Записав общий член последовательности в виде разности мы преобразуем сумму к телескопическому виду, где все, кроме первого и последнего слагаемого взаимоуничтожатся.
В ряд Тейлора e(x)/x= 1/x + 1+ x**n/(n+1)! ; берём производную e(x)/x ; x=1 ; производная =0 ; дифференцируем ряд телора в точке x =1 приравниваем к нулю и находим ряд в точке x=1
Меня настораживают всевозможные манипуляции с суммами *бесконечных последовательностей!* При определенном умении можно получить любой результат вспомните знаменитое док-во суммы всех натуральных чисел равное -1/12
Все хорошо, только предел разности не равен разности пределов. Предел разности равен разности пределов, когда каждый член разности сходится. Важный ньюанс.
Да, переходы, конечно, желательно было бы обосновать более строго, иначе 0 + 0 + 0 + ... можно посчитать как (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... После приведения к виду ∑ₙ᪲₌₁(1/n! − 1/(n+1)!) можно было бы заметить, что данный ряд сходится абсолютно, т.к. ∑ₙ᪲₌₁1/n! = e − 1 ∑ₙ᪲₌₁1/(n+1)! = e − 2 и мы, соответственно, можем перегруппировать члены ряда и получить ∑ₙ᪲₌₁n/(n+1)! = (e − 1) − (e − 2) = 1.
@@allozovsky я думаю, что автор ролика не привлекал ряды чтобы было понятно первокурсникам, которые только приступили к изучению пределов. Ряды иногда и на втором курсе проходят, в зависимости от программы. С рядами оно конечно интересней:))
Я так понимаю, во всех подобных случаях нужно преобразовать всю сумму так, чтобы осталось слагаемое из первого и последнего члена и с ними производить дальнейшие, уже не сложные, манипуляции?
Решил по другому, но в ролике решение лучше и проще. А решил так: Эти факториалы в знаменателе напомнили разложение eˣ ряд Тейлора S = 0/1! + 1/2! + 2/3! + 3/4! + ... e = 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... S+e = 1/1! + 2/2! + 3/3! + 4/4! + ... = = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = = 1 + e S+e = 1+ e => S = 1
Довольно изящно (и по сути повторяет решение автора), только e = ∑ₙ᪲₌₀1/n! = 1/0! + 1/1! + 1/2! + ..., так что последнее уравнение принимает вид S + (e − 1) = e, откуда получаем S = 1.
Факториал из (n+1) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до (n+1). Если провести мысленно подобную замену, то множитель (n+1) в исходной дроби сократится, а если посмотреть на то, что осталось в знаменателе, то это будет факториал n по определению 😉
А где-то там всякие Конвеи говорят, что есть разные бесконечности, хотя тут видно, что они равны... Эх эта математика. Один Гёдель был толковый парняга
А скока будет бесконечность умножить на ноль и куда исчезли остальные члены прогрессии? Куда исчезли? Они ничто при последнем: члене бесконечность/(бесконечность+1) и с чем это не суммируй с бесконечным количеством членов - результата не получишь - членов бесконечное множество. Можно лишь договориться с другими о приемлемом решении.
@@SHIZ584 Пределы чего? При стремящемся к нулю понимаю - невообразимо малое число перед дыркой на числовой оси. А что такое бесконечность? Их никто и не считает - договорняк и все.
@@СашаКовалев-я8с Чтобы присвоить числовому ряду значение суммы, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене. Если последовательность частичных сумм имеет предел (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна S. При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится. Для выяснения ключевого в анализе вопроса, сходится или нет заданный ряд, предложены многочисленные признаки сходимости.
Ноль поделить на ноль, ноль в нулевой степени - тут математики договориться между собой не могут, а с нулем тем более. Есть два разрыва привычного нам мира: ноль и бесконечность. Для удобства берем предел и все равняем единице - это нам понятно. Но это не верно.
Пределы как раз и делают для того, чтобы находить эти неопределенности по типу ∞/∞. И кстати я на калькуляторе проверил и при достаточно больших n калькулятор начинает округлять до единицы, при n = 36 сумма становится равна 0.99999999999999999999999999999999999999999993
@@mastermaths4929 Хорошая шутка. Такими величинами удобно заполнять накладные: отгружено, ед.: 0/0 получено, ед.: 0/0 И не придерёшься - сколько отгрузили, столько и получили.
Как же просто,доступно и понятно. Спасибо,что нет замудренности. А простота быстро проникает в мозг и остаётся там надолго.
Вначале было похоже на 1/e, но потом все слагаемые сократились
Очень понятно и доступно, спасибо большое
Спасибо за нахождение предела.
Записав общий член последовательности в виде разности мы преобразуем сумму к телескопическому виду, где все, кроме первого и последнего слагаемого взаимоуничтожатся.
Великолепная решение поздравляю. Приветствую вас из Баку.
Я сначала даже обрадовался, что на этом канале появится разбор такого странного интеграла Римана с факториалами...
Очень толково!
Гениально даже как-то
Ну тут просто
k/(k+1)!=(k+1)/(k+1)!-1/(k+1)!=1/k!-1/(k+1)!
Поэтому в скобках стоит 1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+…+1/n!-1/(n+1)!=1-1/(n+1)!, что стремится к 1.
Гениально!
В ряд Тейлора e(x)/x= 1/x + 1+ x**n/(n+1)! ; берём производную e(x)/x ; x=1 ; производная =0 ; дифференцируем ряд телора в точке x =1 приравниваем к нулю и находим ряд в точке x=1
Как на 2:00 мы сократили первую дробь? Единица в числителе понятно, а n! нет, объясните, пожалуйста, то есть из (n + 1)! = n! при сокращении, это как?
(n+1)!=1∙2∙3∙...∙(n-1)∙n∙(n+1)=(n!)∙(n+1), то есть (n+1)/(n+1)!=(n+1)/((n!)∙(n+1))=1/n!
@@ValeryVolkov Валерий, большое спасибо, не сразу дошло
все четко и разборчиво
Чётко, ясно, все описано и учтено полное решение, спасибо!!!!!
Меня настораживают всевозможные манипуляции с суммами *бесконечных последовательностей!* При определенном умении можно получить любой результат вспомните знаменитое док-во суммы всех натуральных чисел равное -1/12
Ага, и начинается это с *предположения* о существовании предела у последовательности 1-1+1-1+1-1+1-1
С некоторыми бесконечными рядами все же можно проводить такие манипуляции
Спасибо за все
Мне непонятно, но я всё равно поставлю лайк, ахах.
Все хорошо, только предел разности не равен разности пределов. Предел разности равен разности пределов, когда каждый член разности сходится. Важный ньюанс.
Да, переходы, конечно, желательно было бы обосновать более строго, иначе 0 + 0 + 0 + ... можно посчитать как (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ...
После приведения к виду ∑ₙ᪲₌₁(1/n! − 1/(n+1)!) можно было бы заметить, что данный ряд сходится абсолютно, т.к.
∑ₙ᪲₌₁1/n! = e − 1
∑ₙ᪲₌₁1/(n+1)! = e − 2
и мы, соответственно, можем перегруппировать члены ряда и получить
∑ₙ᪲₌₁n/(n+1)!
= (e − 1) − (e − 2)
= 1.
@@allozovsky я думаю, что автор ролика не привлекал ряды чтобы было понятно первокурсникам, которые только приступили к изучению пределов. Ряды иногда и на втором курсе проходят, в зависимости от программы. С рядами оно конечно интересней:))
Я так понимаю, во всех подобных случаях нужно преобразовать всю сумму так, чтобы осталось слагаемое из первого и последнего члена и с ними производить дальнейшие, уже не сложные, манипуляции?
Предел стремиться к 1, но никогда сумма членов предела не будет равна 1. Как - то так.
Эмм, это кому-то не понятно? Обычно, это объясняют на вводных уроках про пределы. Но вообще-то сам предел равен единице.
Предел никуда не стремится, он точно равен 1. Это то, к чему стремится последовательность.
Решил по другому, но в ролике решение лучше и проще.
А решил так:
Эти факториалы в знаменателе напомнили разложение eˣ ряд Тейлора
S = 0/1! + 1/2! + 2/3! + 3/4! + ...
e = 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
S+e = 1/1! + 2/2! + 3/3! + 4/4! + ... =
= 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... =
= 1 + e
S+e = 1+ e => S = 1
Довольно изящно (и по сути повторяет решение автора), только e = ∑ₙ᪲₌₀1/n! = 1/0! + 1/1! + 1/2! + ..., так что последнее уравнение принимает вид S + (e − 1) = e, откуда получаем S = 1.
@@allozovsky да, упустил единицу в разложении e, спасибо.
Или можно было вместо буквы e, использовать другую букву, например, t
я такое делал,когда там не было факториала,а щас чот сразу не допёр)
(e-1)-(e-2)=1
30 секунд - и готово.
Почему я прочитал общий знак в знаменатель ка i, вместо факториал?
Кстати, ты забыл написать, что ответ 1.
Чем-то напомнило сумму всех целых положительных чисел... 🙄
Так где то я это уже видел...
Заходит в бар ℵ₀ математиков и первый заказывает 1/2! бокалов пива...
@@allozovsky так и запишем - толпа математиков не может выпить целый стакан
@@fantom_000 но стремится к этому
@@allozovsky но тем не менее каждый выпил сколько заказал, знают меру
👍👍👍👍👍👍
Это рпрекрасно
👍
А да?
А как вы сократили дробь (n+1) /(n+1)! ??? Разве так можно делать?
Факториал из (n+1) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до (n+1).
Если провести мысленно подобную замену, то множитель (n+1) в исходной дроби сократится, а если посмотреть на то, что осталось в знаменателе, то это будет факториал n по определению 😉
На глаз, lim = 1
А где-то там всякие Конвеи говорят, что есть разные бесконечности, хотя тут видно, что они равны... Эх эта математика. Один Гёдель был толковый парняга
А скока будет бесконечность умножить на ноль и куда исчезли остальные члены прогрессии? Куда исчезли? Они ничто при последнем: члене бесконечность/(бесконечность+1) и с чем это не суммируй с бесконечным количеством членов - результата не получишь - членов бесконечное множество. Можно лишь договориться с другими о приемлемом решении.
Вы пределы считать не умеете
Бесконечность - не число, её не с чем перемножать некорректно.
@@SHIZ584 Пределы чего? При стремящемся к нулю понимаю - невообразимо малое число перед дыркой на числовой оси. А что такое бесконечность? Их никто и не считает - договорняк и все.
@@agrd6762 Согласен, а также не корректно с чем-то складывать. Но у нас бесконечность плюс один в условии.
@@Бача-студент Почитайте книги, посвященные проблеме актуальной бесконечности. Должно помочь.
В данной последоательности нет предпоследнего и последнего члена
Данный предел находится через предел частичных сумм
@@fantom_000 а разве так корректно поступать с бесконечными рядами?
@@СашаКовалев-я8с Чтобы присвоить числовому ряду значение суммы, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене.
Если последовательность частичных сумм имеет предел (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна S. При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.
Для выяснения ключевого в анализе вопроса, сходится или нет заданный ряд, предложены многочисленные признаки сходимости.
Не хачу
Ноль поделить на ноль, ноль в нулевой степени - тут математики договориться между собой не могут, а с нулем тем более. Есть два разрыва привычного нам мира: ноль и бесконечность. Для удобства берем предел и все равняем единице - это нам понятно. Но это не верно.
Деление на ноль это не верно, но если число будет максимально близким к нулю, то будет бесконечность
Это верно, предел это и значит предел
Абсолютно с Вами согласен. Бесконечности не будет
Почитай про пределы, откроешь для себя много нового
Бесконечность разделить на бесконечность равна единице, я не согласен. Задача решения не имеет. Это как 0^0=1, вроде бы да, но не всегда.
Хотите сказать, что предела не существует?
Пределы как раз и делают для того, чтобы находить эти неопределенности по типу ∞/∞.
И кстати я на калькуляторе проверил и при достаточно больших n калькулятор начинает округлять до единицы, при n = 36 сумма становится равна 0.99999999999999999999999999999999999999999993
Я бы поспорил, но я спорю только 0/0 раз в день
А если определить последовательность как 1/((n+1) * (n-1)!) ? Я именно так и решал.
@@mastermaths4929 Хорошая шутка. Такими величинами удобно заполнять накладные:
отгружено, ед.: 0/0
получено, ед.: 0/0
И не придерёшься - сколько отгрузили, столько и получили.