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Der Mathelehrer
Germany
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Mathematik erklärt mit Beispielen, Aufgaben und Lösungen für die Klassen 5 bis 13.
Willkommen bei DerMathelehrer.online: Schulmathematik auf einfache, strukturierte Weise.
🔢 Analysis
📊 Stochastik
📐 Lineare Algebra und Analytische Geometrie (LAAG)
In geordneten Playlists kannst du die Themen der Oberstufe vertiefen und an zahlreichen Aufgaben üben.
Mein Tipp: Löse die Aufgaben immer erst selber, bevor du dir die Lösungen anschaust.
Zusätzlich wird die Mathematik der Unter- und Mittelstufe an zahlreichen zahlenreichen Beispielen wiederholt, geordnet nach Klassenstufen.
Ich freue mich auf dich und wünsche dir viel Erfolg beim Lernen.
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Drei Herleitungen der pq-Formel | Quadratische Ergänzung | Beweis | Tschirnhaus-Transformation
Herleitung pq-Formel | Quadratische Ergänzung | Beweis | Tschirnhaus-Transformation // Wir wollen die pq-Formel auf drei verschiedene Arten herleiten bzw. nachweisen. Die klassische Art aus der Schulmathematik ist die quadratische Ergänzung. Mit dieser leiten wir die pq-Formel aus der allgemeinen Gleichung her. Die zweite Variante ist ein Nachweis dafür, dass die Lösungen aus der pq-Formel auch wirklich Lösungen der allgemeinen Gleichung sind. Als drittes betrachten wir die Tschirnhaus-Transformation, die auch für Gleichungen dritten oder vierten Grades verwendet wird.
Videoinhalte:
00:00 Intro
01:20 Quadratische Ergänzung
05:30 Beweis
11:44 Tschirnhaus-Transformation
-- --- ----- ------- ----------- ------------- ----------------- ------------------- -----------------------
Playlist Gleichungen lösen:
ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloiZm2up1o5XQbRLdJzOu_SV.html
Playlist Exponentialgleichungen:
ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html
Playlist pq-Formel anwenden:
ua-cam.com/play/PLxIT9roYflogrn11nMxKYkx1TltoHBIb3.html
Schreib mir bei Fragen in die Kommentare oder unter:
info@dermathelehrer.online
Meine Homepage:
www.dermathelehrer.online
Udemy-Kurs zur 5. Klasse:
www.udemy.com/course/matheunterricht-klasse-5
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Відео
pq-Formel mit Minus vor dem x-quadrat | Quadratische Gleichung
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pq-Formel | Quadratische Gleichung | Gleichungen lösen // Diese quadratische Gleichung hat ein Minus vor dem x^2. Die Gleichung wird so umgeformt, dass das Minus wegfällt, sodass wir die pq-Formel verwenden können. Playlist Gleichungen lösen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloiZm2up1o5XQbRLdJzOu_SV.html Playlist Exponentialgleichungen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html Playlist ...
Exponentialgleichung umstellen und mit Logarithmus lösen
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Exponentialgleichung | Gleichung umstellen | Logarithmus | Gleichung lösen // Diese recht einfache Exponentialgleichung stellen wir zunächst nach der Potenz um und ziehen dann den Logarithmus zur Basis 5. Danach wird kurz erklärt, wie man ohne die Taschenrechner-Funktion für beliebige Logarithmen umgeht. Viel Erfolg! Playlist Gleichungen lösen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloiZm2up1o5XQbRLdJzOu_SV...
Quadratische Gleichung umformen, um die pq-Formel zu verwenden
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Quadratische Gleichung | pq-Formel | Gleichungen lösen // Wir bringen die quadratische Gleichung zunächst in die Form, in der wir die pq Formel anwenden können. Dann setzen wir die Koeffizienten für p und q ein und berechnen das Ergebnis ohne Taschenrechner. Playlist Gleichungen lösen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloiZm2up1o5XQbRLdJzOu_SV.html Playlist Exponentialgleichungen: ua-cam.com/play/PLxIT...
Produktgleichung (quadratischer Term mal linearer Term)
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Produktgleichung | quadratischer Term | linearer Term | Satz vom Nullprodukt // Eine Produktgleichung, die gleich Null gesetzt ist, kann gelöst werden, indem man die einzelnen Terme gleich Null setzt. Dadurch erhalten wir in dem Beispiel eine lineare Gleichung und eine quadratische Gleichung, die wir beide lösen, um die Lösungen der ursprünglichen Gleichung zu erhalten. Playlist Gleichungen lös...
Exponentialgleichungen lösen mit dem Logarithmus
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Exponentialgleichungen lösen | Logarithmus | Gleichungen lösen // Ich erkläre in diesem Video wie man Exponentialgleichungen löst. Das Vorgehen ist in der Regel, dass man nach der Potenz umstellt und dann den entsprechenden Logarithmus zieht. Unterschiedliche Gleichungen verlangen dabei Abweichungen im Lösungsweg, die wir im Video betrachten wollen. Videoinhalte: 00:00 Intro 00:33 Einfache Glei...
Gleichung lösen mit Probe | Exponentialgleichung
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Gleichung lösen | Probe | Exponentialgleichung // Wir lösen eine Exponentialgleichung mit der Eulerschen Zahl als Basis. Im Exponent steht ein linearer Term. Die Lösung setzen wir dann noch als Probe in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfen so, dass unser Ergebnis stimmt. Playlist Exponentialgleichungen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html Playlist pq-Formel anwenden: u...
Quadratische Gleichung mit pq Formel lösen (keine Lösung)
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Quadratische Gleichung | pq Formel | Gleichungen lösen // Wir lösen die quadratische Gleichung mit der pq-Formel. Zunächst müssen wir die Gleichung auf die benötigte Form bringen. Danach setzen wir p und q in die pq-Formel ein. Viel Erfolg beim Rechnen. Playlist Exponentialgleichungen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html Playlist pq-Formel anwenden: ua-cam.com/play/PLxIT9roY...
Einfache Exponentialgleichungen lösen | 2 Beispiele
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Exponentialgleichungen | Gleichungen lösen | Logarithmus // Wir lösen zunächst die sehr einfache Exponentialgleichung 2^x -1 = 16. Danach betrachten wir die Gleichung, wenn man den Exponent ändert und stellen fest, dass der Lösungsweg sehr ähnlich bleibt. Playlist Exponentialgleichungen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html Playlist pq-Formel anwenden: ua-cam.com/play/PLxIT9r...
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Zur Tschirnhaus-Transformation ("wird sich schon was finden lassen"), habe ich dann doch nicht gefunden, was ich mir vorstelle. Sie steht meistens im Zusammenhang zu den Cardanischen Formeln (Lösungsformeln für Gleichungen dritten Grades). Dann aber auch eher auf Universitäts- als auf Schulniveau. Ich werde also nachlegen müssen. Schonmal als Spoiler: Ersetze in normierten Gleichungen n-ten Grades das x durch y - ((Koeffizient a_(n-1) / n) Beispiel: x^3 + 6x^2 - x +1 = 0. Substituiere x = y - (6/3) = y - 2. Man erhält eine Gleichung ohne y^2. Gerne mal ausprobieren.
Wie man die pq-Formel anwendet: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html Gleichungen, die man mit der pq-Formel löst: ua-cam.com/play/PLxIT9roYflogrn11nMxKYkx1TltoHBIb3.html
Gleichung mal minus 1 dann ist das Problem weg
👌
danke
Gerne
Wie man die pq-Formel anwendet: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html Weitere Gleichungen, die man mit der pq-Formel löst: ua-cam.com/play/PLxIT9roYflogrn11nMxKYkx1TltoHBIb3.html
ich habe als Ergebnis: (ln 5 - ln 3) / ln 5 muss man es noch ausrechnen ?
Nein, eine Darstellung durch natürliche Logarithmen ganzer Zahlen ist super. Möglich wäre es, den Bruch auseinanderzuziehen und zu kürzen: ... = 1 - ln(3)/ln(5). Das wäre dahingehend eine Vereinfachung, da man einen ln weniger im Term hat, andererseits steht das Ergebnis dann nicht in einem Bruch. Daher sehe ich es als gleichwertig.
Kurz und knackig und ein super Schriftbild. Mega Mathelehrer
Vielen Dank! 🙂
Kennen Sie diese Erklärmethode? ua-cam.com/video/cQ_OMk0TZbo/v-deo.html Das Video ist am Anfang recht holprig, aber dann kommen einige Beispiele zum einfachen Lösen solcher Gleichungen.
Ein schönes Video, danke. Auf diese Weise habe ich es bislang nicht erklärt - ich kannte sie nicht, aber sie gefällt mir. Ich werde sie mal in der Schule testen und in einem zukünftigen Video verwenden.
Dermaßen kurzatmig bei praktisch keiner Anstrengung! Da hätte ein logarithmisches Wachstum mal verhindert werden sollen, wenn man die Pension noch erleben möchte.
3 · 5ˣ + 2 = 7 3 · 5ˣ = 5 5ˣ = 5/3 lg(5ˣ) = lg(5/3) x · lg(5) = lg(5) − lg(3) x = 1 − lg(3)/lg(5) x = 1 − log₅3
Der Rechenweg gefällt mir dahingehend besser, da er nur Zehnerlogarithmen verwendet. Die Quittung bekommt man aber in den Logarithmusgesetzen, die man zum Lösen beherrschen muss. In der Schule ist es aktuell so, dass die Logarithmusgesetze nicht in jedem Bundesland im Curriculum verankert sind. Daher versuche ich oft, ohne sie auszukommen.
Es sollte jedoch berücksichtigt werden, dass 1-log(3)/log(5) die "einfachste" Lösung ist.
1 − log₅3 wäre noch einfacher. Aber ja, der Schritt von 5ˣ = 5/3 nach x = log₅(5/3) ist nicht sonderlich zielführend. Sinnvoller ist es, auf beiden Seiten den lg zu ziehen: lg(5ˣ) = lg(5/3). Dann kann man die Logarithmengesetze anwenden und x nach vorne ziehen, sowie lg(5/3) trennen: x lg(5) = lg(5) − lg(3) Danach durch lg(5) teilen, und man bekommt: x = 1 − lg(3)/lg(5) Das kann man dann endlich mal in den Taschenrechner eintippen. Aber, wenn man es noch einfacher will, kann man noch einmal die Logarithmengesetze anwenden: x = 1 − log₅3
Danke, absolut richtig in Bezug auf die Tabellen, die ich im Video anspreche; schließlich kann man in diesen nur Zehnerlogarithmen ganzer Zahlen ablesen. Das macht die von dir genannte Form unausweichlich. Mit digitalen Werkzeugen ist die genannte Lösung im Video einfacher dahingehend, dass sie weniger Rechenschritte und weniger Rechengesetze benötigt. Historisch (und ästhetisch) gesehen bin ich aber absolut bei deinem Vorschlag.
Wie man Exponentialgleichungen löst: ua-cam.com/video/wsUevyiTtV0/v-deo.html Playlist - Exponentialgleichungen lösen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html
Underrated, danke🙏
Dankeschön :) und gern geschehen.
Wie man die pq-Formel anwendet: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html Weitere Gleichungen, die man mit der pq-Formel löst: ua-cam.com/play/PLxIT9roYflogrn11nMxKYkx1TltoHBIb3.html
Heute kommt das erste Video zu Produktgleichungen. Wenn davon drei zusammen sind, wird es wieder ein Video geben, in dem Produktgleichungen erklärt werden.
pq-Formel erklärt: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html Beispielaufgaben zur pq-Formel: ua-cam.com/play/PLxIT9roYflogrn11nMxKYkx1TltoHBIb3.html
👍
Die Brüche haben mir den gnadenstoß verpasst
😂👍Dran bleiben und mal in die Playlist schauen. Die Brüche üben sich irgendwann ganz gut ein.
@dermathelehrer.online ja ich glaube daran
👍
Playlist mit Exponentialgleichungen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html
x₁ = (1 − √11 ⋅ i)/2 x₂ = (1 + √11 ⋅ i)/2
👍
Wie man Exponentialgleichungen löst: ua-cam.com/video/wsUevyiTtV0/v-deo.html Playlist Exponentialgleichungen - Aufgaben mit Lösungen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html
Interessant wäre auch die Zusatzfrage, welchen Wert die rechte Seite der Angabe (aktuell: 2) annehmen müsste, damit diese quadratische Gleichung exakt EINE Lösung hat. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte das -3/4 sein.
👍 Du hast dich nicht verrechnet. Und wenn wir schon dabei sind: Für jede Zahl größer als -3/4 gibt es keine (reelle) Lösung und für jede Zahl kleiner als -3/4 gibt es zwei Lösungen.
Und wie sieht die Lösung mit imaginären / komplexen Zahlen aus?
Eine schöne Anmerkung / Frage :), danke: Wenn wir die Lösung weiter umstellen, erhalten wir x_1/2 = 0,5 +/- sqrt(-2,75) = 0,5 +/- i*sqrt(2,75) = 0,5 +/- i*0,5*sqrt(11). Die imaginären Lösungen haben also Realteil 0,5 und Imaginärteil + bzw. - 0,5*sqrt(11). Im Rahmen der Schulmathematik rechnet man mit reellen Zahlen, daher sind Wurzeln mit negativen Zahlen nicht definiert und gelten nicht als Lösung. Ich werde aber auch noch Videos machen, in denen komplexe Lösungen verwendet werden. Diese Videos werden dann extra gekennzeichnet.
@dermathelehrer.online Vielen Dank für Ihre Antwort.
Gerne.
Ein sehr schönes Video. Den Inhalt habe ich schon gewusst.
Vielen Dank!
Playlist zur pq-Formel: ua-cam.com/play/PLxIT9roYflogrn11nMxKYkx1TltoHBIb3.html Umfangreiche Erklärung zur pq-Formel: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html
Und ohne taschenrechner?
Der Logarithmus zur Basis 2 von 16 ist die Zahl, für die 2 hoch diese Zahl 16 ist. Durch Ausprobieren erhält man das Ergebnis 4 ( denn 2 hoch 4 ergibt 16). Im verlinkten Video wird das auch nochmal deutlich.
Es heißt: 2 hoch x. Nicht: zwei x.
Ja, danke für den Hinweis. Das ist ein Fehler.
@dermathelehrer.online 😀
👍
Tatsächlich sind es 2 Lösungen, die beide denselben Wert besitzen!
Das kann man diskutieren: Im Rahmen der Schulmathematik würde man von einer Lösung mit Vielfachheit 2 sprechen. Begründet ist das dadurch, dass man die Lösungen in einer Menge notieren kann (die Lösungsmenge) und die Anzahl der Lösungen ist die Mächtigkeit der Lösungsmenge. Da aber eine Menge jedes Element nur einmal besitzen kann, hat die Lösungsmenge die Mächtigkeit 1. Entsprechend gibt es nur eine Lösung. Um nun zu sagen, dass es zwei Lösungen gibt, müsste man den Begriff der Lösung anders definieren, was über Linearfaktoren sicherlich möglich ist. Aber würdest du dann weiterhin sagen, es gibt zwei Lösungen, oder ist das eher - wie so oft - eine Definitionssache?
Wie man Exponentialgleichungen löst: ua-cam.com/video/wsUevyiTtV0/v-deo.html Weitere Exponentialgleichungen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html
Logarithmus, nicht Logarhythmus! 😉
Ich liebe Musik :) Danke für den Hinweis.
Wie man Exponentialgleichungen löst: ua-cam.com/video/wsUevyiTtV0/v-deo.html Weitere Exponentialgleichungen: ua-cam.com/play/PLxIT9roYfloi3VBaBWhgj4FeOFe3BdWjg.html
Die lösung für x1 ist übrigens der " goldene Schnitt"
Jawohl. In der Algebra ist es üblich, den goldenen Schnitt als die größere der beiden Nullstellen des Polynoms f(x)=x^2-x-1 zu definieren. Habe kürzlich ein großartiges Video gesehen: ua-cam.com/video/rNUfiQgj6ZI/v-deo.html Es geht um Differentialgleichungen und benötigt entsprechend hohe Grundlagen, aber für "Goldene-Schnitt-Fans" eigentlich ein Muss.
Finde es krass in Zeiten von KI und hochmoderner Technologie sowas immer noch schriftlich gerechnet wird😅
Tatsächlich wurden jetzt erst die im Abitur zugelassenen Taschenrechnerfunktionen runtergeschraubt (in manchen Bundesländern). Aber sei´s drum; schlussendlich geht es nicht (nur) darum, eine solche Gleichung lösen zu können, sondern um Formalismen, Strukturen und Abstraktionsvermögen.
Unglaublich schlecht
ich finde es gut
Dankeschön
Erklärung zur pq-Formel: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html
Die pq-Formel erkläre ich in folgendem Video: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html
Die pq-Formel erkläre ich in folgendem Video: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html
Die pq-Formel erkläre ich in folgendem Video: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html
Weitere quadratische Gleichung lösen wir mit der pq-Formel in der Playlist, die ich ständig erweitere: ua-cam.com/play/PLxIT9roYflogrn11nMxKYkx1TltoHBIb3.html Eine Herleitung zur pq-Formel wird demnächst auf meinem Kanal veröffentlicht.
finden sie es nicht auch langweilig immer im dezimalsystem zu rechnen?
Für die Schülerinnen und Schüler ist es meist angenehmer, da passe ich mich gerne an. Aber ja, lieber rechne ich mit dem exakten Ergebnis weiter.
Wie man Exponentialgleichungen löst: ua-cam.com/video/wsUevyiTtV0/v-deo.html Wie man die pq-Formel anwendet: ua-cam.com/video/YxdW8xFvdsc/v-deo.html Weitere Videos zur pq-Formel findest du hier: ua-cam.com/play/PLxIT9roYflogrn11nMxKYkx1TltoHBIb3.html
Gut auf den Punkt gebracht 👍🏼
Danke
Dieser Lösungsweg ist unnötig umständlich. Die linke Seite der Gleichung ist ein Binom, (x - 1)^2 , dem man die Lösung x = 1 sofort ansieht. Alle Gleichungen der Art (x - a)^2 = 0 haben genau eine Lösung, nämlich a.
Absolut. Wenn man das Binom erkennt, ist dieser Lösungsweg einfacher.
ableitung ist dann auch 0
Korrekt :) Zudem lässt sich der Scheitelpunkt angeben und der Term links der Gleichung als Binom identifizieren.
Viel Spaß beim ersten Video zum Thema Gleichungen lösen. Ich lade jetzt regelmäßig ein Video mit einer Gleichung hoch; zunächst quadratische Gleichungen, die mit der pq-Formel gelöst werden, demnächst dann Exponentialgleichungen und Produktgleichungen - mal sehen, wie es danach weitergeht. Wünsche sind immer willkommen.
Winkel lieber messen? Dann schau dieses Video: ua-cam.com/video/mQgi7PE0r1k/v-deo.html
Wie man die Größe eines Winkels abmisst, siehst du in diesem Video: ua-cam.com/video/mQgi7PE0r1k/v-deo.html
Eine Aufgabe zum Flächeninhalt eines Rechtecks findest du hier: ua-cam.com/video/420Q1wY7T5s/v-deo.html
Lange keine Würfelnetz mehr gefaltet? Dann bitte weiter mit diesem Video: ua-cam.com/video/9ksZ4o3LAxQ/v-deo.html
Weitere Flächenberechnungen: Quadrat: ua-cam.com/video/IbF13c-ssbg/v-deo.html Rechteck: ua-cam.com/video/420Q1wY7T5s/v-deo.html