C'est plutôt la définition qu'une propriété : être un o(x) quand x tend vers 0 (mais ça marche quelle que soit la limite), cela signifie être négligeable devant x quand x tend vers 0, et être négligeable devant x quand x tend vers 0 c'est par définition être tel que le quotient avec x tende vers 0 quand x vers 0. Si on appelle epsilon(x) notre fonction qui appartient à o(x), on a donc epsilon(x)/x -> 0 quand x -> 0. Dans l'exemple puisqu'on multiplie notre o(x) par 1/x, cela revient à le diviser par x, et on tombe sur la définition d'être un o(x) ci-dessus. D'où le fait que ça tende vers 0.
Bonjour, Vos vidéos sont toujours paasionnantes et je les attends avec impatience et intérêt comme celles d'Olivier GENESTE par ailleurs. Je suis ingénieur retraité et je donne des cours de maths etphysique de 6ème à L1/L2. Merci de votre contribution de qualité sur UA-cam. Trés Cordialement. Éric LAFFITTE
🧮🧮🧮 Sur *Excel* , en utilisant jusqu'a 20 case décimales, j'obtiens que le résultat de l'equation ((2^x+7^x)/2)^(1/x) est de 1 (un) pour x=10^(-17) ......🤨🤔🤔🤔🤔🤔🤔
Bonjour, Merci pour votre message. Ca voudrait dire que Excel ne sait pas calculer les limites de ce type :) Plus sérieusement, la limite de cette expression vaut racine carrée de 14 et rien d'autre. Essayez avec Geogebra par exemple et vous verrez par vous-même. Bien à vous. RW
Les nombres manipulés par un ordinateur sont sujets à des erreurs d'arrondi. En prenant x= 10^{-17} il aurait fallu faire les calcul avec un précision d'au moins 18 chiffres derrière la virgule. Que répond Excel lorsque vous entrez le le calcul suivant : 10^{17}*((1+10^{-17})-1) ? Probablement 0. Pensez vous vraiment que le résultat de ce calcul est 0 ?
Et encore : avec une précision de 18 chiffres derrière la virgule, on ne trouverait pas 1, mais on trouverait une très mauvaise approximation de la racine carrée de 14. Pour une approximation correcte, il faudrait une précision plus grande (22 ou 23 chiffres derrière la virgule, au moins).
In my opinion, this approach is overcomplicated: lim ( (5^x+7^x)/2 )^(1/x) = lim ( ( 1 + (5^x+7^x-2)/2 )^(2/(5^x+7^x-2)) )^( (5^x+7^x-2)/(2x) ) = e^L, where, by L'Hôpital, L = lim (5^x+7^x-2)/(2x) = lim (5^x*ln5 + 7^x*ln7)/2 = ln(35)/2 = ln(sqrt(35)), hence the final answer is sqrt(35). NB: Here, I assumed prior knowledge of L'Hôpital's rule, as Maclaurin series are used.
Le signe d'équivalence ("si et seulement si") est utilisé de manière complètement abusive dans la vidéo (alors qu'il aurait suffi d'utiliser le signe =, ce qui aurait été correct et au moins aussi clair !). Cela peut sembler du pinaillage, mais lorsque nos étudiants devront faire une démonstration (et non un simple calcul) ils suivront ce mauvais exemple et utiliseront le signe d'équivalence à tort et à travers.
le passage qui affirme que 1/x par o(x) tend vers 0 me semble rapide ?
Il s'agirait d'une propriété de o(x) :
o(x^n) / x^n = o(1) = 0
C'est plutôt la définition qu'une propriété : être un o(x) quand x tend vers 0 (mais ça marche quelle que soit la limite), cela signifie être négligeable devant x quand x tend vers 0, et être négligeable devant x quand x tend vers 0 c'est par définition être tel que le quotient avec x tende vers 0 quand x vers 0. Si on appelle epsilon(x) notre fonction qui appartient à o(x), on a donc epsilon(x)/x -> 0 quand x -> 0. Dans l'exemple puisqu'on multiplie notre o(x) par 1/x, cela revient à le diviser par x, et on tombe sur la définition d'être un o(x) ci-dessus. D'où le fait que ça tende vers 0.
Bonjour,
Vos vidéos sont toujours paasionnantes et je les attends avec impatience et intérêt comme celles d'Olivier GENESTE par ailleurs.
Je suis ingénieur retraité et je donne des cours de maths etphysique de 6ème à L1/L2.
Merci de votre contribution de qualité sur UA-cam.
Trés Cordialement.
Éric LAFFITTE
@@camille94380 C'est plus que 1/x * o(x) = o(1), et donc que, avec K réel, exp(K + o(1)) tend vers exp(K).
🧮🧮🧮 Sur *Excel* , en utilisant jusqu'a 20 case décimales, j'obtiens que le résultat de l'equation ((2^x+7^x)/2)^(1/x) est de 1 (un) pour x=10^(-17) ......🤨🤔🤔🤔🤔🤔🤔
Bonjour, Merci pour votre message. Ca voudrait dire que Excel ne sait pas calculer les limites de ce type :) Plus sérieusement, la limite de cette expression vaut racine carrée de 14 et rien d'autre. Essayez avec Geogebra par exemple et vous verrez par vous-même. Bien à vous. RW
Les nombres manipulés par un ordinateur sont sujets à des erreurs d'arrondi. En prenant x= 10^{-17} il aurait fallu faire les calcul avec un précision d'au moins 18 chiffres derrière la virgule. Que répond Excel lorsque vous entrez le le calcul suivant :
10^{17}*((1+10^{-17})-1) ?
Probablement 0. Pensez vous vraiment que le résultat de ce calcul est 0 ?
Et encore : avec une précision de 18 chiffres derrière la virgule, on ne trouverait pas 1, mais on trouverait une très mauvaise approximation de la racine carrée de 14. Pour une approximation correcte, il faudrait une précision plus grande (22 ou 23 chiffres derrière la virgule, au moins).
In my opinion, this approach is overcomplicated:
lim ( (5^x+7^x)/2 )^(1/x) = lim ( ( 1 + (5^x+7^x-2)/2 )^(2/(5^x+7^x-2)) )^( (5^x+7^x-2)/(2x) ) = e^L, where, by L'Hôpital, L = lim (5^x+7^x-2)/(2x) = lim (5^x*ln5 + 7^x*ln7)/2 = ln(35)/2 = ln(sqrt(35)), hence the final answer is sqrt(35).
NB: Here, I assumed prior knowledge of L'Hôpital's rule, as Maclaurin series are used.
In France, l'Hôpital's rule is unknown and we don't like to use it. That's why he chose another way for this limit
@tergymax1584 Didn't know that! Then note that L = 1/2 lim (5^x+7^x-2)/x = 1/2 lim ( (5^x-1)/x + (7^x-1)/x ) = 1/2 (ln5 + ln7) = ln(35)/2.
Le signe d'équivalence ("si et seulement si") est utilisé de manière complètement abusive dans la vidéo (alors qu'il aurait suffi d'utiliser le signe =, ce qui aurait été correct et au moins aussi clair !).
Cela peut sembler du pinaillage, mais lorsque nos étudiants devront faire une démonstration (et non un simple calcul) ils suivront ce mauvais exemple et utiliseront le signe d'équivalence à tort et à travers.
Bonjour, merci pour votre commentaire. Je prends bonne note de votre remarque pour être plus précis la fois prochaine. Bien à vous. RW