Esatto! Quando insegnavo al Liceo introducevo sempre la norma del vettore e poi arrivavo al c.d. valore assoluto come caso particolare monodimensionale. La norma del vettore ovviamente come radice quadrata del prodotto scalare del vettore argomento per se stesso. Se spieghi le cose come stanno, i liceali ti seguono!
Salve prof. Ho visto delle disequazioni con valore assoluto dove compaiono oltre alle x anche le y, non riesco a capire come si fanno. Potrebbe fare un video che spiega come vanno affrontate, magari facendo qualche esercizio svolto. La ringrazio in anticipo 🧡👋
La soluzione di di una disequazione in una incognita è un sottoinsieme della retta reale, che può essere espresso come unione di intervalli (quindi in definitiva con disuguaglianze del tipo x
Molto interessante associare al valore assoluto il significato geometrico di distanza! Allora si potrebbe definire il valore assoluto anche come la distanza di quel numero dal punto zero, giusto?
Bello davvero. Mi è piaciuto il passaggio da R^2 ad R considerando (x,0) e poi soltanto x. Io, personalmente, uso la solita definizione. Poi per la radice quadrata di x^2 , non potendo essere negativa, sará 0 oppure una quantità positiva. Quando un allievo non tiene conto del segno di x (negativo) e fa la semplificazione gli ricordo il segno della funzione radice...e pertanto l'unica correzione possibile da fare è quella di scrivere -x come risultato, con x
Egr Gaetano, quando si dovrebbero insegnare ai nostri ragazzi questi concetti fondamentali? Forse in un 4° o 5° anno delle scuole superiori quando i concetti di algebra e geometria sono sufficientemente compresi dargli studenti.
Questo video è perfettamente comprensibile da un ragazzo di terza media. Le uniche nozioni necessarie sono: coordinate, teorema di Pitagora, quadrato, radice quadrata. Forse basta la seconda media. L'ostacolo non sono gli allievi ma gli insegnanti.
Egr Gaetano, sei un docente universitario, sappi che alle scuole superiori arrivano alunni che non conoscono le 4 operazioni con i naturali fino a 10, anche al liceo. Al liceo, dopo aver ripassato l'aritmetica e passati all'algebra, che hanno affrontato anche nelle medie le difficoltå crescono e bisogna avere molta pazienza
@@pasqualenicidemo9087 Insegno all IIS Galilei Ferrari di Torino, ho due classi del tecnico e tre del liceo. Insegno alla scuola superiore da molti anni, di allievi ne ho conosciuti tanti. Ribadisco quanto già detto: l'ostacolo principale sono i docenti non gli allievi. Faccio un esempio più concreto: in prima superiore si studiano le frazioni algebriche, argomento che richiede moltissime più competenze che non la banale lunghezza di un vettore! La invito a riflettere su questo esempio
In realtà io non ho parlato di "metodo" per risolvere equazioni. Comunque, certo, la definizione puoi applicarla a quella equazione, che in tal modo diventa irrazionale. Per risolverla devi elevare al quadrato due volte, non è proprio agevole.
I numeri non hanno mai un segno, sono i simboli con cui rapprentiamo i numeri negativi che lo hanno, il sengo "meno" davanti ad un numero indica l'opposto di un numero, cioè "-x" indica quel numero che sommato al numero (indicato con) x da 0. Per dare un'idea nelle classi resto modulo 5, si ha che -4 = 1.
@@GaetanoDiCaprio era per esemplificare che il segno meno (in un gruppo commutativo) indica l'opposto di un elemento. L'identificazione (equivoca) dei negativi come "numeri col segno meno" quando non hanno -di per se- alcun segno (da cui l'idea grossolana "valore assoluto di x" ="x senza segno") è dovuta al fatto che per ampliare il monoide (cancellativo, abeliano) N al gruppo abeliano Z si aggiungono ad-hoc agli interi (dati come simboli decimali in genere) le coppie degli stessi simboli "marcate col segno meno" queste coppie per costruzione algebrica risultano ANCHE COME i rispettivi opposti degli interi. l'esempio delle classi resto mette in evidenza tale malposta identificazione. se si afferma che: si ottiene |x| togliendo il segno ad x, si presuppone che il segno meno sia una parte del numero x, mentre il segno meno indica l'opposto.
@@gianlucabellachioma6438 certo che dà due risultati, è questo il motivo per cui nella formula c'è un "più o meno" radice di delta. Se la radice restituisse due risultati non ci sarebbe bisogno del "più o meno" nella formula.
Salve prof la sua spiegazione mi ha davvero interessato e infatti volevo portarla all’interrogazione dato che è un argomento che stiamo approfondendo in classe. Volevo chiederle una domanda sul vettore del piano cartesiano, c’è il caso in cui il vettore non parta da 0? e se non c’è mi saprebbe dire perché? Grazie in anticipo 🙏☺️
Certo, si può definire un vettore con la coda in un punto diverso dall'origine. Dal punto di vista dell'algebra lineare, però, tutti i vettori che hanno stessa direzione, stesso verso e stesso modulo, sono "lo stesso vettore" per cui la rappresentazione standard è quella con la coda nell'origine. Infatti, il vettore v che va da A(x_A, y_A) a B(x_B, y_B) ha componenti (x_B-x_A, y_B-y_A).
@@GaetanoDiCaprio La ringrazio prof, oggi proprio ho fatto l’interrogazione pensate è solo perché è la prima interrogazione non ho avuto 10!! Ho avuto 9 mezzo che è un voto più che eccellente. Però la prof mi ha fatto una precisazione, la sua dimostrazione è correttissima ma mi ha detto che non è propriamente corretta come definizione di valore assoluto. Questo perché quando ho tolto la dimensione delle ascissi (intendo la y) cambia ovviamente il contesto infatti si passa dal piano alla retta, e nella retta non ci sono due coordinate per questo non la si può definire come valore assoluto in generale, ma nel piano cartesiano si. Ho cercato di esprimermi il più chiaro possibile, in ogni caso la ringrazio della sua spiegazione, davvero ottima 👌❤️
@@vincenzo7180 Non sono d'accordo con la tua insegnante: anche R si può vedere come spazio vettoriale di dimensione 1. Complimenti per l'interrogazione!
@@GaetanoDiCaprio Si prof infatti la mia prof ha detto che R ha proprio una dimensione, mentre invece l’esempio del piano cartesiano ne ha due. In poche parole nella retta x per applicare ‘il teorema di pitagora’ avremmo bisogno di due coordinate, cosa che abbiamo nell’asse cartesiano, non in R, mi faccia sapere cosa ne pensa sarei molto curioso
Radice della somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria. A.K.A. La distanza dall’origine del punto rappresentativo sul piano di Gauss
Personalmente io procedo iniziando dalla definizione più blasfema, il numero senza il segno, per poi passare alla terza definizione, che ritengo una parafrasi di quella ufficiale, ed infine alla seconda, scritta in puro linguaggio matematico. Trovo che questo procedere per raffinazioni successive sia il modo più naturale di introdurre concetti come quello di valore assoluto, che in fondo è semplice, ma per chi non è ancora stato svezzato al calcolo simbolico (come chi inizia il primo anno di scuola superiore) può risultare di difficile comprensione. Occorre comunque sempre calibrare tutto in funzione del destinatario del messaggio. Geometricamente col valore assoluto ci si può divertire molto con i ragazzi del triennio, per vedere come hanno assimilato il concetto.
Grazie della condivisione, sono d'accordo con la gradualità e sostanzialmente procedo allo stesso modo con i miei allievi tranne... la prima definizione! Quella la do in maniera giocosa e poi faccio osservare: "povero numero, ha perso il segno, e adesso deve andare a cercarlo...".
Ho visto il video senza audio, domani lo ascolto...spero che si spieghi perché uno non può fare -4^2 + -3^2 ??? Fa' sempre radice di 25 e quindi 5, ma nel piano cartesiano il vettore (-4 -3) è nel terzo quadrante...e non nel secondo come lo insegnano...ma il grafico giusto è solo quello primo/secondo quadrante...🤔🤔
@@GaetanoDiCaprio grazie per la risposta. Lo guarderò con audio sicuramente👍 Eh...si...confermo che ancora oggi anche in ingegneria, il modulo è spiegato con una parentesi graffa con le due ipotesi >0 e
@@LucioBotteri la mia era una domanda specificando che non avevo sentito l audio, la tua è una frase polemica e basta. Odio i polemici. Sono inutili. Buona vita
Esatto! Quando insegnavo al Liceo introducevo sempre la norma del vettore e poi arrivavo al c.d. valore assoluto come caso particolare monodimensionale. La norma del vettore ovviamente come radice quadrata del prodotto scalare del vettore argomento per se stesso.
Se spieghi le cose come stanno, i liceali ti seguono!
Allora la pensiamo allo stesso modo!
Salve prof. Ho visto delle disequazioni con valore assoluto dove compaiono oltre alle x anche le y, non riesco a capire come si fanno. Potrebbe fare un video che spiega come vanno affrontate, magari facendo qualche esercizio svolto. La ringrazio in anticipo 🧡👋
Se ne può dare solo una rappresentazione grafica nel piano cartesiano.
@@GaetanoDiCaprio possibile che non c'e' un modo per procedere per via analitica?
La soluzione di di una disequazione in una incognita è un sottoinsieme della retta reale, che può essere espresso come unione di intervalli (quindi in definitiva con disuguaglianze del tipo x
@@GaetanoDiCapriola ringrazio prof, pazienza me ne faro' una ragione 👍
Molto interessante associare al valore assoluto il significato geometrico di distanza! Allora si potrebbe definire il valore assoluto anche come la distanza di quel numero dal punto zero, giusto?
Più che giusto!
Bello davvero.
Mi è piaciuto il passaggio da R^2 ad R considerando (x,0) e poi soltanto x.
Io, personalmente, uso la solita definizione. Poi per la radice quadrata di x^2 , non potendo essere negativa, sará 0 oppure una quantità positiva.
Quando un allievo non tiene conto del segno di x (negativo) e fa la semplificazione gli ricordo il segno della funzione radice...e pertanto l'unica correzione possibile da fare è quella di scrivere -x come risultato, con x
Grazie
Egr Gaetano, quando si dovrebbero insegnare ai nostri ragazzi questi concetti fondamentali? Forse in un 4° o 5° anno delle scuole superiori quando i concetti di algebra e geometria sono sufficientemente compresi dargli studenti.
Questo video è perfettamente comprensibile da un ragazzo di terza media. Le uniche nozioni necessarie sono: coordinate, teorema di Pitagora, quadrato, radice quadrata. Forse basta la seconda media. L'ostacolo non sono gli allievi ma gli insegnanti.
Egr Gaetano, sei un docente universitario, sappi che alle scuole superiori arrivano alunni che non conoscono le 4 operazioni con i naturali fino a 10, anche al liceo. Al liceo, dopo aver ripassato l'aritmetica e passati all'algebra, che hanno affrontato anche nelle medie le difficoltå crescono e bisogna avere molta pazienza
@@pasqualenicidemo9087 Insegno all IIS Galilei Ferrari di Torino, ho due classi del tecnico e tre del liceo. Insegno alla scuola superiore da molti anni, di allievi ne ho conosciuti tanti. Ribadisco quanto già detto: l'ostacolo principale sono i docenti non gli allievi. Faccio un esempio più concreto: in prima superiore si studiano le frazioni algebriche, argomento che richiede moltissime più competenze che non la banale lunghezza di un vettore! La invito a riflettere su questo esempio
è valido anche nelle equazioni con i due valori assoluti ?
cioè con quel metodo come si ragiona
|X-1| + |X+2| = X+2 ?
In realtà io non ho parlato di "metodo" per risolvere equazioni. Comunque, certo, la definizione puoi applicarla a quella equazione, che in tal modo diventa irrazionale. Per risolverla devi elevare al quadrato due volte, non è proprio agevole.
I numeri non hanno mai un segno, sono i simboli con cui rapprentiamo i numeri negativi che lo hanno, il sengo "meno" davanti ad un numero indica l'opposto di un numero, cioè "-x" indica quel numero che sommato al numero (indicato con) x da 0.
Per dare un'idea nelle classi resto modulo 5, si ha che -4 = 1.
Diciamo che il segno meno ha più significati. L'esempio con le classi di resto francamente c'entra davvero poco
@@GaetanoDiCaprio era per esemplificare che il segno meno (in un gruppo commutativo) indica l'opposto di un elemento. L'identificazione (equivoca) dei negativi come "numeri col segno meno" quando non hanno -di per se- alcun segno (da cui l'idea grossolana "valore assoluto di x" ="x senza segno") è dovuta al fatto che per ampliare il monoide (cancellativo, abeliano) N al gruppo abeliano Z si aggiungono ad-hoc
agli interi (dati come simboli decimali in genere)
le coppie degli stessi simboli "marcate col segno meno"
queste coppie per costruzione algebrica risultano ANCHE COME i rispettivi opposti degli interi.
l'esempio delle classi resto mette in evidenza tale malposta identificazione.
se si afferma che: si ottiene |x| togliendo il segno ad x, si presuppone che il segno meno sia una parte del numero x, mentre il segno meno indica l'opposto.
D’accordo su tutto, ma la radice di 16 non dovrebbe essere più o meno 4?
No. Nei numeri reali la radice quadrata è una funzione, restituisce un solo risultato positivo (o nullo). Nei complessi invece restituisce due valori.
@@GaetanoDiCaprio E allora la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado non dà più due risultati?
@@gianlucabellachioma6438 certo che dà due risultati, è questo il motivo per cui nella formula c'è un "più o meno" radice di delta. Se la radice restituisse due risultati non ci sarebbe bisogno del "più o meno" nella formula.
@@gianlucabellachioma6438 la radice di 16 è 4, la soluzione dell’equazione radice di 16 = x è più o meno 4.
Salve prof la sua spiegazione mi ha davvero interessato e infatti volevo portarla all’interrogazione dato che è un argomento che stiamo approfondendo in classe. Volevo chiederle una domanda sul vettore del piano cartesiano, c’è il caso in cui il vettore non parta da 0? e se non c’è mi saprebbe dire perché? Grazie in anticipo 🙏☺️
Certo, si può definire un vettore con la coda in un punto diverso dall'origine. Dal punto di vista dell'algebra lineare, però, tutti i vettori che hanno stessa direzione, stesso verso e stesso modulo, sono "lo stesso vettore" per cui la rappresentazione standard è quella con la coda nell'origine. Infatti, il vettore v che va da A(x_A, y_A) a B(x_B, y_B) ha componenti (x_B-x_A, y_B-y_A).
@@GaetanoDiCaprio La ringrazio prof, oggi proprio ho fatto l’interrogazione pensate è solo perché è la prima interrogazione non ho avuto 10!! Ho avuto 9 mezzo che è un voto più che eccellente. Però la prof mi ha fatto una precisazione, la sua dimostrazione è correttissima ma mi ha detto che non è propriamente corretta come definizione di valore assoluto.
Questo perché quando ho tolto la dimensione delle ascissi (intendo la y) cambia ovviamente il contesto infatti si passa dal piano alla retta, e nella retta non ci sono due coordinate per questo non la si può definire come valore assoluto in generale, ma nel piano cartesiano si. Ho cercato di esprimermi il più chiaro possibile, in ogni caso la ringrazio della sua spiegazione, davvero ottima 👌❤️
volevo dire ordinate al posto di ascissi mi sono confuso ahahahah
@@vincenzo7180 Non sono d'accordo con la tua insegnante: anche R si può vedere come spazio vettoriale di dimensione 1. Complimenti per l'interrogazione!
@@GaetanoDiCaprio Si prof infatti la mia prof ha detto che R ha proprio una dimensione, mentre invece l’esempio del piano cartesiano ne ha due.
In poche parole nella retta x per applicare ‘il teorema di pitagora’ avremmo bisogno di due coordinate, cosa che abbiamo nell’asse cartesiano, non in R, mi faccia sapere cosa ne pensa sarei molto curioso
C’è qualcosa che mi sfugge: sqrt(25) = +/- 5?
La radice quadrata nei reali è una funzione, non può restituire più di un risultato
@@GaetanoDiCaprio grazie, sembra banale, ma non lo è. Ora mi è chiaro, x^2 = 25 ha 2 radici reali, la principale e il suo opposto, x = ±sqrt(25) = ±5
@@robertobissanti 👍
si può estendere questa definizione ai numeri complessi?
Ma certo: il valore assoluto di un numero complesso coincide con il modulo della sua rappresentazione come vettore nel piano di Argand Gauss
Radice della somma dei quadrati della parte reale e della parte immaginaria. A.K.A. La distanza dall’origine del punto rappresentativo sul piano di Gauss
Infatti, mi sono sempre chiesto che differenza ci fosse tra un |4| e un banalissino (+)4, con questa storia del numero senza segno
Personalmente io procedo iniziando dalla definizione più blasfema, il numero senza il segno, per poi passare alla terza definizione, che ritengo una parafrasi di quella ufficiale, ed infine alla seconda, scritta in puro linguaggio matematico.
Trovo che questo procedere per raffinazioni successive sia il modo più naturale di introdurre concetti come quello di valore assoluto, che in fondo è semplice, ma per chi non è ancora stato svezzato al calcolo simbolico (come chi inizia il primo anno di scuola superiore) può risultare di difficile comprensione.
Occorre comunque sempre calibrare tutto in funzione del destinatario del messaggio.
Geometricamente col valore assoluto ci si può divertire molto con i ragazzi del triennio, per vedere come hanno assimilato il concetto.
Grazie della condivisione, sono d'accordo con la gradualità e sostanzialmente procedo allo stesso modo con i miei allievi tranne... la prima definizione! Quella la do in maniera giocosa e poi faccio osservare: "povero numero, ha perso il segno, e adesso deve andare a cercarlo...".
Ho visto il video senza audio, domani lo ascolto...spero che si spieghi perché uno non può fare -4^2 + -3^2 ??? Fa' sempre radice di 25 e quindi 5, ma nel piano cartesiano il vettore (-4 -3) è nel terzo quadrante...e non nel secondo come lo insegnano...ma il grafico giusto è solo quello primo/secondo quadrante...🤔🤔
Sì, ti consiglio di guardare il video con l'audio, o con i sottotitoli
@@GaetanoDiCaprio grazie per la risposta. Lo guarderò con audio sicuramente👍
Eh...si...confermo che ancora oggi anche in ingegneria, il modulo è spiegato con una parentesi graffa con le due ipotesi >0 e
Perché commentare un video se nemmeno lo hai ascoltato?
@@LucioBotteri la mia era una domanda specificando che non avevo sentito l audio, la tua è una frase polemica e basta. Odio i polemici. Sono inutili. Buona vita
@@cippydavid1550 ti rendi conto di aver fatto una domanda inutile? Odio le cose inutili. Sono inutili. Buona vita.
👍👍👍