C’est très intéressant ce format ! Juste se débrouiller autour d’un exercice et montrer les différents raisonnements qui amènent parfois à des erreurs ! J’adore
Ces coms me font penser au gar qui critique son copain qui vient de monter un meuble ikea, psk les 2 premiers vis auraient pu être tournés plus rapidement 😅
Sur ce genre de vidéos, j'aime bien essayer de raisonner avant de regarder : Bon, déjà à x fixé la série converge par le critère spécial des séries alternées (CSSA) ( les f(nx) forment une suite positive décroissante qui tend vers 0). Ensuite j'ai deux pistes… qui marchent pas : - Si on divise tout par x, on a quelque chose qui ressemble beaucoup à une série de Riemann qui donne l'intégrale de f(x) sur R+, le seul problème étant le (-1)^n… qu'on ne peut pas vraiment traduire en exp(i/x)^nx, donc ça marche mal - On a une série alternée, donc dans le cas général la convergence normale on peut aller se la mettre. Par contre le CSSA Uniforme (CSSAU) nous dit > "Soit (g_n) une suite de fonctions définies sur un intervalle I tel que, pour tout x∈I, la série numérique (g_n(x)) est une série alternée dont le terme général décroît en valeur absolue vers 0. Si la suite de fonctions (g_n) converge uniformément vers 0 sur I, alors la série (∑g_n) converge uniformément sur I." Donc on a bien convergence uniforme sur tout fermé I = [a , +∞[ où a >0. Donc on peut appliquer les théorèmes sur les séries de fonctions qui convergent uniformément. Par exemple, en posant F = ∑(-1)^n f(n* • ), quel que soit x>0, F'(x) = ∑(-1)^n n*f'(n* x ) - f est décroissante donc f'(nx) ≤ 0 et f' -> 0, on a bien une série alternée (ou de terme général presque nulle), mais ça nous avance pas à grand chose. On voudrait dégainer un théorème d'inversion des limites mais… I ≠ ]0;+∞[, ya pas de convergence uniforme jusqu'en 0, on peut pas jouer aux kékés (et de fait je suis pas sûr que la limite soit forcément 0) Peut-être en faisant apparaître la dérivée différemment ? F(x) = ∑f(2nx ) - f((2n+1)x) F(x)/x = ∑[f(2nx ) - f((2n+1)x)]/x on sent que plus x est proche de zéro, plus on va avoir un truc qui se rapproche d'une somme de dérivées… On peut avoir envie de faire un DL mais bon la sommation d'équivalents… dans le doute ça fait (en 0) : F(x)/x ~ ∑-f'(2nx), donc F(x) ~ x∑-f'(2nx), Ce qui équivaut à dire que quand x -> +∞, F(1/x) ~ (1/x)∑-f'(2n/x) On reconnaît (enfin) quelque chose qui devrait se comporter comme une somme de Riemann (à démontrer), donc on aurait F(1/x) ~ ∫-f'(2t)dt , intégrale de 0 jusqu'à x, c'est à dire Lim (x->0) F(x) = f(0)/2. Donc avec un raisonnement qui se base beaucoup sur de l'intuition et qui passe par dessus des détails important (pourquoi peut-on dire que c'est une somme de Riemann ? Est-ce que la sommation d'équivalents est valide ici ?), on trouve un résultat qui paraît juste, maintenant go regarder si *c'est* juste x'D Edit : Yay, j'ai juste ✨
@@m9l0m6nmelkior7 bah y'a pas une étape de justifiée dans ce que tu fais... et même si c'est juste un heuristique pour prévoir la solution bah... elle est pas dure à deviner la solution quoi
on peut le faire par le biais des série de fourier puis utiliser le théorème de la convergence dominée version généralisé pour les ensembles discrets pour conclure
Joli! Mais pour la fin c'est un peu plus subtil car le rang à partir duquel le reste de la série est inf à epsilon dépend de x, genre si t'appelles ce rang N, Le théorème de Heine te donne que le début de l'intégrale est < N epsilon *x mais N tend vers +infini quand x tend vers 0 donc ça permet pas de conclure. Donc c'est un peu plus subtil, cf ma propre réponse.
@@mathemarthur le théorème de Heine dit que sur tout segment, une fonction continue est uniformément continue, c'est à dire ici ( sur [0,A] ) que pour tout epsilon >0 il existe m (indépendant de x) tel que |x|
Certes c'est une démonstration simple de la convergence de la série en question... mais toute fois le problème posé étant de trouver la limite pour x qui tend vers 0 d'une certaine série, le mieux reste encore d'étudier un cas en particulier pour essayer de généraliser. Donc oui on peut utiliser le critère des séries alternées, mais cela nous apporterait-il vraiment quelque chose à l'exercice ?
@@tugaks1837 euhf oui, ça nous apporte que puisque la série converge pour tout x >0, on peut se poser des questions de limite ou de continuité, je m'en suis servi dans ma résolution
Pour ceux qui se demandent comment l’écrire, l’idée étant que l’on intègre sur des intervalles de longueur x, donc pour x petit, ce qui se passe de 2nx à (2n+1)x n’est pas bien différent de (2n+1)x à (2n+2)x: On note g(x) la somme des intégrales de 2nx à (2n+1)x de f’, et h(x) la somme des intégrale de (2n+1)x à (2n+2)x de f’. - On a g + h = intégrale de 0 a +inf de f’, le tout de determiner la limite en 0 de g-h. -Soit epsilon strictement postitif, il existe A tels que pour a>=A, le reste de l’intégral de f’ est plus petit que epsilon. -> On arrive ici à contrôler l’intégral en +inf ce qui nous permet de nous restreindre maintenant au compact [0;A]. Soit delta > 0 tels que si |x-y|
Je crois qu'il y a un pb dans la démo: Ton N0 ne vérifie pas que (2(N0+1) )x >A et donc que l'on peut bien majorer le reste par épsilon. Jsp si tu vois ce que je veux dire? Il y a un x en facteur dans la borne attention, donc N0 est pas fixe, genre il faut de plus en plus de d'intégrales pour atteindre A quand x tend vers 0.
Non , ce serait étrange de faire ainsi Soit n dans N* g:x-> nx est croissante or f est décroissante Donc f•g est des décroissante Si tu veux t'amuser a le démontrer dans l'argument de la composition Soit x,y dans R+ Supposons xf(ny) Donc g:x->f(NX) est décroissante
On aurait pas pu passer par les suites adjacentes ? En nommant (Sn) cette somme, ne pouvons-nous pas prouver que (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes? Elles convergent donc nécessairement vers la même limite soit la limite de (Sn) qui converge ainsi.
il faut normaliser le fait qu'il n'y a pas juste la prépa réfléchis bien avant de prendre la décision si t'as déjà un bon niveau en maths et t'es sur que tu es pret à bosser toutes les deux années pour avoir X ou ENS ou supéléc après la prépa fais la; sinon va à polytechnique directement. En tout cas le but c'est d'avoir une bonne carrière qui te plaise et pas choisir la voie que la majorité des étudiants font!
A Polytechnique tu travailleras moins mais t'auras le droit aux regards désapprobateurs des "vrais" polytechniciens ce qui contribue à une ambiance bof bof dans l'école. Et les promotions sont très petites, tu ne profiteras pas vraiment d'ambiance étudiante ( même si l'ambiance dans la classe elle-même a l'air top) donc pas vraiment de l'ambiance d'école malgré le temps dégagé de ne pas avoir fait prépa
C’est très intéressant ce format ! Juste se débrouiller autour d’un exercice et montrer les différents raisonnements qui amènent parfois à des erreurs ! J’adore
**et en plus c’est lisible 😊😍😇***
Tu te compliques tellement la vie pour le calcul de somme géométrique au début : (-1)^n*e^(nx)= (-e^x)^n
C'est exp(-nx), et je comprends pas pourquoi ça simplifie le calcul
grosse migraine quand il a écrit e^ni*pi
Ces coms me font penser au gar qui critique son copain qui vient de monter un meuble ikea, psk les 2 premiers vis auraient pu être tournés plus rapidement 😅
@@smoothlitep5309 le reste de la vidéo est super intéressante. Mais c'est le fait d'imaginer la réaction du jury en voyant ça.
Classique stress des oraux, il a probablement du penser, j'imagine
Sur ce genre de vidéos, j'aime bien essayer de raisonner avant de regarder :
Bon, déjà à x fixé la série converge par le critère spécial des séries alternées (CSSA) ( les f(nx) forment une suite positive décroissante qui tend vers 0). Ensuite j'ai deux pistes… qui marchent pas :
- Si on divise tout par x, on a quelque chose qui ressemble beaucoup à une série de Riemann qui donne l'intégrale de f(x) sur R+, le seul problème étant le (-1)^n… qu'on ne peut pas vraiment traduire en exp(i/x)^nx, donc ça marche mal
- On a une série alternée, donc dans le cas général la convergence normale on peut aller se la mettre.
Par contre le CSSA Uniforme (CSSAU) nous dit
> "Soit (g_n) une suite de fonctions définies sur un intervalle I tel que, pour tout x∈I, la série numérique (g_n(x)) est une série alternée dont le terme général décroît en valeur absolue vers 0. Si la suite de fonctions (g_n) converge uniformément vers 0 sur I, alors la série (∑g_n) converge uniformément sur I."
Donc on a bien convergence uniforme sur tout fermé I = [a , +∞[ où a >0.
Donc on peut appliquer les théorèmes sur les séries de fonctions qui convergent uniformément.
Par exemple, en posant F = ∑(-1)^n f(n* • ), quel que soit x>0, F'(x) = ∑(-1)^n n*f'(n* x ) - f est décroissante donc f'(nx) ≤ 0 et f' -> 0, on a bien une série alternée (ou de terme général presque nulle), mais ça nous avance pas à grand chose.
On voudrait dégainer un théorème d'inversion des limites mais… I ≠ ]0;+∞[, ya pas de convergence uniforme jusqu'en 0, on peut pas jouer aux kékés (et de fait je suis pas sûr que la limite soit forcément 0)
Peut-être en faisant apparaître la dérivée différemment ?
F(x) = ∑f(2nx ) - f((2n+1)x)
F(x)/x = ∑[f(2nx ) - f((2n+1)x)]/x
on sent que plus x est proche de zéro, plus on va avoir un truc qui se rapproche d'une somme de dérivées… On peut avoir envie de faire un DL mais bon la sommation d'équivalents… dans le doute ça fait (en 0) :
F(x)/x ~ ∑-f'(2nx), donc F(x) ~ x∑-f'(2nx),
Ce qui équivaut à dire que quand x -> +∞,
F(1/x) ~ (1/x)∑-f'(2n/x)
On reconnaît (enfin) quelque chose qui devrait se comporter comme une somme de Riemann (à démontrer), donc on aurait
F(1/x) ~ ∫-f'(2t)dt , intégrale de 0 jusqu'à x, c'est à dire Lim (x->0) F(x) = f(0)/2.
Donc avec un raisonnement qui se base beaucoup sur de l'intuition et qui passe par dessus des détails important (pourquoi peut-on dire que c'est une somme de Riemann ? Est-ce que la sommation d'équivalents est valide ici ?), on trouve un résultat qui paraît juste, maintenant go regarder si *c'est* juste x'D
Edit : Yay, j'ai juste ✨
Bonsoirent non
@@tweytwan3890 c'est à dire ? x')
@@m9l0m6nmelkior7 bah y'a pas une étape de justifiée dans ce que tu fais... et même si c'est juste un heuristique pour prévoir la solution bah... elle est pas dure à deviner la solution quoi
@@m9l0m6nmelkior7 bon résultat mais fumeux donc juste mais à quel prix
on peut le faire par le biais des série de fourier puis utiliser le théorème de la convergence dominée version généralisé pour les ensembles discrets pour conclure
Ouais mais ça trivialise l'exo avec des outils hors du programme de prépa donc ça retire tout l'intérêt de l'exo pour un oral
on peut utiliser le théorème de Leibniz sur les série alternée et donc trouver un encadrement de la limite non ? et ensuite on simplifie
Joli! Mais pour la fin c'est un peu plus subtil car le rang à partir duquel le reste de la série est inf à epsilon dépend de x, genre si t'appelles ce rang N,
Le théorème de Heine te donne que le début de l'intégrale est < N epsilon *x mais N tend vers +infini quand x tend vers 0 donc ça permet pas de conclure.
Donc c'est un peu plus subtil, cf ma propre réponse.
Peux tu expliquer ce qu’est le théorème de Heine stp?
@@mathemarthur le théorème de Heine dit que sur tout segment, une fonction continue est uniformément continue, c'est à dire ici ( sur [0,A] ) que pour tout epsilon >0 il existe m (indépendant de x) tel que |x|
En ft il faudrait prendre un epslion'=epsilon/A et remarquer que N
la convergence par le critère spécial des séries alternées, ça tombe pas naturellement ??
oui ca tombe naturellement y'a toutes les conditions dans l'énoncer
Certes c'est une démonstration simple de la convergence de la série en question... mais toute fois le problème posé étant de trouver la limite pour x qui tend vers 0 d'une certaine série, le mieux reste encore d'étudier un cas en particulier pour essayer de généraliser. Donc oui on peut utiliser le critère des séries alternées, mais cela nous apporterait-il vraiment quelque chose à l'exercice ?
@@tugaks1837 euhf oui, ça nous apporte que puisque la série converge pour tout x >0, on peut se poser des questions de limite ou de continuité, je m'en suis servi dans ma résolution
CSSA la nn ? pour montrer la convergence direct et par contre pour déterminer la valeur de sa convergence jsp sur quoi ma lancer??
Pour ceux qui se demandent comment l’écrire, l’idée étant que l’on intègre sur des intervalles de longueur x, donc pour x petit, ce qui se passe de 2nx à (2n+1)x n’est pas bien différent de (2n+1)x à (2n+2)x:
On note g(x) la somme des intégrales de 2nx à (2n+1)x de f’, et h(x) la somme des intégrale de (2n+1)x à (2n+2)x de f’.
- On a g + h = intégrale de 0 a +inf de f’, le tout de determiner la limite en 0 de g-h.
-Soit epsilon strictement postitif, il existe A tels que pour a>=A, le reste de l’intégral de f’ est plus petit que epsilon.
-> On arrive ici à contrôler l’intégral en +inf ce qui nous permet de nous restreindre maintenant au compact [0;A].
Soit delta > 0 tels que si |x-y|
Je crois qu'il y a un pb dans la démo:
Ton N0 ne vérifie pas que (2(N0+1) )x >A et donc que l'on peut bien majorer le reste par épsilon.
Jsp si tu vois ce que je veux dire? Il y a un x en facteur dans la borne attention, donc N0 est pas fixe, genre il faut de plus en plus de d'intégrales pour atteindre A quand x tend vers 0.
@@bi2ju en ft c'est presque bon, faut juste pas prendre ce N0 là mais floor(A/2x) et t'as qd même la majoration voulue
@@elloulou86 Ouais voila j’ai oublie le sur x
T’as eu combien dcp en note ?
le critère des séries alternées est ici pertinent car avec les hypothèses sur f il nous dit immédiatement que cette série converge
f(nx) ne tend pas vers 0 lorsque n tend vers infini mais lorsque x tend vers infini.
Pour x fixé , nx tend vers l'infini , donc f(NX) tend vers 0
@@Minute2Supça se montre par récurrence que f(nx) est décroissante tu penses ?
Non , ce serait étrange de faire ainsi
Soit n dans N*
g:x-> nx est croissante
or f est décroissante
Donc f•g est des décroissante
Si tu veux t'amuser a le démontrer dans l'argument de la composition
Soit x,y dans R+
Supposons xf(ny)
Donc g:x->f(NX) est décroissante
@@elias_abs pas besoin. tu poses la suite un=f(nx), et tu calcules f((n+1)x)-f(nx)
On aurait pas pu passer par les suites adjacentes ? En nommant (Sn) cette somme, ne pouvons-nous pas prouver que (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes? Elles convergent donc nécessairement vers la même limite soit la limite de (Sn) qui converge ainsi.
Salut,
Je dois faire le choix entre le bachelor de polytechnique et la prépa mpsi au parc ou à saint louis. Que conseil-tu je suis un peu perdu. Merci
Si t es prêt à bosser y a pas photo prépa direct je pense
prépa moins cher
prepa 100%
il faut normaliser le fait qu'il n'y a pas juste la prépa réfléchis bien avant de prendre la décision si t'as déjà un bon niveau en maths et t'es sur que tu es pret à bosser toutes les deux années pour avoir X ou ENS ou supéléc après la prépa fais la; sinon va à polytechnique directement. En tout cas le but c'est d'avoir une bonne carrière qui te plaise et pas choisir la voie que la majorité des étudiants font!
A Polytechnique tu travailleras moins mais t'auras le droit aux regards désapprobateurs des "vrais" polytechniciens ce qui contribue à une ambiance bof bof dans l'école.
Et les promotions sont très petites, tu ne profiteras pas vraiment d'ambiance étudiante ( même si l'ambiance dans la classe elle-même a l'air top) donc pas vraiment de l'ambiance d'école malgré le temps dégagé de ne pas avoir fait prépa
Par le critère des séries spéciales alternées la serie converge je pense
Ah ouai ca converge pour tout x strictement positif
oui carrément, la décroissance + limite nulle aurait du faire tilter
@@alexlebogoss8297 ouip, dcp on a que ça converge uniformément sur tout segment !
N importe qui qui a compris le lien entre integrale et primitive trouve en 15sec😅😅