いつも視聴させていただいている某大手予備校の数学教師をやっている者です．いろいろと勉強させていただいております．ありがとうございます． 貫太郎さんの合同式に魅せられた様子が非常にほほえましいと思ってみていますが，一つだけ気になることがあります． 合同式の定義をきちんと説明されたことがないようにおもいます． 2つの整数 a, b が正の整数 n を法として合同であることの定義は， a と b を n で割った余りが等しいこと です． 要するに，余りに関する限り a，b を区別する必要がないということで，等式のごく自然な拡張になっているわけで，等式と同様な扱いができることもごく自然に納得できるのではないでしょうか． もちろんよくご存じの上で講義なさっているのでしょうが，やはり，きちんと言葉で述べることの大切さもわかっていらっしゃるはずです．これからも意欲的な投稿を楽しみにしています．
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本題にはあまり関係ないですが、ちょっと思ったことがあるので書かせてください。随想的な長文で失礼します。
最後に貫太郎さんが口にした、両辺に同じ数足してもよい(a=b⇔a+c=b+c)なら移項ができるというのは至極当然の話のようですが、学生は「何故移項していいのか」と聞かれて答えられない人が多いみたいです。
答えはもちろん「両辺に同じ数を足していいから」ですが、「符号を逆にしてもう片方の辺に移動する」ことに囚われすぎてると、例えばx²+2x=0をx²+2x+1=1のように変形するのに天下り的な発想が必要になり、なかなか到達できません。今まで何人かそういう人を見てきました。
同値な変形、公式の等号を右から読む(三角関数の合成は加法定理を右から読んだだけ)、忘れたときの公式の導出など、自分では当たり前にやってることでも本質的に理解しているかが、特に数学はテクニックで誤魔化されるため、見えにくいですね。
ちなみに私は大学の専門が社会科学なので大学の数学は隙間時間に独学で学んでいて、まだ群や環の話はそれとなくしか知りませんが、これらはこういうところから見直す姿勢のようですね。
n^2+2n-2
=(n+4)(n-2) +6
=(n+3)(n-1) +1
=(n+2)n -2
=(n+1)^2 -3
(n-2)〜(n+4)は連続7個の整数であり、その中に必ず7で割り切れるものが存在する。よって示された。
これは面白い別解ですね
こういうのを思いつける人間になりたい
t=n+1とすると 与式=t^2-3
t ≡±1,±2,±3, 0 mod(7)
t^2≡1,4,9(≡2), 0
t^2-3≡-2,1,-1,-3
ゆえにn^2+2n-2は7の倍数ではない。
自分なら実際の試験だと、エレガントじゃないけどこんな感じで解くかなあ
スマートな方法があると思いますが、n=7k,7k+/-1,7k+/-2,7k+/-3の場合分けで示すことしか思いつきませんでした。
高校のときはn=7k+1,7k+2,7k+3,7k-3,7k-2,7k-1を代入して計算して「ほら、7の倍数+ノンゼロになったでしょ」とやってました。
結局中身は同じことなのですが、解答が長くなるので書くのが地味にめんどくさかったのと、しばしば展開計算でミスって減点されたりしていたので、当時からmodを使いたい人生だった。
ガッコはもっとmodを教えるべきだとおもう
専門数学でない＆高校はFラン工業高校で、なぜか数学の教員免許持っていますが、鈴木先生やほかの数学系ユーチューバーさんの動画見て初めて知りました。
n≡0〜6のすべての場合でごり押しした。エレガントな解放も良いけど解答の道筋が見えてるならごり押しも良き。
初めて mod 使ったとき感動したのを思い出しました。
場合分け不要の解法
n^2 + 2n - 2 = (n + 1)^2 - 7 + 4 = n(n + 2) - 7 + 5 = (n - 1)(n + 3) + 1 = (n - 2)(n + 4) + 6 と式変形する。
n-2,n-1,n,n+1,n+2,n+3,n+4,は連続する7つの整数なので必ずいずれかが7の倍数となるため、与式を7で割った剰余は4,5,1,6のみ。
nに全パターン入れる解答の後にn+1の平方にする解答も思いつきました。あと背理法でも解いてみました。n^2+2n-2=7kと仮定し、7k+3=(n+1)^2になるkが整数の範囲内では存在しないことで証明としてみました。
ちなみにこのnは暗黙的に整数ということでよかったでしょうか。例えば√10-1は無理数ですが、満たすことはできますね。
n=7k+a但k,aは整数、-3
余りで考えるんか～
おもしろかったです😊
合同式について授業で教わらなかった世代でしたので、今日の説明で基礎的な部分から理解出来ました。
ありがとうございました。
整数問題から始まり複素数問題、合同式、漸化式、多項定理と聞くだけで嫌だった自分の苦手分野をwipeしてもらいました。 今後とも良問、期待しております。
例えば
n= -1＋√3 ⇒ n+1=√3 ⇒ (n+1)^2=3 ⇒ n^2 + 2n -2=0 ⇒ n^2 + 2n -2は7の倍数
ですから、命題は偽です…。なんちゃって。■
====================================
＜第2の解答例について＞：（もちろんnは整数であるものとして…）
全ての整数を7ℓ, 7ℓ±1, 7ℓ±2, 7ℓ±3と分類しておきながら、mod7による分類を繰り返す（実は同じものですが）ような記述はあまりスッキリしません。すべてmod7で統一しましょう。
~~~~~~~~~~~~
以下、mod7において考える。
n^2 + 2n - 2 ≡ 0
⇔ (n+1)^2 - 3 ≡ 0
⇔ (n+1)^2 ≡ 3 …①。
ここで
n+1≡0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
のいずれかであるが、さらに
4≡-3, 5≡ -2, 6≡ -1
に注意すれば、下記の１°～4°により全ての場合が尽くされる。
1°）n+1≡0 のとき (n+1)^2 ≡ 0。
2°）n+1≡±1 のとき (n+1)^2 ≡ 1。
3°）n+1≡±2 のとき (n+1)^2 ≡ 4。
4°）n+1≡±3 のとき (n+1)^2 ≡ 9
≡ 2
。
よっていずれにせよ①は偽であるから、与式が7の倍数となるような整数nは存在しない。■
与式＝(n+1)^2-3なのでn=7k+lでとして、lは0、±1、±2、±3のプラスだけ考えればよいということで証明できました。
いつも視聴させていただいている某大手予備校の数学教師をやっている者です．いろいろと勉強させていただいております．ありがとうございます．
貫太郎さんの合同式に魅せられた様子が非常にほほえましいと思ってみていますが，一つだけ気になることがあります．
合同式の定義をきちんと説明されたことがないようにおもいます．
2つの整数 a, b が正の整数 n を法として合同であることの定義は，
a と b を n で割った余りが等しいこと
です．
要するに，余りに関する限り a，b を区別する必要がないということで，等式のごく自然な拡張になっているわけで，等式と同様な扱いができることもごく自然に納得できるのではないでしょうか．
もちろんよくご存じの上で講義なさっているのでしょうが，やはり，きちんと言葉で述べることの大切さもわかっていらっしゃるはずです．これからも意欲的な投稿を楽しみにしています．
ありがとうございます。
なるほどー。そうでしたかー。
ua-cam.com/video/6COGmURbrAw/v-deo.html
ua-cam.com/video/oWKwtwNkvRI/v-deo.html
かっこいい～～～ｗｗ
数学の証明はかくあらねばみたいな（笑）
仮に入試問題でこれを出して、あっさりこれで攻略されたら採点官はどう思うんでしょうかねぇ。
まぁ、実際にはこんなシンプルじゃないでしょうが。
1次の項に 7n 定数項に 7の倍数 をそれぞれ加減して因数分解できないかと試してみましたが、
「いい感じ」の数が見つかりませんでした。
見つかったとしても、7 通りの場合分けは必要だったでしょうけれど…。
平方数だと、「絶対値」で考えられるところが強みですよね。
mod7の基本問題なのでそれとは別に中学生のやり方でしました。
n=7m+a として 式に代入し、いかなる整数aで余り部分が0にならないことを示すように解きました。式が簡単なのでこれはこれでできます、
なんだかんだで久しぶりの証明問題な希ガス。
檀黎斗神 そうですNe
今って、「希ガス」は学校で「貴ガス」と教えてるって聞きましたが、そうなると、こういう場合の「希ガス」も「貴ガス」に改めないといけない貴ガス（笑）。
vacuumcarexpo 僕は希で習いましたけどそうなんですね
貫太郎先生のお蔭で、エレガントな解法の良さを味わうことが出来ました。modの使い方も、理解が深まりました。ありがとう、ございました。
備忘録👏60G"〖 J剰余分類 mod7 の合同式を用いると、〗n≡ 0,1,2,3,4,5,6 と表すことができる。
f(n)＝n²＋2n－2＝(n＋1)²－3 とおくと, n≡ 0,1,2,3,4,5,6 に対してそれぞれ、
f(0)≡1²－3≡－2≡5, f(1)≡2²－3≡1, f(2)≡3²－3≡6, f(3)≡4²－3≡13≡6, f(4)≡5²－3≡22≡1,
f(5)≡6²－3≡33≡5, f(6)≡7²－3≡46≡4 以上より、f(n)は 任意の整数n に対して 7の倍数でない。■
〖 別解→ 動画ラストの背理法☆ 〗
これをすぐ思いつけるようになったのも貫太郎さんのお陰です！
ありがとうございます！！！
合同式は懐かしいけどmodはマジで習った記憶が無い
おはようございます！
愚直に、0〜7まで余りで分類して、表にして示しました。この手の問題は記述が難しい印象です。
しっかり復習しておきます！
(n+1)^2－3と変形して、平方数－3が0（mod 7）になるか調べたんで、奇しくも最後の解法と似たような感じになった。
nを7で割った余りで分類して、7通りで確認した
平方完成したら楽そうやからそうしたらほんまに楽やったンゴ
mod使うか、二乗―3にならないことを結局はmodで示すか、か
そこで2乗をつくるんですか。
確かにエレガント☺
別解美しいですね😃
何回も見てたら見つけてしまった...
8:45あたり～
7l+2の件は4+『4』-2になるかと💦
さすがはノー編集キング
本題への影響は少ないですな😁
n^2+2n-2=7k(k≧1)が成立すると仮定
整理すると、n(n+2)=2(3k+1)+k
ここで、左辺については1つ飛ばしの整数の乗算で表現されることから、パターンは偶数×偶数か奇数×奇数のどちらかになる
そして、右辺につき、左辺が偶数×偶数の場合はkが偶数、奇数×奇数の場合はkが奇数であることが必要となる
(i)k=2a(aは1以上の整数)の時、(右辺)=2(7a+1)
よって、n(n+2)=2(7a+1)となることから、7a+1は2の1つ飛ばしの整数、即ち4となる
しかし、7a+1=4⇔a=3/7であり、整数解を持たない為矛盾する
(ii)k=2b-1(bは1以上の整数)の時、(右辺)=14b+5
14b+5につき、14と5は共通因数を持たない為、右辺が２つの整数の掛け算で表現されるならば、
bが5の倍数である必要がある為、b=5s(sは1以上の整数)と表現出来る
その上で、更に整理すると14b+5=5(14s+1)となり、(i)と同様にして14s+1は3又は7となる
しかし、14s+1=3⇔s=1/7、14s+1=7⇔s=3/7となり、共に整数解を持たない為矛盾する
以上、全ての場合で矛盾する為、当初の仮定は誤りであることから、n^2+2n-2は7の倍数ではない
考えておいて何ですが、１つ飛ばしの整数の乗算の形自体を直接評価すること自体が大丈夫なのかが不安ではあるんです
当初偶奇性で評価しようとしたら、そもそも整数解が出てこないから矛盾、というのは何か見落としがあるようにしか思えない(；・∀・)
(同様の論理でn^2+2n-1を評価した場合は成立するので、偶然だといいんですが…)
お～、最後の平方剰余を使った解き方…できるようになりたい！ 良い勉強になりました！
mod7の代入で7l+2の時ミスってますね。
一応追記：２ｎを２×２とすべきところ、ただの２で計算しちゃってますね。
まぁ結局答えが6になるだけで流れは変わりませんけど。
青チャで似たようなのやったけど合同式にもってこいだった
最後の(n+1)^2-3 のあとは、n+1の値の場合分け（4通り）で証明できました。
「合同式とRSA暗号」まだ見始めたところです。先生の動画も勉強になります。
練習しないとスラスラいかないのでフーフー言ってやっています
自分もnを分別して力押ししてしまいました。
modやっぱり面白い笑
平方数の形にしてはみ出たものを移項すればよかったのか...
地道に場合わけで示しました。
こんばんは👦。通常の解法も理解、習得した上でエレガン トな解法をテストで使えるようにがんばります⤴️。
全く同じ解き方だ。さて、別解を考えよう。
余談が8割以上になるんじゃないかと思ったら、やっぱりそうだったｗ
10超えてるのに広告3個とか良心的すぎる
どっかのなんちゃらクックも見習って欲しいね
8:00 忙しい人向け
最高
とりあえずmod7でやってみたらn≡0, n≡±1, n≡±2, n≡±3のすべてについて与式はすべて≡0にならなかったので題意が示せたと思います。
n^2+2(n-1)1と変形して、nが偶数の場合は偶数たす偶数で７の倍数でない。
nが奇数の場合を調べるため、n=2m+1としてnに代入。
4(m^2+2m)+1となり、4の倍数に1足しても7の倍数にならない。
というのは証明になっているのか分からない。
偶数+偶数が7の倍数になることはいくらでもありますよ。14+28
4の倍数+1が7の倍数になることもいくらでもあります．
こういうのは1次の不定方程式 7x=4y+1 すなわち7x-4y=1の整数解(x,y)の一般解
x=4k-1, y=7k-2 (k: 整数)の存在から分かります．
自然数解に限定したいなら k≧1にすればOK
4x5+1=20+1=21=7x3，4x12+1=49=7²，4x19+1=77=7x11, etc.
mod知らない人は大変
同じ理由でn²+2n+2もn²+2n+3も7の倍数ではないという訳ですね．
n=7kのとき n^2+2n-2≡5(mod7)
n=7k±1のとき n^2+2n-2≡1,4(mod7)
n=7k±2のとき n^2+2n-2≡6,5(mod7)
n=7k±3のとき n^2+2n-2≡6.1(mod7)
よって n^2+2n-2≡1,4,5,6(mod7)であるから
n^2+2n-2は7の倍数でない
これは誤りですか？
スマートでないのは重々承知です、、
スーツの方が渋いおっちゃんって感じで好きなんだけどなぁ
@@胸にかける さん。少なくとも７人の賛同者に失礼なのでは？
そろそろ微積やりたい
帰納法じゃだめなのかしら。
帰納法より背理法が適していると思います。検証していませんが、与式が7倍数と仮定して、矛盾を見いだせばいいので。
帰納法でももちろんできます。任意の整数 n に対して、a_{n+7}-a_n=14n+63≡0 (mod 7) すなわち a_{n+7}≡a_n (mod 7) ですので、a_0≡5 (mod 7), a_1≡1 (mod 7), a_2≡6 (mod 7), a_3≡6 (mod 7), a_4≡1 (mod 7), a_5≡5 (mod 7), a_6≡4 (mod 7) であることから、任意の整数 n に対して、a_n≡0 とはならないことがわかります。
（追記）帰納法と背理法のいずれが優れているのかは置いておいて考えていますが、解法を複数知っておく（本来であればどの解法が良いのかを知る）ことは大事ではあるも、まずは自分にとってその中で特に「これだ！」と思う解法を確実に武器として使えるようにできれば良いと思います。
あ、コメントするのが漏れておりました。
これは平方完成する方法を秒殺で見つけることができました。
おはようございます。
おはようございます。家庭菜園で、きゅうり、紫蘇の葉、ハｰブを、収穫しました。頭にも栄養を与え、数学の勉強に生かします。
できた。ほめて
えらい
えらい
今回使った7ってもしかして藤井聡太七段から
とってたりしますか。そうしたら次は渡辺明三冠
の3ですかね。
将棋は駒の動かし方くらいしか知りませんが、森信雄一門推しです。
羽生のライバル:故村山 聖、旧帝大組:片上大輔・糸谷哲郎、サウスポー(?):山崎隆之と多士済々ですから。
貫太郎のおかげで
河合塾の模試の複素数瞬殺できたぜー
高一の時mod教えてもらわなかったからなんも分からん。。。
こちらをご覧ください→ua-cam.com/video/hScE47KD4ks/v-deo.html
鈴木貫太郎 ありがとうございます！！！
日常的には誰でも普段から使っていることです．1週間の曜日が最も代表的なものですが，周期的なものは全部そうです．1年365日，1日24時間，1日午前午後，1時間60分，1分60秒，etc.
文系なんですが合同式って使えるようにしといたほうが良いですか？
この手の質問、たまにあるけど、入試に数学があるのなら整数問題が出ることはあり得るし、「良い」に決まってます（逆に、合同式を使えるようになって「悪い」ことなんてあります？ 習得に要する時間は僅かだし）。
さらに言えば、入試に臨むに当たって、有限な時間の中で、コストパフォーマンス等を勘案し、習得すべきものと不要なものの分別は自分で判断できるようになって当然だと思います。
@@springside40
コスパ良いんですか？
本編いくまでが長すぎ
一番乗りぃ😎