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この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8Cオイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/過去動画の大学別・分野別の検索はHPからkantaro1966.com
超良問かつ超名解説！
繰り返されることの証明はどうするんですか？
3項間漸化式なら2項が同じなら次も同じです。
鈴木貫太郎 あっそうか！笑返信ありがとうございます！
できた！！！！単純に嬉しい！
解の漸化式で1の位が循環、解の片方はほとんど0と同じのパターンですね
これ、例えばアルファの1002乗が18とかだとしてβの1002乗が0.00001とかなら、アルファの一の位に影響ないんじゃないんですか？8にならない？
αの1002乗は整数になりません。αの1002乗＋βの1002乗が整数で、βの1002乗が0.0000‥‥です。
面白い問題ありがとうございます。以前の3乗根を求める問題もそうですが、2数をペアで扱う問題は面白いですね。今年2020年の京大第2問も面白い類題でした。
7:20 あたり2個繰り返せば自動的に周期が繰り返されるとこになる根拠をどなたか教えてください
３項間の漸化式だから、前２項がわかると次の項がわかるから。第３項は、第１項と第２項、第４項は、第２項と第３項、第５項は、第３項と第４項など・・・だから2個繰り返しがあると、同じ数が出てくることになりますよね。
漸化式とmod10までは出来たのですが、ベータをどう処理したもんかと詰まってしまいました。やはり「ベータの1002はなんなのか」ということを実際の値で考えるように、代数的に文字で解く→実際の値で考えるのコネクトがまだまだ下手くそだと痛感しました。本日もありがとうございました。
おはようございます。一見簡単そうに見えましたが手強いです、さすが東大です。ありがとうございます、
α^n+β^nが必ず整数になることを論じないと試験としては減点されそうかなと思いました
清水紘己 すいませんα^n+β^nがどうして必ず整数になるのか教えてください
かつおくん 三項間漸化式の初項と2こうが整数だったら帰納法で全て整数になりますよ
動画のようにa[n]=α^n+β^nと定義したとして，a[n+2]=6a[n+1]+a[n]という整数係数のみを持つ式で表せる関係が成立してて，a[1]=6，a[2]=(α+β)^2-2αβ=38，つまりa[1]，a[2]ともに整数なので，あとは整数係数のみを持つa[n+2]=6a[n+1]+a[n]に代入すればa[3]以降が求まりますので，整数にしかなりようがない，ってのがざっくりした説明です。きちんと数学的にやるなら，a[1]とa[2]が整数であることを示し，n=kとn=k+1の時，つまりa[k+1]とa[k]が整数であると仮定するなら，n=k+2の時，すなわちa[k+2]=6a[k+1]+a[k]もまた整数となる，といった具合に数学的帰納法で示すのが確実でしょうね。
答えてくださった方ありがとうございました！
最後がラッキーナンバーというのが粋ですね。
早とちりして、8が答えだと思ってしまいました。悔しい！
解けました一年前はこんなの解けなかったので経験って大事ですね
素晴らしい。凄すぎです。感動しました。
数列未履修だったからなんか二項定理とかかなーっておもったら特性方程式とか書いてて死亡
今日の問題は全然ダメでした…漸化式に剰余類、βの見積もりなど最後まで気が抜けない問題ですね。
解けた!なんか既視感がある問題だなぁと、考えながら（というか過去の貫太郎先生の解法を思い出しながら）手を動かしていたら解けました。文字通り朝飯前に解けたけど、解けたので安心してしまってコメントするのが遅くなってしまった。（笑）周期性の利用、漸化式の導出、|β|＜1 の利用など、入試問題必出アイテムのそろい踏み感。この問題が難問なのかどうかはよく分かりませんが（まぁ、私が解けたのだから難問ではないのでしょうが。）標準レベル以上の問題というのは基本的な事項（知識やテクニック）の組み合わせであるということを実感させる問題だと思います。
この問題を見て思い出すこと、「ゴミは何乗してもゴミ」a[n]を10で割った余りがループするのを示すのに手こずったが、a[n]が偶数であることを示せば何とかできた。今年の京大理系2番もいずれ取り上げそうだな
すずきかんたろうさんのおかげで早起きの癖がつきました！！ありがとうございます😊
早くてわかりやすい。アタックチャーンス！
かなり前にやられてた香川大のガウス記号の問題の類題ですね
こんな感じの問題を初見でも解けるようになりたい🙄
おはようございます👦。３回め受講です⤴️。特性方程式と三項間の漸化式を、ヨビノリたくみさんと、貫太郎さんの別の動画でも受講して戻ってきました。
僕高2なんですけど初見で解けたって言ったら信じてくれます？
すいません今日寝坊しました。 今日は昼飯食べながらみます！
8まではつきとめて、またゴミみたいな数字引くの忘れちゃったわ。
βがめちゃくちゃちっちゃくなるのを使うのは今年の京大でも出てた気がしますね
1の位が循環すると考える時についての質問なんですが6→8→2→4→6という風に6が2回目に出ただけでは十分性が足りないのは何故ですか？(２回目の8まで考える必要があるのは何故ですか？)
とりあえず反例を挙げてみます。x^2-12x-1=0の2解をα，β（α>β）とします。a[n]=α^n+β^nとして，動画と同じ手順でa[n+2]=12a[n+1]+a[n]を得ます。mod10α+β=12≡2 ∴a[1]≡2α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=12^2-2*(-1)=146≡6 ∴a[2]≡6a[3]=12a[2]+a[1]≡12*6+2≡4a[4]=12a[3]+a[2]≡12*4+6≡4a[5]=12a[4]+a[3]≡12*4+4≡2a[6]=12a[5]+a[4]≡12*2+4≡8a[7]=12a[6]+a[5]≡12*8+2≡8と，このようにa[5]の時点でa[1]と同じ2が登場しますが，a[6]がa[2]とは一致しないため，その後，繰り返しになりません。とりあえずここまでが反例になります。理論的に言うなれば，a[n+2]はa[n+1]とa[n]の2数が決まって初めて一意に決まる値なので，仮にa[n]のmodがa[1]のmodと同値だったとしても，それだけではa[n+1]のmodがa[2]のmodと同値とは言い切れません。よって，a[n+2]のmodがa[3]のmodと同値になるとは限りません。この説明で大丈夫でしょうか？
K T なるほど！！とても深くわかりました。本当にありがとうございます確認ですが仮に四項間漸化式があるとしたら3個分、循環することを確認すれば良いということですね！
@@ぷーこ-k7w＞仮に四項間漸化式があるとしたら3個分、循環することを確認すれば良いということですね！はい，そういう認識で良いと思います。
K T とても勉強になりました。ありがとうございした
漸化式が思い浮かばず断念...特性方程式って奥が深いです。
二項定理を使おうかなって思ったけど√10はキツかったw
(3+√10)^1002=3^1002+3^1001×(1002)C(1)×(√10)^1+・・・これ以降は√10の2乗、3乗、、、1002乗がでてきますが√(10)^n (n≧2) は 10×(√10)^k の形に表せられますからmod2,mod5,mod10のいずれで考えても≡0として扱うことができるので結局二項定理で展開した後の最初の二項しか考えなくても大丈夫になりますからきつくはならないと思います
wth/ 3^nもmod10で考えれば楽なので、答えを出すだけならこれが最も楽かもしれませんね。ありがとうございます！
@@wth644 (√10)^kについて、kが偶数なら、 (√10)^k≡0(mod10)ですが、 kが奇数なら[(√10)^k]を考える必要があります（[A]は実数Aを超えない最大の整数）。今回は２つ以上の適切でない前提が重なって偶然答えは一致したようですが、本来は単純な二項定理で議論できるものではありません。
@@kskj5672 気づいたんですが確かに無理数が入ってくるのでダメですね。βのほうも用いないと解けなさそうですね
ここの所ずっとmod関連ですね。この問題は、ルート10の偶数乗は10の倍数なので、普通に、二項定理を利用して、α^1002+β^1002を展開して計算すれば、2✖️3^1002＋10の倍数となって解けmath mathita
なるほど、√10が偶数乗の項はmod10で0奇数乗の項はαとβそれぞれの計算結果で符号が異なるので相殺出来るのですねこれなら二項定理が使えますね
@@_safari4476 奇数乗でも10の倍数になりませんか？(√10)^(2n+1)=10×(√10)^(2n-1) (nは整数)
@@wth644 そもそも奇数乗だと√10が残るので無理数になり，倍数という概念自体が当てはめられないと思います。ただ，√10の奇数乗と－√10の奇数乗で足し算すると相殺されるので無視できますね，という話だと思います。
@@KT-tb7xm なるほど、ありがとうございます
2003っていったらπのイメージが強いけど、これも面白い問題ですね。3項間漸化式がサイクリックになってるのがミソですね。
ニュートン多項式と漸化式の交わり的なところで初めて知るとなかなか感動ものですが、最近何かと流行りでこれもいつかパターンとか言われてしまうのでしょうかね
こういう3項間漸化式の問題の動画を貫太郎さんのチャンネルで見てたおかげで暗記で解けた^^
このタイプの問題を初めて解いたとき、β がめちゃくちゃ小さいことに気がつかなかった😞
βのちょっとのやり方、貫太郎さんが時々使うのでできました。成長を感じる･･･
「１の位だけ知りたい」というごく単純な情報を知るために東京大学に入れる位のセンスが必要という数学の奥深さ。
久しぶりに視たら、ホワイトボード新しくなってるわ……！
おはようございます！今日の問題は手は動きましたが、途中で計算ミスをしてしまいました。修行不足なので、しっかり修行して出直してきます！
以前の問題は視聴したのですが、解き方を忘れていました。物理出身だとついテーラー展開なので、高次の項を落とすことを考えてしまいます。一の位なので、合同式で小さい数字に置き換えてからですが。結局は自滅でした。
桁が多い累乗みるだけで吐き気がしてくる
早稲田の2019乗（西暦問題かな？）について、このチャンネルで2020年問題を多く取り上げていたので、2021年（43×47に素因数分解可能）になるまでに紹介しそうですね。
最後の議論のところα^1002の一の位8の可能性はないんですか？
コメントに書いてくれている人もいらっしゃいますが、a^n+b^nが整数になるからです。何故かわからなかったら証明コメントを探してください
ないですね。α^1002+β^1002≡8(mod10)ということはα^1002+β^1002=○○・・・○80
実際計算すると分かりますがα¹⁰⁰²+β¹⁰⁰²=209･･･038α¹⁰⁰²=209･･･037.99999･･･なので可能性は無さそうです。
記述だと結構難しそう
これまた共役意識した問題だこりゃ
ゴミみたいな数って言うの期待してタンゴ
東大か～解けたら格好いいよね。2019年(年号)って結構トレンドですよね(^^♪
鉄緑の例題でやったw
例題じゃなくて問題集だった…(◞‸◟)
二回繰り返せばOKなのはなぜ？
りんご 漸化式の定義からだよ
そっか！β^1002のことを忘れてた笑
漸化式を考える…か！
INTERESTING!!!!!!!!
なんで漸化式になるんですか？
α=3+√10と無理数なので、α^1002はコンピュータを使わないと計算困難しかし、α+β、α^2+β^2、α^3+β^3、…、α^n+β^nが、すべて整数になることは解と係数の関係と基本対象式の性質から予想できるよって整数のみから作られる数列を漸化式で表すことによって、10で割った余りの周期を考える問題に書き直せば、nがどんなに大きくなっても簡単に解けると期待できるこんな感じの思考回路ができれば、あとは一本道です
ks kj すごく納得しました。ありがとうございます
1002番目は６，８，４，２の４つが２５０グループあって次が６，８となり ８が決まる数学のセンスがない自分も今回は理解できる。
1002年の問題
貫太郎先生のお蔭で、簡単な解法の三項間漸化式を導いて、計算に持ち込めば良いことが理解出来ました。先生の変幻自在な解法には、驚嘆しました。一つ賢くなりました。ありがとう😃ございました。
日曜と言うこともあり、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。note.com/pc3taro/n/n3f47668152a5{a_n (mod 10)}の周期性について、厳密には数学的帰納法を使わないといけないように思います。
1の位なので一度循環があればそのあとも同じように循環するのは自明じゃないでしょうか？僕の勉強不足だったらすいません
さすが東大ですねぇ…この式を見て、mod10を思いつく人は多いかと思うけど、さて、これで処理するにはどうしたらいいんだろうと。これがa^1000だったら東大を受けようか、って人では瞬殺なのは目に見えているんで、あえて中途半端な数字を持ってくるあたりが嫌らしい。仮に1002を逆手にとって、mod2で考えるとしたらば、この問題はどうなったんだろうね。
でけたでけたでけた
ua-cam.com/video/QQg1snXpU8w/v-deo.html前の貫太郎さんの動画で同じような問題が紹介されていたようです！
東大の問題ではありますが，使ってる計算自体は高校受験の範囲で完結できてしまうので，国内トップクラスの高校が穴埋め形式くらいでなら出せそうな内容ですよね。
α+β=6、αβ=-1まではたどり着けましたが、苦手な漸化式で手が止まってしまいました。しっかり復習します。
貫太郎さんの以前の動画でも、他大学でも文理を問わず類題が出題されています(2015年筑波大など)が、東大が先駆けなんでしょうか。いまや、一定程度のレベルまでいけば有名問題なんでしょうか。
何故βを考えるかという所が少し適当かと思いました。βは所詮絶対値が1未満の数なので1002回もβをかけるとほぼ0になるのでα^1002+β^1002の1の位にβはほとんど関わらないと予想できる。という方がいいのでは？
それなら偶数回かけるので0に近い正の数としたほうがいい奇数なら負になり、答えも変わる
kazu**** saka**** 奇数回掛けてもほぼ0なのでおおきな差は無いと思います。
実際計算すると分かりますがα¹⁰⁰²+β¹⁰⁰²=209･･･038α¹⁰⁰²=209･･･037.99999･･･なので一の桁変わってくるので、無視出来ません。（確かに大きな差はないけど）そこがこの問題の’ダイゴミ’ですね。
@@しまえなが-s2m 奇数 : 8+0,00・・・001偶数 : 8-0,00・・・001になるので大差はありませんが、一の位自体は変化します。
おそらく0.9999999…=1のようなものを想定した理屈かと思われますがこれと今回のβ^1002には明確な違いがあります今回はあくまでも(3-√10)^1002という、有限な数なので話が違うと考えるといいですかね
2003年に俺が生まれたからこの問題は解ける(適当)
一の位だからから適当に書いたらわんちゃん
論述がないから0点
朝食☀️🍴の支度中に、聴きながら予習しています🙇今日もお疲れ様です。ありがとう😃ございます。😆🍀
私立文系わい低みの見物
いつものゴミみたいな数よぬ
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
過去動画の大学別・分野別の検索はHPからkantaro1966.com
超良問かつ超名解説！
繰り返されることの証明はどうするんですか？
3項間漸化式なら2項が同じなら次も同じです。
鈴木貫太郎
あっそうか！笑返信ありがとうございます！
できた！！！！単純に嬉しい！
解の漸化式で1の位が循環、解の片方はほとんど0と同じのパターンですね
これ、例えばアルファの1002乗が18とかだとしてβの1002乗が0.00001とかなら、アルファの一の位に影響ないんじゃないんですか？8にならない？
αの1002乗は整数になりません。αの1002乗＋βの1002乗が整数で、βの1002乗が0.0000‥‥です。
面白い問題ありがとうございます。以前の3乗根を求める問題もそうですが、2数をペアで扱う問題は面白いですね。
今年2020年の京大第2問も面白い類題でした。
7:20 あたり
2個繰り返せば自動的に周期が繰り返されるとこになる根拠をどなたか教えてください
３項間の漸化式だから、前２項がわかると次の項がわかるから。
第３項は、第１項と第２項、第４項は、第２項と第３項、第５項は、第３項と第４項など・・・
だから2個繰り返しがあると、同じ数が出てくることになりますよね。
漸化式とmod10までは出来たのですが、ベータをどう処理したもんかと詰まってしまいました。
やはり「ベータの1002はなんなのか」ということを実際の値で考えるように、代数的に文字で解く→実際の値で考えるのコネクトがまだまだ下手くそだと痛感しました。
本日もありがとうございました。
おはようございます。一見簡単そうに見えましたが手強いです、さすが東大です。ありがとうございます、
α^n+β^nが必ず整数になることを論じないと試験としては減点されそうかなと思いました
清水紘己 すいません
α^n+β^nがどうして必ず整数になるのか教えてください
かつおくん 三項間漸化式の初項と2こうが整数だったら帰納法で全て整数になりますよ
動画のようにa[n]=α^n+β^nと定義したとして，a[n+2]=6a[n+1]+a[n]という整数係数のみを持つ式で表せる関係が成立してて，a[1]=6，a[2]=(α+β)^2-2αβ=38，つまりa[1]，a[2]ともに整数なので，あとは整数係数のみを持つa[n+2]=6a[n+1]+a[n]に代入すればa[3]以降が求まりますので，整数にしかなりようがない，ってのがざっくりした説明です。
きちんと数学的にやるなら，a[1]とa[2]が整数であることを示し，n=kとn=k+1の時，つまりa[k+1]とa[k]が整数であると仮定するなら，n=k+2の時，すなわちa[k+2]=6a[k+1]+a[k]もまた整数となる，といった具合に数学的帰納法で示すのが確実でしょうね。
答えてくださった方ありがとうございました！
最後がラッキーナンバーというのが粋ですね。
早とちりして、8が答えだと思ってしまいました。悔しい！
解けました
一年前はこんなの解けなかったので経験って大事ですね
素晴らしい。凄すぎです。感動しました。
数列未履修だったからなんか二項定理とかかなーっておもったら特性方程式とか書いてて死亡
今日の問題は全然ダメでした…漸化式に剰余類、
βの見積もりなど最後まで気が抜けない問題ですね。
解けた!
なんか既視感がある問題だなぁと、考えながら（というか過去の貫太郎先生の解法を思い出しながら）手を動かしていたら解けました。
文字通り朝飯前に解けたけど、解けたので安心してしまってコメントするのが遅くなってしまった。（笑）
周期性の利用、漸化式の導出、|β|＜1 の利用など、入試問題必出アイテムのそろい踏み感。この問題が難問なのかどうかはよく分かりませんが（まぁ、私が解けたのだから難問ではないのでしょうが。）標準レベル以上の問題というのは基本的な事項（知識やテクニック）の組み合わせであるということを実感させる問題だと思います。
この問題を見て思い出すこと、「ゴミは何乗してもゴミ」
a[n]を10で割った余りがループするのを示すのに手こずったが、
a[n]が偶数であることを示せば何とかできた。
今年の京大理系2番もいずれ取り上げそうだな
すずきかんたろうさんのおかげで早起きの癖がつきました！！ありがとうございます😊
早くてわかりやすい。アタックチャーンス！
かなり前にやられてた香川大のガウス記号の問題の類題ですね
こんな感じの問題を初見でも解けるようになりたい🙄
おはようございます👦。
３回め受講です⤴️。
特性方程式と三項間の漸化式を、ヨビノリたくみさんと、貫太郎さんの別の動画でも受講して戻ってきました。
僕高2なんですけど初見で解けたって言ったら信じてくれます？
すいません今日寝坊しました。 今日は昼飯食べながらみます！
8まではつきとめて、
またゴミみたいな数字引くの忘れちゃったわ。
βがめちゃくちゃちっちゃくなるのを使うのは今年の京大でも出てた気がしますね
1の位が循環すると考える時についての質問なんですが6→8→2→4→6という風に6が2回目に出ただけでは十分性が足りないのは何故ですか？(２回目の8まで考える必要があるのは何故ですか？)
とりあえず反例を挙げてみます。
x^2-12x-1=0の2解をα，β（α>β）とします。
a[n]=α^n+β^nとして，動画と同じ手順でa[n+2]=12a[n+1]+a[n]を得ます。
mod10
α+β=12≡2 ∴a[1]≡2
α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=12^2-2*(-1)=146≡6 ∴a[2]≡6
a[3]=12a[2]+a[1]≡12*6+2≡4
a[4]=12a[3]+a[2]≡12*4+6≡4
a[5]=12a[4]+a[3]≡12*4+4≡2
a[6]=12a[5]+a[4]≡12*2+4≡8
a[7]=12a[6]+a[5]≡12*8+2≡8
と，このようにa[5]の時点でa[1]と同じ2が登場しますが，a[6]がa[2]とは一致しないため，その後，繰り返しになりません。とりあえずここまでが反例になります。
理論的に言うなれば，a[n+2]はa[n+1]とa[n]の2数が決まって初めて一意に決まる値なので，仮にa[n]のmodがa[1]のmodと同値だったとしても，それだけではa[n+1]のmodがa[2]のmodと同値とは言い切れません。よって，a[n+2]のmodがa[3]のmodと同値になるとは限りません。
この説明で大丈夫でしょうか？
K T なるほど！！とても深くわかりました。本当にありがとうございます
確認ですが仮に四項間漸化式があるとしたら3個分、循環することを確認すれば良いということですね！
@@ぷーこ-k7w＞仮に四項間漸化式があるとしたら3個分、循環することを確認すれば良いということですね！
はい，そういう認識で良いと思います。
K T とても勉強になりました。ありがとうございした
漸化式が思い浮かばず断念...特性方程式って奥が深いです。
二項定理を使おうかなって思ったけど√10はキツかったw
(3+√10)^1002=3^1002+3^1001×(1002)C(1)×(√10)^1+・・・
これ以降は√10の2乗、3乗、、、1002乗がでてきますが
√(10)^n (n≧2) は 10×(√10)^k の形に表せられますから
mod2,mod5,mod10のいずれで考えても≡0として扱うことができるので
結局二項定理で展開した後の最初の二項しか考えなくても大丈夫になりますからきつくはならないと思います
wth/ 3^nもmod10で考えれば楽なので、答えを出すだけならこれが最も楽かもしれませんね。ありがとうございます！
@@wth644 (√10)^kについて、kが偶数なら、 (√10)^k≡0(mod10)ですが、 kが奇数なら[(√10)^k]を考える必要があります（[A]は実数Aを超えない最大の整数）。今回は２つ以上の適切でない前提が重なって偶然答えは一致したようですが、本来は単純な二項定理で議論できるものではありません。
@@kskj5672 気づいたんですが確かに無理数が入ってくるのでダメですね。
βのほうも用いないと解けなさそうですね
ここの所ずっとmod関連ですね。この問題は、ルート10の偶数乗は10の倍数なので、普通に、二項定理を利用して、α^1002+β^1002を展開して計算すれば、2✖️3^1002＋10の倍数となって解けmath mathita
なるほど、√10が偶数乗の項はmod10で0
奇数乗の項はαとβそれぞれの計算結果で符号が異なるので相殺出来るのですね
これなら二項定理が使えますね
@@_safari4476 奇数乗でも10の倍数になりませんか？
(√10)^(2n+1)=10×(√10)^(2n-1) (nは整数)
@@wth644 そもそも奇数乗だと√10が残るので無理数になり，倍数という概念自体が当てはめられないと思います。ただ，√10の奇数乗と－√10の奇数乗で足し算すると相殺されるので無視できますね，という話だと思います。
@@KT-tb7xm なるほど、ありがとうございます
2003っていったらπのイメージが強いけど、
これも面白い問題ですね。
3項間漸化式がサイクリックになってるのがミソ
ですね。
ニュートン多項式と漸化式の交わり的なところで初めて知るとなかなか感動ものですが、最近何かと流行りでこれもいつかパターンとか言われてしまうのでしょうかね
こういう3項間漸化式の問題の動画を貫太郎さんのチャンネルで見てたおかげで暗記で解けた^^
このタイプの問題を初めて解いたとき、β がめちゃくちゃ小さいことに気がつかなかった😞
βのちょっとのやり方、貫太郎さんが時々使うのでできました。
成長を感じる･･･
「１の位だけ知りたい」というごく単純な情報を知るために東京大学に入れる位のセンスが必要という数学の奥深さ。
久しぶりに視たら、ホワイトボード新しくなってるわ……！
おはようございます！
今日の問題は手は動きましたが、途中で計算ミスをしてしまいました。修行不足なので、しっかり修行して出直してきます！
以前の問題は視聴したのですが、解き方を忘れていました。物理出身だとついテーラー展開なので、高次の項を落とすことを考えてしまいます。一の位なので、合同式で小さい数字に置き換えてからですが。結局は自滅でした。
桁が多い累乗みるだけで吐き気がしてくる
早稲田の2019乗（西暦問題かな？）について、このチャンネルで2020年問題を多く取り上げていたので、2021年（43×47に素因数分解可能）になるまでに紹介しそうですね。
最後の議論のところα^1002の一の位8の可能性はないんですか？
コメントに書いてくれている人もいらっしゃいますが、a^n+b^nが整数になるからです。何故かわからなかったら証明コメントを探してください
ないですね。α^1002+β^1002≡8(mod10)ということは
α^1002+β^1002=○○・・・○8
0
実際計算すると分かりますが
α¹⁰⁰²+β¹⁰⁰²=209･･･038
α¹⁰⁰²=209･･･037.99999･･･
なので可能性は無さそうです。
記述だと結構難しそう
これまた共役意識した問題だこりゃ
ゴミみたいな数って言うの期待してタンゴ
東大か～
解けたら格好いいよね。
2019年(年号)って結構トレンドですよね(^^♪
鉄緑の例題でやったw
例題じゃなくて問題集だった…(◞‸◟)
二回繰り返せばOKなのはなぜ？
りんご 漸化式の定義からだよ
そっか！β^1002のことを忘れてた笑
漸化式を考える…か！
INTERESTING!!!!!!!!
なんで漸化式になるんですか？
α=3+√10と無理数なので、α^1002はコンピュータを使わないと計算困難
しかし、α+β、α^2+β^2、α^3+β^3、…、α^n+β^nが、すべて整数になることは解と係数の関係と基本対象式の性質から予想できる
よって整数のみから作られる数列を漸化式で表すことによって、10で割った余りの周期を考える問題に書き直せば、nがどんなに大きくなっても簡単に解けると期待できる
こんな感じの思考回路ができれば、あとは一本道です
ks kj すごく納得しました。ありがとうございます
1002番目は６，８，４，２の４つが２５０グループあって次が６，８となり ８が決まる
数学のセンスがない自分も今回は理解できる。
1002年の問題
貫太郎先生のお蔭で、簡単な解法の三項間漸化式を導いて、計算に持ち込めば良いことが理解出来ました。先生の変幻自在な解法には、驚嘆しました。一つ賢くなりました。ありがとう😃ございました。
日曜と言うこともあり、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。
note.com/pc3taro/n/n3f47668152a5
{a_n (mod 10)}の周期性について、厳密には数学的帰納法を使わないといけないように思います。
1の位なので一度循環があればそのあとも同じように循環するのは自明じゃないでしょうか？僕の勉強不足だったらすいません
さすが東大ですねぇ…
この式を見て、mod10を思いつく人は多いかと思うけど、さて、これで処理するにはどうしたらいいんだろうと。
これがa^1000だったら東大を受けようか、って人では瞬殺なのは目に見えているんで、あえて中途半端な数字を持ってくるあたりが嫌らしい。
仮に1002を逆手にとって、mod2で考えるとしたらば、この問題はどうなったんだろうね。
でけたでけたでけた
ua-cam.com/video/QQg1snXpU8w/v-deo.html
前の貫太郎さんの動画で同じような問題が紹介されていたようです！
東大の問題ではありますが，使ってる計算自体は高校受験の範囲で完結できてしまうので，国内トップクラスの高校が穴埋め形式くらいでなら出せそうな内容ですよね。
α+β=6、αβ=-1まではたどり着けましたが、苦手な漸化式で手が止まってしまいました。しっかり復習します。
貫太郎さんの以前の動画でも、他大学でも文理を問わず類題が出題されています(2015年筑波大など)が、東大が先駆けなんでしょうか。いまや、一定程度のレベルまでいけば有名問題なんでしょうか。
何故βを考えるかという所が少し適当かと思いました。βは所詮絶対値が1未満の数なので1002回もβをかけるとほぼ0になるのでα^1002+β^1002の1の位にβはほとんど関わらないと予想できる。という方がいいのでは？
それなら偶数回かけるので
0に近い正の数としたほうがいい
奇数なら負になり、答えも変わる
kazu**** saka**** 奇数回掛けてもほぼ0なのでおおきな差は無いと思います。
実際計算すると分かりますが
α¹⁰⁰²+β¹⁰⁰²=209･･･038
α¹⁰⁰²=209･･･037.99999･･･
なので一の桁変わってくるので、無視出来ません。（確かに大きな差はないけど）
そこがこの問題の’ダイゴミ’ですね。
@@しまえなが-s2m 奇数 : 8+0,00・・・001
偶数 : 8-0,00・・・001
になるので大差はありませんが、一の位自体は変化します。
おそらく0.9999999…=1のようなものを想定した理屈かと思われますがこれと今回のβ^1002には明確な違いがあります
今回はあくまでも(3-√10)^1002という、有限な数なので話が違うと考えるといいですかね
2003年に俺が生まれたからこの問題は解ける(適当)
一の位だからから適当に書いたらわんちゃん
論述がないから0点
朝食☀️🍴の支度中に、聴きながら予習しています🙇今日もお疲れ様です。ありがとう😃ございます。😆🍀
私立文系わい低みの見物
いつものゴミみたいな数よぬ