NOTE: 1) Nella locandina affermo che seno e coseno potrebbero essere spiegati a un bambino, cosa ne pensate? Quando ero studente di liceo scientifico, mooolto tempo fa, tali funzioni venivano introdotte quasi sempre in quarta. Con i nuovi liceo, avendo inserito fisica fin dalla prima, le funzioni goniometriche vengono introdotte in prima poiché sono quasi indispensabili per operare con i vettori. I docenti si sono interrogati sull'opportunità di parlare di argomenti così complessi a studenti così giovani. In realtà, guardando il video, vi renderete conto che che la definizione di seno e coseno è estremamente semplice. Gli unici prerequisiti che servono sono il concetto di coordinate di un punto sul piano cartesiano e quello di numero relativo; entrambi gli argomenti sono introdotti nella classe quinta elementare. Le difficoltà legate alla goniometria sono di tipo tecnico e si incontrano nei problemi più difficili. 2) Al minuto 0:55 affermo che il coseno è un "operatore matematico". Qual è la differenza tra un "operatore" e una "funzione"? Un operatore è un simbolo che denota una specifica operazione che deve essere eseguita su uno o più valori. Ad esempio il simbolo di radice è un operatore. Una funzione è una relazione che associa ogni elemento di un insieme (dominio) a un singolo elemento di un altro insieme (codominio). Matematicamente, una funzione è solitamente indicata come y=f(x), dove f è l'operatore, x è il valore in ingresso e y quello in uscita. In sintesi "cos" è un operatore, "y=cos(x)" è una funzione. Detto questo molte volte si dice per semplicità "la funzione coseno". 3) Al minuto 7:02 affermo che il seno o il coseno di un angolo generico non possono essere calcolati con carta e penna. Questa mia affermazione è stata sbrigativa e non corretta. Infatti, premesso che per angoli generici seno e coseno hanno valori trascendenti e quindi non è possibile indicarne il valore esatto né con numeri decimali né con radicali, è però possibile calcolarne una approssimazione utilizzando carta e penna utilizzando l'analisi matematica. Ad esempio in questo video ua-cam.com/video/aegxtBimioI/v-deo.htmlsi=Fne8mEKFToAb0k2I calcolo, utilizzando somme e prodotti, il coseno di 0,4 radianti (circa 23°) con valore corretto fino alla settima cifra decimale.
Ciao, io ho gia fatto studi un po piu avanzati ma mi piace sempre ripassare le basi per trovare nuove chiavi di lettura. Visto che dici che il coseno è un operatore, mi son venuti in mente i vari operatori che si usano in analisi (operatori differenziali, come derivata, gradiente ecc e quelli usati in fisica quantistica). Cè un'analogia concettuale tra questi operatori e quelli goniometrici, le radici e tutti gli altri? Il concetto di operatore non l'ho mai afferrato del tutto, in università lo buttano li un po così, sarebbe bello un video a riguardo ma riconosco che è un concetto avanzato
Ciao Valerio. video (quasi) interessante. Mi ha un po' deluso perche' pensavo (speravo) che spiegassi, finalmente, come si ricava, carta e penna, il seno e/o il coseno di un angolo. Ad esempio, volendo ricavare, A MANO, il coseno di 34.54 gradi, come faccio? Non me lo ricordo :(
Professore, volevo ringraziarla molto perché la maggior parte degli iscritti del suo favoloso canale sono dei super esperti di matematica. Io sono un semplice appassionato e per questo le sono grato di fare lezioni molto chiare di trigonometria,sicuramente alla mia portata. Veramente grazie
Complimenti Valerio. Forse aggiungerei all'introduzione di questi concetti un breve cenno storico, ovvero dove si evidenzia quali sono i motivi (i problemi) per cui sono nate queste "funzioni". Personalmente ho sempre trovato utile conoscere la storia e i problemi a cui si è cercato di dare un soluzione.
Ciao Valerio, sempre un piacere ascoltare le tue spiegazioni. Anche un bambino ne rimarrebbe affascinato. Non tutti hanno la capacità esplicativa, non è detto che un docente molto preparato sappia spiegare chiaramente la sua materia.
ho solo due appunti da fare: il primo è che il coseno e il seno dell'angolo non sono la lunghezza dei segmenti indicati in figura ma il valore della coordinata x del punto proiezione di P sull'asse delle ascisse per il coseno e della coordinata y della proiezione sull'asse delle ordinate per il seno. In questo modo eviti di definirlo per ogni quadrante. L'altra cosa riguarda la definizione di angolo dinamico: non l'ho sentita ne negli studi di analisi a ingegneria e nemmeno alle superiori, inoltre non l'ho trovata in nessun testo di geometria che possiedo. Ho cercato un po' sul web e sembra essere un giocattolino di carta che fanno alla primaria di questi tempi per rappresentare un angolo usando un cerchio. Era proprio necessario usarla?
"Il coseno di un angolo é una scatola magica che prende quest'angolo e lo trasforma in qualcos'altro" ...la pubblicherei nel "il piccolo principe" ❤😂 scherzi a parte... ottimo video 👍🏼
Sono convinto che i ragazzi possono assorbire molto bene questi concetti quando spiegati in questo modo. Per ragazzi intendo medie. Credo che la oramai antica divisione Piagetiana delle capacità cognitive per fascie d'età sia superata. Grazie a Valerio per questo excursus nei campi pedagogici delle secondarie di primo grado. Ricordo che il mio prof di meccanica all'Itis riusciva a farci digerire le più complesse dimostrazioni attraverso un attento lavoro sui prerequisiti in accordo con altre materie, matematica in primis ( che spiegava meglio lui della prof titolare). Da bravo ingegnere praticante sapeva esattamente quali erano i modi e i nodi da sviscerare e l'esperienza gli insegnava anche quanto doveva insistere in termini di lezioni. Ricordo che in determinati momenti ci faceva fare raffiche di verifiche che poi lui doveva correggere di notte. Per farcele avere il giorno dopo. Quando questo lavoro è fatto da persone preparate e portate alla trasmissione del sapere con la giusta dose di umanità ebbene molti ne traggono un gran bene per la vita intera. Lei Valerio sta facendo un gran bene a migliaia di persone contemporaneamente.
Quand'ero al 1° anno di liceo (scientifico, ancora lo scorso millennio😀), ho avuto negli ultimi mesi un insegnante di matematica che sosteneva che anche un bambino di pochi anni delle elementari potesse comprendere concetti come, ad esempio, derivata o integrale, purché fosse messo nelle condizioni con i necessari fondamenti
Ho fatto un istituto tecnico fine anni 90 inizio anni 200, quindi ti lascio immaginare il livello della matematica insegnata... Seno e coseno sono stati per me uno scoglio, e ogni volta che capisco il concetto, tempo qualche settimana, lo scordo di nuovo... Mi salverò questo video, per rivederlo ogni volta che mi sorge il dubbio!
Grazie Prof.Pattaro! Le note sono interessanti tanto quanto il video: se gli insegnanti fossero come lei, non credo che i bambini di scuole elementari/medie avrebbero difficoltà ad apprendere certi concetti di matematica/fisica, anche più complessi.
Se una cosa cresce o diminuisce linearmente usiamo la proporzione .... Ma se una cosa cresce logaritmicamente o in maniera varia che proporzione si usa?
Credo saremmo anche alcuni secoli avanti Cristo... Sicuramente gli antichi greci conoscevano la trigonometria (parola composta che in greco antico significa "misurare gli angoli"); Talete misurava le distanze tra città sfruttando trigonometria e osservazioni astronomiche, e pure la lunghezza del raggio terrestre (anche se, in verità, non ricordo bene se fosse stato proprio lui...), ottenendo un ottimo risultato non troppo lontano da quello misurato oggi con precisione sempre maggiore. Infine, mi sembra anche che, prima ancora dei greci, pure assiro-babilonesi ed egizi avessero conoscenze di trigonometria.
Ciao Valerio, quali sono i tuoi testi di riferimento? Francamente non ho mai trovato da nessuna parte l'utilizzo del termine "operatore" per una funzione goniometrica. Per quanto mi risulta di solito si usa il termine operatore per funzioni il cui dominio non è numerico ma è fatto da elementi strutturati. Ad esempio la derivata si può vedere come operatore che trasforma una funzione in un'altra. Seno e coseno invece sono funzioni (elementari). Se fai riferimento a qualche testo in particolare sono curioso di sapere quale, grazie
Che strana domanda Gaetano, lo trovi su qualunque libro di algebra. Derivata e integrale sono operatori differenziali, ma qualunque operazione è un operatore. Poi gli operatori sono classificati in base alle loro caratteristiche: unari, binari eccetera
@@ValerioPattaro Che il coseno sia un operatore non c'è in nessun testo. Dato che ci hai tenuto a precisare che il coseno è un operatore mi è parso molto strano
@GaetanoDiCaprio il termine “operatore matematico” ha un significato molto ampio e il coseno ne è un esempio. Ti invito ad approfondire. Se hai poco tempo puoi iniziare a chiedere a ChatGPT cos’è un operatore matematico per poi cercare fonti più autorevoli.
A me lo hanno spiegato differentemente il seno e il coseno, se prendi punto O che è il centro della circonferenza, e un punto P nei I quadrante, e tracci una retta passante tra O e P riesci a calcolare la distanza, certo, puoi avere valori diversi da 1, puoi avere 10 metro, 100 km o anche 10 anni luce, dal punto di vista goniometrico hai 1, ma bisogna capire a che corrisponde questo 1, ed è 1 per un motivo, e se ci rifletti è logico... se hai 3 punti puoi costruire un triangolo, ma come fare a costruire un triangolo, in fondo hai solo 2 punti, è sufficiente che tracci una linea parallela all'asse delle ordinate, e il punto che interseca l'asse delle ascisse lo chiami Q ed ecco che hai costruito un triangolo, ma non è un triangolo qualunque, è un triangolo rettangolo... dove il lato più lungo è l'ipotenusa, il lato OP, quello che congiunge l'origine con il punto P nel I quadrante, e OQ e PQ sono i cateti, il seno, è definito non come il valore del lato PQ, ma dal rapporto tra PQ e OP, quindi: sin(θ)=PQ/OP È chiaro se: -OP=1 E 1 è l'elemento neutro della divisione, allora, il seno sarà: sin(θ)=PQ Quindi il seno è la distanza tra il punto P e il punto Q, è l'altezza del triangolo rettangolo Mentre, il coseno è: cos(θ)=OQ/OP Quindi: cos(θ)=OQ Quindi i, coseno è la distanza tra il punto O e il punto Q Ah, la parola coseno deriva dal latino ed è la contrazione di "complementare al seno" e se il seno indica l'altezza del triangolo rettangolo, il coseno indica la base, e qui è chiaro perché se il seno è 1 il coseno è 0, perché se ha altezza massima ha base minima, e l'angolo è di 90°, e se viceversa, se ha altezza minima ha base massima, perché deve rispettare l'identità di Eulero, se l'ipotenusa non fosse 1 l'identità non può essere rispettata, ecco perché trigonometricamente è 1, infatti se il seno è 0 il coseno è 1 e l'angolo è 0°, per gli altri quadranti il discorso è simile, nel I e III quadrante il seno e il coseno sono concordi, entrambi positivi, quindi maggiori di 0, nel I quadrante ed entrambi negativi, minori di 0 nel III quadrante, mentre per il II e IV quadrante sono discordi, positivo il seno e negativo il coseno nel II quadrante e negativo il seno e positivo il coseno nel IV quadrante, e se ci rifletti arrivi subito a capire il perché, per un angolo di 90°
Io spiego seno e coseno tralasciando la circonferenza goniometrica, troppo matematicamente astratta. Inizio con i triangoli rettangoli e la similitudine: facendo il rapporto tra i cateti e l'ipotenusa di vari triangoli rettangoli simili, verifico che il valore non cambia, deduco quindi che seno e coseno sono coefficienti di proporzionalità tra i cateti e l'ipotenusa e il loro valore dipende dagli angoli del triangolo. In molti libri di fisica del biennio tecnico (per esempio il Ruffo) per calcolare le componenti della forza peso parallela e perpendicolare ad un piano inclinato di un oggetto appoggiato ad esso, evitano seno e coseno e utilizzano le proporzioni.
Secondo me quello che proponi è un ottimo approccio, che in passato ho adottato anch’io nelle classi prime. Può però portare a dei piccoli problemi. Ad esempio nei primi esercizi riguardanti i vettori capita di imbattersi in angoli maggiori di 90°, il che porta ad ampliare la definizione di seno e coseno tramite la circonferenza goniometrica. Quindi quest’anno ho preferito partire dalla definizione sulla circonferenza goniometrica, che non mi sembra abbia creato grosse difficoltà negli studenti.
ciao valerio...in quanto ti ritengo cassazione ti volevo chiedere una cosa...scusa se vado fuori tema..Allora, a livello cronologico solitamente il concetto di opposto viene presentato con l'operazione unaria "-a". Cioè l'opposto lo creo aggiungendo un meno davanti al numero. Esempio: - ( - 5) = 5, - (+ 5) = - 5 e questa sarebbe la definizione piu primitiva da cui poi far partire il resto..Qui non siamo nella sottrazione, quel "-" non è il simbolo dell operazione. Bene, quello che non riesco a farmi andar giù è questo: rimaniamo nella sottrazione. Poi ok, in quanto somma algebrica posso vedere la sottrazione come una somma dell opposto: "a + ( - b )", ma ripeto togliendo questo, volendo rimanere nella sottrazione...Anche l operazione di sottrazione genera l'opposto, no? bene, quindi quello che voglio dire è questo: nel concetto di operazione unaria, la generazione dell' opposto - ( - 3), come detto, si definisce attraverso una definizione, lo si prende quindi per buono senza alcuna dimostrazione. Il punto è che se anche tramite la sottrazione posso giustificare o spiegare la generazione dell'opposto ( con la sottrazione, posso eliminare la sottrazione, sostituendola con l'opposto del sottraendo/i), perché non usare questa per spiegare la generazione dell'opposto, invece di usare, come si fa, prima l operazione unaria per poter poi giustificare come operazione derivata la sottrazione?... cioè perché la necessità di una definizione primitiva se poi quando arrivo successivamente alla sottrazione di fatto non uso quella definizione primitiva, proprio perché anche la sottrazione di suo genera l'opposto ? Cioè è come se si venisse a creare una definizione di partenza non necessaria...non so se sono riuscito a spiegarmi. Mi puoi rispondere con pazienza e chiarezza? grazie
Bel video, a livello generale.. però non condivido il fatto di utilizzare una circonferenza di raggio 1.. se il raggio è generico e si definiscono seno e coseno come rapporto tra segmenti o, più precisamente, come rapporto tra le coordinate del punto P ed il raggio, si capisce che sono numeri puri e, inoltre, i teoremi per la risoluzione del triangolo rettangolo risultano banali conseguenze delle definizioni di seno e coseno.. Anche la misura di un angolo in radianti si vede meglio con la definizione " arco/ raggio ".. inoltre si può far osservare agli alunni che aumentare o diminuire il raggio secondo una determinata proporzione fa aumentare o diminuire le altre lunghezze nella medesima proporzione ma lascia invariati i rapporti tra le lunghezze e gli angoli
Il seno e il coseno li può capire un bambino di dieci anni, ma non spiegati con la circonferenza goniometrica. Incidentalmente, un operatore È una funzione.
Mah...non mi e' piaciuta questa spiegazione . Si inizia sempre dalla definizione e poi si dicono proprieta e osservazioni . E poi sono stati definiti solo sulla circonferenza goniometrica e non sui triangoli rettangoli e come funzioni goniometriche
Un mare di bla,bla,bla,bla,bla…per riuscire a non spiegare cos’è,in modo semplice ,il seno e il coseno. Classica e pessima lezione di”insegnanti” di matematica che fanno allontanare gli studenti da una bellissima ed affascinante materia. POSA IL FIASCO!!!!!!!!!!!!!!!!
Personalmente ritengo sbagliato introdurre e definire seno e coseno a partire dalla circonferenza goniometrica perché se ne vincola la definizione ad ascissa e ordinata di un punto che è un concetto fuorviante, senza dimenticare che la più ingenua domanda dello studente "ma perché il raggio è 1?" resta senza risposta, per non parlare del fatto che lo studente deve capire che si tratta di numeri puri essendo un rapporto tra lunghezze. L'essenza stessa dell'introduzione della circonferenza goniometrica sta proprio nel superare il limite dato dalla definizione basata sul triangolo rettangolo, cosa che così i ragazzi non colgono. Apprezzo sempre i suoi video, questo lo trovo invece di bassa qualità concettuale.
Matonna, non ci posso credere! La lettera θ non è rappresentata con una specie di O allungata con un taglio al centro... è una lettera che proviene dalla lettera fenicia thet, e non c'entra niente con la O, la O deriva da un'altra lettera greca, la Ο (omicron)...
Sinceramente mi aspettavo di più, mia sorella, che è laureata in matematica, mi ha detto che ci sono delle formule per ricavare il seno e il coseno, e d'altronde mi stupirei se non le avessero trovate, in matematica si dimostrano milioni di teoremi ogni giorno...
Io non mi aspettavo di più, bensì una spiegazione come questa, piana, chiara e quindi ho trovato ciò che cercavo. Invece sono perfettamente d'accordo con il commento qui sotto, di Giorgio: l'annotazione storica! Spero che il professore lo prenda in considerazione.
NOTE:
1) Nella locandina affermo che seno e coseno potrebbero essere spiegati a un bambino, cosa ne pensate?
Quando ero studente di liceo scientifico, mooolto tempo fa, tali funzioni venivano introdotte quasi sempre in quarta. Con i nuovi liceo, avendo inserito fisica fin dalla prima, le funzioni goniometriche vengono introdotte in prima poiché sono quasi indispensabili per operare con i vettori.
I docenti si sono interrogati sull'opportunità di parlare di argomenti così complessi a studenti così giovani.
In realtà, guardando il video, vi renderete conto che che la definizione di seno e coseno è estremamente semplice. Gli unici prerequisiti che servono sono il concetto di coordinate di un punto sul piano cartesiano e quello di numero relativo; entrambi gli argomenti sono introdotti nella classe quinta elementare. Le difficoltà legate alla goniometria sono di tipo tecnico e si incontrano nei problemi più difficili.
2) Al minuto 0:55 affermo che il coseno è un "operatore matematico". Qual è la differenza tra un "operatore" e una "funzione"?
Un operatore è un simbolo che denota una specifica operazione che deve essere eseguita su uno o più valori. Ad esempio il simbolo di radice è un operatore.
Una funzione è una relazione che associa ogni elemento di un insieme (dominio) a un singolo elemento di un altro insieme (codominio). Matematicamente, una funzione è solitamente indicata come y=f(x), dove f è l'operatore, x è il valore in ingresso e y quello in uscita.
In sintesi "cos" è un operatore, "y=cos(x)" è una funzione.
Detto questo molte volte si dice per semplicità "la funzione coseno".
3) Al minuto 7:02 affermo che il seno o il coseno di un angolo generico non possono essere calcolati con carta e penna. Questa mia affermazione è stata sbrigativa e non corretta.
Infatti, premesso che per angoli generici seno e coseno hanno valori trascendenti e quindi non è possibile indicarne il valore esatto né con numeri decimali né con radicali, è però possibile calcolarne una approssimazione utilizzando carta e penna utilizzando l'analisi matematica. Ad esempio in questo video ua-cam.com/video/aegxtBimioI/v-deo.htmlsi=Fne8mEKFToAb0k2I calcolo, utilizzando somme e prodotti, il coseno di 0,4 radianti (circa 23°) con valore corretto fino alla settima cifra decimale.
Ciao, io ho gia fatto studi un po piu avanzati ma mi piace sempre ripassare le basi per trovare nuove chiavi di lettura.
Visto che dici che il coseno è un operatore, mi son venuti in mente i vari operatori che si usano in analisi (operatori differenziali, come derivata, gradiente ecc e quelli usati in fisica quantistica). Cè un'analogia concettuale tra questi operatori e quelli goniometrici, le radici e tutti gli altri? Il concetto di operatore non l'ho mai afferrato del tutto, in università lo buttano li un po così, sarebbe bello un video a riguardo ma riconosco che è un concetto avanzato
Se l’ho capito io e vero!!!🤣🤣🤣
Ciao Valerio. video (quasi) interessante. Mi ha un po' deluso perche' pensavo (speravo) che spiegassi, finalmente, come si ricava, carta e penna, il seno e/o il coseno di un angolo. Ad esempio, volendo ricavare, A MANO, il coseno di 34.54 gradi, come faccio? Non me lo ricordo :(
C’è il link nel commento
I nuovi licei che sono? 😅
Professore, volevo ringraziarla molto perché la maggior parte degli iscritti del suo favoloso canale sono dei super esperti di matematica. Io sono un semplice appassionato e per questo le sono grato di fare lezioni molto chiare di trigonometria,sicuramente alla mia portata. Veramente grazie
Complimenti Valerio. Forse aggiungerei all'introduzione di questi concetti un breve cenno storico, ovvero dove si evidenzia quali sono i motivi (i problemi) per cui sono nate queste "funzioni". Personalmente ho sempre trovato utile conoscere la storia e i problemi a cui si è cercato di dare un soluzione.
Playlist di goniometria
ua-cam.com/play/PLM3M-5ytwzzP19YqC2PROSAj9dsWdB6JV.html
Ciao Valerio, sempre un piacere ascoltare le tue spiegazioni. Anche un bambino ne rimarrebbe affascinato. Non tutti hanno la capacità esplicativa, non è detto che un docente molto preparato sappia spiegare chiaramente la sua materia.
@@cis961 e' proprio vero!
ho solo due appunti da fare: il primo è che il coseno e il seno dell'angolo non sono la lunghezza dei segmenti indicati in figura ma il valore della coordinata x del punto proiezione di P sull'asse delle ascisse per il coseno e della coordinata y della proiezione sull'asse delle ordinate per il seno. In questo modo eviti di definirlo per ogni quadrante. L'altra cosa riguarda la definizione di angolo dinamico: non l'ho sentita ne negli studi di analisi a ingegneria e nemmeno alle superiori, inoltre non l'ho trovata in nessun testo di geometria che possiedo. Ho cercato un po' sul web e sembra essere un giocattolino di carta che fanno alla primaria di questi tempi per rappresentare un angolo usando un cerchio. Era proprio necessario usarla?
Grazie prof ❤🔝👏
Valerio Lei è veramente molto molto bravo, complimenti !!!
"Il coseno di un angolo é una scatola magica che prende quest'angolo e lo trasforma in qualcos'altro" ...la pubblicherei nel "il piccolo principe" ❤😂
scherzi a parte... ottimo video 👍🏼
Sono convinto che i ragazzi possono assorbire molto bene questi concetti quando spiegati in questo modo. Per ragazzi intendo medie. Credo che la oramai antica divisione Piagetiana delle capacità cognitive per fascie d'età sia superata. Grazie a Valerio per questo excursus nei campi pedagogici delle secondarie di primo grado. Ricordo che il mio prof di meccanica all'Itis riusciva a farci digerire le più complesse dimostrazioni attraverso un attento lavoro sui prerequisiti in accordo con altre materie, matematica in primis ( che spiegava meglio lui della prof titolare). Da bravo ingegnere praticante sapeva esattamente quali erano i modi e i nodi da sviscerare e l'esperienza gli insegnava anche quanto doveva insistere in termini di lezioni. Ricordo che in determinati momenti ci faceva fare raffiche di verifiche che poi lui doveva correggere di notte. Per farcele avere il giorno dopo. Quando questo lavoro è fatto da persone preparate e portate alla trasmissione del sapere con la giusta dose di umanità ebbene molti ne traggono un gran bene per la vita intera. Lei Valerio sta facendo un gran bene a migliaia di persone contemporaneamente.
Quand'ero al 1° anno di liceo (scientifico, ancora lo scorso millennio😀), ho avuto negli ultimi mesi un insegnante di matematica che sosteneva che anche un bambino di pochi anni delle elementari potesse comprendere concetti come, ad esempio, derivata o integrale, purché fosse messo nelle condizioni con i necessari fondamenti
Quanto si dovrebbe pagare una persona così?? .. ed invece lo stato taliano sottopaga chi più sa..😢
@@vrcfncpdci Esattamente! Ma del resto siamo in Italia: la meritocrazia, questa sconosciuta...🤨😣😞
Bravissimo
Mi hai emozionato. Grazie!
Mamma mia quanto sei bravo.
Ho fatto un istituto tecnico fine anni 90 inizio anni 200, quindi ti lascio immaginare il livello della matematica insegnata...
Seno e coseno sono stati per me uno scoglio, e ogni volta che capisco il concetto, tempo qualche settimana, lo scordo di nuovo...
Mi salverò questo video, per rivederlo ogni volta che mi sorge il dubbio!
Grazie Prof.Pattaro!
Le note sono interessanti tanto quanto il video:
se gli insegnanti fossero come lei, non credo che i bambini di scuole elementari/medie avrebbero difficoltà ad apprendere certi concetti di matematica/fisica, anche più complessi.
Grazie mille. Ci sono tantissimi insegnanti validi anche se non fanno video su UA-cam.
@@ValerioPattaro purtroppo però ce ne sono anche tanti incompetenti, mia esperienza personale.
Spieghi molto bene!
👏👏👏😊
Se una cosa cresce o diminuisce linearmente usiamo la proporzione ....
Ma se una cosa cresce logaritmicamente o in maniera varia che proporzione si usa?
Una curiosità: chi "inventò"/"scoprì" il seno ed il coseno? Dovremmo essere dopo Cartesio ma prma di Leibniz/Newton. Grazie
Credo saremmo anche alcuni secoli avanti Cristo... Sicuramente gli antichi greci conoscevano la trigonometria (parola composta che in greco antico significa "misurare gli angoli"); Talete misurava le distanze tra città sfruttando trigonometria e osservazioni astronomiche, e pure la lunghezza del raggio terrestre (anche se, in verità, non ricordo bene se fosse stato proprio lui...), ottenendo un ottimo risultato non troppo lontano da quello misurato oggi con precisione sempre maggiore. Infine, mi sembra anche che, prima ancora dei greci, pure assiro-babilonesi ed egizi avessero conoscenze di trigonometria.
Bellissimo video, avevo bisogno di un ripasso.
Ciao Valerio, quali sono i tuoi testi di riferimento? Francamente non ho mai trovato da nessuna parte l'utilizzo del termine "operatore" per una funzione goniometrica. Per quanto mi risulta di solito si usa il termine operatore per funzioni il cui dominio non è numerico ma è fatto da elementi strutturati. Ad esempio la derivata si può vedere come operatore che trasforma una funzione in un'altra. Seno e coseno invece sono funzioni (elementari). Se fai riferimento a qualche testo in particolare sono curioso di sapere quale, grazie
Che strana domanda Gaetano, lo trovi su qualunque libro di algebra. Derivata e integrale sono operatori differenziali, ma qualunque operazione è un operatore. Poi gli operatori sono classificati in base alle loro caratteristiche: unari, binari eccetera
@@ValerioPattaro Che il coseno sia un operatore non c'è in nessun testo. Dato che ci hai tenuto a precisare che il coseno è un operatore mi è parso molto strano
@GaetanoDiCaprio il termine “operatore matematico” ha un significato molto ampio e il coseno ne è un esempio. Ti invito ad approfondire. Se hai poco tempo puoi iniziare a chiedere a ChatGPT cos’è un operatore matematico per poi cercare fonti più autorevoli.
A me lo hanno spiegato differentemente il seno e il coseno, se prendi punto O che è il centro della circonferenza, e un punto P nei I quadrante, e tracci una retta passante tra O e P riesci a calcolare la distanza, certo, puoi avere valori diversi da 1, puoi avere 10 metro, 100 km o anche 10 anni luce, dal punto di vista goniometrico hai 1, ma bisogna capire a che corrisponde questo 1, ed è 1 per un motivo, e se ci rifletti è logico... se hai 3 punti puoi costruire un triangolo, ma come fare a costruire un triangolo, in fondo hai solo 2 punti, è sufficiente che tracci una linea parallela all'asse delle ordinate, e il punto che interseca l'asse delle ascisse lo chiami Q ed ecco che hai costruito un triangolo, ma non è un triangolo qualunque, è un triangolo rettangolo... dove il lato più lungo è l'ipotenusa, il lato OP, quello che congiunge l'origine con il punto P nel I quadrante, e OQ e PQ sono i cateti, il seno, è definito non come il valore del lato PQ, ma dal rapporto tra PQ e OP, quindi:
sin(θ)=PQ/OP
È chiaro se:
-OP=1
E 1 è l'elemento neutro della divisione, allora, il seno sarà:
sin(θ)=PQ
Quindi il seno è la distanza tra il punto P e il punto Q, è l'altezza del triangolo rettangolo
Mentre, il coseno è:
cos(θ)=OQ/OP
Quindi:
cos(θ)=OQ
Quindi i, coseno è la distanza tra il punto O e il punto Q
Ah, la parola coseno deriva dal latino ed è la contrazione di "complementare al seno" e se il seno indica l'altezza del triangolo rettangolo, il coseno indica la base, e qui è chiaro perché se il seno è 1 il coseno è 0, perché se ha altezza massima ha base minima, e l'angolo è di 90°, e se viceversa, se ha altezza minima ha base massima, perché deve rispettare l'identità di Eulero, se l'ipotenusa non fosse 1 l'identità non può essere rispettata, ecco perché trigonometricamente è 1, infatti se il seno è 0 il coseno è 1 e l'angolo è 0°, per gli altri quadranti il discorso è simile, nel I e III quadrante il seno e il coseno sono concordi, entrambi positivi, quindi maggiori di 0, nel I quadrante ed entrambi negativi, minori di 0 nel III quadrante, mentre per il II e IV quadrante sono discordi, positivo il seno e negativo il coseno nel II quadrante e negativo il seno e positivo il coseno nel IV quadrante, e se ci rifletti arrivi subito a capire il perché, per un angolo di 90°
Io spiego seno e coseno tralasciando la circonferenza goniometrica, troppo matematicamente astratta. Inizio con i triangoli rettangoli e la similitudine: facendo il rapporto tra i cateti e l'ipotenusa di vari triangoli rettangoli simili, verifico che il valore non cambia, deduco quindi che seno e coseno sono coefficienti di proporzionalità tra i cateti e l'ipotenusa e il loro valore dipende dagli angoli del triangolo. In molti libri di fisica del biennio tecnico (per esempio il Ruffo) per calcolare le componenti della forza peso parallela e perpendicolare ad un piano inclinato di un oggetto appoggiato ad esso, evitano seno e coseno e utilizzano le proporzioni.
Secondo me quello che proponi è un ottimo approccio, che in passato ho adottato anch’io nelle classi prime.
Può però portare a dei piccoli problemi. Ad esempio nei primi esercizi riguardanti i vettori capita di imbattersi in angoli maggiori di 90°, il che porta ad ampliare la definizione di seno e coseno tramite la circonferenza goniometrica.
Quindi quest’anno ho preferito partire dalla definizione sulla circonferenza goniometrica, che non mi sembra abbia creato grosse difficoltà negli studenti.
Solo fino a quando sono lattanti... 😂
Battuta scontata... 😅
Ciao, però io non ho capito, perché si usano seno e coseno?
Certo, questa è un’ottima domanda. Le applicazioni sono tantissime e alcune inizieremo a vederle nei prossimi video.
ciao valerio...in quanto ti ritengo cassazione ti volevo chiedere una cosa...scusa se vado fuori tema..Allora, a livello cronologico solitamente il concetto di opposto viene presentato con l'operazione unaria "-a". Cioè l'opposto lo creo aggiungendo un meno davanti al numero. Esempio: - ( - 5) = 5, - (+ 5) = - 5 e questa sarebbe la definizione piu primitiva da cui poi far partire il resto..Qui non siamo nella sottrazione, quel "-" non è il simbolo dell operazione. Bene, quello che non riesco a farmi andar giù è questo: rimaniamo nella sottrazione. Poi ok, in quanto somma algebrica posso vedere la sottrazione come una somma dell opposto: "a + ( - b )", ma ripeto togliendo questo, volendo rimanere nella sottrazione...Anche l operazione di sottrazione genera l'opposto, no? bene, quindi quello che voglio dire è questo: nel concetto di operazione unaria, la generazione dell' opposto - ( - 3), come detto, si definisce attraverso una definizione, lo si prende quindi per buono senza alcuna dimostrazione. Il punto è che se anche tramite la sottrazione posso giustificare o spiegare la generazione dell'opposto ( con la sottrazione, posso eliminare la sottrazione, sostituendola con l'opposto del sottraendo/i), perché non usare questa per spiegare la generazione dell'opposto, invece di usare, come si fa, prima l operazione unaria per poter poi giustificare come operazione derivata la sottrazione?... cioè perché la necessità di una definizione primitiva se poi quando arrivo successivamente alla sottrazione di fatto non uso quella definizione primitiva, proprio perché anche la sottrazione di suo genera l'opposto ? Cioè è come se si venisse a creare una definizione di partenza non necessaria...non so se sono riuscito a spiegarmi. Mi puoi rispondere con pazienza e chiarezza? grazie
Bel video, a livello generale.. però non condivido il fatto di utilizzare una circonferenza di raggio 1.. se il raggio è generico e si definiscono seno e coseno come rapporto tra segmenti o, più precisamente, come rapporto tra le coordinate del punto P ed il raggio, si capisce che sono numeri puri e, inoltre, i teoremi per la risoluzione del triangolo rettangolo risultano banali conseguenze delle definizioni di seno e coseno.. Anche la misura di un angolo in radianti si vede meglio con la definizione " arco/ raggio ".. inoltre si può far osservare agli alunni che aumentare o diminuire il raggio secondo una determinata proporzione fa aumentare o diminuire le altre lunghezze nella medesima proporzione ma lascia invariati i rapporti tra le lunghezze e gli angoli
Ottima spiegazione,ma non mi garba, credo di ragionare in Grad. Rapporto tra seno e coseno è uguale a 1 e un angolo un angolo di 45 gradi.
Grazie
Il seno e il coseno li può capire un bambino di dieci anni, ma non spiegati con la circonferenza goniometrica. Incidentalmente, un operatore È una funzione.
Mah...non mi e' piaciuta questa spiegazione .
Si inizia sempre dalla definizione e poi si dicono proprieta e osservazioni .
E poi sono stati definiti solo sulla circonferenza goniometrica e non sui triangoli rettangoli e come funzioni goniometriche
Un mare di bla,bla,bla,bla,bla…per riuscire a non spiegare cos’è,in modo semplice ,il seno e il coseno.
Classica e pessima lezione di”insegnanti” di matematica che fanno allontanare gli studenti da una bellissima ed affascinante materia.
POSA IL FIASCO!!!!!!!!!!!!!!!!
Personalmente ritengo sbagliato introdurre e definire seno e coseno a partire dalla circonferenza goniometrica perché se ne vincola la definizione ad ascissa e ordinata di un punto che è un concetto fuorviante, senza dimenticare che la più ingenua domanda dello studente "ma perché il raggio è 1?" resta senza risposta, per non parlare del fatto che lo studente deve capire che si tratta di numeri puri essendo un rapporto tra lunghezze.
L'essenza stessa dell'introduzione della circonferenza goniometrica sta proprio nel superare il limite dato dalla definizione basata sul triangolo rettangolo, cosa che così i ragazzi non colgono.
Apprezzo sempre i suoi video, questo lo trovo invece di bassa qualità concettuale.
Matonna, non ci posso credere!
La lettera θ non è rappresentata con una specie di O allungata con un taglio al centro... è una lettera che proviene dalla lettera fenicia thet, e non c'entra niente con la O, la O deriva da un'altra lettera greca, la Ο (omicron)...
Sinceramente mi aspettavo di più, mia sorella, che è laureata in matematica, mi ha detto che ci sono delle formule per ricavare il seno e il coseno, e d'altronde mi stupirei se non le avessero trovate, in matematica si dimostrano milioni di teoremi ogni giorno...
Io non mi aspettavo di più, bensì una spiegazione come questa, piana, chiara e quindi ho trovato ciò che cercavo. Invece sono perfettamente d'accordo con il commento qui sotto, di Giorgio: l'annotazione storica! Spero che il professore lo prenda in considerazione.
@@sirodallenogare7464
Si vede che non cerchi oltre l'ostacolo
@@paolochimico8897 cerco di evitare l'ostacolo....
@@sirodallenogare7464
Infatti, lo prendi in pieno😂
Ho imparato l'arte di dire "sto bene" in 47 lingue diverse🍒
Lo mostrerò a mio figlio
Scusi professore, ma il coseno è un operatore o una funzione? qui ho dei dubbi e faccio confusione.
Salve, se guarda il commento che ho messo in alto parlo anche di questo.