Une démonstration consiste à utiliser l operateur T(f)(x)=(f(x)-f(0))/x si f de dégrée N alors T(f) est de dégrée N-1 avec une preuve par récurrence on a le résultat
Magnifique 🤩! J'épingle ça 📍! Je donne ci-après, pour le lecteur curieux, quelques lignes directrices d'une démonstration possible. 🔸En notant T l'opérateur proposé, alors pour toute fonction polynomiale de degré au plus N, T^N(f) est une constante, ce qu'on démontre aisément en constatant que T fait chuter le degré d'au moins une unité à chaque fois. 🔸On démontre sans peine que si (fn) converge ponctuellement vers f, alors (T(fn)) converge ponctuellement vers T(f). Par conséquent, (T^N(fn)) converge ponctuellement vers T^N(f). Or, les éléments de (T^N(fn)) sont des constantes, donc T^N(f) est aussi constante. 🔹Maintenant, on remonte : on démontre que si T^N(f) est constante, f est une fonction polynomiale de degré au plus N. 🔹Le fait que la convergence ponctuelle implique, dans ce cas spécifique, la convergence uniforme sur tout compact provient de l'équivalence des normes en dimension finie, et peut s'obtenir un peu comme je l'ai fait dans la vidéo.
Exercice amusant pour prolonger le plaisir : si la suite (f_n) de fonctions polynômes n'est plus bornée en degrés mais converge uniformément sur R, alors la fonction limite est encore une fonction polynôme.
Salutations ! Non, ou plutôt, disons que j'ai pour habitude de choisir R comme ensemble d'arrivée par économie d'écriture… mais il est bien entendu qu'une norme vérifie toutes les propriétés de la liste [positivité, homogénéité, inégalité triangulaire, séparation] 😉.
Bonjour Monsieur ! Très bonne vidéo et explications ! J'aurais juste une question à vous poser, quel logiciel utilisez vous pour écrire la rédaction de la solution ? Merci d'avance.
Bonjour et merci 😁 ! Dans cette vidéo, j'utilise simplement une tablette graphique bas de gamme couplée au bon vieux Photoshop, et j'enregistre mon écran avec OBS 😉.
Bonsoir M. GENESTE, j'ai une question nécessitant un petit éclairage : vous dites, très justement, que la convergence simple n'est pas issue d'une norme mais alors pourquoi définit-on la convergence simple comme "pour tout x dans E, pour tout epsilon > 0, il existe N entier naturel, tel que pour tout n >= N, d ( f_n(x) , f(x) ) < epsilon" avec d une distance associée à une norme ? Cette définition fait donc intervenir une norme. Quelque chose m'échappe... Pourriez-vous m'éclaircir ? En vous remerciant par avance.
La distance d que tu as mentionné dans ton commentaire est une distance sur l'espace d'arrivé de tes fonctions mais ce n'est pas une distance sur l'espace des fonctions que tu considères.
@@maxcalaghan9421 En fait, si j'ai bien compris mon cours, ce qu'il faut comprendre c'est que si t'as des suite de fonctions qui convergent respectivement vers des fonctions f, simplement, c'est à dire du point de vue de la distance des points de l'espace d'arrivée de ces applications, alors on sait qu'on ne peut pas munir l'espace des fonctions d'une distance, telle que mes suites de fonctions simplement convergentes, (vu comme des suite de points dans l'espace des fonctions) convergeraient encore vers ces mêmes fonctions f (vu comme des points) par cette distance. Je peux me tromper mais c'est comme ça que je le vois.
C'est tout bon, Ruben 😉. Et la confusion a été identifiée : s'il y a bel et bien une distance dans la notion de convergence simple, c'est une distance entre réels, et non entre les fonctions elles-mêmes 👍🏻. Une discussion utile à ce propos : les-mathematiques.net/vanilla/discussion/997297/norme-induisant-la-convergence-simple.
Merci beaucoup pour votre travail. Les fonctions où polynômes dans cette exercice sont définis sur R, alors pourquoi prendre le sup sur un segment et non pas sur R directement.
On ne peut plus justifier l'existence par le theoreme des bornes atteintes, R n'étant pas un segment. D'autant plus sur les polynomes non constant cette norme n'existerait meme pas
je partirais en montrant que R^n(x) est un ensemble fermé de R^(n+1)---->RxR pour la convergence uniforme présuppose ce segment fermé... puis de voisiniages fermés (et donc compact dans R).... comme ta solution est dans R^n a priori, alors que je l'aurais laissée dans R(en fait j'ai du mal sur espace topologique quelconque. belle vivéo en tous cas
ma première idée aurait été de considérer individuellement les coefficient a0, a1, …, aN de chacun des polynômes Pn et de démontrer que, parce que f converge simplement, chacun de ces coefficients se doit de converger aussi (probablement en le faisant par l’absurde) est faisable ?
Hmm… ça se tient, comme piste de réflexion. Voici une solution qui pourrait correspondre : 🔸On pourrait imaginer fixer N+1 points distincts, puis écrire le système reliant les évaluations d'un polynôme donné en chacun de ces points à ses coefficients. Moralement, on crée un lien entre [évaluations] et [coefficients]. 🔸Matriciellement, ce système peut être réécrit avec une matrice de Vandermonde qui est inversible, les N+1 point ayant été choisis distincts. Moralement, le lien entre [évaluations] et [coefficients] est donc réversible : on peut retrouver les uns à partir des autres. 🔸Étant donné que les suites des évaluations en un point fixé convergent (hypothèse de convergence simple), on peut en déduire que la suite des coefficients pour un degré donné converge aussi, et c'est terminé. Je fais enfin remarquer que les deux solutions sont autant liées que le sont les polynômes de Lagrange et les matrices de Vandermonde, c'est-à-dire énormément 😇.
@ je n’ai jamais rencontrer les matrices de vandermonde dans mes études (j’ai fais une prépa intégré à une école d’ingénieur informatique, donc pas tant de maths que ca, ce que je regrette) avez vous des vidéos de cours à ce sujet et des exercices qui en parlerait ?
![[EXO#17] Un théorème de renom pour dominer les espaces vectoriels normés ! (Exercice)](http://i.ytimg.com/vi/ZdhjBMyEKEw/mqdefault.jpg)
![[EXO#17] Un théorème de renom pour dominer les espaces vectoriels normés ! (Exercice)](/img/tr.png)
![[UT#54] Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions](http://i.ytimg.com/vi/faK9o74yTFc/mqdefault.jpg)
![[CRS#2] Discovering quotient sets (Introduction)](/img/n.gif)
Une démonstration consiste à utiliser l operateur T(f)(x)=(f(x)-f(0))/x si f de dégrée N alors T(f) est de dégrée N-1 avec une preuve par récurrence on a le résultat
J'aime beaucoup cette démonstration. Simple et efficace.
Magnifique 🤩! J'épingle ça 📍! Je donne ci-après, pour le lecteur curieux, quelques lignes directrices d'une démonstration possible.
🔸En notant T l'opérateur proposé, alors pour toute fonction polynomiale de degré au plus N, T^N(f) est une constante, ce qu'on démontre aisément en constatant que T fait chuter le degré d'au moins une unité à chaque fois.
🔸On démontre sans peine que si (fn) converge ponctuellement vers f, alors (T(fn)) converge ponctuellement vers T(f). Par conséquent, (T^N(fn)) converge ponctuellement vers T^N(f). Or, les éléments de (T^N(fn)) sont des constantes, donc T^N(f) est aussi constante.
🔹Maintenant, on remonte : on démontre que si T^N(f) est constante, f est une fonction polynomiale de degré au plus N.
🔹Le fait que la convergence ponctuelle implique, dans ce cas spécifique, la convergence uniforme sur tout compact provient de l'équivalence des normes en dimension finie, et peut s'obtenir un peu comme je l'ai fait dans la vidéo.
Exercice amusant pour prolonger le plaisir : si la suite (f_n) de fonctions polynômes n'est plus bornée en degrés mais converge uniformément sur R, alors la fonction limite est encore une fonction polynôme.
Bonjour, Ya-t-il une raison pour que l'espace d'arrivée de vos normes ne soient pas R+ mais R ?
Salutations ! Non, ou plutôt, disons que j'ai pour habitude de choisir R comme ensemble d'arrivée par économie d'écriture… mais il est bien entendu qu'une norme vérifie toutes les propriétés de la liste [positivité, homogénéité, inégalité triangulaire, séparation] 😉.
Bonjour Monsieur ! Très bonne vidéo et explications ! J'aurais juste une question à vous poser, quel logiciel utilisez vous pour écrire la rédaction de la solution ?
Merci d'avance.
Bonjour et merci 😁 ! Dans cette vidéo, j'utilise simplement une tablette graphique bas de gamme couplée au bon vieux Photoshop, et j'enregistre mon écran avec OBS 😉.
@@oljenmaths Oh ok, merci !
Bonsoir M. GENESTE, j'ai une question nécessitant un petit éclairage : vous dites, très justement, que la convergence simple n'est pas issue d'une norme mais alors pourquoi définit-on la convergence simple comme "pour tout x dans E, pour tout epsilon > 0, il existe N entier naturel, tel que pour tout n >= N, d ( f_n(x) , f(x) ) < epsilon" avec d une distance associée à une norme ? Cette définition fait donc intervenir une norme. Quelque chose m'échappe... Pourriez-vous m'éclaircir ? En vous remerciant par avance.
La distance d que tu as mentionné dans ton commentaire est une distance sur l'espace d'arrivé de tes fonctions mais ce n'est pas une distance sur l'espace des fonctions que tu considères.
@@maxcalaghan9421 En fait, si j'ai bien compris mon cours, ce qu'il faut comprendre c'est que si t'as des suite de fonctions qui convergent respectivement vers des fonctions f, simplement, c'est à dire du point de vue de la distance des points de l'espace d'arrivée de ces applications, alors on sait qu'on ne peut pas munir l'espace des fonctions d'une distance, telle que mes suites de fonctions simplement convergentes, (vu comme des suite de points dans l'espace des fonctions) convergeraient encore vers ces mêmes fonctions f (vu comme des points) par cette distance. Je peux me tromper mais c'est comme ça que je le vois.
C'est tout bon, Ruben 😉. Et la confusion a été identifiée : s'il y a bel et bien une distance dans la notion de convergence simple, c'est une distance entre réels, et non entre les fonctions elles-mêmes 👍🏻.
Une discussion utile à ce propos : les-mathematiques.net/vanilla/discussion/997297/norme-induisant-la-convergence-simple.
Merci beaucoup pour votre travail. Les fonctions où polynômes dans cette exercice sont définis sur R, alors pourquoi prendre le sup sur un segment et non pas sur R directement.
Parce que le sup d’un polynôme n’existe en général pas sur R (mis à part si ton polynôme est constant)
On ne peut plus justifier l'existence par le theoreme des bornes atteintes, R n'étant pas un segment. D'autant plus sur les polynomes non constant cette norme n'existerait meme pas
je partirais en montrant que R^n(x) est un ensemble fermé de R^(n+1)---->RxR
pour la convergence uniforme présuppose ce segment fermé... puis de voisiniages fermés (et donc compact dans R).... comme ta solution est dans R^n a priori, alors que je l'aurais laissée dans R(en fait j'ai du mal sur espace topologique quelconque.
belle vivéo en tous cas
ma première idée aurait été de considérer individuellement les coefficient a0, a1, …, aN de chacun des polynômes Pn et de démontrer que, parce que f converge simplement, chacun de ces coefficients se doit de converger aussi (probablement en le faisant par l’absurde) est faisable ?
Hmm… ça se tient, comme piste de réflexion. Voici une solution qui pourrait correspondre :
🔸On pourrait imaginer fixer N+1 points distincts, puis écrire le système reliant les évaluations d'un polynôme donné en chacun de ces points à ses coefficients. Moralement, on crée un lien entre [évaluations] et [coefficients].
🔸Matriciellement, ce système peut être réécrit avec une matrice de Vandermonde qui est inversible, les N+1 point ayant été choisis distincts. Moralement, le lien entre [évaluations] et [coefficients] est donc réversible : on peut retrouver les uns à partir des autres.
🔸Étant donné que les suites des évaluations en un point fixé convergent (hypothèse de convergence simple), on peut en déduire que la suite des coefficients pour un degré donné converge aussi, et c'est terminé.
Je fais enfin remarquer que les deux solutions sont autant liées que le sont les polynômes de Lagrange et les matrices de Vandermonde, c'est-à-dire énormément 😇.
@ je n’ai jamais rencontrer les matrices de vandermonde dans mes études (j’ai fais une prépa intégré à une école d’ingénieur informatique, donc pas tant de maths que ca, ce que je regrette) avez vous des vidéos de cours à ce sujet et des exercices qui en parlerait ?