Welches Programm ist es eigentlich, das man immer im Bild sieht, wo du schreibst, markierst und Teile verschiebst? PS: Ui, Du hast den Kommentar mit dem Link schon zwei Tage vor dem Video geschrieben. 🤯
Dreht man das Dreieck insgesamt mal um die Hälfte sieht man den Lösungweg schon alles ne Sache der Perspektive 😎interessant wird es wenn man mal ne Trompeten Form Als Fläche ausrechnen muß. 😎
Unfassbar. Wie viele Überlegungen nötig waren, dass man diese Aufgabe lösen konnte. Gut nur, dass Du uns wieder so lehrreich und sympathisch an die "mathematische Hand" genommen hast. Riesen-Respekt - und schönes Wochenende.👍🏆🍀🌷🌈
Was du, Susanne, vermitteltst, ist die Freude und der Spaß an der Mathematik. Jede Aufgabe wird zu einer Detektivgeschichte, und die Begeisterung, diese Geschichte aufzuklären, teilt sich mit. Die Mathelehrer in der Schule sind überwiegend nur ernsthafte, auch verbissene Typen, die diese Begeisterung nicht wecken können. Und deshalb macht Mathe hier Spaß und in der Schule (oft-meistens?) nicht...
es geht (für mich) deutlich einfacher mit nur einer Gleichung: x,y sind die Seiten des Rechtecks. Fläche großes Dreieck = Fläche Rechteck + Fläche linkes Dreieck + Fläche rechtes Dreieck (11+x) * (5+y) / 2 = x*y + 11*y/2 + 5*x/2 zusammengefasst und gekürzt kann man diese eine Formel auflösen zu: x*y = 55 d.h. Fläche Quadrat = 55
Zu der Aufgabe hatte ich eine ganz andere Idee: Seien x und y wie im Video definiert. Dann gilt: A = xy = Fläche des großen Dreiecks - Fläche des mittelgroßen Dreiecks - Fläche des kleinen Dreiecks Fläche des großen Dreiecks = 1/2 (x + 11) (y + 5) Fläche des mittelgroßen Dreiecks = 1/2 * 11y Fläche des kleinen Dreiecks = 1/2 * 5x Damit ist A = 1/2 ((x + 11)(y + 5) - 11y - 5x) = 1/2 (xy + 11y + 5x + 55 - 11y - 5x) = 1/2 (A + 55) | *2 ⇔ 2A = A + 55 | -A ⇔ A = 55 ✅ Daraufhin habe ich mir erstmal die Frage gestellt, ob das Zufall war, dass das Ergebnis genau das Produkt der beiden bekannten Abschnittslängen war. Aber mit deinen Ausführungen zur Ähnlichkeit der Dreiecke hast du gut erklärt, warum das kein Zufall war. Und beim nochmaligen Überprüfen meiner obigen Rechnung habe ich festgestellt, dass man diese statt mit 11 und 5 auch mit beliebigen Abschnittslängen a und b durchführen kann und am Ende A = ab erhält. Der Zusammenhang ist also allgemeingültig. Schönes Wochenende! 👋🙂
Genau so hab ich das auch gelöst. Zwar zuerst mal alle möglichen Gleichungen nach Pythagoras an allen 3 Dreiecken aufgestellt, diese dann aber ganz schnell ignoriert und auch über die Flächen ausgerechnet.
@@hermannschachner977 Gleichschenklig ist es doch gar nicht; du meinst bestimmt "rechtwinklig". 😉 Aber wenn es das nicht wäre, wäre ja schon "A = xy" falsch, weil die rote Fläche dann nicht rechteckig wäre; dann könnte man die ganze Rechnung in die Tonne treten.
Ich hab irgendwie eine ganz andere Lösung, aber sie ist halt nicht mathematisch aber logisch: ich habe das Dreieck verdoppelt, so dass es ein Quadrat ergibt. Dann habe ich vier Quadrate mit folgenden Massen: 11m mal y; 5m mal x; x mal y; 5m mal 11m. Daraus lässt sich logisch schliessen, dass x mal y = 5m mal 11m ist, also 55m2.
Die Lösung dieser Aufgabe haben Sie sehr gut erläutert! Prima. Mit Stufen-,Wechsel- und entgegengesetzt liegenden Winkeln haben ich mich in der sechsten Klasse herumgequält, war aber rückblickend betrachtet sehr interessant!👍👍👍🌵
Hallo Susanne, herzlichen Dank für diese kurze und interessante Frage 🙏 Ich möchte hier 3 Lösungsmöglichkeiten vorschlagen: I) Nennen wir die Ecken von diesem Dreieck (Richtung: gegen dem Uhrzeigersinn): A, B, C , D, E, F (B ist zwischen A und C, D ist zwischen C und E, F ist zwischen A und E) Für das Rechteck gilt: AB= x ED= x AE= y BD= y Der Winkel von dem Dreick w(CAE)= 90°, w(CBD)= 90° und w(DFE)= 90° demnach: α + β = 180°-90° = 90° w(ACE)= α w(CEA)= β weil AB ⁄⁄ DE w(BCD)= w(FDE)= α, beide sind Stufenwinkeln, oder 180°-(90°+β)= 90°-β = α w(FED)= w(BDC)= β, beide sind Stufenwinkeln, oder 180°-(90°+α)= 90°-α= β somit sind die Dreiecke: ACE und BCD sich ähnlich: ACE ~ BCD und die Dreiecke BCD und FDE sind sich ähnlich: BCD ~ FDE und die Dreiecke ACE und FDE sind sich ähnlich: ACE ~ FDE, demnach: für die Dreiecke ACE und BCD gilt: ACE ~ BCD, nach dem Strahlensatz: CE/CD= AC/BC= AE/BD ⇒ CE/CD= (x+11)/11= (y+5)/y 11y+xy= 11y+55 xy= 55 xy= 55 m² ist die Lösung II) Für die Dreiecke BCD und FDE gilt: BCD ~ FDE, nach dem Strahlensatz: CD/DE= BC/FD= BD/FE ⇒ CD/DE= 11/x= y/5 11*5= x*y xy= 55 xy= 55 m² ist die Lösung III) Für die Dreiecke ACE und FDE gilt: ACE ~ FDE, nach dem Strahlensatz: CE/CD= AC/BC= AE/BD ⇒ CE/DE= (x+11)/x= (y+5)/5 5x+55= xy+ 5x xy= 55 xy= 55 m² ist die Lösung
Unter der Einhaltung der zwei Außenmaße, entstehen bei der Konstruktion zwei ganzzahlige Richtungsverktoren, jeweils mit der Größe 6 und 9. Folgedessen müsste das rote Rechteck 6m x 9 m groß sein.
Sieht nach Strahlensatzproblem aus: Fäche des roten Rechtecks A = a * b. (a = kurze Seite, b = lange Seite). 1) Kleines Dreieck in die linke Ecke schieben. 2) Strahlensatz awenden: 5/a = b/11. Nach *11 und *a folgt: a * b = 55 = A 🙂 PS: Ähnlichkeit der 3 rechtwinkligen Dreiecke: a) Hypothenusen = gleiche Seite, b) prallele Katheten
11/a = b/5 a*b = 55 m² Außerdem können die vorgegebenen Maße im rechtwinkligen Dreieck auch dann eingehalten werden, wenn das Dreieck so umgeformt wird, dass das Rechteck zum Quadrat wird. Für diese Umformung bleibt eine Seitenlänge des Rechtecks und der rechte Winkel stehen, alle drei Seitenlängen des Dreiecks ändern sich so lange, bis die Bedingung 11+x und 5+x für beide Katheten gilt, und das Viereck also ein Quadrat wird. Deshalb geht auch folgende Gleichung: 11/x = x/5 x² = 55 m² x = 7,42 m Kommt also aufs selbe raus, nur dass man für diesen Fall auch die konkrete Seitenlänge findet. Für die Umformungsoperation kann man sich auch vorstellen, dass die Hypotenuse gleich bleibt, und das Rechteck zum Quadrat umgeformt wird. Die beiden Teilstrecken, die vorher 11 und 5 Meter lang waren, sind dadurch verändert. Die ehemals 11m lange Teilstrecke muss nun wieder 2,2 mal so groß werden, wie die kleinere Teilstrecke. Ist sie größer, muss das Quadrat vergrößert werden, ist sie jedoch kleiner als Faktor 2,2 der ehemals 5 Meter langen Teilstrecke, muss das Quadrat verkleinert werden. Diese Größenänderung des Quadrats geschieht immer so, dass das Quadrat weiterhin stramm innerhalb des Dreiecks sitzt, und die Hypotenuse (die untere Seite) in Länge und Lage unverändert bleibt, es ändern sich nur die beiden oberen Seiten (Katheten). Wenn das richtige Verhältnis gefunden ist, muss das gesamte Dreieck, also alle drei Seiten gleichermaßen um denjenigen Faktor vergrößert, oder verkleinert werden, der die ehemals 11 Meter lange Teilstrecke wieder genau auf 11 Meter bringt. Nun hat das eingeschlossene Quadrat die Seitenlänge 7,42 m
Lösung: Wir haben 3 rechtwinklige Dreiecke gegeben, die alle mathematisch ähnlich sind. Sie haben alle Katheten die zueinander parallel sind und teilen sich eine Hypotenusen-Linie. Aufgrund dieser Ähnlichkeit sind die Verhältnisse der Seiten zwischen den Dreiecken identisch. Wenn man nun die kurze Rechteckseite mit a bezeichnet und die andere mit b, kann man das Verhältnis der beiden Katheten zwischen den kleinen Rechtecken aufstellen: a/5 = 11/b |*5b 5ab/5 = 55b/b ab = 55 Und das ist genau der Flächeninhalt des Rechtecks, da dieser mit A = a * b berechnet wird. Die Fläche des gesuchten Rechtecks ist also genau 55 m².
Da war doch mal was mit Parallelverschiebung im Matheunterricht vor vielen vielen Jahren. Die wurde auch hier angewandt, soweit ich verstanden habe Wieder mal TOP erklärt!!!
Ich liebe diesen Kanal, und unser Schatz gibt einem nie das Gefühl, ein mathematischer Looser zu sein, wenn man mal nicht von selbst oder schnell genug auf die Lösung kommt...
Man kann das auch sehr leicht mit dem Strahlensatz errechnen: 11/y = (11+x)/(y+5) == 11y + 55 = 11y + xy; funktioniert natürlich ebenso mit 5/x = (5+y)/(x+11)
Durch ergänzen desselben Dreiecks an der Hypothenuse erhält man ein Rechteck. Die Hypothenuse ist dann eine Rechtecksdiagonale. Die Kanten des roten Rechtecks verlängert man bis zu den gegenüberliegenden Rechteckskanten. Auf diese Weise erhält man gegenüber vom roten Rechteck ein Rechteck mit gleicher Fläche (weil die weiße Restfläche jeweils gleichgroß ist) und den Kantenlängen 5 und 11.
Die beiden weißen Dreiecke sind ähnlich. Wenn wir die kurze Rechteckseite x nennen und die andere y, verhält sich 5/x wie y/11. Nach xy (Fläche) aufgelöst: 55.
Die sichtbaren Dreiecke sind ähnlich. Die Seitenverhältnisse der sichtbaren Dreiecke sind also gleich. Die lange Seite (mit dem 11m-Stück) ist L, die kurze (mit dem 5m-Stück) ist K. Die lange Seite des Rechtecks ist l, die kurze ist k. Das Verhältnis aus langer und kurzer Kathete nenne ich c 11/l=c 11=l*c l/k=c l=k*c k/5=c k=5*c l=5*c^2 11=5*c^3 11/5=c^3 c^3=2,2 c=1,30059 (so in etwa) k=5*1,3=6,5 l=11/1,3=8.46 (so in etwa) Die gesuchte Fläche: A=l*k=6.5*8.46=54.99 also sagen wir 55 Geht also ohne a^2+b^2=c^2 Wahnsinn!
Ganz klar, da hilft der Strahlensatz weiter. Hier liegen zwei ähnliche Dreiecke vor. 11[m] : a = b : 5[m] (Verhältnisgleichung lösen - Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder) a*b=11[m]*5[m] a*b=55[m²] A=55[m²] Das war doch heute mal sehr gemütlich.
Ich sehe, dass du die Aehnlichkeit der beiden kleinen Dreiecke benutzt, aber wozu brauchst du dann den Strahlensatz? Ich finde ihn in deiner Loesung nicht wieder. Ausserdem ist mir nicht klar, wie du die Aehnlichkeit der Dreiecke begruendest.
In einem alten Matgematikbuch habe ich mal etwas zur geometrischen Division gelesen: Der Divident ist die Fläche eines Rechtecks, der Divisor ist die Strecke, die eine Seite an einer Ecke verlängert. Der Quotient ist die Strecke auf der "anderen" Seite, wie im Ausgangsbild. Ich hatte Mathe-LK und geometrische Division wurde nie behandelt. Auch die Quadratur eines Rechteckes mithilfe eines Thaleskreises nicht, womit man geometrisch die Wurzel ziehen kann ...
Hallo!!! Deine Videos sind die besten!! könntest Du vielleicht erklären, wie man Polynomdivion mit mehrere Variablen löst? Das würde mein Leben retten. Danke
Wenn nur die Fläche x*y gesucht ist, ist die Lösung recht einfach über Verhältnisse zu bekommen: 11/c1 = x/c2 und 5/c2 = y/c1 Durch Umformung und Substitution erhält man: 55*c2 = x*y*c2 Durch c2 kann man kürzen da ungleich 0 55= x*y
Zu dieser Aufgabe wäre mir tatsächlic an einer Stelle eine Alternatuve eingefallen, die vielleicht sogar etwas einfacher ist: Die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke ergibt sich aus dem Stahlensatz. Denn beidekleinen Dreiecke sind dem gro0en Dreieck ähnlich. inmal ist Punkt A (Ecke links unten( das Zentrum, ein Mal der Punkt B (Ecke rechts unten). Das ist für mein Empfinden schneller erfassbar.
Hallo Susanne, guten Morgen, zunächst Dir und allen anderen hier ein super Wochenende. Mein Vorschlag zur Lösung: Ich nutze den Strahlensatz und rechne zunächst ohne Einheiten: Die kürzere Seite des einbeschriebenen Rechtecks sei a, die längere Seite sei b Da a und b Strecken repräsentieren gilt a,b >0 Weil ich noch nicht weiß, ob a und/ober b ganzzahlig sind, setze ich als Grundmenge sicherheitshalber R a,b€R >0 (Angabe des Definitionsbereich ist hier zwar nicht zwingend nötig, schadet jedoch auch nicht 🙂) Mit diesen Angaben ergibt sich für den Strahlensatz: 5 / a = (5 + b) /(11 + a) | "über kreuz" malnehmen 5(11+a) = (5 + b)a| 55 + 5a = 5a + ab |-5a 55 = ab Die gesuchte Fläche Arechteck ist ab = 55 Da a und b in Meter angegeben sind ergibt sich Arechteck = 55m^2 LG auch an Thomas aus dem Schwabenland.
Wieso kommst du mit einem der Strahlensaetze auf 5 / a = (5 + b) /(11 + a)? Ich muss sagen, das sehe ich allein als Folgerung aus einem Strahhlensatz nicht, wohl aber das in meinem Loesungsvorschlag verwendete (b+5)/b=(11+a)/11, dass direkt die Aussage des 2. Strahlensatzes ist.
@@juergenilse3259 Hallo Jürgen, vielen Dank für deinen Hinweis. Da schaden ein paar Worte zur Begründung nicht. Zunächst betrachte ich die 2 sich schneidenden Geraden Hypotenuse des großen Dreieck und die rechte Kathete des großen Dreieck mit der gegebenen Teil-Länge 5m. (Der "Strahl".... Daher haben die Strahlensätze ihren Namen) auf diesen beiden Geraden liegen die parallelen Geraden "kurze Seite des Rechtecks" und "andere Kathete des großen Dreiecks mit der Teil-Länge 11m. Weil die beiden vorher genannten Geraden parallel sind, darf man hier den Strahlensatz anwenden. Der Strahlensatz besagt nun u. a , dass sich Streckenabschnitte des einen Strahl (welchen man nimmt ist egal) zueinander gleich verhalten wie die Streckenabschnitte der beiden parallelen Strecken zueinander. Also z.b Verhältnis "kürzer Abschnitt des rechten Strahl" (5) zu "längerem Abschnitt" des rechten Strahls ( 5 + b) = kürzerer Abschnitt der parallelen Strecken (a) zu "längerem Abschnitt der parallelen Strecken (11 + a). Statt "Verhältnis zu" nehme ich das geteilt-Zeichen und so entsteht die Gleichung 5 / a = (5 + b) / (11 + a). Hilft Dir das weiter? Dir noch ein super Wochenende und LG aus dem Schwabenland.
@@markusnoller275 Danke.Ich hatte den Strahlensatz auf die andere Kathete des Grossen Dreiecks angewendet.Irgendwie habe ich die Anwendung des Stahlensatzes wie von dir genannt nichht auf Anhieb gesehen (manchmal hat man ein Brett vor demKopf ...).
@@juergenilse3259 Hallo Jürgen, freut mich, dass Du mit meiner Erklärung etwas anfangen konntest. Einmal mehr zeigt sich: der Kanal lebt vom "Mitmachen". Fragen stellen, (unterschiedliche) Antworten bekommen. Vielen Dank dafür. LG aus dem Schwabenland.
@@markusnoller275 Auch mmmein erste Ansatz basierte auf dem 2. Strahlensatz, aber angewendet auf die Kathetenabschnitte der linken Kathete des grossen Dreiecks ...
Kann man die Aufgabe nicht auch mit dem Strahlensatz lösen: 11/y = (11+x)/(y+5) ? Dann "über Kreuz" multiplizieren und 11y auf beiden Seiten streichen.
Hallo Susanne, ich halte die Aufgabe für Schüler etwas verunglückt. Auch wenn sich die Fläche als Produkt hier via Ähnlichkeit direkt herleiten lässt. Aber zuerst muss sichergestellt sein, dass es ein Dreieck mit den Maßen überhaupt gibt. Das ist hier unproblematisch, auch wenn die Seitenlängen selbst nicht berechnet werden. Aber gerade weil die Seitenlängen nie berechnet werden, hat man den Beweis für die Existenz eines solchen rechtwinkligen Dreiecks nicht.
Strahlensatz: 5/x = (5+y)/(x+11) 11/y = (x+11)/(5+y) Rechts steht in der zweiten Gleichung der Kehrwert der rechten Seite der ersten Gleichung. Demnach gilt: 5/x = y/11 |•11x xy = 55
Lösung: a = kurze Seite des Rechtecks, b = lange Seite des Rechtecks, Fläche des Dreiecks = (11+a)*(b+5)/2, oder Fläche des Dreiecks = 11*b/2+a*b+a*5/2. Das ergibt die Gleichung: (11+a)*(b+5)/2 = 11*b/2+a*b+a*5/2 ⟹ (11b+55+a*b+5a)/2 = 11*b/2+a*b+a*5/2 |*2 ⟹ 11b+55+a*b+5a = 11b+2*a*b+5a |-11b-ab-5a ⟹ 55[m²] = a*b = Fläche des Rechtecks
wow ich bin viel zu umständlich vorgegangen. Hab die kurze Seite des Rechtecks a und die lange b genannt. Habe auch direkt erkannt, daß das große und die kleineren Dreiecke alles rechtwinklige sein müssen. Dann ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten bei einer habe ich den Pythagoras des großen Dreiecks verwendet, bei der 2. Gleichung die der beiden Kleinen und damit gerechnet. Bin glücklicher Weise auf dasselbe Ergebnis gekommen.
Vermutung: Die Winkel in jedem der Dreiecke betragen 90,60 und 30° , daher lassen sich die Rechteckseiten mit tan und cot 30° berechnen. Vermutung richtig,
(12+a)*(5+b)/2 ist die Fläche des großen Dreieicks. Diese setzt sich zusammen aus 3 Teilflächen: Dreieck 11*b/2 Dreieck 5*a/2 Viereck a*b Die Summe dieser 3 Teilflächen wird mit der Fläche des großen Dreiecks gleichgesetzt: 11*b/2+5*a/2+a*b = (12+a)*(5+b)/2 Aufgelöst ergibt diese Gleichung: a*b/2 = 5*11/2 a*b = 5*11 = 55 😀
Hallo, ich bin über den Strahlensatz zum Ergebnis gekommen: 11 : y = (11 + x) : (5 + y) Stellt man die Gleichung um, kommt man auch zum gesuchten Ergebnis.
Hier habe ich ein paar Minuten nach der Lösung gesucht, obwohl ich sie bereits hatte. Wie das? Weil ich dachte, es gibt 2 Unbekannte (x und y), also müsste ich 2 voneinander unabhängige Gleichungen aufstellen und lösen, um die Werte diese Unbekannten zu erhalten. Und dabei habe ich nicht gemerkt, dass lediglich das Produkt der Unbekannten gesucht ist, und das Produkt erhält man wiederum aus einer einzigen Gleichung. Nun bleibt noch die Kunst, aus dieser Anekdote zu lernen, und da wird es erst richtig spannend, z.B. die Frage, wie man so eine Erfahrung in seinem Gehirn generalisiert.
Ja, interessant. Aus den Angaben lässt sich weder x noch y und auch keines der Dreiecke berechnen, wohl aber die Fläche. Das habe ich mir auch erst mal geometrisch vorstellen müssen.
Heute bin ich endlich dazu gekommen, die Aufgabe zu rechnen. Ich bin etwas anders vorgegangen. Ich habe die Seiten des Rechtecks auch als x und y bezeichnet und damit als Fläche des Rechtecks F = x*y. Dann ist mir aufgefallen, dass in der Aufgabe drei Dreiecke vorkommen, die alle rechtwinklig sind. Die Fläche des Quadrats ist die Fläche des großen Dreiecks minus der Flächen der zwei kleinen Dreiecke, also F = 1/2 * (11+x) * (5+y) - 1/2 * 5 *x - 1/2 * 11 * y. Damit habe ich für die gesuchte Fläche zwei Gleichungen, in denen nur noch x und y vorkommen. Die beiden Gleichungen für die Fläche des Quadrats habe ich gleichgesetzt, also x*y = 1/2 * (11+x) * (5+y) - 1/2 * 5 *x - 1/2 * 11 * y Wenn ich jetzt auf beiden Seiten mit 2 multipliziere und die rechte Seite ausmultipliziere, bekomme ich 2 * x * y = 55 + 11 * y + 5 * x + x * y - 5 * x - 11 * y also 2 * x * y = 55 + x * y Wenn ich auf beiden Seiten x * y subtrahiere, habe ich für die gesuchte Fläche x * y = 55 . Viele liebe Grüße Elvira
Uns hätte man seiner Zeit zu meiner Zeit eingebleut, eine Verhältnisgleichung in eine Produktgleichung umzuwandeln/-schreiben..... Macht übrigens in Physik besonderen Sinn. Ansonsten wie immer sehr erfreulich und lehrreich!!!!
Guten Abend du alte Mathegurke,juhuu,hast mir echt n bißchen geholfen, irgentwann habe ich das Geld, dann komm i zu dir gejettet, bringe für Familie wat mit, und natürlich für dich n adequaten Mathenachhilfestundenlohn,nicht in irgenetwas anderem vertauschbar,nich dass noch jemand z.B. etwas leisten muss oder sollte der direkt nichts damit zu tun hat etc. Wann habe ich bloß genug Geld?! Naja, ich werd ja sehen, drine Stimme ist nun auch ganz gut.Bleibt gesund, du und deine Family mein i
Nett. Die Aehnlichkeit der Deiecke haette ich aber anders begruendet: Die beiden kleinen Dreiecke sind jeweils aehnlich zum grossen Gesamtdreieck, denn sie haben jeweils einen der Winkel an der Hypothenuse und den rechten Winkel gemeinsam. Wenn aber jedes der beiden kleinen Dreiecke aehnlich zum grossen Dreieck ist, sind die kleinen Dreiecke ebenfalls aehnlich zueinander. Ein anderer Loesungsweg, der ohne die Aehnlichkeit der Dreiecke auskommt, benutzt den zweiten Strahlensatz: Danach ist (y+5)/y=(11+x)/11 Schreiben wir die Bruechhhe jjeweils in SummenvonBruechen um,erhalten wir: y/y+5/y=11/11+x/11 Da y/y und 11/11 jeweils gleich 1 sind, erhalten wir 1+5/y=1+x/11 und damit auch 5/y=x/11 Multiplizieren wir beide Seiten mit y und mit 11, erhalten wir ebenfalls das Ergebnis x*y=55.
Mein Mathe ist eingerostet. Daher mal eine Frage an die Profis. Ist es überhaupt möglich das X bzw. Y genau zu bestimmen. Ich kann das nicht lösen. Auch mit dem Pythagoras nicht, weil am Ende dann noch eine zweite Unbekannte Variable in einer Gleichung erscheint. z.B. bei mir: (11 +55/y)2 + (5+y)2 = z2!
Zu komplizierter Lösungsweg: Großes Dreieck nach unten klappen, gibt Rechteck mit Seiten (11+x) und (5+y), darin ist zweimal unsere gesuchte Fläche enthalten und je einmal ein Rechteck 11y und 5y. (5+y)(11+x) = 2xy + 11y + 5y. Auflösen, fertig!
Man denkt immer man muss die Seitenlängen ausrechnen, aber es reicht den Flächeninhalt auszurechnen. Ich hab nur aufgeschrieben, was man weiß - sinus der Winkel- bisschen zusammengefasst und plötzlich stand die Lösung da.
Also der Flächeninhalt des Rechtecks ist 55 qm. Aber x ist deshalb nicht 5 m sondern größer und y nicht gleich 11 m sondern kleiner, weil das große Dreieck nicht gleichschenkelig ist. GELL 😞?
OMG ich dachte mir beim thumbnail so: okay, ich hab 2 ähnliche dreiecke und will x und y für die fläche.... jetzt hab ich aber eine gleichung mit 2 unbekannten, wie soll das gehen??? die erklärung geschaut step 1 rechtwinkligkeit: okay so weit bin ich auch step 2 ähnliche dreieche: ja das hab ich auch gerafft, wo ist jetzt der knackpunkt??? und dann 11*5=x*y, das kann so stehenbleiben.... brainfuck 🤯
Wie würde es in einer Prüfung bewertet werden wenn man tatsächlich direkt am Anfang einfach 5x11 gerechnet hätte und damit direkt auf das Ergebnis gekommen wäre ? Die Lehrer wollen ja meistens einen genauen Rechenweg und Begründung sehen.
Es waere mit Sicherhheit nicht als Loesung anerkannt werden, weil die Begruendung fehlt, warum deine Rechnung den Flaecheninhalt des Rechtecks ergibt.Ohne diese Begruedung ist es keine Loesung.
Geht auch ganz ohne Formeln und Variablen: Wenn man das große Dreieck am Mittelpunkt der Hypothenuse spiegelt und in das dadurch entstandene, flächengleiche, neue Dreieck analog zum oberen Dreieck ein (rotes) Rechteck einzeichnet, dessen eine Ecke mit dem rechten Winkel und dessen gegenüberliegende Ecke mit der unteren Ecke des ersten Rechecks zusammenfällt, erhält man zwei kleine und zwei große Dreiecke, die jeweils gleich groß sind, sowie zwei Rechtecke, die folglich ebenfalls gleich groß sein müssen. Das untere, neue Rechteck hat (ablesbar) die Maße 5 m x 11 m = 55 m². Das obere muss also ebenfalls 55 m² groß sein.
Geht viel einfacher:) im Rechteck sind alle Winkel 90grad. D.h. An der Ecke des Rechtecks die an die untere Seite des großen Dreiecks geht habe ich auch 90 grad. D.h. Dann dass die Winkel links und rechts davon gleich groß, nämlich 45 grad sind (zusammen muss 180grad rauskommen) D.h. Die beiden kleineren Dreiecke sind Gleichschenklig weil ich darin jeweils rechte Winkel habe. Somit weiß ich gleich die Längen für x und y :)
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Welches Programm ist es eigentlich, das man immer im Bild sieht, wo du schreibst, markierst und Teile verschiebst?
PS: Ui, Du hast den Kommentar mit dem Link schon zwei Tage vor dem Video geschrieben. 🤯
Dreht man das Dreieck insgesamt mal um die Hälfte sieht man den Lösungweg schon alles ne Sache der Perspektive 😎interessant wird es wenn man mal ne Trompeten Form Als Fläche ausrechnen muß. 😎
Unfassbar. Wie viele Überlegungen nötig waren, dass man diese Aufgabe lösen konnte. Gut nur, dass Du uns wieder so lehrreich und sympathisch an die "mathematische Hand" genommen hast. Riesen-Respekt - und schönes Wochenende.👍🏆🍀🌷🌈
Tatsächlich gibt es einen wesentlich einfacheren Lösungsweg, der ohne das alles auskommt (s. mein separater Kommentar).
Was du, Susanne, vermitteltst, ist die Freude und der Spaß an der Mathematik.
Jede Aufgabe wird zu einer Detektivgeschichte, und die Begeisterung, diese Geschichte aufzuklären, teilt sich mit.
Die Mathelehrer in der Schule sind überwiegend nur ernsthafte, auch verbissene Typen, die diese Begeisterung nicht wecken können.
Und deshalb macht Mathe hier Spaß und in der Schule (oft-meistens?) nicht...
in der Schule habe ich sowas gehasst ... aber jetzt finde ich es so unfassbar interessant und unterhaltsam, mir das hier anzugucken ...
Es kommt vielleicht auch nur auf den Lehrer an.
Ich auch. Überlege gerade die Matura nachzuholen
@@DoitsujinNihongo gibt es etwa schlechte Lehrer ? 😜
...weil du in der Schule nicht die Antwort präsentiert bekommen hast.
@@rkCheeky
True 🤣
Einfach nur genial und wie einfach. Ich wäre nicht auf die Lösung gekommen. Aber dank Susannes prima Erklärung werde ich es mir merken können.
es geht (für mich) deutlich einfacher mit nur einer Gleichung:
x,y sind die Seiten des Rechtecks.
Fläche großes Dreieck = Fläche Rechteck + Fläche linkes Dreieck + Fläche rechtes Dreieck
(11+x) * (5+y) / 2 = x*y + 11*y/2 + 5*x/2
zusammengefasst und gekürzt kann man diese eine Formel auflösen zu:
x*y = 55
d.h. Fläche Quadrat = 55
Zu der Aufgabe hatte ich eine ganz andere Idee:
Seien x und y wie im Video definiert. Dann gilt:
A = xy = Fläche des großen Dreiecks - Fläche des mittelgroßen Dreiecks - Fläche des kleinen Dreiecks
Fläche des großen Dreiecks = 1/2 (x + 11) (y + 5)
Fläche des mittelgroßen Dreiecks = 1/2 * 11y
Fläche des kleinen Dreiecks = 1/2 * 5x
Damit ist A = 1/2 ((x + 11)(y + 5) - 11y - 5x) = 1/2 (xy + 11y + 5x + 55 - 11y - 5x) = 1/2 (A + 55) | *2
⇔ 2A = A + 55 | -A
⇔ A = 55 ✅
Daraufhin habe ich mir erstmal die Frage gestellt, ob das Zufall war, dass das Ergebnis genau das Produkt der beiden bekannten Abschnittslängen war. Aber mit deinen Ausführungen zur Ähnlichkeit der Dreiecke hast du gut erklärt, warum das kein Zufall war. Und beim nochmaligen Überprüfen meiner obigen Rechnung habe ich festgestellt, dass man diese statt mit 11 und 5 auch mit beliebigen Abschnittslängen a und b durchführen kann und am Ende A = ab erhält. Der Zusammenhang ist also allgemeingültig. Schönes Wochenende! 👋🙂
Genau so hab ich das auch gelöst. Zwar zuerst mal alle möglichen Gleichungen nach Pythagoras an allen 3 Dreiecken aufgestellt, diese dann aber ganz schnell ignoriert und auch über die Flächen ausgerechnet.
super erkannt! und ja, allgemein gültig , wenn das Dreieck gleichschenkelig rechteckig ist, was ja hier eindeutig der Fall ist.
@@hermannschachner977 Gleichschenklig ist es doch gar nicht; du meinst bestimmt "rechtwinklig". 😉 Aber wenn es das nicht wäre, wäre ja schon "A = xy" falsch, weil die rote Fläche dann nicht rechteckig wäre; dann könnte man die ganze Rechnung in die Tonne treten.
@@teejay7578 stimmt, rechtwinklig reicht aus
es macht einfach spass dir zuzuschauen..
Sehr schönes Video!
Im richtigen Tempo klar und einfach erklärt.
Top!
Wie? Watt? So geil!!! So schön in einzelnen kleinen Schritten gelöst...
Und Susanne hat immer dieses fröhliche lächeln drauf. :)
Ich hab irgendwie eine ganz andere Lösung, aber sie ist halt nicht mathematisch aber logisch: ich habe das Dreieck verdoppelt, so dass es ein Quadrat ergibt. Dann habe ich vier Quadrate mit folgenden Massen: 11m mal y; 5m mal x; x mal y; 5m mal 11m. Daraus lässt sich logisch schliessen, dass x mal y = 5m mal 11m ist, also 55m2.
So erklärt, macht Mathe doch richtig richtig Spaß! 😊
Die Lösung dieser Aufgabe haben Sie sehr gut erläutert! Prima. Mit Stufen-,Wechsel- und entgegengesetzt liegenden Winkeln haben ich mich in der sechsten Klasse herumgequält, war aber rückblickend betrachtet sehr interessant!👍👍👍🌵
Wie immer: Richtig gut gemacht. Danke!
Hallo Susanne, herzlichen Dank für diese kurze und interessante Frage 🙏
Ich möchte hier 3 Lösungsmöglichkeiten vorschlagen:
I) Nennen wir die Ecken von diesem Dreieck (Richtung: gegen dem Uhrzeigersinn):
A, B, C , D, E, F (B ist zwischen A und C, D ist zwischen C und E, F ist zwischen A und E)
Für das Rechteck gilt:
AB= x
ED= x
AE= y
BD= y
Der Winkel von dem Dreick w(CAE)= 90°, w(CBD)= 90° und w(DFE)= 90°
demnach: α + β = 180°-90° = 90°
w(ACE)= α
w(CEA)= β
weil AB ⁄⁄ DE
w(BCD)= w(FDE)= α, beide sind Stufenwinkeln, oder 180°-(90°+β)= 90°-β = α
w(FED)= w(BDC)= β, beide sind Stufenwinkeln, oder 180°-(90°+α)= 90°-α= β
somit sind die Dreiecke: ACE und BCD sich ähnlich: ACE ~ BCD und
die Dreiecke BCD und FDE sind sich ähnlich: BCD ~ FDE und
die Dreiecke ACE und FDE sind sich ähnlich: ACE ~ FDE, demnach:
für die Dreiecke ACE und BCD gilt: ACE ~ BCD, nach dem Strahlensatz:
CE/CD= AC/BC= AE/BD
⇒ CE/CD= (x+11)/11= (y+5)/y
11y+xy= 11y+55
xy= 55
xy= 55 m² ist die Lösung
II) Für die Dreiecke BCD und FDE gilt: BCD ~ FDE, nach dem Strahlensatz:
CD/DE= BC/FD= BD/FE
⇒ CD/DE= 11/x= y/5
11*5= x*y
xy= 55
xy= 55 m² ist die Lösung
III) Für die Dreiecke ACE und FDE gilt: ACE ~ FDE, nach dem Strahlensatz:
CE/CD= AC/BC= AE/BD
⇒ CE/DE= (x+11)/x= (y+5)/5
5x+55= xy+ 5x
xy= 55
xy= 55 m² ist die Lösung
Sehr schön 👌🔝
Perfekt erklärt - wie gewohnt!
Du kannst wirklich sehr gut erklären! Könntest Du auch ab und zu mal eine Aufgabe aus einer Matheolympiade vorrechnen?
Unter der Einhaltung der zwei Außenmaße, entstehen bei der Konstruktion zwei ganzzahlige Richtungsverktoren, jeweils mit der Größe 6 und 9. Folgedessen müsste das rote Rechteck 6m x 9 m groß sein.
Sieht nach Strahlensatzproblem aus: Fäche des roten Rechtecks A = a * b. (a = kurze Seite, b = lange Seite). 1) Kleines Dreieck in die linke Ecke schieben. 2) Strahlensatz awenden: 5/a = b/11. Nach *11 und *a folgt: a * b = 55 = A 🙂
PS: Ähnlichkeit der 3 rechtwinkligen Dreiecke: a) Hypothenusen = gleiche Seite, b) prallele Katheten
Ich danke dir für alles. Du hast mein Fachabi gerettet!
11/a = b/5
a*b = 55 m²
Außerdem können die vorgegebenen Maße im rechtwinkligen Dreieck auch dann eingehalten werden, wenn das Dreieck so umgeformt wird,
dass das Rechteck zum Quadrat wird.
Für diese Umformung bleibt eine Seitenlänge des Rechtecks und der rechte Winkel stehen,
alle drei Seitenlängen des Dreiecks ändern sich so lange, bis die Bedingung 11+x und 5+x für beide Katheten gilt,
und das Viereck also ein Quadrat wird.
Deshalb geht auch folgende Gleichung:
11/x = x/5
x² = 55 m²
x = 7,42 m
Kommt also aufs selbe raus, nur dass man für diesen Fall auch die konkrete Seitenlänge findet.
Für die Umformungsoperation kann man sich auch vorstellen, dass die Hypotenuse gleich bleibt, und das Rechteck zum Quadrat umgeformt wird.
Die beiden Teilstrecken, die vorher 11 und 5 Meter lang waren, sind dadurch verändert.
Die ehemals 11m lange Teilstrecke muss nun wieder 2,2 mal so groß werden, wie die kleinere Teilstrecke.
Ist sie größer, muss das Quadrat vergrößert werden, ist sie jedoch kleiner als Faktor 2,2 der ehemals 5 Meter langen Teilstrecke, muss das Quadrat verkleinert werden.
Diese Größenänderung des Quadrats geschieht immer so, dass das Quadrat weiterhin stramm innerhalb des Dreiecks sitzt, und die Hypotenuse (die untere Seite) in Länge und Lage unverändert bleibt, es ändern sich nur die beiden oberen Seiten (Katheten).
Wenn das richtige Verhältnis gefunden ist, muss das gesamte Dreieck, also alle drei Seiten gleichermaßen um denjenigen Faktor vergrößert, oder verkleinert werden, der die ehemals 11 Meter lange Teilstrecke wieder genau auf 11 Meter bringt.
Nun hat das eingeschlossene Quadrat die Seitenlänge 7,42 m
Lösung:
Wir haben 3 rechtwinklige Dreiecke gegeben, die alle mathematisch ähnlich sind. Sie haben alle Katheten die zueinander parallel sind und teilen sich eine Hypotenusen-Linie.
Aufgrund dieser Ähnlichkeit sind die Verhältnisse der Seiten zwischen den Dreiecken identisch.
Wenn man nun die kurze Rechteckseite mit a bezeichnet und die andere mit b, kann man das Verhältnis der beiden Katheten zwischen den kleinen Rechtecken aufstellen:
a/5 = 11/b |*5b
5ab/5 = 55b/b
ab = 55
Und das ist genau der Flächeninhalt des Rechtecks, da dieser mit A = a * b berechnet wird.
Die Fläche des gesuchten Rechtecks ist also genau 55 m².
Ich habe 3 Möglichkeiten vorgeschlagen, da die Dreiecke ACE ~ BCD ~ FDE sich ähnlich sind, kann man immer 2 davon nehmen, um die Aufgabe zu lösen 😃🙏
Ich liebe diesen Kanal.
Da war doch mal was mit Parallelverschiebung
im Matheunterricht vor vielen vielen Jahren.
Die wurde auch hier angewandt, soweit ich
verstanden habe
Wieder mal TOP erklärt!!!
Meine Güte. 446k
Absolut verdient. Tolles auffrischendes Programm :)
Ich liebe diesen Kanal, und unser Schatz gibt einem nie das Gefühl, ein mathematischer Looser zu sein, wenn man mal nicht von selbst oder schnell genug auf die Lösung kommt...
Man kann das auch sehr leicht mit dem Strahlensatz errechnen: 11/y = (11+x)/(y+5) == 11y + 55 = 11y + xy; funktioniert natürlich ebenso mit 5/x = (5+y)/(x+11)
Genial! Letzten Endes furchtbar einfach, aber man muss erst mal drauf kommen.
Nice! tan(φ) = b/11 = 5/a → ab = 55
Ich habe den Ballermann ganz einfach mit dem Strahlensatz rausgeblasen:
(11+x)/(y+5) = 11/y
(11y+xy)/(y+5) = 11
11y+xy = 11y+55
xy = 55
Durch ergänzen desselben Dreiecks an der Hypothenuse erhält man ein Rechteck. Die Hypothenuse ist dann eine Rechtecksdiagonale. Die Kanten des roten Rechtecks verlängert man bis zu den gegenüberliegenden Rechteckskanten. Auf diese Weise erhält man gegenüber vom roten Rechteck ein Rechteck mit gleicher Fläche (weil die weiße Restfläche jeweils gleichgroß ist) und den Kantenlängen 5 und 11.
Das ist die einfachste Lösung. Ganz ohne Gleichung und simpel.
Die beiden weißen Dreiecke sind ähnlich. Wenn wir die kurze Rechteckseite x nennen und die andere y, verhält sich 5/x wie y/11. Nach xy (Fläche) aufgelöst: 55.
Die sichtbaren Dreiecke sind ähnlich. Die Seitenverhältnisse der sichtbaren Dreiecke sind also gleich.
Die lange Seite (mit dem 11m-Stück) ist L, die kurze (mit dem 5m-Stück) ist K.
Die lange Seite des Rechtecks ist l, die kurze ist k.
Das Verhältnis aus langer und kurzer Kathete nenne ich c
11/l=c
11=l*c
l/k=c
l=k*c
k/5=c
k=5*c
l=5*c^2
11=5*c^3
11/5=c^3
c^3=2,2
c=1,30059 (so in etwa)
k=5*1,3=6,5
l=11/1,3=8.46 (so in etwa)
Die gesuchte Fläche:
A=l*k=6.5*8.46=54.99 also sagen wir 55
Geht also ohne a^2+b^2=c^2
Wahnsinn!
Ich bin jetzt 36 Jahre alt und das war das erste mal in meinem Leben dass ich Mathe gut fand 😂
Ganz klar, da hilft der Strahlensatz weiter.
Hier liegen zwei ähnliche Dreiecke vor.
11[m] : a = b : 5[m] (Verhältnisgleichung lösen - Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)
a*b=11[m]*5[m]
a*b=55[m²]
A=55[m²]
Das war doch heute mal sehr gemütlich.
Hallo Gerald Dir ein super Wochenende und LG vom Bodensee
@@markusnoller275 Danke.
Ich wünsche dir auch ein tolles Wochenende.
LG Gerald
Wie üblich: Keine Einheiten! Susanne hat das auch nicht gemacht, aber wenigstens zum Schluss dazu gesagt.
@@walter_kunz Wurde jetzt nachgeholt. Danke fürs Erinnern.
Ich sehe, dass du die Aehnlichkeit der beiden kleinen Dreiecke benutzt, aber wozu brauchst du dann den Strahlensatz? Ich finde ihn in deiner Loesung nicht wieder. Ausserdem ist mir nicht klar, wie du die Aehnlichkeit der Dreiecke begruendest.
Ich fand das einfach toll, das Video.
Dankeschön, das freut mich sehr! 😍
Elegant gelöst. Ich wäre das wohl etwas umständlicher angegangen ....
In einem alten Matgematikbuch habe ich mal etwas zur geometrischen Division gelesen:
Der Divident ist die Fläche eines Rechtecks, der Divisor ist die Strecke, die eine Seite an einer Ecke verlängert.
Der Quotient ist die Strecke auf der "anderen" Seite, wie im Ausgangsbild.
Ich hatte Mathe-LK und geometrische Division wurde nie behandelt.
Auch die Quadratur eines Rechteckes mithilfe eines Thaleskreises nicht, womit man geometrisch die Wurzel ziehen kann ...
Hallo!!!
Deine Videos sind die besten!! könntest Du vielleicht erklären, wie man Polynomdivion mit mehrere Variablen löst? Das würde mein Leben retten.
Danke
Mein Weg:
y=11*tan(alpha); x=5*tan(beta);mit beta = 90-alpha sowie der Regel tan(90-x)=1/tan(x) ergibt sich:
x=5/tan(alpha)
x*y= 11*tan(alpha)*5/tan(alpha)=11x5.
Ich hab geguckt und abgeschätzt: etwa 49 m^2. Unser Matheprof sagte damals: Mathematik heisst sehen, es gäbe nur 2 blinde Mathematiker auf der Welt.
Schöne Geometrie-Aufgabe. Man muss (kann) bei der Lösung auf früher Gelerntes zurückgreifen.
Super einfach der Ansatz. Wäre es auch mit einem Gleichungssystem und Pythagoras gegangen ?🤔
Einfach toll.
Dankeschön :)
Meine Lösung:
Winkelverhältnisse betrachtet
tan(45°)*5m = x
tan(45°)*11m = y
Da tan(45°) = 1 ist, ist x = 5m und y = 11m
A = 5m*11m = 55m^2
Wenn nur die Fläche x*y gesucht ist, ist die Lösung recht einfach über Verhältnisse zu bekommen:
11/c1 = x/c2 und 5/c2 = y/c1
Durch Umformung und Substitution erhält man:
55*c2 = x*y*c2
Durch c2 kann man kürzen da ungleich 0
55= x*y
Hatte als Ausgansgleichung 11/y = (11+x)/(5+y) . Nach einigen Umformungen kam ich auch auf das richtige Erebnis.
klasse - wie immer
Jetzt will ich aber auch wissen wie groß x und y sind ! 😄
Zu dieser Aufgabe wäre mir tatsächlic an einer Stelle eine Alternatuve eingefallen, die vielleicht sogar etwas einfacher ist:
Die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke ergibt sich aus dem Stahlensatz. Denn beidekleinen Dreiecke sind dem gro0en Dreieck ähnlich.
inmal ist Punkt A (Ecke links unten( das Zentrum, ein Mal der Punkt B (Ecke rechts unten).
Das ist für mein Empfinden schneller erfassbar.
Ich danke dir.
Hallo Susanne, guten Morgen,
zunächst Dir und allen anderen hier ein super Wochenende.
Mein Vorschlag zur Lösung:
Ich nutze den Strahlensatz und rechne zunächst ohne Einheiten:
Die kürzere Seite des einbeschriebenen Rechtecks sei a, die längere Seite sei b
Da a und b Strecken repräsentieren gilt a,b >0
Weil ich noch nicht weiß, ob a und/ober b ganzzahlig sind, setze ich als Grundmenge sicherheitshalber R
a,b€R >0 (Angabe des Definitionsbereich ist hier zwar nicht zwingend nötig, schadet jedoch auch nicht 🙂)
Mit diesen Angaben ergibt sich für den Strahlensatz:
5 / a = (5 + b) /(11 + a) | "über kreuz" malnehmen
5(11+a) = (5 + b)a|
55 + 5a = 5a + ab |-5a
55 = ab
Die gesuchte Fläche Arechteck ist ab = 55
Da a und b in Meter angegeben sind ergibt sich Arechteck = 55m^2
LG auch an Thomas aus dem Schwabenland.
Wieso kommst du mit einem der Strahlensaetze auf 5 / a = (5 + b) /(11 + a)?
Ich muss sagen, das sehe ich allein als Folgerung aus einem Strahhlensatz nicht, wohl aber das in meinem Loesungsvorschlag verwendete (b+5)/b=(11+a)/11, dass direkt die Aussage des 2. Strahlensatzes ist.
@@juergenilse3259 Hallo Jürgen,
vielen Dank für deinen Hinweis. Da schaden ein paar Worte zur Begründung nicht.
Zunächst betrachte ich die 2 sich schneidenden Geraden Hypotenuse des großen Dreieck und die rechte Kathete des großen Dreieck mit der gegebenen Teil-Länge 5m.
(Der "Strahl".... Daher haben die Strahlensätze ihren Namen)
auf diesen beiden Geraden liegen die parallelen Geraden "kurze Seite des Rechtecks" und "andere Kathete des großen Dreiecks mit der Teil-Länge 11m.
Weil die beiden vorher genannten Geraden parallel sind, darf man hier den Strahlensatz anwenden.
Der Strahlensatz besagt nun u. a , dass sich Streckenabschnitte des einen Strahl (welchen man nimmt ist egal) zueinander gleich verhalten wie die Streckenabschnitte der beiden parallelen Strecken zueinander.
Also z.b Verhältnis "kürzer Abschnitt des rechten Strahl" (5) zu "längerem Abschnitt" des rechten Strahls ( 5 + b) = kürzerer Abschnitt der parallelen Strecken (a) zu "längerem Abschnitt der parallelen Strecken (11 + a).
Statt "Verhältnis zu" nehme ich das geteilt-Zeichen und so entsteht die Gleichung
5 / a = (5 + b) / (11 + a).
Hilft Dir das weiter?
Dir noch ein super Wochenende und LG aus dem Schwabenland.
@@markusnoller275 Danke.Ich hatte den Strahlensatz auf die andere Kathete des Grossen Dreiecks angewendet.Irgendwie habe ich die Anwendung des Stahlensatzes wie von dir genannt nichht auf Anhieb gesehen (manchmal hat man ein Brett vor demKopf ...).
@@juergenilse3259 Hallo Jürgen, freut mich, dass Du mit meiner Erklärung etwas anfangen konntest.
Einmal mehr zeigt sich: der Kanal lebt vom "Mitmachen". Fragen stellen, (unterschiedliche) Antworten bekommen.
Vielen Dank dafür.
LG aus dem Schwabenland.
@@markusnoller275 Auch mmmein erste Ansatz basierte auf dem 2. Strahlensatz, aber angewendet auf die Kathetenabschnitte der linken Kathete des grossen Dreiecks ...
Kann man die Aufgabe nicht auch mit dem Strahlensatz lösen: 11/y = (11+x)/(y+5) ? Dann "über Kreuz" multiplizieren und 11y auf beiden Seiten streichen.
Hallo Susanne, ich halte die Aufgabe für Schüler etwas verunglückt. Auch wenn sich die Fläche als Produkt hier via Ähnlichkeit direkt herleiten lässt. Aber zuerst muss sichergestellt sein, dass es ein Dreieck mit den Maßen überhaupt gibt. Das ist hier unproblematisch, auch wenn die Seitenlängen selbst nicht berechnet werden. Aber gerade weil die Seitenlängen nie berechnet werden, hat man den Beweis für die Existenz eines solchen rechtwinkligen Dreiecks nicht.
Fantastisch wie immer ❤
Dankeschön 😊
Strahlensatz:
5/x = (5+y)/(x+11)
11/y = (x+11)/(5+y)
Rechts steht in der zweiten Gleichung der Kehrwert der rechten Seite der ersten Gleichung. Demnach gilt:
5/x = y/11 |•11x
xy = 55
So habe ich es auch gelöst, wobei eine der beiden Gleichungen schon ausreicht. Das ist meiner Meinung nach der einfachste Lösungsweg.
Lösung:
a = kurze Seite des Rechtecks,
b = lange Seite des Rechtecks,
Fläche des Dreiecks = (11+a)*(b+5)/2,
oder Fläche des Dreiecks = 11*b/2+a*b+a*5/2.
Das ergibt die Gleichung:
(11+a)*(b+5)/2 = 11*b/2+a*b+a*5/2 ⟹
(11b+55+a*b+5a)/2 = 11*b/2+a*b+a*5/2 |*2 ⟹
11b+55+a*b+5a = 11b+2*a*b+5a |-11b-ab-5a ⟹
55[m²] = a*b = Fläche des Rechtecks
wow ich bin viel zu umständlich vorgegangen. Hab die kurze Seite des Rechtecks a und die lange b genannt. Habe auch direkt erkannt, daß das große und die kleineren Dreiecke alles rechtwinklige sein müssen. Dann ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten bei einer habe ich den Pythagoras des großen Dreiecks verwendet, bei der 2. Gleichung die der beiden Kleinen und damit gerechnet. Bin glücklicher Weise auf dasselbe Ergebnis gekommen.
Danke
Easy: 1) 11m: y = x : 5m 2) 11m . 5m = yx 3) A = yx = 55 m² Merke: Die Seitenverhältnisse von rechtwinkligen Dreiecken sind immer gleich.
Vermutung: Die Winkel in jedem der Dreiecke betragen 90,60 und 30° , daher lassen sich die Rechteckseiten mit tan und cot 30° berechnen.
Vermutung richtig,
(12+a)*(5+b)/2 ist die Fläche des großen Dreieicks.
Diese setzt sich zusammen aus
3 Teilflächen:
Dreieck 11*b/2
Dreieck 5*a/2
Viereck a*b
Die Summe dieser 3 Teilflächen wird mit der Fläche des großen Dreiecks gleichgesetzt:
11*b/2+5*a/2+a*b
= (12+a)*(5+b)/2
Aufgelöst ergibt diese Gleichung:
a*b/2 = 5*11/2
a*b = 5*11 = 55
😀
Hallo, ich bin über den Strahlensatz zum Ergebnis gekommen:
11 : y = (11 + x) : (5 + y)
Stellt man die Gleichung um, kommt man auch zum gesuchten Ergebnis.
das war auch mein Ansatz - nur dass ich die Brüche invertiert habe, damit y "oben" steht
Hier habe ich ein paar Minuten nach der Lösung gesucht, obwohl ich sie bereits hatte. Wie das? Weil ich dachte, es gibt 2 Unbekannte (x und y), also müsste ich 2 voneinander unabhängige Gleichungen aufstellen und lösen, um die Werte diese Unbekannten zu erhalten. Und dabei habe ich nicht gemerkt, dass lediglich das Produkt der Unbekannten gesucht ist, und das Produkt erhält man wiederum aus einer einzigen Gleichung.
Nun bleibt noch die Kunst, aus dieser Anekdote zu lernen, und da wird es erst richtig spannend, z.B. die Frage, wie man so eine Erfahrung in seinem Gehirn generalisiert.
Ja, interessant. Aus den Angaben lässt sich weder x noch y und auch keines der Dreiecke berechnen, wohl aber die Fläche. Das habe ich mir auch erst mal geometrisch vorstellen müssen.
Heute bin ich endlich dazu gekommen, die Aufgabe zu rechnen. Ich bin etwas anders vorgegangen.
Ich habe die Seiten des Rechtecks auch als x und y bezeichnet und damit als Fläche des Rechtecks F = x*y. Dann ist mir aufgefallen, dass in der Aufgabe drei Dreiecke vorkommen, die alle rechtwinklig sind. Die Fläche des Quadrats ist die Fläche des großen Dreiecks minus der Flächen der zwei kleinen Dreiecke, also F = 1/2 * (11+x) * (5+y) - 1/2 * 5 *x - 1/2 * 11 * y. Damit habe ich für die gesuchte Fläche zwei Gleichungen, in denen nur noch x und y vorkommen.
Die beiden Gleichungen für die Fläche des Quadrats habe ich gleichgesetzt, also
x*y = 1/2 * (11+x) * (5+y) - 1/2 * 5 *x - 1/2 * 11 * y
Wenn ich jetzt auf beiden Seiten mit 2 multipliziere und die rechte Seite ausmultipliziere, bekomme ich
2 * x * y = 55 + 11 * y + 5 * x + x * y - 5 * x - 11 * y
also 2 * x * y = 55 + x * y
Wenn ich auf beiden Seiten x * y subtrahiere, habe ich für die gesuchte Fläche x * y = 55 .
Viele liebe Grüße
Elvira
Proportion:11/y=x/5. 11x5=xy
Super Aufgabe, jedoch für Ähnlichkeitsgesetze in der 6. Klasse etwas zu anspruchsvoll, denke ich. Vielen herzlichen Dank dafür.
Strahlensatz war meine erste Idee
Uns hätte man seiner Zeit zu meiner Zeit eingebleut, eine Verhältnisgleichung in eine Produktgleichung umzuwandeln/-schreiben.....
Macht übrigens in Physik besonderen Sinn.
Ansonsten wie immer sehr erfreulich und lehrreich!!!!
Kommt man auch auf x und y?
Tangens Alpha = a/11=5/b ergibt auch A=55,bitte mit Einheit Quadratmeter.
Guten Abend du alte Mathegurke,juhuu,hast mir echt n bißchen geholfen, irgentwann habe ich das Geld, dann komm i zu dir gejettet, bringe für Familie wat mit, und natürlich für dich n adequaten Mathenachhilfestundenlohn,nicht in irgenetwas anderem vertauschbar,nich dass noch jemand z.B. etwas leisten muss oder sollte der direkt nichts damit zu tun hat etc.
Wann habe ich bloß genug Geld?! Naja, ich werd ja sehen, drine Stimme ist nun auch ganz gut.Bleibt gesund, du und deine Family mein i
Seite A und Seite B sind im rechten Winkel daher muss Seite B genauso lang sein wie Seite A also 11×5
Nett. Die Aehnlichkeit der Deiecke haette ich aber anders begruendet:
Die beiden kleinen Dreiecke sind jeweils aehnlich zum grossen Gesamtdreieck, denn sie haben jeweils einen der Winkel an der Hypothenuse und den rechten Winkel gemeinsam.
Wenn aber jedes der beiden kleinen Dreiecke aehnlich zum grossen Dreieck ist, sind die kleinen Dreiecke ebenfalls aehnlich zueinander.
Ein anderer Loesungsweg, der ohne die Aehnlichkeit der Dreiecke auskommt, benutzt den zweiten Strahlensatz:
Danach ist (y+5)/y=(11+x)/11
Schreiben wir die Bruechhhe jjeweils in SummenvonBruechen um,erhalten wir:
y/y+5/y=11/11+x/11
Da y/y und 11/11 jeweils gleich 1 sind, erhalten wir 1+5/y=1+x/11 und damit auch 5/y=x/11
Multiplizieren wir beide Seiten mit y und mit 11, erhalten wir ebenfalls das Ergebnis x*y=55.
wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks, wenn nur die 3 Seitenlängen bekannt sind ?
Strahlensatz und gut ist
Mein Mathe ist eingerostet. Daher mal eine Frage an die Profis. Ist es überhaupt möglich das X bzw. Y genau zu bestimmen. Ich kann das nicht lösen. Auch mit dem Pythagoras nicht, weil am Ende dann noch eine zweite Unbekannte Variable in einer Gleichung erscheint. z.B. bei mir: (11 +55/y)2 + (5+y)2 = z2!
c^2 = a^2 + b^2
Kann man auch die Winkel berechnen?
Ps: Meine Lösung wäre das kurz im CAD abzumalen :)
Zu komplizierter Lösungsweg:
Großes Dreieck nach unten klappen, gibt Rechteck mit Seiten (11+x) und (5+y), darin ist zweimal unsere gesuchte Fläche enthalten und je einmal ein Rechteck 11y und 5y. (5+y)(11+x) = 2xy + 11y + 5y. Auflösen, fertig!
Man denkt immer man muss die Seitenlängen ausrechnen, aber es reicht den Flächeninhalt auszurechnen. Ich hab nur aufgeschrieben, was man weiß - sinus der Winkel- bisschen zusammengefasst und plötzlich stand die Lösung da.
❤❤
und was fehlt bei der Antwort ........ die Einheit ...... m² ..... hätte bestimmt einen Punkt Abzug gegeben
Ja nun. Wie groß wären denn x und y?
55m2
Deine aussage am ende, man frau hätten einfach 11 x 5 rechnen können, steckt da ein Gesetz hinter oder ist das einfach hier zufall?
Gibt es jetzt aber auch noch eine Möglichkeit, die Seitenlängen des Rechtecks zu ermitteln?
Nein. Du kannst Seite x oder y beliebig lang machen, und die andere einfach errechnen indem Du 55 dadurch teilst.
@@rainerinedinburgh5807 Meine Fragestellung war aber eine andere.
Also der Flächeninhalt des Rechtecks ist 55 qm. Aber x ist deshalb nicht 5 m sondern größer und y nicht gleich 11 m sondern kleiner, weil das große Dreieck nicht gleichschenkelig ist. GELL 😞?
42 ist die ultimative Antwort 😉
(11x5):2 total easy🤷🏼♂️
Heißt das nur, dass x•y=55 ist, oder kann man sogar sagen, dass x=5 und y=11 ist???
Und wenn, ja, wie beweise ich das?
@manfredullrich384: nur ersteres ist richtig (Fläche 55m²). Die Seitenlängen lassen sich aber auch leicht berechnen 😊👻.
wie?@@roland3et
Dann wäre bei dir, x=5 und y=10, x*y=50???
@@walter_kunz korrigiert... natürlich 11
Wenn das so wäre, könnte man so ein Rechteck nur bei gleichschenkligen Dreiecken einzeichnen. ⚡
12
OMG
ich dachte mir beim thumbnail so: okay, ich hab 2 ähnliche dreiecke und will x und y für die fläche.... jetzt hab ich aber eine gleichung mit 2 unbekannten, wie soll das gehen???
die erklärung geschaut
step 1 rechtwinkligkeit: okay so weit bin ich auch
step 2 ähnliche dreieche: ja das hab ich auch gerafft, wo ist jetzt der knackpunkt???
und dann 11*5=x*y, das kann so stehenbleiben....
brainfuck 🤯
Es ist Wahnsinn wie viel über die Zeit verloren geht.
Wie würde es in einer Prüfung bewertet werden wenn man tatsächlich direkt am Anfang einfach 5x11 gerechnet hätte und damit direkt auf das Ergebnis gekommen wäre ?
Die Lehrer wollen ja meistens einen genauen Rechenweg und Begründung sehen.
Vermutlich würde daneben in Rot "Warum?" stehen, und du würdest nicht die volle Punktzahl bekommen.
Es waere mit Sicherhheit nicht als Loesung anerkannt werden, weil die Begruendung fehlt, warum deine Rechnung den Flaecheninhalt des Rechtecks ergibt.Ohne diese Begruedung ist es keine Loesung.
Witzige Aufgabe a*b=55
11/b=a/5
a= 55/b
F= a*b=(55/b)*b= 55
Geht auch ganz ohne Formeln und Variablen: Wenn man das große Dreieck am Mittelpunkt der Hypothenuse spiegelt und in das dadurch entstandene, flächengleiche, neue Dreieck analog zum oberen Dreieck ein (rotes) Rechteck einzeichnet, dessen eine Ecke mit dem rechten Winkel und dessen gegenüberliegende Ecke mit der unteren Ecke des ersten Rechecks zusammenfällt, erhält man zwei kleine und zwei große Dreiecke, die jeweils gleich groß sind, sowie zwei Rechtecke, die folglich ebenfalls gleich groß sein müssen. Das untere, neue Rechteck hat (ablesbar) die Maße 5 m x 11 m = 55 m². Das obere muss also ebenfalls 55 m² groß sein.
How to feel stupid on a sunday afternoon... wie lange sind denn aber x und y?
Was ist eigentlich das Problem zu der Lösung? 😂
Geht viel einfacher:) im Rechteck sind alle Winkel 90grad. D.h. An der Ecke des Rechtecks die an die untere Seite des großen Dreiecks geht habe ich auch 90 grad. D.h. Dann dass die Winkel links und rechts davon gleich groß, nämlich 45 grad sind (zusammen muss 180grad rauskommen) D.h. Die beiden kleineren Dreiecke sind Gleichschenklig weil ich darin jeweils rechte Winkel habe. Somit weiß ich gleich die Längen für x und y :)