北里大2020 分数型漸化式
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- Опубліковано 8 вер 2024
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これもう慣れたから特性方程式と見てそれを分数の等比型にぶっこむようになったンゴ
現在は？
日本薬学の父である北里柴三郎先生が設立した学校
ですね。理学部でも似たような問題が出ましたが、
受験当時の私は誘導にのれず解けなかった覚えが
あります。だけど他の問題と理科はほぼ取れた
ので、なんとか合格できたのかな？と思って
います。自分の大学の問題が出るとなんかうれしい
ですね。
ちょうど昨日貫太郎さんの過去の分数漸化式の動画漁ってたからありがたいタイミング
今回厄介なのは分子の定数項ですね。それをどう消すかを考えて特性方程式を作ると考えれば初見の問題にも強いですね(このチャンネルの視聴者はみんな知ってるだろうが)
お蔭様で、解法を理解出来ました。感謝します。
私は解法のポイントを、次のようにノｰトにメモしました①理想形にする②解法の流れを、確実に押さえる③計算ミスに十分気をつけて解く。
｢入試問題は、解けるように出来ている｣は、真理ですが、名言ですね。
おはようございます。如何に基本形（等比数列）に帰着するか、それが一番重要ですね。
この解法は思いつかず勉強になりました。
私は、a[n]→1 (n→∞) を予想して、b[n]=a[n]-1 と置いてみたところ、
1/b[n+1]=2/b[n]+1/3
となり、うまいこといきました。
初めに一旦与式を変形して、a_n+1=2((a_n -4)/(a_n +5))になり、分母にゼロ除算が出るような計算は受験数学的に回避するだろうという見込みにより、初項のどこかに4という数が関連するだろうと考えました
その上で取り敢えず第4項まで計算し、分子の数と分母の数を眺めてみたところ、
①分子の数-分母の数=3になること
②数の増分が2^nになること
この2つに気がついたので、それを数式に書き起こしました
これを与式に代入して、等式が成立することを確認出来たので、問題ないと結論付けました。
いざ具体的に計算してみると、第4項が34/31になり、これは何かあると勘が働き、第2項の10/7を踏まえて隣り合う項の数を引いてみたら2^nが出て来たので、そういうことか！となりました
分数は数学なので当然約分するものですが、それ自体がカモフラージュとして働くことがあるので厄介者です
今回の問題で難いのが、約分しないで眺めてもパッとでは見えず、約分自体を途中で止める必要があったことですが、素数が約分出来ないことがこんな風に役立つのも面白いところかなあ、と思いました
6/3、10/7、18/15、34/31、66/63…素数が出て来なかったら詰んでたまでありますね(；・∀・)
特性方程式の解で平行移動したらa_(n+1)=αa_n/(βa_n＋γ)の形になって、逆数をとっていい感じに解けました
理想形を作る過程や結果から、分母=0を避けるためにan>1を示したほうがいいのかなと思い、解答では最初に帰納法でan>1を示して、理想形→等比数列でいきました
分数型は超難しいです😂 でも解説は鮮やかです！
本質理解は大切ですね
漸化式大体係数比較でいけるやんっていうのを貫太郎さんで学びました
これ、解けました！ヨビノリさんが漸化式の全解法の動画出しててそれに則って出来ました。具体的には特性方程式を解いて
An+1-1=(4An+2/An+5)-1
=3An-3/(An-1+6)
として逆数取れば出来ます。汚くてすみません。
ヨビノリさんのところで見たのですが
最初から特性方程式x=(4x+2)/(x+5)を立てて，x=-2,1と解いてしまうという手もあるようです。
x=1の方を選んだとして
a[n+1]-1=(4a[n]+2)/(a[n]+5)-1=3(a[n]-1)/{(a[n]-1)+6}
両辺の逆数を取って ※
1/(a[n+1]-1)=2/(a[n]-1)+1/3
b[n]=1/(a[n]-1)と置いて
b[n+1]=2b[n]+1/3
これを普通に解くと
b[n]=1/(a[n]-1)={2^(n+1)-1}/3
となって，ここからa[n]が同じ式で求まります。
x=-2の方を使っても，同じ答えになるはずです。
※逆数取る時にa[n]≠1を示すとすれば，そもそも特性方程式の解である以上
a[n]=1ならびa[n+1]=1であり，a[1]=･･･=a[n-1]=a[n]=a[n+1]=a[n+2]=･･･=1
であり，a[1]=2と矛盾。
貫太郎さん言ってますよ
@@user-xk8rd8dt2z さん
あ，確かに6:51あたりで特性方程式に触れてましたね。
朝の出勤前に急いでみたので気づきませんでした😅
おはようございます😃
漸化式忘れていました。復習します！
分数系めんどくさくてa3まで実験して一般項余裕でわかったんで帰納法にしました
漸化式の解法のストックに帰納法入れるの強いですよね
a1=2
a2=10/7
a3=6/5
から1発でこの一般項出したんですか！？
アホなんでどういう計算したのか教えて欲しいです
スラスラと誘導なしで解けるのは反復するしかないな。
（漸化式に関しては、）「決まったことを、決まっている通りに実行する。」
医学生に求められる資質なのかも知れませんね。
みたことあるパターンにするという発想は慣れると楽しいですね。
よくわからず特性方程式をつかうのと理解の差が大きく違ってくる気がします。
おはようございます。散歩中に、秋桜(コスモス)が優雅に咲いているのを見かけました。
私が数学科の学生時代に心掛けていたことがあります。新しい内容の数学を勉強する時は、ひたすら学習内容を、嫌と言うほど何度でも根気強く考えます。
時間はかかりますが、そうすると、いつの間にか考え方が頭の中に入って来ます。
さぁ、根気強く数学を勉強します。
たまに他の方の動画と何か違うのかな？と思うのですが、動画の序盤で、解く前に問題に対しての分析というか、どうやって方針を立てたらよいかじっくり時間をとって考えているところがいいですね。初見で解けるみなさんには全く歯が立ちませんが、じっくり考えるようになったので、標準的な問題は前よりは少しできるようになったのと、少しだけ解く楽しみができた気がします。
これ、開戦しょっぱな特性方程式を作って解いた猛者はいないのかなぁ（笑）
まぁ、これをやっちゃうと論理もクソもなく正解だけを示してハイ終わり…なわけで、採点官にしてみればクソ面白くないだろうけど。
実際の問題では誘導が付いているので、”オーソドックスに解きなさい”ってことなんだろうけど、それが意図だとしたら、これはこれで意味が深い出題。
漸化式で誘導が付いているときはそれなりの対策が必要ですよね。
自分は漸化式は１つのやり方で全部解説しており、解説動画も撮っているのですが、
先生のような誘導付きで出題されたものも撮ってみようと思いました。
ありがとうございました
フォーカスゴールドの練習問題に似たようなのがありましたね、こういう過程を踏んでるんだと再確認できました。ありがたいです。
漸化式苦手だから助かります！
この手のヤツは、行列を使った解法が衝撃的で頭にこびりついているので、逆にそれ以外の解法が思い付かないし、覚えられない。どーしたものか…。
発想：漸化式→等比数列にしたい→分数型に統一しよう
共通テスト模試の数列苦手や...
郡数列の問題、誘導に乗れなかった
ホワイトボードに爪当たる時のポチポチって音めっちゃ好き
この特性方程式の導入の仕方初めて見ました。
bnの分母≠0を言いたいわけですが、an>0は簡単に示せそうなので、an+2を分母とした方が楽そうだと思いました。
サムネだけみて取り組んだから、
与式1/an+1−1＋1/3 ＝2（1/an−1 ＋1/3）
って自分で変形して解いた。
Striking idea!!!!!!!!
模試前の漸化式ありがたい
全統マーク
If
ハイパーでんでん虫 東大プレは受けてないなぁw
全統マーク数学1Aメチャ難しかった
Kenta K 解き終わらんかった
形だけ分数の漸化式だとa_1=1, a_{n+1}=(2a_n+1)/(3[a_n]+2) のような分子にガウス記号が入った漸化式なんかもありますね
理想的な形で等差数列の可能性は無視しちゃってもいいんですか？
ノーヒントだったらできなかったと思う。
検算はn=1,2,3で確認しました
普通の漸化式の解き方のように特性方程式の解を両辺からそれぞれ引いて
a(n+1)+2=6{a(n)+2}/{a(n)+5}
a(n+1)-1=3{a(n)-1}/{a(n)+5}
上の式/下の式で上手く等比型になるのでこのやり方でいいか
@@ironia006 分数型は基本そのやり方になるので、間違いないですね。
@@PC三太郎 このやり方が基本なんですね。分数型はあまりなじみがなく、逆数を取るか、類推して帰納法くらいしか思い浮かばなかったです
私が受験生の頃は必須テーマでノーヒントが当たり前だったんですけどねぇ
分数型の漸化式は少し久しぶり。やり方あまり覚えていないけど、「考え方」なら覚えている。
ということで、理想形の形にして貫太郎先生と同じ解法で解けました！
やはり数学は「考え方」を身につけることが大切であります。
しかし、この解法がやっと身についたので変に誘導があると乗り切れないようなきがする。
なぜαとβが同じ場合はありえないんですか？
あり得ますね。a_1=1, a_{n+1}=(5a_n-2)/(2a_n+1) だと t=1(2重解)となります。この場合は2重解1を用いて b_n=a_n-1 とおき、逆数型の漸化式 b_1=0, b_{n+1}=3b_n/(2b_n+3) に帰着させることになります。このタイプの漸化式は一般に隣接2項間漸化式 b_{n+1}=p b_n+q 型になります。pやqの値如何ではもっと簡単な等差数列になったり等比数列になったりします。
今日はサムネイル見て解く勢に加われる！と思ったらダメでした😩しょんぼり
ヨビノリの漸化式のやつ見たから解けた
An をうまい形に変形して分解してから両辺逆数を取って一般項を求めるっていう定石使おうとしたけど上手くいかなかったわ。。。
サムネの状態で解けました。漸化式は慣れるとカモですね🦆
等比数列型を目指す〜ということで、目指して変形して比較して4次関数になっちゃって苦戦。
最初に代入しちゃえばよかったんかーー！！
こんばんは(^-^)/
解法、計算の手順を再確認いたしました！
特性方程式でできますね〜。やってることは同じですが
おはようございます🙇♂️。
久しぶりに朝コメントです。
いつも、♥️マークありがとうございます！
問題を見て、初見の問題でも理想の形をおけるとか、瞬間的に解法を思い付くまでには、まだまだ到達してないです(^_^;)。
演習の量をアップし、質を高めていきます。
👍️いたしました。
寝る前に、再受講します(^^)d。
☆オイラーの公式Tシャツ👕、また注文いたしました☺️。いろいろあって、選ぶのも楽しいです⤴️。
Tシャツありがとうございます😊
これは{1/a_n}が最初に習う漸化式の形をしているやつの派生だと思えば納得できますよね。
青チャートに詳しく乗っていました。
特性方程式のもう１つのペアはなぜやらんの？
1/12の公式シャツ笑笑
すんばらしーすんばらしー
1:13
できたん