Agradeciendo por el material que compartes, pregunto: ¿en qué bibliografía puedo repasar las propiedades que se han usado?, porque en cálculo diferencial no vimos propiedades con ese calibre y veo que son esenciales.
En el libro de Introducción al Análisis Matemático Bartle puedes encontrar todo lo que necesitas. Igualmente en el curso de cálculo diferencial que tengo está ese vídeo también. Grasa por ver los vídeos!
Bonito ejercicio. Solo comentar que la prueba final usando g se puede evitar. En efecto, para la misma partición P de partida, ya se tiene que (S denota suma superior) S(f,P) = sum_{j=1}_{n} x_j (x_j - x_{j-1}). Luego, usando que x_j > (x_j + x_{j-1})/2, se llega a que S(f,P) > sum_{j=1}_{n} (x_j + x_{j-1}) (x_j - x_{j-1}) /2 = sum_{j=1}_{n} ( [x_j]^2 - [x_{j-1}]^2) /2 = ( [x_n]^2 - [x_{0}]^2) /2 = 1/2. Así, para cualquier partición P de [0,1], S(f,P) > 1/2 > -1/2 > - S(f,P) = s(f,P), donde s denota suma inferior de Darboux. Esto prueba que Integral superior de f >= 1/2 > -1/2 >= integral inferior de f, y así f no es integrable.
@@MathPuresChannel Ya veo. Pero es cierto y más aún, podemos dar un argumento más fuerte. El conjunto de discontinuidades tiene medida (de Lebesgue) diferente de cero (es equipotente con los irracionales), por lo que f no es riemann integrable. Lástima que siempre deba verse la simplona integral de riemann.
Esto lo ocupaba hace 2 meses, gracias, mejor tarde que nunca, sigue asi
Que mal amigo, ya ayudará a las próximas generaciones!
Gracias por tu comentario.
Agradeciendo por el material que compartes, pregunto: ¿en qué bibliografía puedo repasar las propiedades que se han usado?, porque en cálculo diferencial no vimos propiedades con ese calibre y veo que son esenciales.
En el libro de Introducción al Análisis Matemático Bartle puedes encontrar todo lo que necesitas.
Igualmente en el curso de cálculo diferencial que tengo está ese vídeo también.
Grasa por ver los vídeos!
ua-cam.com/video/b3Gsp7W-tBw/v-deo.html
Aquí está el vídeo.
@@MathPuresChannel Muchas gracias maestro
En el examen puse que era integrable jaja Muy buena explicación! Saludos
Bonito ejercicio. Solo comentar que la prueba final usando g se puede evitar. En efecto, para la misma partición P de partida, ya se tiene que (S denota suma superior)
S(f,P) = sum_{j=1}_{n} x_j (x_j - x_{j-1}).
Luego, usando que x_j > (x_j + x_{j-1})/2, se llega a que
S(f,P) > sum_{j=1}_{n} (x_j + x_{j-1}) (x_j - x_{j-1}) /2
= sum_{j=1}_{n} ( [x_j]^2 - [x_{j-1}]^2) /2
= ( [x_n]^2 - [x_{0}]^2) /2
= 1/2.
Así, para cualquier partición P de [0,1],
S(f,P) > 1/2 > -1/2 > - S(f,P) = s(f,P),
donde s denota suma inferior de Darboux. Esto prueba que
Integral superior de f >= 1/2 > -1/2 >= integral inferior de f,
y así f no es integrable.
Excelente, muchas gracias!!!
Más fácil. F no es continua en ningún punto, por lo que f no puede ser integrable.
Este video es de los primeros del curso, aún no se prueban resultados sobre integrabilidad y continuidad.
@@MathPuresChannel Ya veo. Pero es cierto y más aún, podemos dar un argumento más fuerte. El conjunto de discontinuidades tiene medida (de Lebesgue) diferente de cero (es equipotente con los irracionales), por lo que f no es riemann integrable. Lástima que siempre deba verse la simplona integral de riemann.