Mathe RÄTSEL Geometrie - Kannst du es lösen?
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- Опубліковано 13 чер 2024
- Mathe Rätsel Geometrie
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne)
wie man die fehlende Seite des Quadrates berechnen kann. Wir verwenden die Kongruenz von Dreiecken, um die Aufgabe zu lösen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel Geometrie
0:40 Lösung
2:05 Kongruente Dreiecke
6:39 Bis zum nächsten Video :)
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Mathe macht sehr viel Spaß mit Susanne! Solche Lehrer brauchen unsere Schulen. Herzlichen Dank!
Mit diesem Lächeln wird Gehirn-Jogging zum Genuss. Danke.
Habe ich im Kopf nach einer Minute ausgerechnet, da die Linien im Quadrat rechtwinklig aufeinander stehen. Was ich bei Ihnen gelernt habe ist das "SEHEN" und das "HERANGEHEN" an eine Aufgabe. Klasse.
Kompliment! Das ganze ohne große Formeln, einfach nur durch Überlegung - super! Da war ich nur noch Zuschauer...
Sehr schöne kleine Aufgabe. Danke, wie immer toll.
einfach geil deine Lösungen
Wenn zwei Geraden in einem Quadrat senkrecht zueinander stehen (und beide jeweils die gegenüberliegenden Quadratseiten schneiden, wandern sie von einer Seite zur anderen jeweils gleich weit. Somit ist die Summe des Rests auch gleich. Also muss wegen 6 + 4 = 10 auch x + 7 = 10 gelten. Somit ist x = 3 die Antwort.
So hab ich das auch auf den ersten Blick rausgehabt, ohne langwieriges Rumgerechne... 🤔
@@charliecurjar1734 same
Viele Dinge lassen sich auf einen Blick erkennen. Aber; "sieht man", "das ist so", ist kein mathematischer Beweis. In der Mathematik wird alles bis in kleinste Details zerlegt, bis man bei trivialen Axiomen angekommen ist. Wurde einmal ein Zusammenhang bewiesen und als Satz formuliert, kann man sich in der Beweiskette darauf berufen.
Das hat Susanne par excellence per Stufen-, Wechsel-, Gegenwinkelsätze gezeigt und somit 6+4 = x+7 bewiesen. Man kann es auch anders über Winkelrechnung +- 90° beweisen.
Schöne logische Aufgabe, danke.
Freut mich, dass sie dir gefällt! 🥰
meine Ganze Schulzeit lang war Mathe für mich ein Alptraum, doch jetzt macht es mir Spaß! DANKE!!!!!!!
Hi, hatte es mit einem Blick gelöst.
Weil der Schnittpunkt rechtwinklig ist und die zwei Linien sich in einem Quadrat (=Rechtwinklig) befinden, somit verschieben sich die abstände außen immer proportional zueinander. = 7 + x = 6 + 4
Und zur exakten Seitenlänge des Quadrat fehlt ein Parameter wenn ich mich nicht irre.
Hast eine sehr interessante Herangehensweise, wäre interessant mit einer Komplexeren Aufgabenstellung.
Eine tolle Sache, es macht immer wieder Spaß die Sachen anzuschauen. Da werde ich bald mal wieder Zettel und Bleistift herausholen 😊
Vielen Dank nochmal.
Vielen Dank! Ihre Videos sind wie leckere Häppchen für den Gedankenapperat. Bitte fahren Sie damit weiter, ich freue mich jedes Mal!
Ganz schön kompliziert! Auf jeden Fall Danke.
Es geht auch ohne Kongruenzsatz.
Man kann die Aufgabe auch grafisch lösen. Schneiden Sie das Quadrat entlang den kreuzenden Linien in 4 Teile. Setzen Sie die 4 Teile zu einem neuen Quadrat zusammen. Im neuen Quadrat bilden die 3 bekannten Strecken und die unbekannte die neuen Schnittlinien. Die eine Linie besteht aus 6m +4m. Da die Schnittlinien im Quadrat ebenfalls gleich lang sind, ist das unbekannte Stück somit (6m+4m) -7m, also3m..
toll gelöst, vielen Dank!
Hab's bis auf die Kongruenz genau so gemacht. Sei Gamma der spitze Winkel in einem der Vierecke. Dann ist der stumpfe Winkel im Nachbarviereck Nebenwinkel zu Gamma. Aus der Winkelsumme im Viereck und den beiden rechten Winkeln folgt: - der spitze Winkel des Nachbarviereck ist gleich Gamma. Reihum folgt: - alle spitzen und stumpfen Winkel sind gleich groß. Also sind die Dreiecke kongruent.
Wenn es für mich zu kompliziert wird, lass ich immer Susanne weiterrechnen! 🤗
Habe verschlafen, nachdem ich wochenlang zu hart gearbeitet habe. Hunde bildeten ein Beschwerdekomitee und kamen an mein Bett - die Deutsche Dogge übernahm es, der Sprecher zu sein und machte ihre Bedenken kund, indem sie „Wuff!“ bei voller Lautstärke sagte. (Deutsche Schäferhund blieb artgemäss ruhig.) Im Radio hieß es, es sei neun (in Deutschland schon zehn!). Schöne Leckereien für Hunde und im Wohnzimmer brannte noch das Feuer (im schottischen Hochland ist es kälter!). Dein elegantes kleines Rätsel wartete auf mich - doch ich hatte erst eine Tasse starken Kaffee getrunken und war noch nicht richtig wach. Aber danke - noch eine Tasse und ich bin bereit für die nächste!
Das ist nice, die Aufgabe gefällt mir 😊
Sehr coole Aufgabe!
Durch Parallelverschiebung der Diagonalen kann man oben gleich ablesen das eine Seite des Quadrats 16 lang sein muss und bei der anderen Seite kann man sofort die 13 LE ablesen, wenn man davon ausgeht, dass es ganzzahlig ist zieht man den kleinen teil also die 1 von der 8 ab und hat 13 als LE und 16-13 = 3, allerdings weiss ich nicht so ganz ob das als "berechnen" gilt haha
Du hast sehr ausführlich begründet, warum die Dreiecke gleich groß sind. Alles fein, denn du hast Winkelbeziehungen und Kongruenzsätze verwendet. Ich frage mich gerade, ob eine Rotation um 90° des rechtwinkligen Dreiecks mit einer übereinstimmender Seitenlänge auch "ausreicht". Mathematisch würde ich sagen, ja. Als Lehrer müsste ich in einem Test dann hier darauf achten die Aufgabe so zu formulieren, dass mir die Schüler die Begründung mit Hilfe der von dir verwendeten Aussagen geben.
Gute Frage! Ja, die Rotation reicht auch aus. Zumindest hier bei einem Quadrat, weil die beiden Hypothenusen senkrecht aufeinander stehen. Nur ist hier der Drehpunkt der Rotation nicht in ihrem Schnittpunkt. Doch das ist unwichtig.
Manchmal hilft es bei solchen Aufgaben wenn man nicht weiter weiß, alles hinzusschreiben, was man so über die geometrische Figur weiß oder einfällt. Kongruenz hatte ich in der Schule, das hilft bei solchen Aufgaben enorm
Man kann auch sagen: Die Steigung der orangen Hypothenuse ist m, die der Senkrechten dazu -1/m.
Durch 90°-Drehung vertauschen sich die Steigungen, für die senkrecht zueinander stehenden Kanten des Quadrats gilt das gleiche; hier stehen sie auch noch parallel zur x- bzw. y-Achse. Folglich muß die orange Hypothenuse den gleichen Winkel zu allen Parallelen der x-Achse bilden wie die grüne Hypothenuse zur y-Achse. (Oder man beweist es über atan / acot.) Somit gilt die Ähnlichkeit (bzw. weiterführend Kongruent) der Dreiecke für alle senkrecht zueinander stehenden Schittgeraden.
Weiter kann man argumentieren, daß die linearen Funktionen mit gleicher Steigung bei gleichem Interval (Seitenlänge des Quadrats) auch gleich stark wachsen, somit müssen a und b gleich sein.
👍
Geometrie, bäh! ;-)
Das geht auch komplizierter so:
Die Länge des Quadrates bezeichnen wir mit q, das gesuchte Teilstück mit a. Die restlichen unbekannten „Teilstücke“ sind q-a, q-4, q-6 und q-7. Die linke Seite des Quadrats sei die Ordinate und die untere Seite des Quadrats die Abszisse. Der linke untere Eckpunkt liegt also im Ursprung.
Wir ermitteln zunächst die Steigungen beider Geradengleichungen.
Y =m1*x+b1
Gegeben sind die Punkte (4|q) und (q-6|0). Setzt man diese Werte in die Geradengleichung ein, ergibt sich:
q=m1*4+b1 sowie
0=m1*(q-6)+b1
Durch Subtraktion ergibt sich:
q=m1*4-m1*(q-6)
Daraus folgt: m1=q/4-q+6 oder m1=q/(-q+10)
Y=m2*x+b2
Gegeben sind die Punkte (0|7) und (q|q-a). Setzt man diese Werte in die Geradengleichung ein, ergibt sich:
7= m2*0+b => b=7
q-a=m2*q+b bzw. durch Einsetzen q-a=m2*q+7. Daraus folgt:
m2=(q-a-7)/q
Nun gilt für die Steigungen zweier Geraden, die sich im rechten Winkel schneiden: m1*m2=-1. In unserem Fall also:
[q/(-q+10)]*[(q-a-7)/q ]=-1
q kürzt sich einmal weg, so dass folgt:
[1/(-q+10)]*(q-a-7)=-1
Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit (-q+10) ergibt sich:
q-a-7=(-1)*(-q+10) oder
q-a-7=q-10
Minus q ergibt
-a-7=-10
Mal -1 ergibt
a+7=10
und daraus
a=3
Das ist doch viel einfacher, als der geometrische Firlefanz. ;-)
Interessante Aufgabe, wenn man diverse Gleichungen aufstellt, kommt man schwierig weiter, somit habe ich mir dem Kongruenzsatz gearbeitet, allerdings die Basis von dem einen Dreieck war auf der linken Seite gewesen, demnach:
Beide sind rechtwinklige Dreiecke, α=90°
die Höhen der beiden Dreiecke sind gleich und der Länge des Quadrats identisch= a
der dritte Winkel β lässt sich ebenfalls für die beiden Dreiecke zeigen:
Die Seite des Quadrats: a
Die Basis von dem Dreieck: a-x-7
das andere Dreieck, die Basis: a-4-6 = a-10
die Basis sind identisch:
a-x-7= a-10
x= 10-7
x= 3 m ist die Lösung 🙂
Lösung:
3m, kurz im Kopf berechnet.
Da sich die zwei Linien im rechten Winkel schneiden, sind sie - genauso wie das Quadrat - 90°-Punktsymmetrisch.
Wenn man also je eine Hilfslinie zieht um aus den Linien rechtwinklige Dreieck zu machen, sind diese absolut identisch, nur um 90° gedreht.
Die Breite des Quadrats setzt sich aus 4m + 6m = 10m und der kurzen Seite des Dreiecks zusammen.
Bei der Höhe des Quadrats haben wir nur diese kurze Seite und 7m. Daher muss die fehlende Strecke 3m sein, um die 10m zu komplettieren.
Hallo, ich habe einfach die Steigungen der beiden senkrecht aufeinander stehenden Geraden benutzt, die Seitenlänge des Quadrats mit s bezeichnet und den Nullpunkt auf die Ecke des Quadrates links unten gesetzt. Die Gerade 1 geht durch die Punkte (x=4,y=s) und (s-6,0), die Gerade 2 durch (0,7) und (s,s-x).
Damit hat G1 die Steigung (0-s)/(s-6-4) = -s/(s-10) . Zwei senkrecht aufeinander stehende Geraden haben ein Steigungsprodukt von -1 .
Somit hat G2 die Steigung (s-10)/s . Und es ist (s-x-7)/(s-0) = (s-10)/s s-x-7 = s-10 x+7 = 10 x = 3 .
Nice! tan(δ) = (a - 10)/a = (a - (7 + x))/a → x = 3
Schöne Aufgabe bin heute mit maximaler Bravour gescheitert
War zu logisch einfach😂
Da die jeweilige Kathete der beiden Dreiecke, welche der Seitenlänge des Quadrates entspricht, um 90° gedreht ist und gleichzeitig auch die Hypothenuse der Dreiecke ebenfalls um 90° gedreht wird, muss auch der spitze Winkel Alpha der Dreiecke identisch sein. So habe ich mir die Konkruenz hergeleitet.
Nach einer Achsendrehung der gekennzeichneten Linien um 18°, entstehen tatsächlich durch Achsenspiegelung beweisbar, zwei konkruente Dreiecke, mit welchen man über den Cosinus (mal wieder) alle restlichen Teillängen des großen Quadrats ermitteln kann. Somit habe ich eine Quadrat-Seitenlänge von 15 erhalten und die gefragte Teillänge beträgt bei meiner Zeichnung 3m.
Meine Lösung war auf dem ersten Blick schon 3. Ich habe die waagerechte querlinie im quadrat nach unten geschoben bis aus der 7 eine 6 wurde, dadurch wird x zu einer 4, wenn man die linie zurückschiebt wird x zu einer 3. Durch den rechten Winkel hat es sich richtig angefühlt, ich kann es nur nicht beweisen. Hätte gehofft das Susanne es so erklärt. Vielleicht kannst du es ja nochmal machen? Oder erklären warum mein Gedanke falsch ist? Liebe Grüße und Danke
die 2 spitzen Winkel sind gleich weil die Seiten sich im rechten Winkel schneiden ...
Schön farbenfroh heute👍
Ich gebe mir Mühe 😜
Wirklich toll‼ Wie kommst du nur auf die Beispiele? Sehr interessant.
Sie hat es doch erwähnt: Spiegel Online hat das Rätsel gepostet.
@@N7OmniTool Hatte ich wohl überhört, danke für die Info 👍
Ich habe das liegende Dreieck um 90° nach links gedreht. Dann hat man zwei parallele Linien. Die eine mit 6m Abstand von rechts, die andere mit 7m. oben sind dann 4m und a m gegeben. Da die zweite Linie aber einfach um einen Meter nach links verschoben ist, muss die gesuchte Länge 3 m sein.
Kongruent? Noch nie gehört. Kenne zwar solche Aufgaben aber dieser Begriff war mir neu.
Es war zwar nicht gefragt.
Ich hätte es schön gefunden, auch, wenn es trivial ist, auch noch a und die Seitenlänge des Quadrates zu berechnen.
Wie groß ist denn die gesamt Länge bzw wie groß ist den a? Weil egal wie man es rechnet kommt a 0 raus.?
Man konnte schon durch die rechten Winkel erkennen, dass das hier a genannte Stück auf beiden Quadratseiten gleich lang ist, weshalb man auch im Kopf schnell auf die Lösung x = 3 kommen kann.
Wenn man die Hypotenuse des Dreiecks um 90° dreht, dreht sich ja die gesamte Figur mit, ohne sich dabei zu verformen, also bleiben alle Seiten und alle Winkel auch nach der Drehung gleich groß.
Habe eine ganze Weile gegrübelt, wie man es leicht und verständlich formulieren könnte - ist mir das gelungen?
❤liche Grüße!
Ich finde den Beweis für die (bis auf die Orientierung auf der Fläche) identischen Dreiecke ein wenig aufwändig.
Die obere seute des Quadrates ist im Vergleich zur linken um 90 Grad verdreht. Die nicht horizontal oder vertikal verlaufenden Linien (Hypotenuse) der beiden Dreiecke sind gegeneinander um 90 Grad verdreht.
Vorzeichen passt auch?
Fein identisch.
PS. Also die Winkel und damit auch die Dreiecke.
PS2
Die Aufgabe war aber wirklich schön.
Ich war schon nahe an der Lösung dran, indem ich das Kreuz innerhalb des Quadrats parallel zu den Seiten des Quadrats gedreht habe. Die Skizze ist ja wieder überhaupt nicht maßstäblich. Aber auch die Rechnung scheint mir zu zeigen, dass die Variable a irrelevant ist. Also eine Seitenlänge ist immer 4 + 6 + a = 3 + 7 +a. Die Mindestseitenlänge ist 10, wenn a 0 ist. Mit a wird das Quadrat größer und das Kreuz neigt sich zur Seite. Anscheinend kann man bei dieser Anordnung mit 3 gegebenen Seitenabschnitten immer auf den vierten Abschnitt schließen. 4 + 6 - 7 = 3
Lösung:
a = Seite des Quadrates.
Wenn man die eher senkrechte, schräge Strecke um 4[m] parallel nach links verschiebt, erhält man unten die kurze, waagerechte Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Maß a[m]-(4[m]+6[m]) = a[m]-10[m]. Dieselbe kurze Kathete erhält man, wenn man die eher waagerechte, schräge Strecke um 7[m] nach unten verschiebt als senkrechte Kathete. Nun gilt für die rechte Seite des Quadrates:
?[m]+a[m]-10[m]+7[m] = a[m] |-a[m] ⟹
?[m]-3[m] = 0[m] |+3[m] ⟹
?[m] = 3[m] ⟹ Das ? ist also 3[m] lang.
4m -1m = 3m
6m +1m = 7m
Die Relation stimmt.
Bin ungefähr genauso vorgegangen.
"ungefähr genauso"
🤣🤣🤣🤣🤣
@@Grossknecht55 ???
Ja
Wenn ich die Linie mit 4 m Abstand zum linken Rand und 6 m zum rechten um 1 m nach links verschiebe, dann habe ich 7 m Abstand unten und 3 m oben... Lässt sich bei dieser Aufgabe voll auf die rechte Seite übertragen😊 Auf diese Weise würde diese Aufgabe jeder Handwerker zu lösen versuchen. Ohne diese ganzen komplizierten Berechnungen😊
Meine Logik sagte mir, bei rechten Winkeln muss 7+x=6+4 sein. Somit habe ich sehr schnell 3 geraten. War das zu einfach gedacht?
Ja, den in vielen Fällen kommt dann ein Ergebnis wie 3,1 oder so raus, hier aber nicht.
Lehrer:"Wer mir jetzt noch sagen kann wie groß (a) ist, bekommt ein Plus zusätzlich".
a ist beliebig größer gleich 0
Wenn ich die Gleichung richtig verstehe, dann kann a beliebig groß sein, wobei es aber immer 10m kürzer als die Quadrat-Seitenlänge ist.
4+6=10 ... 7+x=10 ... x=3 :-E
Ganz einfach. Man verbreitet die 6 auf 7, dann reduziert sich die 4 auf 3🧐😏
auf diese einfache Lösung bin ich nicht gekommen, schon garnicht sehe ich aus den rechten Winkeln auf Anhieb eine Lösung
Schattenwurf + 4m + 6m = Schattenwurf + 7m + x
😳😳😳
komisch man kann für a jede Zahl einsetzen von null bis unendlich 4+6=7+3
Wieso so kompliziert? Der rechte Winkel in der Mitte besagt doch eine Äquivalenz wenn unten 6 m und oben 4 m sind dann gilt um 90° verschoben das ganze auch seitlich. Also wenn links 7 m sind, dann sind es rechts logischerweise 3 m. Da musste man gar nicht rechnen.
Was bitte bedeutet WSW?
Winkel-Seite-Winkel
Winkel, Seite, Winkel. Susanne hat außerdem gesagt, dass es sich dabei um einen der Kongruenzsätze handelt.
de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzsatz
Vielen Dank für die Antworten.
Google sagt: Wuppertaler Stadtwerke. Was das jetzt aber mit Dreiecken zu tun hat, erschließt sich mir nicht. 😀
Das geht viiiel einfacher. Es ist vollkommen invariant wie die kreuzenden Geraden liegen. WIr drehen die einfach so (im Uhrzeigersinn), dass sie senkrecht auf den Quadratseiten stehen. Dann folgt:
4+6=10=7+x
also
x=3 m
fertig aus.
.. und wieviel ist a?..😪
Naaaa? Ist das Ergebnis vllt. 3? Ohne viel zu rechnen?
Aus den beiden Schrägen im Quadrat lassen sich kongruente Dreieche bilden, deren relevante Strecken die Außenkanten ergänzen, welche gleich lang sind (x), weil Dreiecke kongruent.
6+4+x=7+y+x... das x fällt dank gleicher Vorzeichen raus also bleibt 6+4=7+y also gilt y=6+4-7=3.
Aber nee... andere Lösungswege wollen mir nicht einfallen, weil zu kompliziert. Dass die beiden entstehenden Dreiecke kongruent sind, kann man sich für gleiche Situationen merken und die nächsten Aufgaben dieser Art einfach nur durch Hinschauen lösen.
Kannst du zeigen wie man brüche in natürliche zahlen umwandelt Klasse 6 bitte bitte bitte bitte bitte das würde mich retten 😢❤
Äh, 4 m + 6 m - 7 m = 3 m. Was soll daran schwer sein?
3 ist ja sonnenklar, denn 4 + 6 ist 10, und 10 minus 7 ist 3. Durch den rechten Winkel, mit dem sich die beiden Geraden schneiden, und die quadratische Gesamtfläche, kann es gar nicht anders sein.
Edit: Manchmal sollte man wirklich ein wenig runterscrollen, bevor man selbst was schreibt. Hätte ich mir den ganzen Beitrag sparen können.
Solche Beispiele mit rechten Winkeln sind ja fast immer mit dem Satz des Pythagoras zu lösen, oder?
Edit: Ok, du hast quasi den Beweis so ausführlich wie möglich gemacht, geht auch lol
Aus dem Bauch heraus... ohne jegliche mathematische Grundlage: 3 :) (weil 4+6-7=3)
Bin mal gespannt, wie daneben die Antwort wirklich war :D
ich habe aus genau dem selben Grund einfach so 3 gesagt :D
Was ist Geometrie!?
Was sind Kongruente Dreiecke!?
WSW
@profihandwerker:
Geometrie:
Vermessung der Erde
Kongruente Dreiecke:
Deckungsgleiche Dreiecke (alle 3 Seiten gleich lang)
WSW:
"Winkel Seite Winkel". Ein Kongruenzsatz, der besagt: wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln und einer Seite übereinstimmen, sind sie deckungsgleich oder "kongruent".
🙂👻
@@roland3et Danke für die Antwort. Ist mir trotzdem alles noch zu kompliziert.
Heute sind aber viele Bots im Kanal.
Na dann mal los
Viel Spaß 😜
Herr Schmidt ist besser er schreibt auf ECHT papier 😂😂😂😂😂 Lehrer Schmidt Lehrer Schmidt