не всегда из симметрии следует равенство например для системы ху=2 х+у=3 решение (1;2),(2;1) и модули не равны UPD: я не понял о какой системе говорит автор. Для исходной системы утверждение не работает.
"каждое из x,y принадлежит [-1,1], поэтому сумма квадрата и четвертой степени должна быть не более 1" *не более двух* , если исходить из указанной предпосылки. "Не более 1" по факту верно, но из другой предпосылки (сумма квадратов равна 1).
But does the symmetry implies that the magnitudes of the variables are necessarily equal? You simply were lucky to have as big a number as 20 in the rhs of the equations - if it were small enough, you'd get solutions with |x| ≠ |y|.
@@tgx3529 But it rather implies that a - a² = b - b² a² - b² = a - b (a − b)(a + b - 1) = 0, so a = b or a + b = 1. And a = 1, b = 0 perfectly fits the latter condition - as well as (1 − ½)² = (0 − ½)² - which gives us the following system: x² + y⁴ = 1 (
можно решить чуть быстрее, если рассмотреть разность и сумму исходных уравнений. тогда третий случай сводится к системе {x^2+y^2=1; x^2*y^2=-19, которая, очевидно, не имеет действительных корней.
Это прокачивает логическое и критическое мышление. Прокачивает умение находить 4 ответа, когда может казаться, что ответ один или что одного ответа достаточно. И прокачивает навык проверять ещё пятый вариант решения, даже когда у тебя есть уже 4 варианта решения. Супер прикладной навык для жизни! Зная эту систему уравнений и ее решение - я могу аргументировать свою позицию в любом жизненном споре, когда мне будут говорить, что чей-то единственный вариант решения проблемы единственно возможный и верный.
Что-то в квадрате плюс кое-что в четвертой степени равно 20. Что-то в четвертой степени плюс кое-что в квадрате равно 20. Думаем 10 секунд. Приходим к выводу, что такое возможно только при (что-то в квадрате = кое-что в квадрате).
самым быстрым (в смысле затрат времени) является как правило самый "тупой" (прямой, лобовой) метод. размышлять в поисках изящного решения приятно, но невыгодно... система сводится к уравнению четвёртой степени. при этом сразу видно, как эту степень можно понизить... так в чём изюминка-то?
Если это быстрый способ,то я -шахиншах Ирана. Другое дело, что быстрее её решить, очевидно, невозможно. Первые 4 решения получаются мгновенно ,а с последними это не проходит. Претензия - к названию ролика: это не быстрый способ,а самый обыкновенный.
Зависит от учителя, конечно, но мне кажется, что это не совсем правильно. Такая запись не даёт однозначного понимания того, что под ней имеется в виду. Может это таким образом записали решения (2; 2) и (-2; -2). Так что всё же лучше полностью записывать ответы в таких ситуациях.
поскольку степени у Х и У переставлены, а результат не изменился, то Х и У равны, а поскольку дано, что равны 20, то значит, что ответ кроется в самых начальных числах: подставим 2 и выясняем, что это правильный ответ!! по модулю -2 как второй ответ.
Ну, это совсем не обязательно: cos²x + sin⁴x = cos⁴x + sin²x, даже если cos(x) ≠ sin(x), так что если бы справа стояло не 20, а другое число, переменные уже не обязаны были бы быть равны.
Валерий, а справедливо ли замечание типа : если поменять в системе х и у местами, то система не изменится, тогда решения симметричны относительно прямой у=х, тогда решаем уравнение х^4+х^2=20 и получим все ответы ?
Ще швидше буде так. Якщо x^2=4, то й y^2=4. І навпаки. Далі очевидно. Якщо ж один з цих квадратів не дорівнює 4, то й інший не дорівнює 4. У цьому разі запишемо систему у вигляді x^4-16=4-y^2, x^2-4=16-y^2 і поділимо перше рівняння на друге. Рівність x^2+4=1/(y^2+4) неможлива, бо її ліва частина не менша 4, а права - не більша 1/4.
Но откуда следует, что в данном случае обязательно |x| = |y| и других решений нет? Для комплексных решений это в общем случае не выполняется, а чтобы доказать, что для действительных достаточно исследовать случай |x| = |y|, нам всё равно нужно провести исследование, что эквивалентно полному решению. Просто можно было остановиться на этапе (x² - y²)(x² + y² - 1) = 0 и сказать, что если x² + y² = 1, то |x|, |y| ≤ 1 и x² + y⁴ заведомо меньше 20, т.е. нам достаточно рассмотреть только случай x² = y². А вот если справа стояло бы не 20, а, скажем, 13/16, нам пришлось бы рассматривать и второй случай - и действительные корни там нашлись бы.
@@Бача-студент В комплексном случае у нас получается два алгебраических уравнения: 8-й степени относительно одной переменной и 2-й степени относительно другой переменной, что по основной теореме алгебры даёт ровно 16 комплексных решений (с учётом кратности). Но ни в комплексном, ни в действительном случае условие |x| = |y| не обязано выполняться только лишь потому, что правые части уравнений равны и перестановка переменных сохраняет вид системы.
Неделю не мог продать шкаф. Только открыл советский учебник математики - и всё сразу решилось: тут же позвонили, приехали и забрали. Спасибо тебе, мил человек!
мы же вычитаем уравнение из уравнения, таким образом нужно от левой части одного уравнения отнять левую часть второго и с правыми частями проделать то же самое (20-20=0)
@@CRCx86 потому что вычтя из одного уравнения другое, получаем следствие системы а не равносильную ей. При этом могут появляться новые корни. Очень легко привести пример: {х = 2 {х = 2 Очень простая система имеющая единственное решение х = 2. А теперь вычтем одно уравнение из другого. Получим: х - х = 2 - 2 0 = 0 Это равенство достигается при всех х. Получается что ответы не совпадают. Очень важно дописывать второе уравнение системы. Можно, конечно отвлечься от системы, решить отдельно первое уравнение, но потом обязательно нужно проверить верность второго.
Быстро, просто и понятно. Спасибо.
Быстрый? Очень быстрый способ)
Намного быстрее простого ввода новых переменных)
Из системы видно что 1) |x| = |y| так что решаем уравнение x^4 + x^2 - 20 = 0; x = +-2; подставляем в 1) и получаем все 4 решения
не всегда из симметрии следует равенство например для системы
ху=2
х+у=3
решение (1;2),(2;1) и модули не равны
UPD: я не понял о какой системе говорит автор. Для исходной системы утверждение не работает.
@@ВасилийТёркин-к8х потому что модули эквивалентны квадратам, а тут нет квадратов...
@@ВасилийТёркин-к8х xy=2 i x + y = 3 где тут симметрия
@@artavazd0 если ты не видишь симметрию - ты слепой
@@artavazd0 можно поменять х и у местами и получить эквивалентную систему
В начале о какой замене вы говорили?
Например
x² = t
y² = v
t + v² = 20
t² + v = 20
Эта система решается легко, потом из неё находим пары (x;y)
третье можно проще.
каждое из x,y принадлежит [-1,1], поэтому сумма квадрата и четвертой степени должна быть не более 1, но никак не 20.
"каждое из x,y принадлежит [-1,1], поэтому сумма квадрата и четвертой степени должна быть не более 1" *не более двух* , если исходить из указанной предпосылки. "Не более 1" по факту верно, но из другой предпосылки (сумма квадратов равна 1).
Здраствуйте из какго приложение использовали ведеоурка
Вы посмотрите, как красиво выглядит график этой системы
Два овала образуют крестик. Типа намек такой: не забывайте метод крестика в процентах.
There Is symetry in eq. If I change x And y , I Will get the same eq. So a=x^2 then a+a^2=20; a=4, x=±2,y=±2
But does the symmetry implies that the magnitudes of the variables are necessarily equal? You simply were lucky to have as big a number as 20 in the rhs of the equations - if it were small enough, you'd get solutions with |x| ≠ |y|.
@@allozovsky Let x^2=a; y^2=b. Then 20= a+b^2=a^2+b; a-a^2=b-b^2; (a-1/2)^2=(b-1/2)^2 =====>a=b
@@tgx3529
But it rather implies that
a - a² = b - b²
a² - b² = a - b
(a − b)(a + b - 1) = 0,
so a = b or a + b = 1.
And a = 1, b = 0 perfectly fits the latter condition - as well as (1 − ½)² = (0 − ½)² - which gives us the following system:
x² + y⁴ = 1 (
А подскажите пожалуйста в какой программе и чем Вы пишите ? чем - подозреваю , что электронным пером
В третьей системе не может быть комплексных чисел или мы сразу же их откидываем?
очевидно, что сразу откидывают. Почём зря.
Валера, система хорошая, пробрало, пришлось включаться. Как-то задним числом среагировал. Побольше такого.
Очевидно, что х и у равны друг другу (без учёта знака), только целые числа, и не могут быть меньше 2 и больше 2. Так что, выбирать долго не придётся.
можно решить чуть быстрее, если рассмотреть разность и сумму исходных уравнений. тогда третий случай сводится к системе {x^2+y^2=1; x^2*y^2=-19, которая, очевидно, не имеет действительных корней.
зато имеет восемь комплексных :-)
Спасибо! Очень интересно. Лайк!
задам тупой вопрос, который почему то всегда оставляли без ответа ещо со школы(по крайней мере у меня) - где это пригодится в жизни?
Это прокачивает логическое и критическое мышление. Прокачивает умение находить 4 ответа, когда может казаться, что ответ один или что одного ответа достаточно. И прокачивает навык проверять ещё пятый вариант решения, даже когда у тебя есть уже 4 варианта решения. Супер прикладной навык для жизни! Зная эту систему уравнений и ее решение - я могу аргументировать свою позицию в любом жизненном споре, когда мне будут говорить, что чей-то единственный вариант решения проблемы единственно возможный и верный.
Можно замену попробовать и решить как квадратное уравнение.
-1
И писанины меньше
Нельзя, вроде тут 2 разные переменные, + получится биквадратное уравнение
а вторая группа решений комплексной не получаются разве
Если в этом множестве надо решить, то обычно в условии оговаривается
А замену нельзя было применить?
Что-то в квадрате плюс кое-что в четвертой степени равно 20.
Что-то в четвертой степени плюс кое-что в квадрате равно 20.
Думаем 10 секунд. Приходим к выводу, что такое возможно только при (что-то в квадрате = кое-что в квадрате).
самым быстрым (в смысле затрат времени) является как правило самый "тупой" (прямой, лобовой) метод. размышлять в поисках изящного решения приятно, но невыгодно...
система сводится к уравнению четвёртой степени. при этом сразу видно, как эту степень можно понизить...
так в чём изюминка-то?
Если это быстрый способ,то я -шахиншах Ирана. Другое дело, что быстрее её решить, очевидно, невозможно. Первые 4 решения получаются мгновенно ,а с последними это не проходит. Претензия - к названию ролика: это не быстрый способ,а самый обыкновенный.
Чё мелочиться-то? Берите сразу шестнадцатую степень
При записи ответа в виде (±2;±2) или x=±2, y=±2 ученику будет поставлена двойка?
Зависит от учителя, конечно, но мне кажется, что это не совсем правильно. Такая запись не даёт однозначного понимания того, что под ней имеется в виду. Может это таким образом записали решения (2; 2) и (-2; -2). Так что всё же лучше полностью записывать ответы в таких ситуациях.
да
Спасибо, смотрю с удовольствием. Отдыхаю,решая вместе с Вами
А если бы мы решали на множестве комплексных чисел, вышло бы еще четыре решения.
Почему только четыре-то? В комплексных всего было бы 16 решений (из них 4 полностью действительных по обеим координатам).
Я один сразу увидел, что решениями будут пары чисел 2 и -2, 2 и 2, -2 и -2, причём не важно, что из них x, что из них y?
Метод подстановки
отлично
а почему я с трояком по алгебре, глядя только на превьюшку, решил ее в уме за 10 секунд?
потому что это уравнение показывает новый странный метод решения, а не метод решения сложных уравнений. Нет смысла просто так себе льстить
X1=Y1=2
X2=Y2=-2
Метод: Просто подумал 3 секунды
А можно же методом Гаусса или я ошибся
Метод Гаусса для других систем. Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса смотрите здесь: ua-cam.com/video/cd-OXBjy5Ec/v-deo.html
@@ValeryVolkov спасибо 😌
изначально с заменой переменной проще лолы
поскольку степени у Х и У переставлены, а результат не изменился, то Х и У равны, а поскольку дано, что равны 20, то значит, что ответ кроется в самых начальных числах: подставим 2 и выясняем, что это правильный ответ!! по модулю -2 как второй ответ.
Ну, это совсем не обязательно: cos²x + sin⁴x = cos⁴x + sin²x, даже если cos(x) ≠ sin(x), так что если бы справа стояло не 20, а другое число, переменные уже не обязаны были бы быть равны.
Валерий, а справедливо ли замечание типа : если поменять в системе х и у местами, то система не изменится, тогда решения симметричны относительно прямой у=х, тогда решаем уравнение х^4+х^2=20 и получим все ответы ?
Неверно, в другом комментарии привели пример:
ху=2
х+у=3
@@АлексейСапрыкин-в2к спасибо
@@АлексейСапрыкин-в2к Это из другой оперы. А для данной системы легко доказать, что x и y по модулю равны. Хотя это и так очевидно.
@@Бача-студент изначальное утверждение было: "если система симметрична относительно прямой y=x, то y=x"
Ще швидше буде так. Якщо x^2=4, то й y^2=4. І навпаки. Далі очевидно. Якщо ж один з цих квадратів не дорівнює 4, то й інший не дорівнює 4. У цьому разі запишемо систему у вигляді x^4-16=4-y^2, x^2-4=16-y^2 і поділимо перше рівняння на друге. Рівність x^2+4=1/(y^2+4) неможлива, бо її ліва частина не менша 4, а права - не більша 1/4.
а когда то я это щелкал, сейчас вообще не понимаю че пишите
не, это я отказываюсь воспринимать
Из условия задачи ясно, что x и y по модулю равны. Достаточно решить x^4+x^2=20. Получаем: |x|=|y|=2.
Действительно! Но это как-то скучно, не изящно... Чем бы математик не тешился...
Но откуда следует, что в данном случае обязательно |x| = |y| и других решений нет? Для комплексных решений это в общем случае не выполняется, а чтобы доказать, что для действительных достаточно исследовать случай |x| = |y|, нам всё равно нужно провести исследование, что эквивалентно полному решению. Просто можно было остановиться на этапе (x² - y²)(x² + y² - 1) = 0 и сказать, что если x² + y² = 1, то |x|, |y| ≤ 1 и x² + y⁴ заведомо меньше 20, т.е. нам достаточно рассмотреть только случай x² = y². А вот если справа стояло бы не 20, а, скажем, 13/16, нам пришлось бы рассматривать и второй случай - и действительные корни там нашлись бы.
@@allozovsky В комплексном решении это две поверхности. Поэтому решений будет бесконечное множество ;)
@@allozovsky Пусть там и там вместо 20 будет 13/16. Отнимаем (x^4-y^4)-(x^2-y^2)=(13/16)-(13/16)=0 => (x^4-y^4)=(x^2-y^2). И что изменилось?
@@Бача-студент В комплексном случае у нас получается два алгебраических уравнения: 8-й степени относительно одной переменной и 2-й степени относительно другой переменной, что по основной теореме алгебры даёт ровно 16 комплексных решений (с учётом кратности). Но ни в комплексном, ни в действительном случае условие |x| = |y| не обязано выполняться только лишь потому, что правые части уравнений равны и перестановка переменных сохраняет вид системы.
Откройте советские учебник математики и все решится сразу.О то из мухи сделпли слона.
Неделю не мог продать шкаф. Только открыл советский учебник математики - и всё сразу решилось: тут же позвонили, приехали и забрали. Спасибо тебе, мил человек!
Как-то сложновато накрутили,можно проще.
уж очень эзотерическое решение!
решение накрутил, а ответов всего два: 2 и -2!! и находятся они за пару минут без подобных вычислений
Мне понравилось - толково, логично и красиво ( анализ не обременителен, а доступен). Спасибо !!!
Essa foi brabo.
Зачем сломать мозг?! Ну нахрена все это? Это что в жизни годится что ли?
Вообще-то, это не ломает мозг, а развивает, а развитый мозг всегда в жизни пригодится.
0:36 - сфига ли?
че
Чё Гевара
мы же вычитаем уравнение из уравнения, таким образом нужно от левой части одного уравнения отнять левую часть второго и с правыми частями проделать то же самое (20-20=0)
@@iessud.s.3797 нет, вопрос не про это. Зачем тащить второе уравнение, если уже произвели операцию вычитания?
@@CRCx86 потому что вычтя из одного уравнения другое, получаем следствие системы а не равносильную ей. При этом могут появляться новые корни. Очень легко привести пример:
{х = 2
{х = 2
Очень простая система имеющая единственное решение х = 2. А теперь вычтем одно уравнение из другого. Получим:
х - х = 2 - 2 0 = 0
Это равенство достигается при всех х. Получается что ответы не совпадают. Очень важно дописывать второе уравнение системы. Можно, конечно отвлечься от системы, решить отдельно первое уравнение, но потом обязательно нужно проверить верность второго.
я который делал это устно
👍
🤔Неплохо
x=y=-+2
у=х=2
x = y = + -sqrt(-5)
very complex solution
|x|=2 |y|=2
X и Y равно 2
|x| = |y| = 2
Первый