Wie löse ich eine Inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung? | allgemeine | partikuläre Lösung
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- Опубліковано 27 вер 2024
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Differentialgleichungen lassen sich in homogene und inhomogene Differentialgleichungen unterscheiden.
Die Lösung einer inhomogenen GDGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen GDGL und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen GDGL. Deshalb erfolgt das Lösungsverfahren der inhomogenen GDGL, unabhängig von der Ordnung, in zwei Stufen. Die Gesamtlösung ist die Summe der beiden Lösungen:
Die homogene Lösung der GDGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen und deren Ableitungen Null sind.
Die partikuläre Lösung der GDGL beschreibt das Übertragungsverhalten von als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen y und deren Ableitungen Null sein.
bei Anwendung der inversen Laplace-Transformation immer eine partikuläre Lösung. Die partikuläre Lösung der GDGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.
Mit Hilfe des Exponentialansatzes und der sich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen sich auch GDGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene GDGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.
Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Wenn du eine inhomogene Differentialgleichung vor dir hast, bestimmst du die Lösung in zwei Schritten: Du berechnest die homogene Lösung und die sogenannte partikuläre Lösung, auch spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung genannt. Zusammen ergeben sie die Gesamtlösung.
Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung lässt sich durch Variation der Konstanten auf folgende Weise lösen. Zuerst wird die entsprechende homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen gelöst.
Um die inhomogene DGL zu lösen, wird die Integrationskonstante C durch
eine unbekannte Funktion C (x) ersetzt. Die Funktionsterme für y und y' setzen wir in die inhomogene DGL ein. Diesen Ausdruck für C (x) setzen wir in die Formel für y ein und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen DGLDiese Methode ist als Methode der Variation der Konstanten bekannt. Die Integrationskonstante C wird variiert, d.h. durch eine Funktion C(x) ersetzt.
Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.
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Souverän, elegant und cool! Many thanks!
Hallo. In einigen Büchern wird der inhomogene Teil als Störfunktion bezeichnet. Was wird den in einer DGL denn gestört?
Danke für deine Frage. Das Störglied bzw. die Störfunktion beschreibt in der Regel die äußere Anregung oder Einflüsse eines Systems. Das System kann z.B. eine Federschwingung sein und die Störung in einer Schwingung könnte die Lagerreibung sein. OK? LG lernflix. Danke auch für dein ABO
kann ich für den ansatzt bei der homogenen Lösung immer den rechten Teil weglassen oder nur wenn er nicht von y(x) abhängt
Hi Luka. Bei der homogene Lösung müssen sämtliche Störfunktionen (Faktoren) rechts stehen. Solltest du rechts noch y Werte haben, bringe diese zunächst nach links. LG lernflix
Einfach perfekt erklärt. Dankeschön
Bitte schön, sehr gerne. Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Freue mich auch über dein ABO. LG lernflix
Danke für das Video. Alles passt super 👍 meine Note jetzt auch :)
Freue mich, dass du eine gute Mathe Note hast und ich dir helfen konnte. Danke auch für dein ABO. LG lernflix
@@lernflix Danke dir! Wünsche dir alles Gute. LG
grundsätzlich super, nur das Video ist etwas leise
Danke für deinen Kommentar. Manchmal spinnt das Mikro ;-( Hoffe, ich konnte dir trotzdem helfen. Freue mich auch über dein ABO. LG lernflix
Hallo lernflix, ich poste es auch mal unter dieses Video: Wenn ich auf der rechten Seite der Gleichung noch eine Zahl hätte (also z.B. +3), muss ich diese dann erst auf die linke Seite bringen bevor ich diesen Ansatz verfolge?
Nein, die rechte Seite gilt als Störfunktion und wird bei der homogenen Lösung beachtet. LG lernflix
Timestamp 3:00 nicht verstanden; wieso fällt das jetzt weg, ich denke, dass mir ist das Abstrakte nicht bewusst ist'.
Danke für deine Frage. Was meinst du genau? Was fällt weg? 🤨
@@lernflixbei gleichung 1 die Teile mit x und bei gleichung 2 die teile ohne x
Genau 😄@@baliro4749
@@lernflix Hast du zufällig ein Video zu so einer Aufgabe: Gesucht ist die allgemeine Lösung von: dy/dx =y(1-y) Ergebnis: y(x)=(-e^x *c)/(1-e^x *c) Danke im Voraus🫶🏻