Ich fand deine Videos zu den komplexen Zahlen sehr spannend, kannst du mehr darüber reden, wie manchen Zusammenhänge wie z.B. die eulersche Formel entdeckt wurden?
Danke für die Erwähnung :). Den geometrischen Weg kannte ich noch nicht, wirklich einfallsreich. Ich hatte damals einen anderen Weg gezeigt bekommen: Schritt 1. Jede Quadratzahl lässt sich durch die Summe von aufsteigenden ungeraden Zahlen darstellen: 1^2=1, 2^2=1+3, 3^2=1+3+5 etc. So bilde ich jetzt mal ein Dreieck: 1 1 3 1 3 5 Die Summe aller Elemente in diesem Dreieck sind 1^2+2^2+3^2. Jetzt kann ich es abzählen, aber noch nicht berechnen. Schritt 2. Das war der (für mich) überraschend kreative Schritt: Ich schreibe das Dreieck dreimal hin, aber mit unterschiedlicher Anordnung: einmal gespiegelt, und einmal gekippt. 1 1 5 1 3 3 1 3 3 1 3 5 5 3 1 1 1 1 Die Summe der ersten Reihe ergibt 1+1+5=7. Summe des jeweils linken Elements der 2. Reihe ergibt: 1+3+3=7. Hoppla, das gilt ja für alle Elemente an den entsprechenden Positionen. Es ergibt sich immer 7. Das sollte man doch nutzen können :D Schritt 3: Anzahl der Elemente im Dreieck, also an der Spitze 1 Element, dann zwei Elemente, dann drei = 6 Elemente (also Summe i für i= 1 bis 3 ... das ist die Formel von Klein Gauss n*(n+1)/2). Das jetzt multipliziert mit der 7 (dem kleinsten Element, der Eins, plus nochmal der Eins, plus dem größten Element (n*2-1). Und das Ganze jetzt durch 3 teilen, da ich ja das Dreieck dreimal aufgeschrieben habe. Und somit habe ich das Ergebnis der Summe der Quadratzahlen von 1 bis 3. Schritt 4: Formel zusammenfassen (n*(n+1)/2 * (2+(n*2-1)))/3 (n*(n+1) * (2n +1))/6 Heureka :D
- Also die Pyramidenveranschaulichung ist einfach nur nervig: Da wird dann für die Halbwürfel 6:56 schon wieder eine (wenn auch berühmte) "Blackbox" aus der Formelsammlung vorausgesetzt ("Gauß-Formel"). Für die eingangs erwähnte Integralberechnung gleicht das einer Gebrauchsanweisung, die auf einer Detail-Gebrauchsanweisung basiert, die auf einer Detail-Gebrauchsanweisung basiert. Was in Norm-Hierarchien üblich und lästig genug ist, sollte in "YT-Tutorials" wirklich nicht der Maßstab sein! - Auch der Induktionsbeweis krankt ein wenig daran: Das Faktorisieren 4:03 mußte ich auch erst mal rekapitulieren, d.h. um selbst auf (n+2)(2n+3) zu kommen - also nicht nur bestätigen per Ausklammern des Ergebnisses - , sind noch mal locker 15-20 Minuten draufgegangen. Auch nervig! Das Abkürzen einer Beweisführung behindert das Nachvollziehen des Beweises, und darum geht es dem Zuschauer doch wohl? (Daher sollte bei 0:26 nicht der "Beweis" angekündigt werden, sondern nur dessen Skizze.) Fazit: Ist ja alles richtig und am Ende auch nachvollziehbar, ABER: Deine Videos sind einfach zu "holprig", zu "unrund"!
"Für die eingangs erwähnte Integralberechnung gleicht das einer Gebrauchsanweisung, die auf einer Detail-Gebrauchsanweisung basiert, die auf einer Detail-Gebrauchsanweisung basiert." Genau so funktioniert Mathematik aber nunmal meistens: Man leitet neue Sachen her, indem man sie auf bereits bekannte Sachen zurückführt!
Eine Herleitung, die ich kenne, und die auch für höhere Potenzen funktioniert: Man setzt an, dass die Summe der k-ten Potenzen ein Polynom vom Grad k+1 in n ist (den Ansatz müsste man natürlich erst mal begründen, ich weiß leider nicht, wie). Im Beispiel hier: Summe_{i=1}^n i² = a_3 n³ + a_2 n³ + a_1 n + a_0 = f(n) Offensichtlich muss gelten: f(n) - f(n-1) = n³ Ansatz einsetzen: a_3 n³ + a_2 n² + a_1 n + a_0 - (a_3 (n-1)³ + a_2 (n-1)² + a_1 (n-1) + a_0) = n³ Klammern auflösen und zusammenfassen... 3 a_3 n² - 3 a_3 n + a_3 + 2 a_2 n + a_2 + a_1 = n² Diese Gleichung muss für alle Werte von n gelten, also müssen alle Koeffizienten jeweils auf beiden Seiten gleich sein: 3 a_3 = 1; - 3a_3 + 2 a_2 = 0; a_3 + a_2 + a_1 = 0. Dieses Gleichungssystem kann man nun leicht lösen... a_3 = 1/3; a_2 = 1/2; a_1 = 1/6 Am Schluss bestimtm man noch a_0 aus der Bedingung f(1) = 1 = a_3 + a_2 + a_1 + a_0, also a_0 = 0. Damit ist also: Summe_{i=1}^n i² = 1/3 n³ + 1/2 n³ + 1/6 n, was man mittels faktorisieren nun wieder so wie das Ergebnis im Video schreiben kann.
Ich fand deine Videos zu den komplexen Zahlen sehr spannend, kannst du mehr darüber reden, wie manchen Zusammenhänge wie z.B. die eulersche Formel entdeckt wurden?
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Danke für die Erwähnung :). Den geometrischen Weg kannte ich noch nicht, wirklich einfallsreich.
Ich hatte damals einen anderen Weg gezeigt bekommen:
Schritt 1. Jede Quadratzahl lässt sich durch die Summe von aufsteigenden ungeraden Zahlen darstellen: 1^2=1, 2^2=1+3, 3^2=1+3+5 etc. So bilde ich jetzt mal ein Dreieck:
1
1 3
1 3 5
Die Summe aller Elemente in diesem Dreieck sind 1^2+2^2+3^2. Jetzt kann ich es abzählen, aber noch nicht berechnen.
Schritt 2. Das war der (für mich) überraschend kreative Schritt: Ich schreibe das Dreieck dreimal hin, aber mit unterschiedlicher Anordnung: einmal gespiegelt, und einmal gekippt.
1 1 5
1 3 3 1 3 3
1 3 5 5 3 1 1 1 1
Die Summe der ersten Reihe ergibt 1+1+5=7. Summe des jeweils linken Elements der 2. Reihe ergibt: 1+3+3=7. Hoppla, das gilt ja für alle Elemente an den entsprechenden Positionen. Es ergibt sich immer 7. Das sollte man doch nutzen können :D
Schritt 3: Anzahl der Elemente im Dreieck, also an der Spitze 1 Element, dann zwei Elemente, dann drei = 6 Elemente (also Summe i für i= 1 bis 3 ... das ist die Formel von Klein Gauss n*(n+1)/2). Das jetzt multipliziert mit der 7 (dem kleinsten Element, der Eins, plus nochmal der Eins, plus dem größten Element (n*2-1). Und das Ganze jetzt durch 3 teilen, da ich ja das Dreieck dreimal aufgeschrieben habe. Und somit habe ich das Ergebnis der Summe der Quadratzahlen von 1 bis 3.
Schritt 4: Formel zusammenfassen
(n*(n+1)/2 * (2+(n*2-1)))/3
(n*(n+1) * (2n +1))/6
Heureka :D
Vollständige Induktion
- Also die Pyramidenveranschaulichung ist einfach nur nervig: Da wird dann für die Halbwürfel 6:56 schon wieder eine (wenn auch berühmte) "Blackbox" aus der Formelsammlung vorausgesetzt ("Gauß-Formel"). Für die eingangs erwähnte Integralberechnung gleicht das einer Gebrauchsanweisung, die auf einer Detail-Gebrauchsanweisung basiert, die auf einer Detail-Gebrauchsanweisung basiert. Was in Norm-Hierarchien üblich und lästig genug ist, sollte in "YT-Tutorials" wirklich nicht der Maßstab sein!
- Auch der Induktionsbeweis krankt ein wenig daran: Das Faktorisieren 4:03 mußte ich auch erst mal rekapitulieren, d.h. um selbst auf (n+2)(2n+3) zu kommen - also nicht nur bestätigen per Ausklammern des Ergebnisses - , sind noch mal locker 15-20 Minuten draufgegangen. Auch nervig! Das Abkürzen einer Beweisführung behindert das Nachvollziehen des Beweises, und darum geht es dem Zuschauer doch wohl? (Daher sollte bei 0:26 nicht der "Beweis" angekündigt werden, sondern nur dessen Skizze.)
Fazit: Ist ja alles richtig und am Ende auch nachvollziehbar, ABER: Deine Videos sind einfach zu "holprig", zu "unrund"!
"Für die eingangs erwähnte Integralberechnung gleicht das einer Gebrauchsanweisung, die auf einer Detail-Gebrauchsanweisung basiert, die auf einer Detail-Gebrauchsanweisung basiert."
Genau so funktioniert Mathematik aber nunmal meistens: Man leitet neue Sachen her, indem man sie auf bereits bekannte Sachen zurückführt!
Eine Herleitung, die ich kenne, und die auch für höhere Potenzen funktioniert: Man setzt an, dass die Summe der k-ten Potenzen ein Polynom vom Grad k+1 in n ist (den Ansatz müsste man natürlich erst mal begründen, ich weiß leider nicht, wie).
Im Beispiel hier: Summe_{i=1}^n i² = a_3 n³ + a_2 n³ + a_1 n + a_0 = f(n)
Offensichtlich muss gelten: f(n) - f(n-1) = n³
Ansatz einsetzen: a_3 n³ + a_2 n² + a_1 n + a_0 - (a_3 (n-1)³ + a_2 (n-1)² + a_1 (n-1) + a_0) = n³
Klammern auflösen und zusammenfassen... 3 a_3 n² - 3 a_3 n + a_3 + 2 a_2 n + a_2 + a_1 = n²
Diese Gleichung muss für alle Werte von n gelten, also müssen alle Koeffizienten jeweils auf beiden Seiten gleich sein: 3 a_3 = 1; - 3a_3 + 2 a_2 = 0; a_3 + a_2 + a_1 = 0. Dieses Gleichungssystem kann man nun leicht lösen... a_3 = 1/3; a_2 = 1/2; a_1 = 1/6
Am Schluss bestimtm man noch a_0 aus der Bedingung f(1) = 1 = a_3 + a_2 + a_1 + a_0, also a_0 = 0.
Damit ist also: Summe_{i=1}^n i² = 1/3 n³ + 1/2 n³ + 1/6 n, was man mittels faktorisieren nun wieder so wie das Ergebnis im Video schreiben kann.