Велосипедист и электрички: решите задачу в уме
Вставка
- Опубліковано 3 гру 2023
- Эту задачу решали восьмиклассники на Новосибирской устной олимпиаде по математике, и видно, что она оказалась для них камнем преткновения: с другими более сложными задачами многие из них справлялись лучше.
Сложность в том, что в видео ее решили сложно.
Не важна ни скорость велосипедиста, ни скорость электрички. Важна частота события: за один час наблюдения он увидит 3 поезда (2 навстречу, один обгонит), поезда выходят в 2 станцияй, значит частота их равна 3/2=полтора поезда в час, а период 2/3 часа (40 минут).
Не путайте детей скоростями там, где про них ничего не спрашивается.
Схожа задача про собаку которая бегала между путником и городом туда сюда. Можно решать через сходящийся ряд, а можно заметить, что собака бегала столько сколько шел путник, значит и пробежала во столько раз больше во сколько раз ее скорость выше ск. путника.
Суть олимпиадных в этом - в поиске ПРОСТОГО решения.
Из всех решений, которые здесь прозвучали, только одно можно понять без карандаша и бумаги. Попытаюсь пересказать его попроще (хоть и чуть длиннее).
Велосипедист останавливается, и как только с ним поравняется электричка, он едет за ней час. Потом он разворачивается, и едет час обратно. В результате:
1. Через два часа он находится на том же месте, где и был.
2. Он встретил 4 электрички, одну в самом начале, одну по пути туда, две по пути обратно.
3. Не считая первую электричку (она была лишь сигналом для старта), за эти два часа мимо начального пункта прошли ещё 3 электрички, и интервал между ними 2/3 часа, т.е. 40 минут.
Тогда добавляется ещё одно условие, которое требует здравый смысл.
Дело в том, что электрички едут по расписанию, и тут можно пренебречь уклонами и сопротивлением встреченного/попутного ветра, считая скорость постоянной (на самом деле не так - уклоны и особенности пути оптимизируют для минимального электропотребления, а значит незначительно влияют на скорость).
Со скоростью велосипедиста не так - против ветра движение медленное, как и сложнее набирать скорость в гору.
Может, я не прав, но чтобы прикинуть это дело, захотел "вычесть" велосипедиста, заставил его час ехать за электричками, час против и в итоге в конце насчитал три электрички за два часа. Откуда одна проходит за 40 минут
Они использовали среднее арифметическое (45 минут) вместо среднего гармонического (40 минут). Нужно было учитывать, что у нас одинаковые расстояния (между электричками), но разное время.
Сложность в отсутствии бумаги и карандаша. Хочется все начертить, а в уме сложнее.
Можно конечно сразу дать простой но неверный ответ 45 минут.
Допустим,вся поездка заняла у велосипедиста всего один час. За это время мимо него проехало две встречных электрички и одна попутная. То есть за час на этот отрезок пути выехало (ну, или въехало) три электропоезда суммарно в обоих направлениях. А с каждой стороны, получается, заезжает полторы электрички за час... за два часа - три электрички... то есть одна электричка за 2/3 часа, =40 минут.
А если поездка длилась более одного часа, всё равно каждый час происходило ровно то же самое - одна электричка обгоняет, две проезжают навстречу.
И формул никаких не надо.
Не совсем понимаю, как эту задачу можно устно решить? Даже после объяснения. На бумаге, как нефиг делать.
Я смог, но расст обозн через х
Звонила на ЖД-вокзал в кассы, сказали 40 минут.
Не понял авторов задачи. Какое же это устное решение, если все свелось к уравнению? Устное решение в идеале должно быть таким: вопрос - арифметическое действие - ответ, и так несколько шагов. На самом деле, здесь описана модель эффекта Доплера. И если помнить формулы изменения частоты от скорости приемника, и уметь делать преобразования с дробями в уме, то решить можно. Еще похожая задачка есть у Гольдфарба, про человека, идущего по эскалатору в обоих напралениях, и считающего при этом ступеньки.
Я считал так, относительно велосипедиста 3 эликтрички за 2 часа, т.е. в среднем 1 за 40 минут, под ответ подходит, но на бумаге не проверял
При движении в одну сторону поезд проедет расстояние, которое проезжает за свой интервал движения + расстояние 1-го часа езды велосипедиста. При движении навстречу поезд проедет "своё" расстояние -(минус) расстояние получаса езды велосипедиста. Получается, что за полчаса (разница между попутным и встречным движением) поезд проезжает столько, сколько велосипедист за 1,5 часа. Тогда расстояние получасовой езды велосипедиста поезд проедет за 10 минут (30 + 10 мин.) или же часовой езды велосипедиста за 20 минут (60-20 мин.).
Ну думаю держать в уме столько формул не легко, по крайней мере 8классникам
Ну ты мое решение
Допустим что эл туда обрато и вел нахожятся а одной точке (все равно на решение не повлияет)
То есть след эл находятся на одном и том же расстояннии
х
Тогда скорости эл а , вел б
х/(а+б)=0,5
х/(а-б)=1
2(а-б)=а+б
а=3б
Ну и теперь берем любое из равенств
Получаем что х=2б
А значит интервал эл 2б/3б=2/3
То етсь 40 мин
Минут 7 потребовалось.
Помню классе в 7 или 8 на такой олимпиаде был. Там ещё интересная система была, что каждую задачу можно попытаться сдать несколько раз и в зависимости от попытки давалось разное количество баллов, которые автоматически высвечивались проектором. Можно было даже в минус по баллам уйти если безуспешно пытался сдать много раз одну и ту же задачу. Помню что тогда мозги невероятно плавились, ни на одной олимпиаде больше такого не испытывал
Сложное решение. Можно просто ехать долго вправо (скажем, 1000 часов), а потом столько же обратно влево. Тогда за 2000 часов окажешься обратно в точке старта, повстречаешь при этом 3000 электричек (шедших вправо). Ну то есть электрички пересекают точку старта каждые 40 минут
Без бумаги задача изрядное пекло. Тем более тут приходится работать не с точными цифрами, а с пропорциями, и надо взять одну из скоростей - лучше меньшую - за 1. Я просто чувствовал, что 40 минут, но доказать не смог.
Типичная сложность для "обычных" восьмиклассников - они не умеют оперировать скоростью и средней скоростью. "Обычная" интуиция настойчиво подсказывает всякую ерунду в таких задачах. Здесь нужно наработать "необычную" (физическую, математическую) интуицию, для этого надо решить достаточно много (от 20-30) задач на среднюю скорость, на преобразование скоростей (я, кстати, решил задачу перейдя в СО велосипедиста). Только после определённого количества задач интуиция начинает правильно подсказывать (чтобы найти скорость, ищи, какое расстояние на какое время поделить и т.п.). Аналогично, кстати происходит в задаче с "высушиванием" с 99% влажности до 98%.
"Олимпиадные" школьники, которым более-менее дают эту тему решают такие задачи быстро и сходу.
Лично я пытался какой-то хитрый способ решить без системы уравнений найти. Может, дети так же подумали
Я кажется нашёл - считать как частоту.
Если не "писать" формулы в уме, нужна определённая чуйка. Скорость электрички есть среднее между скоростями попутной и встречной электричек относительно велосипедиста, U = ((U+V) + (U-V))/2. Ну а скорость пропорциональна расстоянию и обратно пропорциональна времени. Электрички запускают с одинаковым интервалом, стало быть расстояние между соседними электричками одинаковое, сократится. Поэтому средняя скорость = среднее обратных времён. Если это сложилось в голове, то дальше дело техники:
1/t =(1/1 + 1/0.5) / 2 = 3/2.
Переворачиваем и получаем ответ в часах.
Вообще сложновато, если погружаться в нюансы и обосновать каждый шаг. Но если чуйка есть, что для устной олимпиады достаточно ей довериться :)
Если вы составляете задачи, пожалуйста, всегда пишите, что те и те значения считаются равными, движение такое-то. Почему нужно всегда брать на веру и упрощать, что то и то одинаковое. Понятно, что если не принять за равные, то это сильно усложняет решение. Но я считаю, это должно быть в условии. Устно я не решил, т.к. редко в целом решаю. Система уравнений в помощь. Думаю, сложность возникает, что когда ученик рисует у себя в голове модель происходящего, ему трудно вычленить именно, те части, свойства модели, из которых вытекает решение. В устном решение переход от V=3U к мини модели сближения, что значит и время так же соотносится, это только, когда рука набита на эти задачи. Т.е. сложность, что перед учеником предстаёт сразу вся большая модель и надо потом её разбивать на мини части. Тем не менее интересно. Смело ЛАЙК поставил.
А что в этой задаче неприятно?
Сложность в том, что у восьмиклассников получалось 45 минут
Сложность в том что в условии не написано что электрички выходят с равным интервалом и их скорости равны.
Мне кажется, для них труднее всего было учесть Лоренцево сокращение интервала в системе велосипедиста.
В самом деле, условие задачи логично дополняется предположениями о постоянстве скоростей велосипедиста и электричек, а так же о равных интервалах расписания. Без них задача теряет смысл. Однако, у нас нет оснований предполагать малость скоростей: ничего подобного в условии не упомянтуо. Следовательно, мы не можем пренебречь эффектами СТО.
Итак. Пусть:
v1 - скорость движения электричек в системе отсчета связанной с землей
v2 - скорость велосипедиста в системе отсчета связанной с землей
l0 - расстояния между двумя электричками в системе отсчета связанной с землей (одинаково в обоих направлениях)
t0 - интервал между двумя электричками в системе отсчета связанной с землей. Очевидно, t0=l0/v1
Для упрощения формул примем скорость света c=1
Тогда:
vp - скорость встречных электричек в системе велосипедиста
vp = (v2+v1)/sqrt(1-v1*v2)
lp - расстояние между встречными электричками в системе велосипедиста
lp = l0*(1-(v2+v1)^2/(1-v1*v2))
tp - интервал между встречными электричками в системе велосипедиста
tp = lp/vp
Аналогично для попутных электричек (те же формулы, но v1 со знаком минус)
vd = (v2-v1)/sqrt(1-v1*v2)
ld = l0*(1-(v2-v1)^2/(1-v1*v2))
td = ld/vd
По условию задачи td=1, tp=1/2
Следовательно, имеет место уравнение td-2*tp=0
Выпишем его, опуская для краткости подстановки и упрощение: 3*v2^3+4*v1*v2^2-4*v1^2*v2-3*v2-v1^3+v1=0
Осуществим замену: v1=k*v2, где k - коэффициент, во сколько раз электричка едет быстрее велосипедиста в системе отсчета земли: (-k^3-4*k^2+4*k+3)*v2^3+(k-3)*v2=0
Таким образом, зная скорость велосипедиста и решая это кубическое уравнение, мы можем получить коэффициент k и вместе с ним скорость электрички.
Т.к. зависимость нелинейная, мы не можем решить задачу без знания абсолютных скоростей в системе земли. Но мы можем рассмотреть несколько частных случаев.
1. Скорости малы.
Если v2 -> 0, то очевидно k -> 3. Т.е. v2=3*v1
Это классический случай, при которм vp=v1+v2, vd=v1-v2, lp=ld=l0;
Решая систему, получаем t0=l0/v1=2/3 (в тех же единицах, в которых мы выражаем знаменатель скорости света)
2. Скорость велосипедиста равная половине скорости света v2=1/2
Численно находим k, получаем v2, решаем те же уравнения...
Коллега, в вашем варианте возникает неполнота условия: в какой системе отсчета мы оцениваем частоту событий?
так при движении велосипедиста его время будет отличаться от времени земли Δt=γΔt', cоответственно и частота ν=γ-¹ν'
Но, что характерно, он увидел 3 поезда, значит в его СО ответ 40 мин, а вот в СО "земля" ответ неопределен.
@@sk220976 В задаче сказано "он заметил". Так что час и полчаса - это с точки зрения велосипедиста.
Смущает корректность принятия скорости велосипедиста за 1. Из уравнения с 2мя неизвесьными находим отношение скоростей. Может для решения и подходит, но в терминах математического решения некрасиво.
А как вам подобная задача:
Из точки "А" в точку "Б" (магазин) одновременно отправились двое: велосипедист и водитель на "мэрсе". Водитель домчал до магазина за одну минуту. 1 минуту истратил на покупку. Но. "Мэрс" сломался, он назад пошел пешком и его обратная скорость ровно в 2 раза меньше скорости велосипедиста.
Велосипедист же доехал за 10 минут. Тоже истратил 1 минуту на покупки и поехал обратно с прежней скоростью.
Кто из них вернётся раньше в точку "А". И на сколько?
Эту задачу действительно можно решить в уме. Без карандаша и бумаги!
Неправильная модель, и не помнить формулу Доплеровского смещения частоты для наблюдателя.
И в уме это предельно сложно удержать.
Есть частота следрвания электричек Ч. При движении навстречу частота 1/30 мин^-1, при движении попутно 1/60 мин^-1. Найти частоту для неподвижного наблюдвтеля.
Да уж, подловили инженера...
Так как задачка абсолютно линейная, имеет дело с линейными уравнениями, то логично было усреднить данные тахометра - импульсы с частотой в виде временных интервалов в полчаса и в час усреднить, что обратно в временном интервале даёт 45 минут - тут и думать не надо.
Задачка и правда линейная: (1/60 + 1/30) : 2 = 1/40.
Самоё смешное, что в уме неправильно сложил обратные величины:
1/(1/30+1/60)=20
Удобнее в часах:
1/(1/0.5+1/1)=1/3
Так как это встречная частота электричек, то умножаем на два.
Тогда результат получается.
Постановщик задачи подвёл школьников к этой идее, и это правильно, но подумать всё-таки стоило. Почему это не произошло - неужели это блиц и надо ответить за считанные секунды?
Думаю, сложность - обозначить скорость за единицу.
Это совсем не обязательно, можно и без этого обойтись.
@@schetnikovНаверное, я не вникал, ответил навскидку.
Всё неправильно, надо было сначала тендер выиграть, освоить его, а потом решать😂