福井大（医）漸化式

[@PC三太郎]

遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。
note.com/pc3taro/n/n9c4e1897b648
(2)は(1)の誘導がなくても b_n は求められるので、一応誘導無しとみなして求めました。解いた後で見た動画と微妙に等比数列型となる漸化式の置き方が違います（隣接3項間漸化式といえども、通常のa_nではなくa_{n-1}からはじまっているので）。

[@中村吉郎]

私は恥ずかしながら漸化式に関する問題の解法ついては、まだ完全に理解が出来ていません。
　考え方を掴めるよう、努力させて頂きます。ありがとうございました。

[@kjsaka]

訂正版。 a[n+1]-{(4n+2)/(n+1)}a[n]+{4(n-1)/n}a[n-1] = 0 を元の式として説明(4n-4を4(n-1)に書換え)。
元の式を a[n+1]-(4n/r/(n+1))a[n] = r{a[n]-{4(n-1)/r/n}a[n-1]} に変形できる(rは定数)筈だから、
元の式は a[n+1]-{(4n/r+r(n+1))/(n+1)}a[n]+{4(n-1)/n}a[n-1] = 0 という形をしている筈です。
変形後の式の左辺のa[n]の係数が、なぜ 4n/r/(n+1) になるとわかるかというと、
変形後の式のa[n-1]の係数の、n-1をnに置き換えた物になる筈だからです(○/n=○/(n-1)+1を置換⇒□/(n+1))。
元の式の 4n+2 の部分を 4n/r+r(n+1) の形に合わせると 4n/2+2(n+1) (rを2にすればよいことはすぐわかる)。
よって、変形後の式は、a[n+1]-(2n/(n+1))a[n] = 2{a[n]-{2(n-1)/n}a[n-1]}
本設問は、元の式のa[n]の係数の分母がa[n-1]の係数置換後(n-1⇒n)の分母と同じになるように作られているので
形を合わせる際、分子だけを合わせればよく、このやり方なら簡単にできます。
一般化すると、元の式が a[n+1] - △a[n] + f(n-1)a[n-1] = 0 なら、
元の式を a[n+1] - {f(n)/r}a[n] = r(a[n] - {f(n-1)/r}a[n-1] に変形できる(rは定数)筈だから、
元の式は a[n+1] - {f(n)/r + r}a[n] + f(n-1)a[n-1] = 0 という形をしている筈です。
本設問では、△は(4n+2)/(n+1)ですし、f(n-1)=4(n-1)/nよりf(n)は4n/(n+1)ですから、
△の分母も f(n)の分母も n+1であり分母が同じなので、
△の分母と f(n)/r + r の分母も同じになってくれて、形を合わせるのが簡単になってるわけです。

[@電磁郎-d8k]

(1)の誘導があるので何とか解けましたが、いきなりa_nが問われたら戸惑うかもしれません。しばらく漸化式から離れていたら、すっかり基本を忘れてました。やはり継続は大事ですね。

[@vacuumcarexpo]

個人的には、こういうの（特に誘導の式の根拠が不明なもの）は、誘導に沿って解いただけだと何となく癪なので、誘導なしでもやってみました。
でも、いったん誘導ありで解いた後だと、誘導の情報に引っぱられてるんじゃないかと気になって、出来るだけ誘導から遠く遠くやろうとすると大変ですね。
「問題として出されてるんだから、絶対に解けるハズだから、等比数列の形に変形できるハズ」という前提で立式するのも、個人的には反則感が強いので、そういう仮定も抜きで考えました。
a[n+1]－(4n+2)a[n]/(n+1)+(4n－4)a[n－1]/n＝0
のa[n－1]の係数にn－1が入っているので、n(n+1)を全体に掛けて分母を払えば、全ての項にna[n]が作れるので、そうする。
n(n+1)a[n+1]－2(2n+1)na[n]+4(n+1)(n－1)a[n－1]＝0
各係数（定数部分）が、2^0，2^1，2^2のように「反比例」しているので、全体を2^(n+1)で割る。
n(n+1)a[n+1]/2^(n+1)－(2n+1)na[n]/2^n+(n+1)(n－1)a[n－1]/2^(n－1)＝0
ここで、t[n]＝na[n]/2^nと置くと、
nt[n+1]－(2n+1)t[n]+(n+1)t[n－1]＝0
2n+1＝n+(n+1)に注目して、真ん中の項をバラして、nとn+1で括ると、
n(t[n+1]－t[n])＝(n+1)(t[n]－t[n－1])
係数のnとn+1の大小が逆になっているので、両辺をn(n+1)で割ると、
(t[n+1]－t[n])/(n+1)＝(t[n]－t[n－1])/n＝(t[2]－t[1])/2＝1/2
⇔t[n+1]－t[n]＝(n+1)/2
これより、t[n]＝t[1]+Σ{k＝1～n－1}((n+1)/2)＝n(n+1)/4
t[n]＝na[n]/2^n＝n(n+1)/4⇔a[n]＝(n+1)･2^(n－2)（但し、n≧2）
n＝1でも成り立つので、
a[n]＝(n+1)･2^(n－2)（n≧1）。
こんな感じです。

[@初でイク]

最初の係数比較の手法典型だから誘導なしでも解けないことはないな

[@hiroyukimatsumoto9257]

理想の形と係数比較がポイント。
係数比較のとき、解と係数との関係を使ってたのをみて、こうつかうのね、となりました。
誘導無しで解けるようにしたいものです。

[@kjsaka]

元の式を＿ a[n+1]-(□/(n+1))a[n] = 倍率{a[n]-(？/n)a[n-1]} に変形できるのなら、
元の式は＿ a[n+1]-{(□+倍率(n+1))/(n+1)}a[n]+{？？/n}a[n-1] = 0 という形をしてる筈。
それに合わすとa[n+1]-{(2n+2(n+1))/(n+1)}a[n]+{(4n-4)/n}a[n-1] = 0 (4n+2のとこを合わせた)。
整理すると＿＿a[n+1]-(2n/(n+1))a[n] = 2{a[n]-(2(n-1)/n)a[n-1]}。
設問が解けるように作られていれば、整理して出た式の他のところも辻褄が合っている筈で、
本当に合ってるか確認すればいいだけです。実際ちゃんと合ってます(2n/(n+1)に対し2(n-1)/n)

[@kjsaka]

先ほど書いたコメントを訂正します。4n+2について「それに合わすと...(2n+2(n+1))...」とする説明は間違い。
他にも((n-1)+3(n+1))等多数ありますね。その中から辻褄の合う物を捜さないといけないから手間は減りませんね。
混乱の元になるようなことを書いて失礼しました。

[@たのたの-u2j]

3項間型
→理想型を妄想
→等比型
→指数型
→階差型
基礎確認の良問

[@038ポリゴン]

朝に漸化式は気持ち良い

[@mips70831]

私は素直に誘導に乗りました。
が、(1)は式を睨んで
b_n=2b_n-1
と求めましたが、もう少し複雑だと貫太郎先生のように誘導無しでも解ける力を着けていないと太刀打ちできないでしょうね。
（2）は当初方針を誤って　等比数列型へもっていけないかと思いましたが指数が邪魔をして？挫折。
　　 こりゃ方針変更と式を見直して階差数列へ持って行くことに気付いた次第です。
　　 もう少し手際よく処理できるべきと猛省しております。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@yu8847]

次数合わせた理想形から逆算して係数比較は覚えておきたい！！

[@へその緒食べたい]

(1)なかったらとけてなかった
an+1をbnの式に代入した
誘導無しで解けるようにならんと

[@ironia006]

理想形が思いつかなかったので誘導に乗りました。計算ミスを探すのに時間がかかったが
n=1,2,3で確かめてから答え合わせしました

[@masanobuokuda5837]

(1) は両方の漸化式のa_nの係数を比べれば、4n+2/n+1 が 2n/n+1 と何かに分解できると予想できるから、
4n+2/n+1 - 2n/n+1 = 2n+2/n+1 = 2
ここから b_n = 2b_n-1
はすぐ出てきますね。

[@HachiKaduki0501]

おはようございます。
与えられた条件（スタート）から、素直に計算を進めてゆくのが算数。
結果（ゴール）がこうなるためには、と逆に辿るのが数学。
自分でも何を言ってるのか、若干あいまいなところもありますが、…。

[@mips70831]

ゴールがこうなるためには･･･と分かっていても、そこにたどり着けないのが私の数学力。

[@ストローマン310は59]

結果だけ見ると、この漸化式はa(n+2)-4a(n+1)+4a(n)=0,と同値なんですね。不思議

[@PC三太郎]

本問の {a_n} は a_1=1, a_2=3 という初期条件なので、本日の動画の入試問題の問題文にある漸化式も、アバウトな人さんの書かれたよくある「定数係数斉次隣接3項間漸化式」も満たします。
しかし、a_1=2, a_2=4 という初期条件では、アバウトな人さんの書かれたよくある「定数係数斉次隣接3項間漸化式」を満たすのは明らかですが、本日の動画の入試問題の問題文にある漸化式を満たしません。
なので一般に初期条件次第で、本日の動画の入試問題の問題文にある漸化式も、アバウトな人さんの書かれたよくある「定数係数斉次隣接3項間漸化式」も満たす数列かどうかが決まります。

[@yamachanhangyo]

理想形をどうやって作るか…作ってしまえば一気呵成と。
三項間漸化式の問題はまだチンプンカンプンなので、頑張って視聴しますｗ
（というか、現役の時数Ⅲ未履修だから、数列までは判っても漸化式は判らん）

[@井上成美-m8s]

おはようござます。見かけ倒しの漸化式ですが、点取り問題ですね。明日もよろしくお願いします。

[@タラタラ-g4q]

これ（1）なしでさらっと解けたら気持ちええやろなぁ✨

[@とまとまと-k6r]

(1)無いと試験会場で焦りそう

[@randomokeke]

ざっと過去問をみたところ数学は４問あるからここを捨てるかどうかにかかりますね。近年はだいたい誘導ありみたいな感じです。

[@kankan8148]

漸化式は見ただけで拒否感があります

[@MrYutorist]

受験数学から離れすぎてるし(1)の誘導無かったら100%解けんわ
てかnがxに見えてまじで不可解な問題に見えたわwww

[@ak12456]

やり終えた時の達成感、いい感じ☺
確かに、⑴のやさしさ、いらないと思う。

[@勇俊郎南松]

2年前と今回の動画拝見しました。
誘導無しと仮定して解き方考えてみました。
a _{n+1} の係数1も他の項の係数の真似して
(4n+8)/(n+2)/4 と 変形する。
### (4n+8)+(4n-4)=2*(4n+2)なので なにか起きそうと思いつつ。
t_{n}=a_{n} /(n+1), t_{1} =1/2,t_{2}=1
とおいて、分母消して4倍すると
(4n+8)t_{n+1} -4(4n+2)t_{n} +4(4n-4)t_{n-1}=0　⇔
(2n+4)t_{n+1} -4(2n+1)t_{n} +4(2n-2)t_{n-1}=0
### 係数が 1 -4 4 みたいだから、
これは2^nで割ってみたくなる。
(2n+4)t_{n+1}/2^n -4(2n+1)t_{n}/2^n +4(2n-2)t_{n-1}/2^n=0
さらに
u_{n} =t_{n}/2^(n-2), u_{1}=u_{2}=1
とおいて整理すると、
###n-2にしたのは初項を1にするため
(2n+4)u_{n+1}2^(n-1)/2^n -4(2n+1)u_{n}2^(n-2)/2^n+4(2n-2)u_{n-1}2^(n-3) /2^n=0　⇔
(2n+4)u_{n+1}/2 -4(2n+1)u_{n}/4+4(2n-2)u_{n-1} /8=0 ⇔
(n+2)u_{n+1}-(2n+1)u_{n}+(n-1)u_{n-1} =0
### 係数の間に (n+2)-(2n+1)+(n-1)=0 ！ なんか起きた
ここまでくれば、数学的帰納法で、
u_{n-1}=u_{n}=1 ならu_{n+1}=1
を論証。
あとは巻き戻して答え。

[@senhueichen3062]

Wow, looks so complicated.

[@しゃがれにしやがれ]

等比数列に持っていきたいっていう気持ち大事ねー

[@dahlia_osaka_japan1128]

医学部入試なのに誘導付きとかありえない。

[@mskunichika]

前から気になっているのですが、aが出るときにαを使うのはどうかと思います。ケアレスミスの元ですよ。
（他にも似たケースがありました）
昔私が受験した際には、ケアレスミスを防ぐために工夫しました。ケアレスミスでの減点は減点、

[@user-rv7kc4gg3y]

おはようございます☀

[@marumaru1354]

おっはー貫太郎

[@中村吉郎]

おはようございます。寒さが、一段と厳しくなって来ました。
　受験生、数学を心から愛され学ばれていらっしゃる方々の健康を、祈っています。
　私も、数学を勉強させて頂きます。

[@受験生大学]

おはようございます。

[@たま-z6n9k]

1)の置き換えは、仮分数形の係数を帯分数形に直すことで自然に（誘導なしに）得られます。
2)＜亜流＞階差数列ではなく定数列へ帰着。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1)　任意の整数 n≧2に対し、題意の下で
　 a[n+1] - {(4n+2)/(n+1)} a[n] + {(4n-4)/n} a[n-1] =0
　⇔　a[n+1] - {4 - 2/(n+1)} a[n] + (4 - 4/n) a[n-1] =0
　⇔　a[n+1] - {2 - 2/(n+1)} a[n] = 2a[n] - (4 - 4/n) a[n-1]
　　【※t^2 - 4t + 4 =0の重解 t=2 に注目して移項した】
　⇔　a[n+1] - {2 - 2/(n+1)} a[n] = 2 {a[n] - (2 - 2/n) a[n-1]}
　⇔　a[n+1] - {2n/(n+1)} a[n] = 2 {a[n] - {2(n-1)/n} a[n-1]}
　⇔　b[n] = 2b[n-1]。
b[1] = a[2] - a[1] = 2　にも注意して
、ゆえに
　任意の正整数nに対し　b[n] = 2^n。■
-------------------------------------
2) 任意の正整数nに対し
　a[n+1] - 2n/ (n+1) a[n] = 2^n　
　⇔　(n+1)/{2^(n+1)} * a[n+1] - n/(2^n) * a[n] = (n+1)/2　
…★。
ここで
　(n+1)(n+2) - n(n+1) = 2(n+1)　に注意して、
　★⇔　(n+1)/{2^(n+1)} * a[n+1] - n/(2^n) * a[n] = (n+1)(n+2)/4 - n(n+1)/4
　　⇔　(n+1)/{2^(n+1)} * a[n+1] - (n+1)(n+2)/4 = n/(2^n) * a[n] - n(n+1)/4。
よって｛n/(2^n) * a[n] - n(n+1)/4｝（n=1, 2, 3, ...）は定数列であり、
　n/(2^n) * a[n] - n(n+1)/4 = ... = (1/2)a[1] - (2/4) = 1/2 - 1/2 = 0
　∴　a[n] = {2^(n-1)} (n+1) 　（n=1, 2, 3, ...）。■

[@mips70831]

👏👏👏
2) のここで･･･以降の変形は到底思いつきません。
昨日の lim[ t → ∞ ] t/e^t = 0
の導出などもそうですが、示されたら分かりますが、自分で着想する力が圧倒的に不足していると感じております。
地道に経験値を重ねるしかないかと･･･。

[@たま-z6n9k]

@@mips70831 さんへ：もちろん、私が独自に着想したものではありません…。仰るとおりこれは単なる経験値の問題です。
（※本変形も昨日の極限も、誰か頭の良い他人が見つけたものを、有難く利用させていただいているだけ。）
~~~~~~~~~~~~~~~
そう言えば、何故か高校数学の指導要領では、
　Σk,　Σ(k^2),　Σ(k^3)、...　　(1)
という系列を教えておきながら
　Σk,　Σk(k+1),　Σk(k+1)(k+2)、...
　(2)
という系列を教えないようです。
（※ここでΣは　k=1, ..., n　に亘る和を表す）
２項定理に基づいて帰納的に導かれる(1)よりも、望遠鏡級数（telescoping sum）に基づきダイレクトに導かれる(2)のほうが圧倒的に簡単なのですが…。例えば
　k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2) = 4k(k+1)(k+2)
より、
　Σ k(k+1)(k+2) = (1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)。■

[@mips70831]

望遠鏡級数なる言葉は初めて知りました。
私が持っている「高校数学 ＋α」（宮腰 忠 著　共立出版）では「隣り合う自然数の積の和」という項目で望遠鏡級数を解説し、それから Σk² などを導出しています。（ちなみに Σk³ は練習問題になっていました。）
初めて読んだ時は、「ほ〜こういう方法もあるのか！」でした。
問題を解こうとすると、🐱が机の上に乗ってきて邪魔をします。「きっとこれは、どんな悪条件でも問題を解くことができるように私を鍛えてくれているに違いない！」と思いつつ「オレはまだそんなレベルに行ってない！」と机から🐱を降ろしました。これをすると必ず、拗ねたような眼差しでこちらを見つめてくるので心が痛みます。

[@たま-z6n9k]

@@mips70831 さんへ：That's just the typical and lovely way they are.
Please be reminded to pet your 'master' cat as soon as you are done with the task.
By that time, she may no longer be in such a mood, though...
That's just what they are, right? 🐈🐈🐈

[@mips70831]

That"s right. Cats are always moody.
Incidentally, my cat is a boy who is castrated.