많은 사람들이 수학적인 사고를 단순히 '논리력' 같은거라 혼동하죠. 왜일까? 저는 그게 그동안 '수학적 사고'를 운운하고 설파하던 사람들치고 정작 상엽쌤처럼 진짜로 수학적 사고를 경험해본 이가 드물기 때문이라 생각합니다. 그런 의미에서 누군가는 꼭 들려주었어야 하는 말을 나서서 해주시는 상엽쌤께 존경과 감사를 표합니다.
그럼 혹시 궁금해서 질문드리는데, 수학이 그 ‘논리력’ 말고 어떤 게 있을까요? 가령 1+3=3+1 은 x+y=y+x이라는 논리적 형식은 동일하고, 이 구체적 성질을 더 엄밀히 하여서 동일률, 배중률, (무)모순률 등으로 나타내며, 이를 어긋나지 않는 선에서 특정 대전제(공리)에서 출발하면 다른 수학적 정리가 나온다는 형식 자체는 틀리지 않아 보입니다. 진짜 궁금해서 여쭙습니다.
과학교육학을 전공했고 과학을 가르치고 있는 일개 강사이지만 제가 항상 감명깊게 듣고 한편으로는 본받아야지 생각했던 선생님과 생각이 같아 너무 기쁘네요 저도 학생들에게 항상 같은 얘기를 들려줍니다 과학은 왜? 에서 시작된 학문이라고.. 수학은 수와 관련한 여러가지것들에 대한 호기심에 대한 것이라면 과학 역시 주변에서 일어나고 있는 여러가지 현상에 대한 왜? 라는 호기심에서 비롯된 학문이겠죠 이렇게 말하는 과학썜, 수학쌤들이 많겠지만 저는 누군가에게 들은게 아닌 제가 느낀바를 아이들에게 얘기해준것이거든여 과학공부는 과학자들이 밝혀낸 공식이나 결과를 보고 공부를 할게 아니라 그들이 가진 호기심을 같이 느끼고, 그 호기심을 풀어나가는 과정으로 공부를 해야된다구여 제가 학생들에게 전혀 틀린 얘기를 하는것 같진 않아 너무 기쁩니다 힘을 얻어갑니다 감사합니다.
음.. 이렇게 받아들이면 편하지 않을까 싶어 말씀드립니다. n!은 해석적으로 접근할때 그 의미에 집중해보면 n개의 물체를 나열하는 경우의 수 입니다. 그런데 물체가 0개라면 아무것도 나열하지 못할것이고 자명하게 아무것도 나열하지 못하는 단 한가지의 경우만이 존재하게 됩니다. 원래 나열이라는게 물체가 있을때 정의되는 것이기는 하지만 위에서 말씀하신 형식불역의 원리로 의미를 확장할때 이렇게 받아들이는게 일반적이지 않나 생각합니다
저는 어릴 때 이렇게 생각하긴 했어요. n이 자연수 일 때, n!=(n+1)!/(n+1)라는 성질을 만족 하더라구요. 이거를 좀 더 확장해서 n이 음이 아닌 정수 까지로 범위를 확장시키면 0!=1!/1=1이라고 생각하기도 했고, combination(조합)에서 nCr에서 0!=1이라고 정의해야 다른 성질들을 보존하고 편리해진다는 것도 생각하기도 했고 지금은 감마 함수(n!에서 n의 범위를 실수(음의 정수에서는 정의되지 않긴 하지만...)까지 늘린 거 정도로 생각할 수 있겠군요)를 생각해보았을 때, 0!=1이라고 정의하는 게 정말 정말 합리적이라고 생각하고 있지요. 형식 불역의 원리에 그나마 가까운(사실 형식 불역의 원리에 대해 잘 몰라서 인터넷 쳐 봤습니다)? 귀납적 외삽법을 생각해보자면 3!=4!/4, 2!=3!/3, 1!=2!/2이므로 0!=1!/1이라고 생각하는게 꽤나 합리적이지 않나...하는 생각이 듭니다.
두부 한 모를 상상해봅니다. 이 두부를 칼로 썰어내는 것으로 알 수 있습니다. 1! = 두부 한 조각으로 만들어라 2! = 위의 두부을 두 조각으로 만들어라 3! = 위의 두부들을 각각 세 조각으로 만들어라 4! = 위의 두부들을 각각 네 조각으로 만들어라 이 처럼 점점 같은 패턴이 보이지만 1!의 의미는 이렇게 보아도 될 것 같습니다. "어떠한 모양의 두부를 두부 한 모의 형태로 조각내라." 이러면 두부를 한 조각으로 만든게 됩니다. 그러면 0!를 본다면 조각내지 않은 두부 '어떠한 모양의 두부 1개'가 되겠습니다. 두부는 가공과정을 거치기 전이라면 상자틀에 채워진 형태로 나오니 자르기 전이어도 1개가 됩니다. 가공하면 다량의 두부 한 모가 됩니다. 그러므로 0! = 1 이 되겠습니다.
수학적 사고 뿐만 아니라 철학적인 사고영역 부분은 일정한 경험을 통한 뒤에야 생깁니다. 피아니스트와 바이올린리스트가 '악기' 하면 먼저 떠오르는 생각이 다르고 소프라노와 베이스가 청음할 때 정답률이 높은 구간이 다른 것 처럼 말이에요. 수학적 사고를 가진 뒤에야 수학을 하는 것이 아니라 수학적 활동을 한 뒤에야 수학적 사고가 생깁니다. 귀류법적 증명을 한 번도 경험해보지 못 한 사람은 내가 증명하고 싶은 명제의 가정을 왜 부정해야 하는지 이해가 잘 안되고 대학교 수학을 접하지 않은 사람은 왜 엡실론을 먼저 선택하고 나서 델타가 종속하여야 하는지 이해가 잘 안됩니다. 미적분학-해석학개론-위상수학까지 공부한 수학자라면 당연히 공역상의 함숫값을 포함하는 엡실론 열린구간의 역상에 대하여 부분집합으로서의 델타 열린구간이 존재하여야 한다는 것은 매우 당연한 일입니다. 수학적으로 obvious 하고 trivial 한 일일 뿐이죠. 당연히 대학수학을 전공하시면 그에 걸맞는 수학적 사고가 생기실겁니다. 대학수학을 하지 않는다고 하여 수학적 사고가 안생기는 것은 또 아닙니다. 고등학교 수학에 걸맞는 수학적 사고가 생길 뿐이죠. 가령 x가 a에 가까워져 간다면 f(x)역시 가까워져 간다는 사고방식 같은 경우라고 할 수 있겠네요
![예수는 정말로 부활했을까?f.연세대학교 학부대학 김학철 교수 [더 릴리전]](http://i.ytimg.com/vi/OEJINdUwgLc/mqdefault.jpg)
![[지식in] 왜 (-1)^2 2 = -1 일까?](http://i.ytimg.com/vi/2jjnebhxFN4/mqdefault.jpg)
![[강연] 수학에 무조건은 없습니다. Wheel Theory](/img/n.gif)
노이즈를 잡고 나름의 보정작업을 하였지만 음성이 깨지는 이유는 스트리밍했던 원본 영상의 음질 문제입니다. 이해를 바랍니다. (ㅠㅠ)
선생님, 근데 진짜 전반적으로 선생님의 양질의 강의에 비해 영샹과 음향 품질이 항상 아쉬웠습니다ㅠㅠ
한 번 투자하시면 훨씬 좋을 것 같아요! 진짜 항상 넘 감사합니다.
내 마음이 이상엽에게 치여버린 게 수학적 "사고"...랄까?
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇ.. 내 마음.. 이세계로 떠나버렸을지도?
수학적 합의금 발생
수학적 사고(물리) ㅋㅋ
도른자 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
많은 사람들이 수학적인 사고를 단순히 '논리력' 같은거라 혼동하죠. 왜일까? 저는 그게 그동안 '수학적 사고'를 운운하고 설파하던 사람들치고 정작 상엽쌤처럼 진짜로 수학적 사고를 경험해본 이가 드물기 때문이라 생각합니다.
그런 의미에서 누군가는 꼭 들려주었어야 하는 말을 나서서 해주시는 상엽쌤께 존경과 감사를 표합니다.
그럼 혹시 궁금해서 질문드리는데,
수학이 그 ‘논리력’ 말고 어떤 게 있을까요?
가령 1+3=3+1 은
x+y=y+x이라는 논리적 형식은 동일하고, 이 구체적 성질을 더 엄밀히 하여서 동일률, 배중률, (무)모순률 등으로 나타내며, 이를 어긋나지 않는 선에서 특정 대전제(공리)에서 출발하면 다른 수학적 정리가 나온다는 형식
자체는 틀리지 않아 보입니다. 진짜 궁금해서 여쭙습니다.
이상엽쌤 진자 넘 스마트하게 잘생기심ㅠ
과학교육학을 전공했고
과학을 가르치고 있는 일개 강사이지만
제가 항상 감명깊게 듣고 한편으로는 본받아야지 생각했던 선생님과 생각이 같아 너무 기쁘네요
저도 학생들에게 항상 같은 얘기를 들려줍니다
과학은 왜? 에서 시작된 학문이라고..
수학은 수와 관련한 여러가지것들에 대한 호기심에 대한 것이라면
과학 역시 주변에서 일어나고 있는 여러가지 현상에 대한 왜? 라는 호기심에서 비롯된 학문이겠죠
이렇게 말하는 과학썜, 수학쌤들이 많겠지만 저는 누군가에게 들은게 아닌 제가 느낀바를 아이들에게 얘기해준것이거든여
과학공부는 과학자들이 밝혀낸 공식이나 결과를 보고 공부를 할게 아니라
그들이 가진 호기심을 같이 느끼고, 그 호기심을 풀어나가는 과정으로 공부를 해야된다구여
제가 학생들에게 전혀 틀린 얘기를 하는것 같진 않아 너무 기쁩니다 힘을 얻어갑니다 감사합니다.
항상 느끼지만 수학은 너무 재밌는 것 같아요~^ㅁ^♡
ㄷㄷㄷ
원래는 재미있음 ㄹㅇ 아ㅋㅋ
학문자체에 대한 찬사가 멈춘 국가에 미래는 없다는 생각이 드는 하루입니다. 인간의 가장 위대한 행위가 그저 취미에서만 머물러야 하는 현실이 통탄할 일입니다.
물리학과 졸업생인데.. 수학은 물리학과 참 비슷하면서도 다르면서 재미있네요! 항상 좋은영상 감사합니다
머야머야 너무 멋잇자나 ㅋㅋ
역시 선좋아요 후감상 영상의 표준. 오늘도 후회없군요.
감사합니다!! 🙈🙉🙊 🤩
이걸 이제 보다니.... 내 인생의 반을 손해봤어ㅠㅠㅠ
침착맨 방송에 나오셨으면 좋겠다
ㅎㅎ 너무 좋네요
수학민수ㅋㅋ
좋은 영상 감사합니다
굉장하군요!
선생님 이산수학은 없을까요 ㅠㅠ 클래스 열어주시면 바로 갈 의향 있습니다
선생님 취미로수학하자 기초강의는 언제쯤 올라올까요 유료라도 꼭 보고 싶네요
이상엽!
안녕하세요 선생님 거듭제곱과 덧셈 에 대한 수학적 사고 영상 재밌게 보았습니다. 혹시 시간되시면 ABC추측에 대해 영상 올려주시면 감사하겠습니다 !
영상 시작부터 제 닉네임이 나와서 놀랐네요...
무슨 사고인지는 몰라도 응원합니다
마이크 소리가 갈라지네요 ㅠ
상엽쌤이 커뮤니티에 링크로 올리신 원본영상 자체가 음성이 깨져있더군요ㅜㅜ
0!=1이라는게 형식 불역의 원리로 설명되나요? 똑똑하신 여러분이 알려주세요 ㅠㅠ
0 != 1 은 true이긴 한데..
음.. 이렇게 받아들이면 편하지 않을까 싶어 말씀드립니다.
n!은 해석적으로 접근할때 그 의미에 집중해보면 n개의 물체를 나열하는 경우의 수 입니다. 그런데 물체가 0개라면 아무것도 나열하지 못할것이고 자명하게 아무것도 나열하지 못하는 단 한가지의 경우만이 존재하게 됩니다. 원래 나열이라는게 물체가 있을때 정의되는 것이기는 하지만 위에서 말씀하신 형식불역의 원리로 의미를 확장할때 이렇게 받아들이는게 일반적이지 않나 생각합니다
저는 어릴 때 이렇게 생각하긴 했어요.
n이 자연수 일 때, n!=(n+1)!/(n+1)라는 성질을 만족 하더라구요. 이거를 좀 더 확장해서 n이 음이 아닌 정수 까지로 범위를 확장시키면 0!=1!/1=1이라고 생각하기도 했고, combination(조합)에서 nCr에서 0!=1이라고 정의해야 다른 성질들을 보존하고 편리해진다는 것도 생각하기도 했고
지금은 감마 함수(n!에서 n의 범위를 실수(음의 정수에서는 정의되지 않긴 하지만...)까지 늘린 거 정도로 생각할 수 있겠군요)를 생각해보았을 때, 0!=1이라고 정의하는 게 정말 정말 합리적이라고 생각하고 있지요. 형식 불역의 원리에 그나마 가까운(사실 형식 불역의 원리에 대해 잘 몰라서 인터넷 쳐 봤습니다)? 귀납적 외삽법을 생각해보자면 3!=4!/4, 2!=3!/3, 1!=2!/2이므로 0!=1!/1이라고 생각하는게 꽤나 합리적이지 않나...하는 생각이 듭니다.
두부 한 모를 상상해봅니다.
이 두부를 칼로 썰어내는 것으로 알 수 있습니다.
1! = 두부 한 조각으로 만들어라
2! = 위의 두부을 두 조각으로 만들어라
3! = 위의 두부들을 각각 세 조각으로 만들어라
4! = 위의 두부들을 각각 네 조각으로 만들어라
이 처럼 점점 같은 패턴이 보이지만 1!의 의미는 이렇게 보아도 될 것 같습니다.
"어떠한 모양의 두부를 두부 한 모의 형태로 조각내라."
이러면 두부를 한 조각으로 만든게 됩니다.
그러면 0!를 본다면 조각내지 않은 두부
'어떠한 모양의 두부 1개'가 되겠습니다.
두부는 가공과정을 거치기 전이라면 상자틀에 채워진 형태로 나오니 자르기 전이어도 1개가 됩니다.
가공하면 다량의 두부 한 모가 됩니다.
그러므로 0! = 1 이 되겠습니다.
1!=1
2!=1×2=2
3!=1×2×3=6
4!=1×2×3×4=24
...
n!=1ו••×n
4!÷3!=(4×3×2×1)÷(3×2×1)=4
3!÷2!=(3×2×1)÷(2×1)=3
2!÷1!=(2×1)÷1=2
(n+1)!÷n!=n+1
n=0
1!÷0!=1÷0!=1 s•t 1÷1=1=0!
0!=1
참 쉽죠?
?내 7분 어디갔지..
저의 성적이 수학적 사고입니다
우리나라에 수학적사고하는사람이 몇이나 있을까?
대학 수학을 전공하면 수학적사고가 더 키워질까요?
상엽쌤의 ua-cam.com/video/P8vTMrpwakI/v-deo.html 이 영상 한번 보시면 충분한 답이 되실 겁니다.
자기대로 여러 교양수학책 읽으면서 상상하면 될 거라고 봅니다.
수학관련 역사, 예술, 개념 등 입니다.
수학적 사고 뿐만 아니라 철학적인 사고영역 부분은 일정한 경험을 통한 뒤에야 생깁니다.
피아니스트와 바이올린리스트가
'악기' 하면 먼저 떠오르는 생각이 다르고
소프라노와 베이스가 청음할 때 정답률이 높은 구간이 다른 것 처럼 말이에요.
수학적 사고를 가진 뒤에야 수학을 하는 것이 아니라
수학적 활동을 한 뒤에야 수학적 사고가 생깁니다.
귀류법적 증명을 한 번도 경험해보지 못 한 사람은
내가 증명하고 싶은 명제의 가정을 왜 부정해야 하는지 이해가 잘 안되고
대학교 수학을 접하지 않은 사람은 왜 엡실론을 먼저 선택하고 나서 델타가 종속하여야 하는지 이해가 잘 안됩니다.
미적분학-해석학개론-위상수학까지 공부한 수학자라면 당연히 공역상의 함숫값을 포함하는 엡실론 열린구간의 역상에 대하여 부분집합으로서의 델타 열린구간이 존재하여야 한다는 것은
매우 당연한 일입니다. 수학적으로 obvious 하고 trivial 한 일일 뿐이죠.
당연히 대학수학을 전공하시면 그에 걸맞는 수학적 사고가 생기실겁니다.
대학수학을 하지 않는다고 하여 수학적 사고가 안생기는 것은 또 아닙니다. 고등학교 수학에 걸맞는 수학적 사고가 생길 뿐이죠.
가령 x가 a에 가까워져 간다면 f(x)역시 가까워져 간다는 사고방식 같은 경우라고 할 수 있겠네요
@@하호준-b4j 혹시 수학철학책 아니면 수학교양서 몇 권만 추천해주실 수 있나요?
보면 볼수록 김광현
맛있다