione numerica approssimata (0:14) tu dici "... perchè ha esattamente il valore che ha?..." indicando appunto la sua rappresentazione numerica approssimata. Questo non è corretto. Non dici "... è esattamente definito dalle relazioni che lo definiscono..." (che poi, mi pare una tautologia).
E comunque, anche l'avverbio "esattamente" o l'aggettivo "esatto" riferito ad un numero definito da un limite, non mi pare tanto corretto. Tra l'altro, qualsiasi numero ha "esattamente" il valore che ha ed è definito esattamente dalle relazioni che lo definiscono, da questo punto di vista. E' una tautologia, appunto.
@@Ingefurly Salvo alcuni numeri molto speciali, come il numero di Chaitin, se un numero è computabile, allora la sua rappresentazione decimale esiste, anche se può essere infinita, come è il caso di e. La scrittura con i puntini lascia intendere che il numero è computabile, quindi che i suoi decimali siano tutti esattamente definiti, a prescindere che siano esplicitamente conosciuti o meno, come è qui il caso.
spiegazione essenziale che uno potrebbe mettere su un foglietto da tenere in tasca ( just in case)
Hai ragione, non si sa mai! ;-)
E' detto numero di Nepero . Anche io dicevo 'di Eulero' .
Grazie della puntualizzazione. La dicitura "Numero di Nepero" viene usata, in effetti, soprattutto in Italia. Fuori dall'Italia dicono tutti "numero di Eulero". Ma anche in italiano è possibile dire "numero di Eulero".
Grazie per la precisazione, Professore. E per il fatto che è gentile, dote rara.
Prendo atto del fatto che qualcuno dice 'Numero di Eulero' come una volta pur nella mia ignoranza facevo io prima che mi correggessero.
Non lo sapevo, è proprio vero che non si finisce mai di imparare.
Per cui lì per lì non so cosa pensare.
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A questo punto presumo che sia dentro che fuori d' Italia si puo' dire 'Numero di Nepero' per 2,7182818etc e venir capiti, anche se non ho le prove di questa mia ipotesi .
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Non so se dire 'Numero di Eulero' è ragionevole .
Non so se dire 'Numero di Nepero' è ragionevole .
Quindi se c'è una disputa non ho elementi per prendere posizione fra le due.
FORSE questi due nomi sono sbagliati entrambi, questa a questo punto la mia unica certezza salomonica, e in attesa che i Lord della cosiddetta "AI" si mettano d' accordo sul come costringerci a dire, forse il nome 2,7182818etc è filosoficamente stimolante e taglia la testa al toro.
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Resta da capire chi per primo nella storia si imbatté nella nota costante non intera 2,7182818etc
Che io sappia un contributo di Eulero fu tipografico ossia l' uso della lettera 'e' per denotare la costante 2,7182818etc
Diciamo che se questo è confermato allora resta da capire cosa ci trovava Eulero nella lettera 'e' :-)
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E a questo punto un terribile dubbio avanza nella mia mente :
pi greco è davvero greco ? E in caso di risposta affermativa possiamo anche proporre la ennesima riforma utile anche per distogliere il mondo da eventuale fine della credibilita' del capitalismo, e chiamarlo 'g' ?
Oppure no, e allora è meglio introdurre il nome 3,14159etc (notare che dopo '9' segue '2' per cui fermarci al '9' è didatticamente efficiente) ?
Oppure pi babilonese ? pi egizio ? pi romano ? pi americano ? pi della "AI" cinese ? :-)
@@martinlutherwrong4040 La lettera e è stata probabilmente usata perché a, b, c, d erano già occupate... un saluto!
troppo veloce: non ci ho capito niente
Mi dispiace, hai ragione sono stato un po' velocino.
Non si capisce niente. Come divulgatore sei un disastro. Cambia mestiere.
C'è sempre spazio per migliorare. In quale momento del video ti ho perso?
Ah ah ah, basta avere un minimo di basi, tipo liceo.
@@johnwayne8212 Naturalmente, quello che racconto è più che noto per chi ha studiato analisi. Ma a volte ci dimentichiamo di quello che sappiamo, o sapevamo, e così, mi auguro, è possibile apprezzare anche dei piccoli "reminder" come questo video, la cui ragione di essere è unicamente didattica.
Una "non risposta". Insignificante e provocatoria.
Il video è chiarissimo, anche per chi padroneggia un po' di analisi matematica.
Peccato che non è il tuo caso.
Veramente mi sembra proprio #molto chiaro e lineare, almeno a me...
Bel video sul nulla.
Magari, il nulla è davvero difficile da descrivere!