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- Опубліковано 5 лют 2025
- 数学オリンピック類題 • 数学オリンピック予選 整数問題
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貫太郎さん、2年前からそのTシャツ着てたんですね！！！
合同式を何度も使っているうちに、何の計算をしているかわからなくなりそう！！
あまり6となってしまいます。どこがおかしいのでしょうか？
13の13乗は、mod11で8あまり。
なので、「13の13乗の13乗」は、「8あまりの13乗」とならないのでしょうか？
以下mod 11で、8x8･･･と13回掛ければいいとおもうのですが、
≡8x8x8x8x8x8x8x8x8x8x8x8x8
≡-3x-3x-3x-3x-3x-3x-3x-3x-3x-3x-3x-3x-3
≡ 9x 9x 9x 9x 9x 9x -3
≡ -2x-2x-2x-2x-2x-2x-3
≡ 4 x 4 x 4 x -3
≡ 5 x 4 x -3
≡ 9 x-3
≡ -27 ≡ -16 ≡ -5 ≡ 6
となって、6あまりとなってしまいます。 どなたかご教授願います。
m≡3^13まではわかったけど、なんでm≡3まで出していいのかわかんない。3^13=10p+qとかで置いてq≡3だからm=3ってこと？
や合同式N1
なんかアクションパズルゲームの連鎖反応みたいに次から次へと合同式の連鎖。
途中何やってるかわかんなくなりそう。
落ち着いて紙に書いてやってみます。
3:34 余り-1の説明がとても分かりやすい！これから機会があったらこのように説明します。
な
13^13を10n+mにするのは思いつけなかったわ…これはおもろいw
初めてこういうタイプの問題が初見で解けました、この人の動画からは二項定理と合同式の使い方にいつも新発見を貰ってます
13と11が互いに素だから、13のべき乗を11で割った余りって1～10が1回ずつ出て来て、11乗目で1乗にループするんじゃないかな…。
そしたら0乗が1だから、ループ考えると10乗を11で割った余りが1になるよね。
から後は同様に思考進めたはずなのですが、暗算してたらどこかで計算間違えて最終的に5と誤答していましたｗ
二項定理と合同式の良さがわかるいい問題ですね
フェルマーの小定理とその拡張のオイラーの定理より
2^10 ≡ 1 (mod 11)
3^4 ≡ 1 (mod 10 ) （ φ(10)=φ(2)*φ(5)=1*4=4 ）
に尽きますね
何度も何度も視させて頂き、流れを覚えてしまいました。 漸化式よりも難しい。
でもこんなにも熱の込められた丁寧な説明でも吞み込みの悪い鈍い自分の頭脳には情けない。
また、ユニークな合同式の動画を期待しています😃ありがとうございます。
じゅうさんのじゅうさんのじゅうさんじょうじょう
か〜やっぱり使う技法は限られてるんだなー整数って。問題そのものがどういうもので、技法がどういうものかを理解して照らし合わせて、同じことを繰り返し使っていくだけで解けるのか。
私もこればかりは暗記気味です
なんかゴリゴリ計算したらなんとか答え出ましたけど、貫太郎さんみたいにもっとスマートなやり方とあったんですね…。もっと精進せねば。
やっと解せました 要はmod1, mod－１の探求
合同式たのしい☺️
大学で言うとどれぐらいの大学のレベル？
この問題は？
いい問題ですね
大学受験ハイレベル
鮮やか。
貫太郎先生と同じ解法でした。途中で法を10にして考えるからちょっと頭が混乱しましたが。
2¹⁰＝1024 なのでこれを11でわったら近い数字になりそうと思ったら1余ったのでラッキーでしたが、貫太郎先生のように順を追って詰めていかないとダメですね。
フェルマーの小定理を使うとこの問題は13^13=10*n + m のmを求めるということになりませんか。
｢？≡1｣を作れたらもう後はこっちのもん、という事か
備忘録3周目👏75G"【 mod11 の合同式を用いると、 13^13¹³ ≡ 2^13¹³ 】
一般化 13¹³＝ n → n 羽の鳩を 下の10個の巣に 順に入れていく作業。
13ⁿ ≡ 2ⁿ ≡ 2, 4, *8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1 ( mod11 ) の繰り返しで、
周期10( 10個の巣 )の周期数列 → ここから、 mod10 の合同式を用いる。
指数 n ＝ 13¹³ ≡ 3¹³ ≡ ( 3⁴ )³ × 3 ≡ 81³ × 3 ≡ 1³× 3 ≡ 3 (番目)
だから、( 与式 )≡ 13ⁿ ≡ 2ⁿ ≡ *8 ( mod11 ) ■〖 鳩の巣原理の応用 〗
指数タワーの基礎部の割る数値の累乗mod周期を探求➡
指数タワーの肩部を2項定理で余り１or－１を探求➡
周期数のmod数で周期の何番目かを探す n ➡
指数タワーの基礎部の割る数値のmodの値^n が答え
こんな感じでいいでしょうか。
@@coscos3060 さん
いいと思います👍
11で割った余りは、10種 ( 10個の巣 ) と分かる。
後は、 鳩を10羽ずつ左から順に入れていくこと
を繰り返す作業です。 【 鳩の巣原理の応用 】
@@UA-camAIYAIYAI さんに認めてもらい嬉しいです
レスポンスありがとうございました。鳩の巣原理、勉強します😃
私の時代は合同式を習わなかったけど、いつのまにか鈴木さんのおかげで身についてます笑
方程式の余りはマイナスでも良かった気がしますが、整数の割り算で余りがマイナスになるのはいけないのでないのでしょうか？？
一般的にはよくないでしょう。7個を3人で分けたとき、1人3個ずつで−2個余りというのは不自然でしょう。
なるほど笑良問
何で計算合わんのかと思ったら、2^0からカウントしてたんで、1個ズレた（笑）。
おもしろい！
答えが合わないので教えて欲しいです 2^169≡(2^5)^33×2^4≡-1×2^4≡ -16≡6
169って何ですか？13^2でなく13^13です。
鈴木貫太郎 そうでしたw 教えていただたきありがとうございます
私が高校生の頃、合同式が教科書になかった時代、この問題をどのようにして解いたか過去の自分に問うてみたいですね。おそらく余りをマイナス１として考える点に気づかなかっただろうな。
a≡b（mod m）のとき
a＾ｒ≡b＾ｒ（mod m）
この公式は、aの値がアホみたいに非常に大きいときに効果を発揮する。
いきなりaをr条するのではなく、aをbに変換してから
bをr条したものをmで割って余りを求めようとする。
合同式は 知れば手放せない考え方ですよね。算数的な考え方でありながら 意外と浸透していない。
鈴木先生は 頻繁にmodを取り上げて頂けるので興味深いです。
Mathematicaに入れるが正解やな。
1番のチート
分かり易さのオンパレード！
mod 11で考えると、11は素数であり、13と11は互いに素なので、フェルマーの小定理より、
13^10 ≡ 1 (mod 11)
これを使うため、13^(13^13) を 13^(10X+Y) の形で表したい。
そこで、13^13について mod 10 で考えると(つまり、10進数の下一桁の値)、
3*3 ≡ 9, 9 * 3 ≡ 7, 7 * 3 ≡ 1 (mod 10)
つまり、13^4 ≡ 1 (mod 10), 13^13 ≡ 3^(4*3+1) ≡ 3 (mod 10) より、指数部は 10X + 3 となる。
13^(13^13) = 13^(10X + 3) ≡ (13^10)^X * 13^3 ≡ 2^3 ≡ 8 (mod 11)
博愛洗濯機 うんわかりません
13^(13^13)≡2^(13^13)(mod11)
ここで
2^10≡1(mod11)を見つける
2^(13^13)≡2^(10n)×2^m≡2^m
（2^(10n)≡1(mod11)より）
まとめると、
13^(13^13)≡2^mだから、13^13を10で割ったあまり(m)が知りたい。
13^13≡3^13≡9^6×3≡(-1)^6×3≡3(mod10)
したがって13^(13^13)≡2^3≡8(mod10)より、求める余りは1,,
ちゃうわ求める余り8や
13^13≡2^13≡(16^3)×2≡5×2≡-1 (mod11)
(13^13)^13≡(-1)^13≡1 (mod11)
うげぇ。。
1001=7×11×13 だから、1024を7や11や13で割った余りは、23を割るだけで済みますね。
答え見てから解法見る日課
13^13^13≒10^10¹⁴こんな大きな数が扱えるなんてすごい。
観測可能な宇宙の範囲の恒星の数10²²
偶然生命が出来てもおかしくないだけの星 10⁴⁰個に1つ
観測可能な宇宙の原子の数10⁸⁰
全宇宙の星の数10¹⁰⁰〜10¹⁷⁷
ジンバブエドルインフレ率10¹⁰⁸ %
既知の最大の素数≒10^10⁷ の更に上
グーゴル数の7乗くらい？
五行Memo ジンバブエがいかにやばいかを示す数値
13≡2(mod11)→与式≡2^13^13このとき2^5=32≡-1(mod11)→2^10≡1与式≡2^3(2^10)^13≡8(1^10)^13≡8としてはいけないんでしょうか？
すっげ、なんかよくわかんないうちに答え求まってるｗ
回答の中で、13＾13＾13＝3・81＾4 ？
10n+mは思いつかぬ！
かんたろう さんは 「フェルマーのしょうていり」というアビリティをみにつけた！（ネタバレ）
13^13¹³ ¹̳̲¹̳̲ 2^13¹³
オイラの定理より2¹⁰ ¹̳̲¹̳̲ 1より
13¹³ ¹̳̲⁰̳̲ 3¹³ ,更にオイラの定理で3⁴ ¹̳̲⁰̳̲ 1
なので3¹³ ¹̳̲⁰̳̲ 3, 2^13 ̂¹³ ¹̳̲¹̳̲ 2³ ¹̳̲¹̳̲ 8
法が素数p（で基数がpと素）の時、指数はp-1で循環するのかな
合同と打ったら、≡が出てくる。
う～む…
それだったら、mod11を(13-2)で考えてみたらどうだったんだろう?
少なくとも、13÷11は余りが２．
…ということは、この式の余りは2以上11以下、という事が類推できるから、そこから引っ張り出せるんでかないかと思ったり。
結構難しい問題ですね。
オイラーのφ関数知ってると楽になりますねー
１３＾１３＾１３の読み方は１３の１３の１３乗乗と言いますよ
たしかにw
大きい数については「巨大数チャンネル」にて
冪2回なのでフェルマーの小定理2回で、なれてくれば暗算も可能ですね。この手の問題は最近の受験でも多いですね。
①小定理からmod.11で10乗すると１に戻るので、指数のmod.10を調べる。
②互いに素であることに気をつければ、mod.10ではオイラー関数φ(10)=4乗で1に戻るので13^13≡3
よって元に戻ってmod.11では2^3≡8
てな感じですね。
（与式）
≡ 2＾（１３＾１３）
≡（2＾１３）＾１３
≡（８１９２）＾１３
≡ ８＾１３
≡ （２＾３）＾１３
≡２＾（１３✖３）
≡２＾３９
≡（２＾１３）✖（２＾１３）✖（２＾１３）
≡８✖８✖８
≡５１２
≡６
SQUP 指数の13のかかり方が間違っています
@@ryotaro6792 どの辺がですか？
@穂音月桜 そうっすね。合同式ですから。
@穂音月桜 これ合同式じゃね？
13^nを11で割った余りが周期10でループすることを示して終わり
11で割った余りを求めるのに10で割った余りを求めるという不思議な感じ
動画視聴ならびに答案のPDFアップが昼前となってしまいました。
note.com/pc3taro/n/n0776f7a5ae1d
動画内で解説のなかった類題も含めて解いてあります。
通学の電車内で解けた。
最初 13¹³ を 11 で割ったあまりを考えてしまってだいぶロスしたけど
2⁵≡-1 から 2¹⁰≡1 に気づけたら瞬殺でした。
知らないとなかなかハードな問題でしたね…。
フェルマーの小定理っていうのをぜひ調べてみてください。
wolframalphaに聞いたら秒で答えが返ってきていいゾ＾～これ（ゆたぼん）
答えが、２０２０ になる様な 良問有りますか？
20+20
2^13^13までは秒でできて
2、4、8、16、32
次の10n+mの変形から13^13(mod10)を考えるところで詰まった。(^◇^;)
解説聞いて理解
何回もこの手の問題をやってわかったのは
指数の馬鹿でかい所を取り敢えずpとでも置いて考えやすくするのがまず第一手ですね。
cool
2^169に合同であることを示すところまで同じでした。2^9(33-1)^32に変形し2^9と合同としました。2^9=512なので、あとは単純に11で割ました。
合同式は慣れてきた気がします。
いちこめ