Boa explicação! Aproveitando o tema, vai lá desafio, ache a T.L. T:{polinômios de grau no máximo 2} em IR2 tal que Im(T) = [(1,-2)] Dica: teorema do núcleo-imagem.
Fantástico professor, estou ansioso pelas aulas de diagonalização :D To vendo agora em mecânica clássica pra ver os modos normais de vibração de um sistema acoplado, e to revisando esses conceitos da algebra linear
Professor no seu exercício, Dim (R²)=2 e a Im(T)=[(1,1),(1,-1),(1,-2)] e Dim(Im(T))=3. Mas se Im(T) é subespaço de R², como a dimensão de Im(T) pode ser maior que a dimensão de R²?
Você calculou errado a dimensão de Im(T). O correto seria dim(Im(T)) = 2. Note que o conjunto [(1, 1), (1, -1), (1, -2)] é um gerador de Im(T), mas ele não é LI. Portanto, {(1, 1), (1, -1), (1, -2)} não é uma base de Im(T). Como {(1, 1), (1, -1), (1, -2)} é LD e [(1, 1), (1, -1), (1, -2)] é um gerador de Im(T), podemos remover elementos desse conjunto até formar uma base de Im(T). Por exemplo, note que (1, -2) = (-1/2)(1, 1) + (3/2)(1, -1). Sendo assim, temos que [(1, 1), (1, -1), (1, -2)] = [(1, 1), (1, -1)]. Além disso, temos que {(1, 1), (1, -1)} é LI. Portanto, o conjunto {(1, 1), (1, -1)} é LI e gera Im(T), o que significa que ele é uma base de Im(T). Portanto, dim(Im(T)) = 2. Ficou mais claro agora? Comente aqui.
Prof, no caso o conjunto dos vetores da imagem não precisam ser L.I? Pq se sim, no exercício 1 o vetor (1,-2) pode ser escrito como combinação linear dos outros dois e o correto seria descartá-lo. Ou estou equivocado?
Note que o enunciado do exercício pede para "determinar a imagem" de T. Desse modo, achar [(1, 1), (1, -1), (1, -2)] que é um gerador da imagem já responde o enunciado do exercício (pois Im(T) = [(1, 1), (1, -1), (1, -2)]). Nesse caso, o conjunto {(1, 1), (1, -1), (1, -2)} não precisa ser LI. Por outro lado, se fosse solicitado no exercício uma "base para a imagem", aí já seria diferente! Além de ser um gerador, deveria ser também LI. Se esse fosse o caso, então uma resposta seria a base {(1, 1), (1, -1)} (ou seja, poderíamos descartar (1, -2) que é combinação linear dos outros dois). Ficou mais claro agora? Comente aqui!
Professor, sobre o gabarito final. Eu cheguei ao mesmo resultado, mas não há problema em (2,1) e (-2,-1) serem L.D? É que na aula de Teorema do Núcleo e da Imagem, o senhor resolveu uma questão onde tinha T(x,y,z) = (6x - 2y + 4z , 3x - y + 2z) e, no final, ficava T(x,y,z) = X ( 6, 3) + Y (-2 , -1) + Z ( 4, 2). Mas, nesse caso, o senhor terminou com T(x,y,z) = ( 3x - y + 2z ) (2 , 1), sendo (2,1) a imagem, pois (6,3) e (-2,-1) eram LD e (-2,-1) e (4,2) também
Oi Nickolas, não há problema em deixar a resposta do exercício final como sendo Im(T) = [(2, 1), (-1, 1), (-2, -1)], pois o enunciado pediu apenas para determinar a imagem de T. Outras respostas que também seriam válidas: Im(T) = [(2, 1), (-1, 1)] ou Im(T) = [(-1, 1), (-2, -1)]. Por outro lado, se o enunciado tivesse pedido para determinar uma base para a imagem de T, aí sim teria que deixar somente {(2, 1), (-1, 1)} ou {(-2, -1), (-1, 1)} para termos um conjunto LI e que gera Im(T). Sobre aquele exercício da videoaula de Teorema do Núcleo e da Imagem, note que no enunciado pedia a dimensão da imagem de T. Sendo assim, temos que encontrar uma base de Im(T). Ou seja, um conjunto que gere Im(T) e que seja LI. Por isso que lá usamos {(2, 1)} e não usamos {(6, 3), (-2 , -1), (4, 2)}. Ficou mais claro agora? Comente aqui.
Por exemplo quando um conjunto gerador da imagem é LD, para colocarmos em LI há varias maneiras de o fazer, logo podem existir varios resultados para base certo?
Dada uma função f : ℝ → ℝ, com f(x) = ax + b, para verificar se ela é uma Transformação Linear você tem que conferir se ela tem as duas propriedades abaixo: (i) f(u + v) = f(u) + f(v), com u e v em ℝ. (ii) f(ku) = kf(u), com k um escalar e u em ℝ.
@@LCMAquino Sim, posso fazer dessa maneira tomando u=a1x+b1 e v =a2x+b2 f(u+v)=f(u)+f(v) f(u+v)=(a1x+b1)+(a2x+b2) f(u+v)=(a1+a2)x + b1+b2 tomando (a1+a2)= K e (b1+b2)=Z Reescrevo assim: f(u+v)= Kx+Z Porem a dúvida é se vale tambem para função linear onde o b é 0, não vai gerar uma restrição para ser transformação linear, considerando q a prop. (ii) e válida(nao coloquei para nao ficar extenso)
O que você fez está errado. Para conferir se f(x) = ax + b é transformação linear, vamos começar pegando u e v em ℝ e calcular f(u + v): f(u + v) = a(u + v) + b = au + av + b Por outro lado, vamos calcular f(u) + f(v): f(u) + f(v) = (au + b) + (av + b) = au + av + 2b Desse modo, temos que f(u + v) ≠ f(u) + f(v). Portanto, f não pode ser transformação linear. Nem precisa conferir a propriedade (ii), pois a propriedade (i) já foi falsa. Obs.: nesse caso note que só iria acontecer f(u + v) = f(u) + f(v) se fosse f no formato f(x) = ax (isto é, quando b = 0).
@@LCMAquino Correto professor, agora entendi, estava quebrando a cabeça com isso, oque eu fiz seria a demonstração de uma das propriedades de subespaço, onde no caso, a função afim é, certo?. Com o que o professor me passou posso concluir que so será TL o subespaço das funções lineares, correto?
Obrigado pelas aulas professor, a sua didática me ajuda demais a entender os assuntos. Você merece muito reconhecimento pelo seu trabalho fantástico.
Tão bom estudar álgebra linear com o senhor mestre 👏👏👏👏
Boa explicação! Aproveitando o tema, vai lá desafio, ache a T.L. T:{polinômios de grau no máximo 2} em IR2 tal que Im(T) = [(1,-2)]
Dica: teorema do núcleo-imagem.
mais uma vez só tenho a agradecer! suas aulas sempre me ajudam muito
Fico feliz em saber!
Ajuda mesmo. Obrigada professor, te acompanho desde o primeiro período e foi minha prof de Calculo 1 que indicou seu canal na sala de aula
Que bom que está ajudando! 😍
Fantástico professor, estou ansioso pelas aulas de diagonalização :D To vendo agora em mecânica clássica pra ver os modos normais de vibração de um sistema acoplado, e to revisando esses conceitos da algebra linear
Não estava entendendo nada antes dos seus vídeos professor. Obrigado
Que bom que minhas videoaulas estão lhe ajudando a entender o conteúdo!
Obg
Excelente aulaaa
Obrigado! 😃
Aula 2 ✔
Professor no seu exercício, Dim (R²)=2 e a Im(T)=[(1,1),(1,-1),(1,-2)] e Dim(Im(T))=3. Mas se Im(T) é subespaço de R², como a dimensão de Im(T) pode ser maior que a dimensão de R²?
Já percebi que o último vetor do gerador da imagem é combinação linear dos outros dois, logo a dimensão da imagem é igual a 2.
Você calculou errado a dimensão de Im(T). O correto seria dim(Im(T)) = 2. Note que o conjunto [(1, 1), (1, -1), (1, -2)] é um gerador de Im(T), mas ele não é LI. Portanto, {(1, 1), (1, -1), (1, -2)} não é uma base de Im(T).
Como {(1, 1), (1, -1), (1, -2)} é LD e [(1, 1), (1, -1), (1, -2)] é um gerador de Im(T), podemos remover elementos desse conjunto até formar uma base de Im(T). Por exemplo, note que (1, -2) = (-1/2)(1, 1) + (3/2)(1, -1). Sendo assim, temos que [(1, 1), (1, -1), (1, -2)] = [(1, 1), (1, -1)]. Além disso, temos que {(1, 1), (1, -1)} é LI.
Portanto, o conjunto {(1, 1), (1, -1)} é LI e gera Im(T), o que significa que ele é uma base de Im(T). Portanto, dim(Im(T)) = 2.
Ficou mais claro agora? Comente aqui.
Prof, no caso o conjunto dos vetores da imagem não precisam ser L.I? Pq se sim, no exercício 1 o vetor (1,-2) pode ser escrito como combinação linear dos outros dois e o correto seria descartá-lo. Ou estou equivocado?
Note que o enunciado do exercício pede para "determinar a imagem" de T. Desse modo, achar [(1, 1), (1, -1), (1, -2)] que é um gerador da imagem já responde o enunciado do exercício (pois Im(T) = [(1, 1), (1, -1), (1, -2)]). Nesse caso, o conjunto {(1, 1), (1, -1), (1, -2)} não precisa ser LI.
Por outro lado, se fosse solicitado no exercício uma "base para a imagem", aí já seria diferente! Além de ser um gerador, deveria ser também LI. Se esse fosse o caso, então uma resposta seria a base {(1, 1), (1, -1)} (ou seja, poderíamos descartar (1, -2) que é combinação linear dos outros dois).
Ficou mais claro agora? Comente aqui!
Olá professor como faço para obter a imagem de uma transformação Linear R² para R³?
De maneira análoga ao que foi feito no Exercício 1 aos 14:36 dessa videoaula.
Professor, sobre o gabarito final. Eu cheguei ao mesmo resultado, mas não há problema em (2,1) e (-2,-1) serem L.D? É que na aula de Teorema do Núcleo e da Imagem, o senhor resolveu uma questão onde tinha T(x,y,z) = (6x - 2y + 4z , 3x - y + 2z) e, no final, ficava T(x,y,z) = X ( 6, 3) + Y (-2 , -1) + Z ( 4, 2). Mas, nesse caso, o senhor terminou com T(x,y,z) = ( 3x - y + 2z ) (2 , 1), sendo (2,1) a imagem, pois (6,3) e (-2,-1) eram LD e (-2,-1) e (4,2) também
Oi Nickolas, não há problema em deixar a resposta do exercício final como sendo Im(T) = [(2, 1), (-1, 1), (-2, -1)], pois o enunciado pediu apenas para determinar a imagem de T. Outras respostas que também seriam válidas: Im(T) = [(2, 1), (-1, 1)] ou Im(T) = [(-1, 1), (-2, -1)].
Por outro lado, se o enunciado tivesse pedido para determinar uma base para a imagem de T, aí sim teria que deixar somente {(2, 1), (-1, 1)} ou {(-2, -1), (-1, 1)} para termos um conjunto LI e que gera Im(T).
Sobre aquele exercício da videoaula de Teorema do Núcleo e da Imagem, note que no enunciado pedia a dimensão da imagem de T. Sendo assim, temos que encontrar uma base de Im(T). Ou seja, um conjunto que gere Im(T) e que seja LI. Por isso que lá usamos {(2, 1)} e não usamos {(6, 3), (-2 , -1), (4, 2)}.
Ficou mais claro agora? Comente aqui.
ficou sim, muito obrigado!
professor, não tem problema um dos vetores do conjunto gerador da imagem ser linearmente depentente?
Não tem problema. O conjunto que é um gerador pode ser LD. O que NÃO pode ser LD seria o conjunto que é uma base.
@@LCMAquino entendi, obg professor
Olá professor! Podem existir várias bases para a Imagem correto?
Por exemplo quando um conjunto gerador da imagem é LD, para colocarmos em LI há varias maneiras de o fazer, logo podem existir varios resultados para base certo?
Sim, existem várias bases para a Imagem. Assim como existem várias bases para um mesmo espaço vetorial (e seus subespaços vetoriais).
Como eu verifico que um vetor pertence a uma Im(T) com uma determinada função?
Se você quer verificar que um vetor v pertence a Im(T), então você precisa determinar se existe um vetor u no domínio de T tal que T(u) = v.
@@LCMAquino Obrigado
Eu fiz o exercício extra deu Im(T)=[(2,1),(-1,1),(-2,1)] está correto?
Olá Thiago, confere as suas contas do terceiro vetor. O correto seria Im(T) = [(2, 1), (-1, 1), (-2, -1)].
@@LCMAquino eu escreve errado, mas deu -1 o meu. Então, está certo
@@thiagosoaresbueno4409 , sim, aí nesse caso está correto. O terceiro vetor fica (-2, -1) mesmo.
@@LCMAquino Simm, muito obrigadoo!
como posso verificar q o subespaço das funções afim é ou não TL
Dada uma função f : ℝ → ℝ, com f(x) = ax + b, para verificar se ela é uma Transformação Linear você tem que conferir se ela tem as duas propriedades abaixo:
(i) f(u + v) = f(u) + f(v), com u e v em ℝ.
(ii) f(ku) = kf(u), com k um escalar e u em ℝ.
@@LCMAquino Sim, posso fazer dessa maneira
tomando u=a1x+b1 e v =a2x+b2
f(u+v)=f(u)+f(v)
f(u+v)=(a1x+b1)+(a2x+b2)
f(u+v)=(a1+a2)x + b1+b2
tomando (a1+a2)= K e (b1+b2)=Z
Reescrevo assim:
f(u+v)= Kx+Z
Porem a dúvida é se vale tambem para função linear onde o b é 0, não vai gerar uma restrição para ser transformação linear, considerando q a prop. (ii) e válida(nao coloquei para nao ficar extenso)
O que você fez está errado. Para conferir se f(x) = ax + b é transformação linear, vamos começar pegando u e v em ℝ e calcular f(u + v):
f(u + v) = a(u + v) + b = au + av + b
Por outro lado, vamos calcular f(u) + f(v):
f(u) + f(v) = (au + b) + (av + b) = au + av + 2b
Desse modo, temos que f(u + v) ≠ f(u) + f(v). Portanto, f não pode ser transformação linear. Nem precisa conferir a propriedade (ii), pois a propriedade (i) já foi falsa.
Obs.: nesse caso note que só iria acontecer f(u + v) = f(u) + f(v) se fosse f no formato f(x) = ax (isto é, quando b = 0).
@@LCMAquino Correto professor, agora entendi, estava quebrando a cabeça com isso, oque eu fiz seria a demonstração de uma das propriedades de subespaço, onde no caso, a função afim é, certo?.
Com o que o professor me passou posso concluir que so será TL o subespaço das funções lineares, correto?
Muito obrigado professor, me ajudou muito!!!
valeu mesmo por sua atenção!!