Grazie Elia, meriteresti lo stipendio di tutti i professori in Italia La nostra professoressa mette i tuoi video a lezione, a volte penso quanto siano ignoranti certe persone, ma ciononostante hanno il posto fisso e uno stipendio
ciao, i tuoi video sono utilissimi :) perchè non ne fai altri per l'esame orale di matematica? ad esempio dicendoci quali potrebbero essere le domande/dimostrazioni più frequenti con relative risposte/dimostrazioni... giusto per farci orientare su cosa andremo incontro :) mi farebbero molto comodo... grazie !!!
Bravo per davvero! Ho seguito tutti i tuoi video e sei chiarissimo, spieghi tutto passo passo!! Continua perchè come me, ci sono molti ragazzi che purtroppo non hanno un buon approccio con la matematica pensando che sia una materia noiosa e incomprensibile quando invece è assai affascinante e "piena di sorprese". (Esperienza di uno studente che al liceo aveva a mala pena 6 in matematica e adesso fa Ingegneria Civile) :)
Ciao, innanzitutto grazie per i tuoi video che sono semplicemente fantastici :) poi ti volevo chiedere se era possibile avere la dimostrazione del Teorema di Fermat sui punti stazionari, visto che su UA-cam ce ne pochissime e tra l'altro di pessima qualità. Grazie
Sei molto bravo,ma a volte, nel fare i calcoli, dai per scontato (giustamente) che tutti capiscano i passaggi. Io per es. non ho capito nel 1 esercizio,quando si procede con la sostituzione di 2per radice di 3 al posto di x^3, come tu riesca ad ottenere 24per radice di 3! :( . Purtroppo non avendo basi,io mi perdo sempre in queste cose...grazie mille!
Ciao =) intendi l'orale della maturità o parli di un esame all'uni? Ed eventualmente che scuola/uni frequenti? Cmq mi sono già arrivate un paio di richieste in tal senso quindi terrò sicuramente in considerazione quest'idea ;)
Sarebbero utilissimi riguardo l'esame di maturità di un liceo scientifico!:) P.S. Devo farti davvero i complimenti per questi video che ho appena scoperto e trovati molto utili!:) Ah, un altra cosa, potresti considerare di mettere dei link per il download dei fogli che presenti nei video, così forniresti anche degli appunti "cartacei", potrebbero essere utili:)
+Mario Digi Una domanda, perchè quando hai scomposto (√3)^3, hai preso in considerazione solo due fattori ovvero (√3*√3) e ne hai tratto il risultato che fà 3 e in seguito hai aggiunto il fattore non calcolato, ovvero √3 ?? Spero che la mia domanda sia compresa.. Non ho capito quell'ultimo passaggio.. Grazie Mille.
In caso in cui non è definita ma continua e derivabile con risultati agli estremi uguali ci garantisce che esiste almeno un punto in cui il limite della derivata tende a 0
Ho messo io il "mi piace" numero 1500! Grazie mille per questo video, chiaro, intuitivo e immediato come sempre. A proposito, il mio è esattamente l'ottantesimo commento. 😉
io frequento la facoltà di economia, dove come saprai è previsto un corso di matematica generale! ho già passato lo scritto (grazie anche ai tuoi video) e in questa sessione di esami vorrei dare anche l'orale, però la cosa mi terrorizza alquanto :) se mi puoi aiutare saresti un grande ehehe
Mi scusi signor Elia sono due anni che seguo i suoi video ma ora mi sono chiesto quale programma usa per realizzare i disegni e i vari grafici dei suoi video? La ringrazio
Sapreste dirmi il motivo per cui la f deve essere continua in un intervallo chiuso e limitato mentre può essere derivabile anche in un intervallo aperto?
Spiegazione efficace! Mi sale però un dubbio: si dice che x=c è un punto di discontinuità di 2°specie per una generica funzione se almeno uno dei limiti da dx o sx di c o è infinito o non esiste. Però tutto ciò non sarebbe la stessa cosa che dire che la funzione non è definita in quel punto c?? Voglio dire se il limite per x che tende a c di f(x) è infinito(più o meno) x=c è un asintoto verticale(cioè sicuramente un punto fuori dominio!!). Spero di esser stato chiaro :)
Non ho proprio capito come si fa a dimostrare che f è derivabile in (a,b). Nel nostro caso la derivata è 3x^2 - 12, come faccio a dire che è derivabile in quell'ntervallo??
In realtà anche una funzione che non è definita in quel punto potrebbe essere continua per esempio sen(x)/x che il limite per x che tende sia da destra che da sinistra di zero tende a uno quindi continua
nel senso che se ad esempio sposto "b" poco più a sinistra nel primo grafico che hai disegnato lasciando però "a" al suo posto ottengo comunque quella tangente? Oppure la tangente deve essere per forza parallela all'ipotetica retta che passa per a,b?
Certo che la ottieni 😊 Il punto qual è? Che tu, ora che hai spostato b, sai che c'è la tangente orizzontale perché vedi la funzione. Hai praticamente dovuto disegnarla per saperlo. Ma il teorema di Rolle ti dice che non ti serve disegnarla per saperlo: se f(a) = f(b) allora sicuramente c'è un punto in cui la derivata si annulla, a prescindere da che giro farà la funzione in quell'intervallo. Se invece f(a) è diverso da f(b)... Boh? Non possiamo saperlo, potrebbe esserci oppure no; ma finché non disegniamo la funzione non potremo saperlo.
Spero ci sia qualche angelo che risponderà alla mia domanda su un video di 9 anni fa entro 12 giorni(termine entro il quale dovrò sostenere l'esame di analisi 1). Il mio dubbio è il seguente: Come si fa ad assumere l'esistenza di due punti in cui la f(x)= 0 senza prima verificare almeno il teorema di esistenza degli zeri?
Ciao! Mi spieghi perchè dici che nel punto angoloso la prima condizione (la continuità nell'intervallo) è rispettata? Una funzione è continua se il limite destro e il limite sinistro sono uguali tra loro e anche uguali al valore che la funzione assume nel punto. Ma nel punto angoloso il limite destro e quello sinistro sono diversi! Infatti il limite destro è 1 e il limite sinistro è -1. Perchè dici che è continua? Non capisco!
Una funzione è DERIVABILE se il limite destro e il limite sinistro sono uguali tra loro. E' continua perché, banalmente, la disegni senza staccare la penna dal foglio, quindi non ci sono "interruzioni". Infatti se noti non c'è alcuna discontinuità nel grafico
perchè 2 alla terza fa 8 , poi ci sarebbe radice di 3 alla terza, il 3 alla terza lo puoi portare fuori radice lasciando un 3 sotto radice (proprietà delle potenze), quindi 8 per 3 per radice di 3 è 24 radice di 3
PERCHE' NON INTERESSA LA DERIVABILITA' IN a, b? Io mi sono dato questa risposta: QUALCUNO MI SA DIRE SE E' GIUSTA? Sono due motivi. Il primo è che, in generale, la funzione al di fuori di a, b potrebbe anche non esistere. Il secondo è che - poniamo il caso di un punto di massima di derivata 0-, se f Xa = f Xb allora, semplicemente, NON PUO' ESISTERE un punto estremante Xm all'altezza di a,b. Infatti, poniamo che la funzione parta da Xa e salga costantemente. Prima o poi deve scendere per riallinearsi con b, MA QUESTO NON PUO' FARLO ALL'ULTIMO PUNTO, cioè se arriva fino sopra a Xb. Infatti poi dovrebbe scendere, anzi "saltare", lungo una retta verticale per raccordarsi con f Xb, e quindi la funzione il quel punto NON POTREBBE ESSERE CONTINUA. In formule: per f (Xa)=f(xb) se e solo se Xm=Xb, consegue che Xm meno Xb fa zero e quindi delta di x fa zero e quindi il rapporto incrementale DA DESTRA non avrebbe senso. NATURALMENTE A MENO CHE NON CI TROVIAMO LUNGO UNA LINEA RETTA. CONTINUITA': d'altra parte, per questi motivi è anche indispensabile la continuità in a, b. Altrimenti la funzione in Xm non sarebbe derivabile mancando un dx alla sua destra (o sinistra).
Secondo me ti stai complicando la vita.. i casi sono due: o il teorema è verificato se la funzione è derivabile in a ,b , oppure è verificato anche se non lo è (premettendo che la funzione sia continua su a,b ed f(a)=f(b) ) . Esempio: parabola finita ad "U" , continua in a,b , non derivabile in a e in b , ma il teorema vale, come vale per qualsiasi funzione in cui siano verificate le prime due ipotesi. Ho trovato un caso in cui il teorema vale in una funzione non derivabile in a e in b , quindi possiamo dire che il teorema vale anche se non c'è derivata in a,b (in poche parole provando a tracciare una FUNZIONE, quindi niente gradini, tra due punti alla stessa quota, avrai SEMPRE un punto in cui la derivata è zero, provare per credere) :) è una "dimostrazione" molto spicciola , l'ho dimostrato dicendo praticamente, disegna quello che vuoi e vedrai che il teorema vale, era giusto per capirci. :)
si grazie, è vero mi stavo complicando la vita ma credo che si dovrebbero fare più dimostrazioni e ripetere tutti i "risvolti" di un teorema a costo di sembrare banali e ripetitivi. Sono cose ovvie ma fino a che non le metti nero su bianco non acquisisci disinvoltura nella teoria e magari fai una gaffe proprio durante la interrogazione, come è successo a me.. Una funzione non può esistere lungo "una linea verticale" quindi la derivabilità "esterna" ai punti a, b non è necessaria.
🎓 Indice completo delle Videolezioni e informazioni sui Video - goo.gl/zq67Eo 📸 Seguimi su Instagram - instagram.com/elia.bombardelli 🔥 Prova Gratis Amazon Prime per Studenti: amzn.to/2nrKsKI 🎵 Prova Gratis Amazon Music Unlimited - amzn.to/2lLeCIq 🎁 Cose carine e idee regalo su Amazon - amzn.to/2Ve4wAu
Davvero bello come nel tempo tu sia passato da "cosa DEVI fare" a "cosa DOBBIAMO fare". Coinvolgente e pone insegnante e alunno sullo stesso piano.
Bello come dopo 11 anni c'è ancora gente come me, che in quinta liceo ti segue. Non invecchierai mai Elia, hai salvato la popolazione italiana
Ed eccomi qua! A distanza di 9 anni esatti dall'uscita di questo video mentre preparo analisi 1!
fra siamo in due
Grazie Elia, meriteresti lo stipendio di tutti i professori in Italia
La nostra professoressa mette i tuoi video a lezione, a volte penso quanto siano ignoranti certe persone, ma ciononostante hanno il posto fisso e uno stipendio
la prof che legge il commento 💀
@@terenziokillakilla9941 l'obiettivo era quello
ciao, i tuoi video sono utilissimi :) perchè non ne fai altri per l'esame orale di matematica? ad esempio dicendoci quali potrebbero essere le domande/dimostrazioni più frequenti con relative risposte/dimostrazioni... giusto per farci orientare su cosa andremo incontro :) mi farebbero molto comodo... grazie !!!
Bravo per davvero! Ho seguito tutti i tuoi video e sei chiarissimo, spieghi tutto passo passo!! Continua perchè come me, ci sono molti ragazzi che purtroppo non hanno un buon approccio con la matematica pensando che sia una materia noiosa e incomprensibile quando invece è assai affascinante e "piena di sorprese". (Esperienza di uno studente che al liceo aveva a mala pena 6 in matematica e adesso fa Ingegneria Civile) :)
Grande Elia comunque io continuo a non capire niente
devi capire cosa ti sfugge, che concetto non ti è chiaro?
continuità, derivata, polinomi
Grazie buon Natale anche a te
@@bbdbbd5064 buon capodanno
@@matteocaligiuri7074 buon ferragosto
Siamo in due
Ciao, innanzitutto grazie per i tuoi video che sono semplicemente fantastici :) poi ti volevo chiedere se era possibile avere la dimostrazione del Teorema di Fermat sui punti stazionari, visto che su UA-cam ce ne pochissime e tra l'altro di pessima qualità. Grazie
Ottime spiegazioni! :) Sono davvero molto utili, ne faresti anche qualcuna di fisica? :)
C'è la fisica che ci piace come canale
indiscutibilmente un grande.. se lunedì prendo sei te lo dedico tutto! ahahaha
Di nulla figurati, grazie a te di essere passato sui miei video =)
potresti fare dei video anche con le dimostrazioni! comunque complimenti, sono molto ben fatti, chiari, e coprono molti argomenti
Sei molto bravo,ma a volte, nel fare i calcoli, dai per scontato (giustamente) che tutti capiscano i passaggi. Io per es. non ho capito nel 1 esercizio,quando si procede con la sostituzione di 2per radice di 3 al posto di x^3, come tu riesca ad ottenere 24per radice di 3! :( . Purtroppo non avendo basi,io mi perdo sempre in queste cose...grazie mille!
ciao complimenti per i video :) potresti fare qualche video -lezione sui numeri complessi e gli esercizi sui numeri complessi? :)
Complimenti !!! Bravissimo !!! Spieghi mate con leggerezza e semplicitá !!! BRAVO
Ciao =) intendi l'orale della maturità o parli di un esame all'uni?
Ed eventualmente che scuola/uni frequenti?
Cmq mi sono già arrivate un paio di richieste in tal senso quindi terrò sicuramente in considerazione quest'idea ;)
@Belisario999 grazie davvero, fa piacere sapere di poterti essere stato utile :)
Qui la notte prima della seconda prova. Lesssggoskkyyyyy
è così che si fa
Siete la mia salvezza!
Elia potresti mica far delle live in cui spieghi i vari teoremi con relative dimostrazioni, riguardanti l'analisi 1?
Best canale ever!
chiaro e dritto al punto!
Sarebbero utilissimi riguardo l'esame di maturità di un liceo scientifico!:)
P.S. Devo farti davvero i complimenti per questi video che ho appena scoperto e trovati molto utili!:)
Ah, un altra cosa, potresti considerare di mettere dei link per il download dei fogli che presenti nei video, così forniresti anche degli appunti "cartacei", potrebbero essere utili:)
Devi fare l'insegnante.. sicuramente la tua classe sarà una delle migliori perchè spieghi benissimo
ecco come me fa 2*(sqtr(3)) a fare 24(sqrt(3)): www.mediafire.com/view/ecz6d345jqyrcz1/IMAG0457.jpg
Grazie mille
+Mario Digi Una domanda, perchè quando hai scomposto (√3)^3, hai preso in considerazione solo due fattori ovvero (√3*√3) e ne hai tratto il risultato che fà 3 e in seguito hai aggiunto il fattore non calcolato, ovvero √3 ??
Spero che la mia domanda sia compresa.. Non ho capito quell'ultimo passaggio..
Grazie Mille.
@@Giovannikarateka perchè può farlo
P
P
P
P
P
P
Che
In caso in cui non è definita ma continua e derivabile con risultati agli estremi uguali ci garantisce che esiste almeno un punto in cui il limite della derivata tende a 0
Ciao Prof!!! Lezione veramente utile! Ma io veramente sto a impazzire per capire come (2radice3)3 diventa 24...?!
Ho messo io il "mi piace" numero 1500!
Grazie mille per questo video, chiaro, intuitivo e immediato come sempre.
A proposito, il mio è esattamente l'ottantesimo commento. 😉
Thx a lot ;)
grazie mille, sei incredibile
Teorema di Cauchy: enunciato e dimostrazione!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Primo:
Potresti fare un video sul teorema di fermat? 🙏
io frequento la facoltà di economia, dove come saprai è previsto un corso di matematica generale! ho già passato lo scritto (grazie anche ai tuoi video) e in questa sessione di esami vorrei dare anche l'orale, però la cosa mi terrorizza alquanto :) se mi puoi aiutare saresti un grande ehehe
Wow davvero grande! Dai anche lezioni private?
Complimenti!
Scusami elia ma quando fai (2√3) elevato alla 3 , non fa 8√3??? Come ti fa a venire 24√3? Mi sono persa qualcosa
@HinataNaruke :grazie mille! Molti altri video in arrivo prossimamente ;)
Mi scusi signor Elia sono due anni che seguo i suoi video ma ora mi sono chiesto quale programma usa per realizzare i disegni e i vari grafici dei suoi video? La ringrazio
Ciao!quando l'intervallo per esempio è (-1;1) come si fa?
ottima spiegazione
Equazione polinomiale: you can't defeat me
Io: i now but he can
*rolle explode from the palace*
@ChamillionaireFlo Grazie ;)
il nostro prof ci complica la vita è ci inserisce c al posto di x.. fanculo
Sapreste dirmi il motivo per cui la f deve essere continua in un intervallo chiuso e limitato mentre può essere derivabile anche in un intervallo aperto?
Ho capito più matematica qui in 13 minuti che in una vita di scuola :D
Spiegazione efficace! Mi sale però un dubbio: si dice che x=c è un punto di discontinuità di 2°specie per una generica funzione se almeno uno dei limiti da dx o sx di c o è infinito o non esiste. Però tutto ciò non sarebbe la stessa cosa che dire che la funzione non è definita in quel punto c?? Voglio dire se il limite per x che tende a c di f(x) è infinito(più o meno) x=c è un asintoto verticale(cioè sicuramente un punto fuori dominio!!). Spero di esser stato chiaro :)
scusami ma al minuto 6.06 2 radice di 3 al cubo come fa ad essere 24 radice di 3?
ah ok ok ho capito
Bravissimo!
che programma usì per svolgere gli esercizi?
Ciao, ma non hai fatto un video sul teorema della media?
mi sto innamorando di te ahahah
GRAZIE!!!
non ho capito perchè se sposto b non è possibile ottenere una tangente orizzontale sulla funzione
Non ho proprio capito come si fa a dimostrare che f è derivabile in (a,b).
Nel nostro caso la derivata è 3x^2 - 12, come faccio a dire che è derivabile in quell'ntervallo??
Perchè è derivabile in tutto il polinomio, quindi anche in un pezzetto di esso...
In quali casi una funzione non è derivabile (e quindi non rispetta la seconda ipotesi)?
(2)3 è 8
(radice3)3 è 3
8 x 3 è 24
non ve ne sono video in cui viene spiegato il caso in cui all'interno dell'intervallo [a,b] vi sia un massimo assoluto M e un minimo assoluto m con (m
In realtà anche una funzione che non è definita in quel punto potrebbe essere continua per esempio sen(x)/x che il limite per x che tende sia da destra che da sinistra di zero tende a uno quindi continua
veramente ben fatto ;);)
nel senso che se ad esempio sposto "b" poco più a sinistra nel primo grafico che hai disegnato lasciando però "a" al suo posto ottengo comunque quella tangente? Oppure la tangente deve essere per forza parallela all'ipotetica retta che passa per a,b?
Certo che la ottieni 😊 Il punto qual è? Che tu, ora che hai spostato b, sai che c'è la tangente orizzontale perché vedi la funzione. Hai praticamente dovuto disegnarla per saperlo. Ma il teorema di Rolle ti dice che non ti serve disegnarla per saperlo: se f(a) = f(b) allora sicuramente c'è un punto in cui la derivata si annulla, a prescindere da che giro farà la funzione in quell'intervallo. Se invece f(a) è diverso da f(b)... Boh? Non possiamo saperlo, potrebbe esserci oppure no; ma finché non disegniamo la funzione non potremo saperlo.
Fai paura bravissimo 💪💪
Ciao. Qualcosa sui numeri complessi e sui vettori a quando? Comunque complimenti.
Ma perché se una funzione è polinomiale allora è continua?
Grazie non ho capito
tu sei proprio un grande cazzo
2K23
A me piace studiare
Sei di Arezzo?
GRAZIE
sei 1 grande
che Top che sei!
Ma 2 radice di 3 al cubo non fa 24?
grazie bello!!!!
E il teorema di Fermat?
Spero ci sia qualche angelo che risponderà alla mia domanda su un video di 9 anni fa entro 12 giorni(termine entro il quale dovrò sostenere l'esame di analisi 1). Il mio dubbio è il seguente:
Come si fa ad assumere l'esistenza di due punti in cui la f(x)= 0 senza prima verificare almeno il teorema di esistenza degli zeri?
troppo tardi ma spero l'esame sia andato bene ;)
Ciao! Mi spieghi perchè dici che nel punto angoloso la prima condizione (la continuità nell'intervallo) è rispettata? Una funzione è continua se il limite destro e il limite sinistro sono uguali tra loro e anche uguali al valore che la funzione assume nel punto. Ma nel punto angoloso il limite destro e quello sinistro sono diversi! Infatti il limite destro è 1 e il limite sinistro è -1. Perchè dici che è continua? Non capisco!
Una funzione è DERIVABILE se il limite destro e il limite sinistro sono uguali tra loro. E' continua perché, banalmente, la disegni senza staccare la penna dal foglio, quindi non ci sono "interruzioni". Infatti se noti non c'è alcuna discontinuità nel grafico
P.S. Grazie infinite:)
hhahhs a ma quanto apri le "e" ?
comunque grazie molto utile :)
Prof potrebbe spiegarmi xk 2radice3 al cubo diventa 24?
perchè 2 alla terza fa 8 , poi ci sarebbe radice di 3 alla terza, il 3 alla terza lo puoi portare fuori radice lasciando un 3 sotto radice (proprietà delle potenze), quindi 8 per 3 per radice di 3 è 24 radice di 3
Ho l'esame orale tra 3 ore non so nulla aiuto
PERCHE' NON INTERESSA LA DERIVABILITA' IN a, b? Io mi sono dato questa risposta: QUALCUNO MI SA DIRE SE E' GIUSTA? Sono due motivi. Il primo è che, in generale, la funzione al di fuori di a, b potrebbe anche non esistere. Il secondo è che - poniamo il caso di un punto di massima di derivata 0-, se f Xa = f Xb allora, semplicemente, NON PUO' ESISTERE un punto estremante Xm all'altezza di a,b. Infatti, poniamo che la funzione parta da Xa e salga costantemente. Prima o poi deve scendere per riallinearsi con b, MA QUESTO NON PUO' FARLO ALL'ULTIMO PUNTO, cioè se arriva fino sopra a Xb. Infatti poi dovrebbe scendere, anzi "saltare", lungo una retta verticale per raccordarsi con f Xb, e quindi la funzione il quel punto NON POTREBBE ESSERE CONTINUA. In formule: per f (Xa)=f(xb) se e solo se Xm=Xb, consegue che Xm meno Xb fa zero e quindi delta di x fa zero e quindi il rapporto incrementale DA DESTRA non avrebbe senso. NATURALMENTE A MENO CHE NON CI TROVIAMO LUNGO UNA LINEA RETTA.
CONTINUITA': d'altra parte, per questi motivi è anche indispensabile la continuità in a, b. Altrimenti la funzione in Xm non sarebbe derivabile mancando un dx alla sua destra (o sinistra).
Secondo me ti stai complicando la vita.. i casi sono due: o il teorema è verificato se la funzione è derivabile in a ,b , oppure è verificato anche se non lo è (premettendo che la funzione sia continua su a,b ed f(a)=f(b) ) . Esempio: parabola finita ad "U" , continua in a,b , non derivabile in a e in b , ma il teorema vale, come vale per qualsiasi funzione in cui siano verificate le prime due ipotesi. Ho trovato un caso in cui il teorema vale in una funzione non derivabile in a e in b , quindi possiamo dire che il teorema vale anche se non c'è derivata in a,b (in poche parole provando a tracciare una FUNZIONE, quindi niente gradini, tra due punti alla stessa quota, avrai SEMPRE un punto in cui la derivata è zero, provare per credere) :) è una "dimostrazione" molto spicciola , l'ho dimostrato dicendo praticamente, disegna quello che vuoi e vedrai che il teorema vale, era giusto per capirci. :)
si grazie, è vero mi stavo complicando la vita ma credo che si dovrebbero fare più dimostrazioni e ripetere tutti i "risvolti" di un teorema a costo di sembrare banali e ripetitivi. Sono cose ovvie ma fino a che non le metti nero su bianco non acquisisci disinvoltura nella teoria e magari fai una gaffe proprio durante la interrogazione, come è successo a me..
Una funzione non può esistere lungo "una linea verticale" quindi la derivabilità "esterna" ai punti a, b non è necessaria.
Io studio ingegneria, la matematica non la so, la uso :)
simpatico! io ho cominciato a quaranta anni per hobby. Mi piace capirne la filosofia. Alla prossima.
Grande! ;)
Troppo complicato🙄
ciao sei un grande innanzitutto :p sono in crisi come fa a darti 24 radice di 3?????????????? ti prego aiuto :(
radice(3^3) = 3* radice (3) , che moltiplicato per 8 fa 24 :
2^3 * (rad(3))^3 = 8*rad(3^3) = 8*3*rad(3) = 24*rad(3)
Filippo martelli guarda questo video
0:19 il teorema di roggi =D
ZEROO
🎓 Indice completo delle Videolezioni e informazioni sui Video - goo.gl/zq67Eo
📸 Seguimi su Instagram - instagram.com/elia.bombardelli
🔥 Prova Gratis Amazon Prime per Studenti: amzn.to/2nrKsKI
🎵 Prova Gratis Amazon Music Unlimited - amzn.to/2lLeCIq
🎁 Cose carine e idee regalo su Amazon - amzn.to/2Ve4wAu